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Streckenlängen in Figuren berechnen

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Die Autor*innen
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Jonathan Wolff
Streckenlängen in Figuren berechnen
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Streckenlängen in Figuren berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Streckenlängen in Figuren berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das allgemeine Vorgehen beim Berechnen von Streckenlängen in Figuren.

    Tipps

    Wenn du eine Aufgabe lösen sollst, ist es immer gut, dir in Form einer Zeichnung, sofern möglich, einen ersten Überblick zu verschaffen.

    Welche Sätze kennst du aus der Geometrie? Versuche die Voraussetzungen dieser Sätze in der Aufgabe zu erkennen.

    Du kennst einige Größen und willst eine ausrechnen. Hierfür musst du eine Gleichung aufstellen und diese lösen.

    Lösung

    Die Vorgehensweise zur Berechnung von Streckenlängen in Figuren kann in drei Schritte unterteilt werden, diese richten sich nach dem klassischen Weg zur Lösung geometrischer Problemstellungen:

    1. Zunächst fertigt man eine Skizze an, in welcher die bekannten und gesuchten Strecken eingezeichnet werden.
    2. Dann entwickelt man eine Strategie, wie die gesuchte Strecke bestimmt werden kann. Zum Beispiel kann man rechtwinklige Dreiecke in der Skizze suchen, welche zu der Lösung führen.
    3. Zuletzt wendet man Sätze über rechtwinklige Dreiecke an, um die gesuchte Strecke zu bestimmen.

  • Berechne die Höhe der Pyramide.

    Tipps

    Übertrage das rechtwinklige Dreieck auf ein Blatt Papier und formuliere den Satz des Pythagoras.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Mithilfe dieses Dreiecks kann $d$ berechnet werden.

    Es gilt $\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2=d^2$.

    Verwende $\left(\frac ab \right)^2=\frac{a^2}{b^2}$.

    Lösung

    Lisa macht einen Ausflug zu den Pyramiden. Die Cheops-Pyramide soll die höchste der Welt sein.

    Die Seiten der quadratischen Grundfläche sind $230~m$ lang und die Seitenkanten $214~m$.

    Die Cheops-Pyramide ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

    In dem hier zu sehenden Bild ist bereits ein rechtwinkliges Dreieck zu erkennen, in welchem $h$ ein Kathete ist. Es gilt

    $s^2=h^2+d^2$.

    Nun ist $d$ nicht bekannt und muss also noch berechnet werden. Hierfür wird ein weiteres rechtwinkliges Dreieck betrachtet. Dieses entsteht, indem vom Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche eine Strecke senkrecht zu der vorderen Grundseite $a$ eingezeichnet wird. Dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, mit zwei gleich langen Katheten, in welchem gilt:

    $\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2=d^2$.

    Somit ist

    $\frac {a^2}4+\frac {a^2}4=\frac {a^2}2=d^2$.

    Dieses $d^2$ kann in der obigen Gleichung eingesetzt werden:

    $s^2=h^2+d^2=h^2+\frac {a^2}2$.

    Durch Subtraktion von $\frac {a^2}2$ erhält man

    $h^2=s^2-\frac {a^2}2$.

    Auf beiden Seiten wird die Wurzel gezogen:

    $h=\sqrt{s^2-\frac {a^2}2}$.

    Durch Einsetzen von $a=230~m$ und $s=214~m$ erhält man

    $s=\sqrt{214^2-\frac{230^2}2}=\sqrt{19346}\approx139$.

    Die Cheops-Pyramide ist also ungefähr $139$ Meter hoch.

  • Stelle die Gleichungen auf, mit deren Hilfe die Länge der Diagonalen eines Quaders berechnet werden können.

    Tipps

    Übertrage das blaue rechtwinklige Dreieck auf ein Dreieck und formuliere mit den gegebenen Größen den Satz des Pythagoras: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

    Du musst zweimal den Satz des Pythagoras anwenden.

    Achte auf die Bezeichnungen der Diagonalen.

    Lösung

    In dem roten rechtwinkligen Dreieck gilt

    $d_1^2+5^2=d^2$.

    Um $d$ zu berechnen, muss zunächst $d_1$ berechnet werden. Diese Diagonale der Grundfläche kann wiederum mit dem Satz des Pythagoras in der Grundfläche berechnet werden:

    $d_1^2=12^2+12^2$.

  • Berechne die Länge der Diagonalen des Quaders.

    Tipps

    Setze $d_1^2$ in der oberen der beiden Gleichungen ein.

    Ganz allgemein gilt in einem Quader mit den Seitenlängen $a$, $b$ und $c$

    $d^2=a^2+b^2+c^2$.

    Lösung

    In der Grundfläche gilt $d_1^2=12^2+12^2$.

    Dies kann in der Gleichung $d_1^2+5^2=d^2$ eingesetzt werden:

    $d^2=12^2+12^2+5^2=313$.

    Um $d$ zu berechnen, muss die Wurzel gezogen werden

    $d=\sqrt{313}\approx 17,7$.

  • Gib die Sätze der Satzgruppe des Pythagoras an.

    Tipps

    Vergleiche die Flächen der Quadrate.

    Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

    In jedem der Sätze kommt ein- oder mehrmals ein Quadrat vor.

    Lösung

    Die Satzgruppe des Pythagoras, diese gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck:

    Zu sehen sind in dem nebenstehenden Dreieck

    • die Hypotenuse $c$ sowie
    • die Katheten $a$ und $b$.
    • Die Höhe $h$ auf die Hypotenuse $c$ teilt diese in die Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$.
    Der Satz des Pythagoras

    ... besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. In diesem Dreieck

    $a^2+b^2=c^2$.

    Der Kathetensatz

    ... besagt, dass das Quadrat einer Kathete gleich ist dem Produkt aus Hypotenuse und angrenzendem Hypotenusenabschnitt. In dem obigen Dreieck

    • $a^2=c\cdot p$ sowie
    • $b^2=c\cdot q$.
    Der Höhensatz

    ... besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich ist dem Produkt der Hypotenusenabschnitte. Das bedeutet in dem obigen Dreieck

    $h^2=p\cdot q$.

  • Berechne die Länge der Seitenkante der Pyramide.

    Tipps

    Es gilt $d^2=20^2+20^2$.

    Nach dem Satz des Pythagoras ist

    $h^2+d^2=s^2$.

    Die Diagonale ist ungefähr $28,3~m$ lang.

    Rechne mit den Quadraten weiter. Dies vermeidet Rundungsfehler.

    Lösung

    Es gilt

    • zum einen $d^2+h^2=s^2$. Da in dieser Gleichung nur $h$ bekannt ist, muss noch $d$ berechnet werden:
    • $d^2=20^2+20^2$.
    Also ist $d^2=800$. Dieses $d^2$ kann in der oberen Gleichung eingesetzt werden

    $800+30^2=s^2$.

    Also ist $s^2=1700$. Nun kann man die Wurzel ziehen. Dies führt zu

    $s=\sqrt{1700}\approx 41,2$.

    Die Seitenkante ist also $41,2$ Meter lang.

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