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Streckenlängen in Figuren berechnen 09:16 min

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Transkript Streckenlängen in Figuren berechnen

Hallo und herzlich willkommen! Mein Name ist Jonathan und ich nehme dich heute mit in die wunderbare Welt der Mathematik. Vielleicht kommt dir diese Aufgabe bekannt vor: Bestimme die Raumdiagonale eines Würfels mit einer Seitenlänge von 10 Zentimetern. Oder auch diese: Die Grundfläche einer Pyramide hat die Seitenlänge a. Die Entfernung von der Spitze zu einer Ecke der Grundfläche hat die Länge b. Wie hoch ist die Pyramide. Bei diesen und vielen anderen Textaufgaben geht es darum, Streckenlängen in Figuren zu berechnen. Ich möchte dir heute zeigen, wie du dabei vorgehen kannst. Ich gebe dir gleich eine kurze Übersicht über die Satzgruppe des Pythagoras. Diese beinhaltet drei wichtige Sätze über rechtwinklige Dreiecke. Sie solltest du schon kennen und auch anwenden können. Anschließend werde ich dir an einem Beispiel die Vorgehensweise beim Berechnen von Strecken in Figuren verdeutlichen. Am Ende werden wir das Gelernte zusammenfassen. Fangen wir also mit der Übersicht über die Satzgruppe des Pythagoras an. Die folgenden Sätze gelten in jedem rechtwinkligen Dreieck. Die Seiten a und b sind die Katheten und die Seite c ist die Hypotenuse. Die Höhe h, die senkrecht auf der Hypotenuse steht, teilt diese in die beiden Hypotenusenabschnitte p und q. Der Satz des Pythagoras besagt: Das Quadrat der Hypotenuse entspricht der Summe der beiden Kathetenquadrate. Mit der Beschriftung, die ich gewählt habe, gilt also, c2=a2+b2. Laut Kathetensatz gilt für jede der beiden Katheten: Das Quadrat der Kathete ist gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und dem an die Kathete grenzenden Hypotenusenabschnitt. Für dieses Dreieck bedeutet dies a2=c×p und b2=c×q. Der Höhensatz lautet: Das Quadrat der Höhe entspricht genau dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte. Auf dieses Dreieck angewendet lautet die Formel h2=p×q. Kommen wir nun zur Vorgehensweise bei der Berechnung von Strecken in Figuren. Es sind drei Schritte, die du durchführen kannst. Als Erstes machst du dir eine Skizze, in der du die Strecken, die bekannt sind und die, die du suchst, einzeichnest. Danach musst du eine Strategie entwickeln, wie du die gesuchte Strecke bestimmen kannst. In Figuren, wie zum Beispiel der Pyramide, dem Würfel oder dem Kegel, suchst du rechtwinklige Dreiecke, mit deren Hilfe du die Unbekannten bestimmen kannst. Im letzten Schritt musst du die Sätze über rechtwinklige Dreiecke richtig anwenden, um die gesuchte Strecke bestimmen zu können. Wir wollen diese drei Schritte nun an einem Beispiel üben. Lisa verbringt ihren Sommerurlaub in Ägypten. An einem sonnigen Tag macht sie einen Ausflug zu den Pyramiden von Gizeh. Sie hat gehört, dass die Cheops-Pyramide, eine der Pyramiden von Giseh, die höchste Pyramide der Welt ist. Sie möchte gerne wissen, wie hoch diese ist, aber sie kann ja nicht einfach von der Spitze bis zur Mitte der Pyramide messen, da sie nicht in die Pyramide hineinkommt. Aber Lisa weiß sich zu helfen. Sie besorgt sich ein sehr langes Maßband und misst zunächst eine Seite der quadratischen Grundfläche, diese ist 230 Meter lang. Dann geht sie zu einer Ecke der Pyramide und läuft die Strecke vom dort bis zur Spitze. Diese Seitenkante mißt eine Länge von 214 Metern. Lisa weiß, dass diese Angaben reichen, damit sie sich die Höhe der Cheops-Pyramide ausrechnen kann und macht sich ans Werk. Kannst du ihr bei der Berechnung helfen? Als Erstes fertigen wir eine Skizze von der Pyramide an. Die Cheops-Pyramide ist eine gerade quadratische Pyramide, das heißt, dass die Höhe von der Spitze genau senkrecht auf der quadratischen Grundfläche steht. Die Höhe berührt diese genau im Mittelpunkt. Die Grundseite ist 230 Meter lang, ich nenne sie a. Die Seitenkante nenne ich s, sie ist 214 Meter lang. Wir wollen die Höhe h in Metern ausrechnen. Damit haben wir unsere Skizze mit den bekannten Strecken a und s und der gesuchten Strecke h. Jetzt müssen wir uns überlegen, wie wir die Länge von h berechnen können. Wenn ich diese Ecke mit dem Mittelpunkt des Quadrats verbinde, entsteht hier ein rechtwinkliges Dreieck, weil die Höhe senkrecht auf der Grundfläche steht. Ich nenne diese Strecke d. Wir könnten h also mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen, wenn wir die Strecke d kennen würden. Wie können wir die Länge von d ausrechen? Ich zeichne eine Strecke von dem Mittelpunkt des Quadrats zur vorderen Grundseite ein, die parallel zu den seitlichen Grundseiten ist. Da die Grundfläche ein Quadrat ist, entsteht wieder ein rechtwinkliges Dreieck. Weil die Höhe über den Mittelpunkt der Grundfläche steht, entsprechen sowohl diese, als auch diese Seite, genau der Hälfte der Grundseite a. Wir kennen also die Längen dieser beiden Seiten und können d mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen. Wir können diesen nun anwenden und so die Höhe der Cheops-Pyramide ausrechnen. Für dieses rechtwinklige Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras s2=h2+d2. Den Wert für d2 kennen wir nicht, können ihn aber mit Hilfe dieses rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Wir wenden wieder den Satz des Pythagoras an. d2=(a/2)2+(a/2)2. (a/2)2+(a/2)2 ist 2×(a/2)2. (a/2)2 können wir auch schreiben als a2/22, also a2/4 . Wir können 2 kürzen und das ergibt d2 = a2/2. In der ersten Formel können wir den Term d2 nun also ersetzen durch a2/2. Wir stellen nach h2 um, indem wir auf beiden Seiten a2/2 subtrahieren. Nun ziehen wir noch die Wurzel, dann haben wir eine Formel für h gefunden, in der nur die bekannten Strecken a und s vorkommen. h = √(s2 - a2/2). In die Formel setze wir für die Seitenkante s 214 Meter und für die Grundseite a 230 Meter ein. Den Term unter der Wurzel rechnen wir aus. (214m)2 - (230m)2/2 ergibt 19346 m2. Wir ziehen die Wurzel und das Ergebnis ist rund 139 Meter. Die Cheops-Pyramide ist also ungefähr 139 Meter hoch. Lisa freut sich, dass sie die Höhe der Cheops-Pyramide nur mit Hilfe von rechtwinkligen Dreiecken ausrechnen konnte und dass du ihr dabei geholfen hast. Ich fasse die Vorgehensweise beim Berechnen von Streckenlängen in Figuren zusammen. Als Erstes machst du dir eine Skizze mit allen bekannten und gesuchten Streckenlängen. Dann überlegst du dir, wie du vorgehen musst, um die gesuchten Strecken zu bestimmen. Anschließend musst du die Sätze über rechtwinklige Dreiecke anwenden, um die gesuchten Strecken zu bestimmen. Damit sind wir am Ende dieses Videos. Ich hoffe, es hat dir geholfen und du weißt jetzt, wie man Streckenlängen in Figuren berechnen kann. Mein Name ist Jonathan. Hoffentlich sehen wir uns bald wieder. Bis dahin wünsche ich dir viel Freude an der Mathematik.

2 Kommentare
  1. der rechte Winkel ist doch falsch eingezeichnet? Bei der Pyramide

    Von Deleted User 247835, vor mehr als 2 Jahren
  2. diese video hat mir sehr geholfen

    Von Maxbatje, vor fast 4 Jahren

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Kathetensatz und Höhensatz (1 Videos)

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Streckenlängen in Figuren berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Streckenlängen in Figuren berechnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe das allgemeine Vorgehen beim Berechnen von Streckenlängen in Figuren.

    Tipps

    Wenn du eine Aufgabe lösen sollst, ist es immer gut, dir in Form einer Zeichnung, sofern möglich, einen ersten Überblick zu verschaffen.

    Welche Sätze kennst du aus der Geometrie? Versuche die Voraussetzungen dieser Sätze in der Aufgabe zu erkennen.

    Du kennst einige Größen und willst eine ausrechnen. Hierfür musst du eine Gleichung aufstellen und diese lösen.

    Lösung

    Die Vorgehensweise zur Berechnung von Streckenlängen in Figuren kann in drei Schritte unterteilt werden, diese richten sich nach dem klassischen Weg zur Lösung geometrischer Problemstellungen:

    1. Zunächst fertigt man eine Skizze an, in welcher die bekannten und gesuchten Strecken eingezeichnet werden.
    2. Dann entwickelt man eine Strategie, wie die gesuchte Strecke bestimmt werden kann. Zum Beispiel kann man rechtwinklige Dreiecke in der Skizze suchen, welche zu der Lösung führen.
    3. Zuletzt wendet man Sätze über rechtwinklige Dreiecke an, um die gesuchte Strecke zu bestimmen.

  • Gib die Sätze der Satzgruppe des Pythagoras an.

    Tipps

    Vergleiche die Flächen der Quadrate.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

    In jedem der Sätze kommt ein- oder mehrmals ein Quadrat vor.

    Lösung

    Die Satzgruppe des Pythagoras, diese gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck:

    Zu sehen sind in dem nebenstehenden Dreieck

    • die Hypotenuse $c$ sowie
    • die Katheten $a$ und $b$.
    • Die Höhe $h$ auf die Hypotenuse $c$ teilt diese in die Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$.
    Der Satz des Pythagoras

    ... besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. In diesem Dreieck

    $a^2+b^2=c^2$.

    Der Kathetensatz

    ... besagt, dass das Quadrat einer Kathete gleich ist dem Produkt aus Hypotenuse und angrenzendem Hypotenusenabschnitt. In dem obigen Dreieck

    • $a^2=c\cdot p$ sowie
    • $b^2=c\cdot q$.
    Der Höhensatz

    ... besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich ist dem Produkt der Hypotenusenabschnitte. Das bedeutet in dem obigen Dreieck

    $h^2=p\cdot q$.

  • Berechne die Höhe der Pyramide.

    Tipps

    Übertrage das rechtwinklige Dreieck auf ein Blatt Papier und formuliere den Satz des Pythagoras.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Mithilfe dieses Dreiecks kann $d$ berechnet werden.

    Es gilt $\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2=d^2$.

    Verwende $\left(\frac ab \right)^2=\frac{a^2}{b^2}$.

    Lösung

    Lisa macht einen Ausflug zu den Pyramiden. Die Cheops-Pyramide soll die höchste der Welt sein.

    Die Seiten der quadratischen Grundfläche sind $230~m$ lang und die Seitenkanten $214~m$.

    Die Cheops-Pyramide ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

    In dem hier zu sehenden Bild ist bereits ein rechtwinkliges Dreieck zu erkennen, in welchem $h$ ein Kathete ist. Es gilt

    $s^2=h^2+d^2$.

    Nun ist $d$ nicht bekannt und muss also noch berechnet werden. Hierfür wird ein weiteres rechtwinkliges Dreieck betrachtet. Dieses entsteht, indem vom Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche eine Strecke senkrecht zu der vorderen Grundseite $a$ eingezeichnet wird. Dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, mit zwei gleich langen Katheten, in welchem gilt:

    $\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2=d^2$.

    Somit ist

    $\frac {a^2}4+\frac {a^2}4=\frac {a^2}2=d^2$.

    Dieses $d^2$ kann in der obigen Gleichung eingesetzt werden:

    $s^2=h^2+d^2=h^2+\frac {a^2}2$.

    Durch Subtraktion von $\frac {a^2}2$ erhält man

    $h^2=s^2-\frac {a^2}2$.

    Auf beiden Seiten wird die Wurzel gezogen:

    $h=\sqrt{s^2-\frac {a^2}2}$.

    Durch Einsetzen von $a=230~m$ und $s=214~m$ erhält man

    $s=\sqrt{214^2-\frac{230^2}2}=\sqrt{19346}\approx139$.

    Die Cheops-Pyramide ist also ungefähr $139$ Meter hoch.

  • Berechne die Länge der Seitenkante der Pyramide.

    Tipps

    Es gilt $d^2=20^2+20^2$.

    Nach dem Satz des Pythagoras ist

    $h^2+d^2=s^2$.

    Die Diagonale ist ungefähr $28,3~m$ lang.

    Rechne mit den Quadraten weiter. Dies vermeidet Rundungsfehler.

    Lösung

    Es gilt

    • zum einen $d^2+h^2=s^2$. Da in dieser Gleichung nur $h$ bekannt ist, muss noch $d$ berechnet werden:
    • $d^2=20^2+20^2$.
    Also ist $d^2=800$. Dieses $d^2$ kann in der oberen Gleichung eingesetzt werden

    $800+30^2=s^2$.

    Also ist $s^2=1700$. Nun kann man die Wurzel ziehen. Dies führt zu

    $s=\sqrt{1700}\approx 41,2$.

    Die Seitenkante ist also $41,2$ Meter lang.

  • Stelle die Gleichungen auf, mit deren Hilfe die Länge der Diagonalen eines Quaders berechnet werden können.

    Tipps

    Übertrage das blaue rechtwinklige Dreieck auf ein Dreieck und formuliere mit den gegebenen Größen den Satz des Pythagoras: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

    Du musst zweimal den Satz des Pythagoras anwenden.

    Achte auf die Bezeichnungen der Diagonalen.

    Lösung

    In dem roten rechtwinkligen Dreieck gilt

    $d_1^2+5^2=d^2$.

    Um $d$ zu berechnen, muss zunächst $d_1$ berechnet werden. Diese Diagonale der Grundfläche kann wiederum mit dem Satz des Pythagoras in der Grundfläche berechnet werden:

    $d_1^2=12^2+12^2$.

  • Berechne die Länge der Diagonalen des Quaders.

    Tipps

    Setze $d_1^2$ in der oberen der beiden Gleichungen ein.

    Ganz allgemein gilt in einem Quader mit den Seitenlängen $a$, $b$ und $c$

    $d^2=a^2+b^2+c^2$.

    Lösung

    In der Grundfläche gilt $d_1^2=12^2+12^2$.

    Dies kann in der Gleichung $d_1^2+5^2=d^2$ eingesetzt werden:

    $d^2=12^2+12^2+5^2=313$.

    Um $d$ zu berechnen, muss die Wurzel gezogen werden

    $d=\sqrt{313}\approx 17,7$.