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Kongruenz und Ähnlichkeit

Was bedeutet Kongruenz? Und was ist der Unterschied zwischen Kongruenz und Ähnlichkeit?

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Worum geht es bei Kongruenz und Ähnlichkeit?

In diesem Text werden die beiden Begriffe Kongruenz und Ähnlichkeit besprochen. Dazu brauchen wir jeweils $2$ geometrische Figuren, wie beispielsweise Quadrate, Rechtecke, Dreiecke oder andere.

Kongruenz

Zwei geometrische Figuren heißen kongruent, wenn sie durch Drehung oder Verschiebung, Achenspiegelung und/oder Punktspiegelung ineinander übergehen. Die genannten Abbildungen werden mit dem Begriff Kongruenzabbildung zusammengefasst.

Ein anderes Wort für kongruent ist deckungsgleich. Wenn du eine Figur auf eine andere so legen kannst, dass die beiden sich komplett gegenseitig abdecken, dann sind die Figuren kongruent.

Bei kongruenten Figuren sind einander entsprechende Seiten gleich lang und einander entsprechende Winkel gleich groß.

Ähnlichkeit

Wird eine geometrische Figur gleichmäßig vergrößert oder verkleinert, dann nennt man die zugehörige Bildfigur ähnlich zu der Ausgangsfigur und umgekehrt. Der bei der Vergrößerung oder Verkleinerung verwendete Maßstab $k$ wird Ähnlichkeitsfaktor genannt.

Die Vergrößerung und die Verkleinerung einer geometrischen Figur kannst du mit einer zentrischen Streckung erhalten.

Wenn du eine Figur mit einer Kongruenzabbildung verschiebst oder spiegelst, dann ist die Ausgangsfigur ähnlich zu der Bildfigur. Dabei gilt $k=1$ oder $k=-1$, was darauf hinweist, dass keine Vergrößerung oder Verkleinerung stattgefunden hat.

Jede Abbildung, bei der die entstehende Figur ähnlich ist, wird Ähnlichkeitsabbildung genannt.

Bei ähnlichen Figuren ist das Verhältnis einander entsprechender Seiten immer gleich. Einander entsprechende Winkel sind gleich groß.

Zusammenfassend kannst du feststellen: Zueinander kongruente Figuren sind auch ähnlich zueinander. Umgekehrt gilt dies im Allgemeinen nicht.

Kongruenz am Beispiel von Dreiecken

Häufig werden dir in der Schule Fragen zur Kongruenz von Dreiecken begegnen. Dabei untersuchst du die Kongruenzsätze für Dreiecke. Diese sagen dir, welche Informationen ausreichen, um sicher zu sein, dass zwei Dreiecke kongruent sind.

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn ...

  • ... sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen. Dies ist der Kongruenzsatz „Seite Seite Seite“ oder kurz SSS.
  • ... sie in der Länge einer Seite sowie den beiden an dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen. Dies ist der Kongruenzsatz „Winkel Seite Winkel“ oder kurz WSW.
  • ... sie in der Länge zweier Seiten sowie dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Dies ist der Kongruenzsatz „Seite Winkel Seite“ oder kurz SWS.
  • ... sie in der Länge zweier Seiten sowie dem der längeren der beiden Seiten gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. Dies ist der Kongruenzsatz „Seite Seite Winkel“ oder kurz SSW.

Die Kongruenzsätze kannst du auch benutzen, um ein Dreieck bei der Angabe der entsprechenden Größen eindeutig zu konstruieren.

Die Strahlensätze

Die Strahlensätze bilden die Grundlage der zentrischen Streckung. Diese ist, wie du bereits weißt, eine Ähnlichkeitsabbildung.

Hier siehst du eine Strahlensatzfigur: Zwei Strahlen gehen von einem Scheitel $S$ aus. Die Strahlen werden von parallelen Geraden in den Punkten $A$ und $B$ sowie $A'$ und $B'$ geschnitten. So entstehen Abschnitte auf den beiden Strahlen und auch auf den parallelen Geraden.

Strahlensatzfigur mit Geraden auf einer Seite des Scheitelpunktes

Es gelten unter anderem die folgenden beiden Strahlensätze. Der erste Strahlensatz bezieht sich auf beide Streckenabschnitte, die auf den Strahlen liegen, und lautet:

$\frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}}=\frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}$.

Der zweite Strahlensatz bezieht sich auf die Streckenabschnitte auf den Strahlen und auf die Streckenabschnitte auf den parallelen Geraden und lautet:

$\frac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} \text{ bzw. } \frac{\overline{SB}}{\overline{SB'}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}$