Lernen mit Spaß!

Verbessere deine Noten mit sofatutor!

Lernen mit Spaß!

sofatutor kostenlos testen!

Angebot könnte bald enden!
Angebot könnte bald enden!

Sinussatz – Erklärung und Herleitung

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Lucy lernt 5 Minuten 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

  • Lucy übt 5 Minuten 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

  • Lucy stellt fragen 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden

Bewertung

Ø 3.7 / 14 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Sinussatz – Erklärung und Herleitung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Sinussatz – Erklärung und Herleitung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Sinussatz und seine Herleitung zu verstehen.

Zunächst lernst du, wie der Sinussatz lautet. Anschließend wird die Herleitung des Sinussatzes detailliert erklärt. Abschließend lernst du, in welchen Situationen der Sinussatz Anwendung finden kann.

Sinussatz

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Sinus, Sinussatz, rechtwinkliges Dreieck, Winkel, Höhe, Gegenkathete und Hypotenuse.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man den Sinus im rechtwinkligen Dreieck berechnet.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie man den Sinussatz anwendet.

Transkript Sinussatz – Erklärung und Herleitung

Franzi sitzt gerade an den Mathe-Hausaufgaben. Sie muss den Sinussatz anwenden: „a durch Sinus von Alpha gleich b durch Sinus von Beta gleich c durch Sinus von Gamma.“ Ist ja schön und gut, aber warum gilt das überhaupt? Und wenn wir schon dabei sind: Nach Franzis Stand funktioniert der Sinus nur in rechtwinkligen Dreiecken, oder nicht? Also warum ist jetzt hier von beliebigen Dreiecken die Rede? Um da wieder für Klarheit zu sorgen, schauen wir uns den „Sinussatz und seine Herleitung“ mal genau an. Vorne weg: Der Sinussatz gilt tatsächlich in jedem beliebigen Dreieck. Warum das so ist und weshalb der Sinussatz überhaupt gilt, klären wir jetzt Schritt für Schritt. Dafür sollten wir uns zunächst die Definition des Sinus am rechtwinkligen Dreieck in Erinnerung rufen. Wir markieren den rechten Winkel und den Winkel Alpha, den wir als Ausgangspunkt nehmen. Den Sinus von Alpha erhalten wir, wenn wir Gegenkathete durch Hypotenuse teilen. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Die Gegenkathete ist immer die Seite, die dem betrachteten Winkel gegenüber liegt. In diesem Dreieck müssen wir also Seite a durch Seite c teilen, um den Sinus von Alpha zu berechnen. Soweit zu den Grundlagen. Schauen wir uns jetzt mal ein beliebiges Dreieck an. Zum Beispiel dieses, das keinen rechten Winkel besitzt. Den Sinus von unserem Winkel Alpha können wir hier zunächst einmal nicht anwenden.
Dieser gilt ja nur in rechtwinkligen Dreiecken. Wie können wir also zeigen, dass der Sinussatz in jedem Dreieck gelten muss? An dieser Stelle hilft uns eine einfache und doch geniale Idee weiter: Wir zeichnen die Höhe zu unserer Dreiecksseite c ein. Diese verbindet Seite c mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt und steht Senkrecht auf der Dreiecksseite. Siehst du schon was wir dadurch erreicht haben? Genau, wir können unser Dreieck so in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilen. Innerhalb dieser kleineren Dreiecke können wir den Sinus jetzt sehr wohl anwenden. Im ersten Dreieck betrachten wir den Sinus von Alpha: Die Höhe von c, also unser h, ist dann unsere Gegenkathete, die Seite b unsere Hypotenuse. Der Sinus von Alpha ist also gleich h durch b. Im anderen Dreieck können wir uns den Sinus von Beta anschauen: Die Gegenkathete ist auch hier h, die Hypotenuse ist in diesem Fall a. Es gilt somit: Sinus von Beta gleich h durch a. Jetzt haben wir zwei Gleichungen, mit denen wir weiterarbeiten können. Beide enthalten unsere eingezeichnete Höhe als Variable. Die Idee ist es jetzt, beide Gleichungen nach h umzustellen, um die Winkel Alpha und Beta, sowie die Seiten a und b miteinander in Beziehung zu setzen. Beginnen wir mit der ersten Gleichung: Um diese nach h umzustellen, müssen wir lediglich mit b multiplizieren. H ist also gleich Sinus von Alpha mal b. Bei der zweiten Gleichung können wir nach dem gleichen Prinzip vorgehen. Wir erhalten h gleich Sinus von Beta mal a. Jetzt haben wir beide Gleichungen nach h umgestellt. So können wir die beiden rechten Gleichungsseiten miteinander gleichsetzen. Dadurch erhalten wir: „Sinus von Alpha mal b gleich Sinus von Beta mal a.“ Jetzt können wir diese Gleichung noch so umstellen, dass Sinus von Alpha und a sowie Sinus von Beta und b jeweils auf einer Seite der Gleichung stehen. Dafür teilen wir zuerst durch Sinus von Alpha und anschließend durch Sinus von Beta. Wir kommen so auf „b durch Sinus von Beta“ gleich „a durch Sinus von Alpha“. Und voilà - fertig ist der erste Teil unseres Sinussatzes. Um den dritten Teil der Gleichung, sprich die Gleichheit von Sinus von Gamma durch c, herzuleiten, müssen wir die anderen Höhen in unser Dreieck einzeichnen. Anschließend können wir genauso vorgehen, wie wir es gerade gesehen haben. Wenn du magst, kannst du es ja mal ausprobieren. Der Sinussatz ist dann vollständig hergeleitet. Er ist ein sehr nützliches Werkzeug, um Winkelgrößen oder Seitenlängen in Dreiecken zu bestimmen. Dazu betrachten wir meist eine Teilgleichung des Satzes. Kennen wir dann drei der vier vertretenen Größen, können wir die vierte problemlos berechnen, indem wir die Gleichung nach der gesuchten Größe umstellen. Und jetzt ist auch Franzi klar, warum sie diese praktische Formel in jedem Dreieck anwenden darf. Da macht Mathe doch gleich viel mehr Spaß.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Hallo Nina, die Übungen zu diesem Video sind auf unserer Produktionsliste und werden demnächst auf die Website kommen. Wir bitten noch um ein wenig Geduld! Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Lukas Peitz 1, vor 4 Monaten
  2. Es ist sehr schade, dass hierzu keine Arbeitsblätter oder Übungsaufgaben verfügbar sind. Somit ist es schwer, gelerntes mit Übungen anzuwenden und auf Richtigkeit zu prüfen.

    Von Nina, vor 4 Monaten

Sinussatz – Erklärung und Herleitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sinussatz – Erklärung und Herleitung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche Aussagen zu Sinus und Sinussatz richtig sind.

    Tipps

    Der Sinus ist definiert als das Längenverhältnis von Gegenkathete des betrachteten Winkels zur Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

    Lösung

    Der Sinus kann nur in rechtwinkligen Dreiecken angewendet werden. Dies erschließt sich auch aus seiner Definition: $\sin (\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von} \alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    Die Begriffe Gegenkathete und Hypotenuse gibt es nur im rechtwinkligen Dreieck. Die Hypotenuse liegt gegenüber des rechten Winkels und die Gegenkathete von $\alpha$ liegt gegenüber von $\alpha$.

    Der Sinus ist als Längenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck definiert. Wir können ihn nicht herleiten.

    Der Sinussatz hingegen kann in beliebigen Dreiecken angewendet werden. Er lautet: $\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = \dfrac{b}{\sin (\beta)} = \dfrac{c}{\sin (\gamma)}$

    Den Sinussatz in beliebigen Dreiecken können wir hingegen mit Hilfe des Sinus herleiten. Dazu teilen wir das beliebige Dreieck durch Einzeichnen einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke, in denen wir den Sinus anwenden können.

  • Vervollständige die Herleitung des Sinussatzes.

    Tipps

    Der Sinus im rechtwinkligen Dreieck ist wie folgt definiert:
    $\sin (\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$

    Du kannst eine Gleichung umformen, indem du auf beiden Seiten der Gleichung mit demselben Wert multiplizierst.

    Lösung

    Wir können das Dreieck $ABC$ durch Einzeichnen der Höhe auf der Seite $c$ in zwei Dreiecke unterteilen. Da die Höhe senkrecht auf der Seite $c$ stehen muss, sind die beiden Dreiecke rechtwinklig.
    Wir können also in beiden Dreiecken den Sinus anwenden. Dieser ist wie folgt definiert:
    $\sin (\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$

    • Für das Dreieck $1$ gilt: $\quad\sin(\alpha) =\frac{h}{b}$
    • Für das Dreieck $2$ gilt: $\quad\sin(\beta) = \frac{h}{a}$
    Wir lösen die beiden Gleichungen nach $h$ auf, indem wir in der ersten Gleichung mit $b$ und in der zweiten Gleichung mit $a$ multiplizieren und erhalten:

    • bei Dreieck $1$: $\quad h=\sin(\alpha) \cdot b$
    • bei Dreieck $2$: $\quad h=\sin(\beta) \cdot a$
    Wir können die beiden Terme für $h$ gleichsetzen:

    $\sin(\alpha) \cdot b = \sin(\beta) \cdot a$

    Dies können wir umformen, indem wir durch $\sin(\alpha)$ und $\sin(\beta)$ teilen, und erhalten:

    $\begin{array}{rrrrr} \sin(\alpha) \cdot b& = & \sin(\beta) \cdot a & |: \sin(\beta) \\ \dfrac{\sin(\alpha) \cdot b}{\sin(\beta)}& = & a & |: \sin(\alpha)& \\ \dfrac{b}{\sin(\beta)} & = & \dfrac{a}{\sin(\alpha)} && \\ \end{array}$

  • Formuliere den Sinussatz.

    Tipps

    Du kannst den Sinussatz durch Äquivalenzumformungen umschreiben.

    Die Umkehrrechnung zum Multiplizieren ist das Dividieren und umgekehrt. Auch ein Bruch stellt eine Division dar:
    $\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = a : \sin (\alpha)$

    Lösung

    Wir kennen den Sinussatz in der Form:
    $\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = \dfrac{b}{\sin (\beta)}$
    Wir können diese Gleichung durch Äquivalenzumformungen auch in anderer Form darstellen:

    $\begin{array}{rrlr} \dfrac{a}{\sin (\alpha)} & = & \dfrac{b}{\sin (\beta)} & |\cdot \sin (\alpha) \\ a & = & \dfrac{b}{\sin (\beta)} \cdot \sin (\alpha) &|\cdot \sin (\beta) \\ a \cdot \sin(\beta) & = & b \cdot \sin(\alpha) & \\ \end{array}$

    Und wir formen weiter um:

    $\begin{array}{rrlr} a \cdot \sin(\beta) & = & b \cdot \sin(\alpha) & | : \sin(\alpha) \\ \dfrac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} &=& b & | : a \\ \dfrac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} &=& \dfrac{b}{a} & | : a \\ \end{array}$

    Folgende Gleichungen stellen jedoch nicht den Sinussatz dar:

    • $a \cdot \sin (\alpha) = b \cdot \sin (\beta)$
    • $\sin (\alpha) \cdot \sin (\beta) = a \cdot b$
    • $\sin (\alpha) - \sin (\beta) = a - b$
  • Leite den zweiten Teil des Sinussatzes her.

    Tipps

    Du kannst den Sinussatz mit Hilfe des Sinus herleiten. Dazu musst du zuerst rechtwinklige Dreiecke erzeugen, da der Sinus nur im rechtwinkligen Dreieck gilt.

    Ziel ist es, die Seiten $b$ und $c$ und die Winkel $\beta$ und $\gamma$ miteinander in Beziehung zu setzen.

    Lösung

    Wir können das Dreieck $ABC$ durch Einzeichnen der Höhe auf der Seite $a$ in zwei Dreiecke unterteilen. Da die Höhe senkrecht auf der Seite $a$ stehen muss, sind die beiden Dreiecke rechtwinklig.
    Wir können also in beiden Dreiecken den Sinus anwenden. Dieser ist wie folgt definiert:
    $\sin (\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete von} ~\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

    • Für das obere Dreieck gilt: $\quad\sin(\gamma) =\frac{h}{b}$
    • Für das untere Dreieck gilt: $\quad\sin(\beta) = \frac{h}{c}$
    Wir lösen die beiden Gleichungen nach $h$ auf, indem wir in der ersten Gleichung mit $b$ und in der zweiten Gleichung mit $c$ multiplizieren und erhalten:

    • beim oberen Dreieck: $\quad h=\sin({\gamma}) \cdot b$
    • beim unteren Dreieck: $\quad h=\sin({\beta}) \cdot c$
    Wir können die beiden Terme für $h$ gleichsetzen:

    $\sin({\gamma}) \cdot b = \sin({\beta}) \cdot c$

    Dies können wir noch umformen und erhalten:

    $\dfrac{c}{\sin (\gamma)} = \dfrac{b}{\sin (\beta)}$

  • Gib den Sinussatz an.

    Tipps

    Versuche dir die Struktur der Formel zu erschließen.

    Gegenüber von der Seite $a$ liegt der Winkel $\alpha$.
    Gegenüber von der Seite $b$ liegt der Winkel $\beta$.
    Gegenüber von der Seite $c$ liegt der Winkel $\gamma$.

    Lösung

    Der Sinussatz darf in beliebigen Dreiecken angewendet werden. Er lautet:

    $\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = \dfrac{b}{\sin (\beta)} = \dfrac{c}{\sin (\gamma)}$

    Es ist also stehts das Verhältnis zwischen einer Dreiecksseite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels gleich.

    Wir können mit Hilfe des Sinussatzes in einem Dreieck eine fehlende Seitenlänge oder auch einen fehlenden Winkel berechnen.

  • Berechne die Seite $a$ mit Hilfe des Sinussatzes.

    Tipps

    Überlege dir, welche der drei Winkel du verwenden musst.

    Auf dem Taschenrechner gibt es eine Taste (sin), mit welcher du den Sinus eines bestimmten Winkels bestimmen kannst.

    Achte darauf, richtig zu runden. Betrachte dazu die Stelle hinter der Rundungsstelle: Ist diese $5$ oder größer, so wird aufgerundet. Andernfalls wird abgerundet.

    Lösung

    Der Sinussatz lautet:
    $\dfrac{a}{\sin (\alpha)} = \dfrac{c}{\sin (\gamma)}$

    Der Winkel $\alpha$ liegt gegenüber der Seite $a$. In unserem Dreieck gilt $\alpha = 48^\circ$. Außerdem gilt: $c=15$ und $\gamma = 92^\circ$.

    Wir schreiben den Sinussatz um:

    $a \cdot \sin (\gamma) = c \cdot \sin (\alpha)$

    und setzen wie oben zugeordnet ein:

    $a \cdot \sin (92^\circ) =15\cdot \sin (48^\circ)\quad |: \sin (92^\circ) $

    $a = 15 \cdot \sin (48^\circ): \sin (92^\circ) $

    Wir geben den Term in den Taschenrechner ein und erhalten für $a$ auf eine Stelle nach dem Komma gerundet:

    $a= 14,7842483... \approx 14,8$

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

2.666

sofaheld-Level

6.196

vorgefertigte
Vokabeln

10.806

Lernvideos

43.923

Übungen

38.639

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden