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Winkel am Kreis 05:46 min

Textversion des Videos

Transkript Winkel am Kreis

Hallo. Hier ist Mandy. Heute erkläre ich dir etwas über die Winkel am Kreis. Dazu wird dir zuerst erklärt, was ein Peripheriewinkel ist, und dann, was der Peripheriewinkelsatz besagt. Nachdem ich dir erklärt habe, was ein Zentriwinkel ist, erläutere ich dir den Peripherie-Zentriwinkelsatz. Zum Schluss erkläre ich noch den Satz des Thales. Beginnen wir mit der Definition des Peripheriewinkels. Dazu hilft uns eine Zeichnung. Diese besteht aus einem Kreis mit dem Mittelpunkt M und einer Sehne, welche die Endpunkte A und B hat. Dann entsteht der Peripheriewinkel, wenn man zwei Sehnen einzeichnet, die sich in einem Punkt D schneiden und jeweils durch die Punkte A und B verlaufen. Damit bildet sich ein Winkel. Nennen wir ihn zum Beispiel β. Da der Scheitelpunkt des Winkels auf der Peripherie des Kreises liegt, heißt er Peripheriewinkel. Er wird auch als Umfangswinkel bezeichnet. Halten wir das als Definition fest: Ein Peripheriewinkel oder Umfangswinkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt ein Punkt auf der Peripherie des Kreises ist und dessen Schenkel Sehnen des Kreises sind. In unserer Zeichnung wird er mit β bezeichnet. Mit diesem Wissen können wir nun den Peripheriewinkelsatz formulieren. Dazu müssen wir aber noch einen weiteren Peripheriewinkel einzeichnen. Der Peripheriewinkelsatz besagt nun, dass alle Peripheriewinkel über dem gleichen Kreisbogen gleich groß sind. Demnach können wir auch den Winkel im Punkt C mit β bezeichnen. Schreiben wir uns den Satz jetzt noch einmal auf: Alle Peripheriewinkel über dem gleichen Kreisbogen sind gleich groß. Kommen wir nun zum Zentriwinkel. Hier haben wir den Fall, dass der Scheitelpunkt des Winkels nicht auf der Peripherie des Kreises liegt, sondern der Mittelpunkt des Kreises selbst ist. Dann heißt dieser Winkel Zentriwinkel. Man nennt ihn auch Mittelpunktswinkel. Wir bezeichnen ihn hier mit α. Schreiben wir uns nun noch die Definition auf: Ein Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel ist ein Winkel, dessen Scheitelpunkt der Mittelpunkt des Kreises ist. In der Zeichnung ist er mit α bezeichnet. Die Schenkel schneiden den Kreis jeweils einmal. Ausgehend von den beiden Definitionen des Peripheriewinkels und des Zentriwinkels können wir nun den Peripherie-Zentriwinkelsatz formulieren. Er besagt: Jeder Zentriwinkel über einem Kreisbogen ist doppelt so groß wie der dazugehörige Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen. Und jetzt nochmal zum Mitschreiben: Jeder Zentriwinkel über einem Kreisbogen ist doppelt so groß wie der dazugehörige Peripheriewinkel. In einer Formel ausgedrückt heißt das: α = 2*β, beziehungsweise umgestellt: β = α/2 oder α Halbe. Zum Schluss haben wir jetzt noch den Satz des Thales. Ausgangspunkt ist diesmal ein Halbkreis. Die vorher betrachtete Sehne ist diesmal der Durchmesser des Kreises. Konstruiert man dazu ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, so erhält man immer ein rechtwinkliges Dreieck. Wenn wir das mit dem Geodreieck überprüfen, können wir die Annahme bestätigen. Diesen Halbkreis nennt man Thaleskreis. Kurz formuliert heißt das: Alle Winkel am Halbkreisbogen sind rechte Winkel. Nun sind wir schon wieder am Ende des Videos. Wichtige Botschaften, die du mitnehmen musst, sind, dass alle Peripheriewinkel über der gleichen Sehne gleich groß sind, dass ein Zentriwinkel doppelt so groß ist wie der Peripheriewinkel über der gleichen Sehne, und dass alle Winkel am Halbkreisbogen rechte Winkel sind. Und nun sage ich bye bye und bis zum nächsten Mal!

7 Kommentare
  1. Könntet ihr auch mal ein Video machen das sich Spitzer Winkel , Rechter Winkel ... ? #Berlin

    Von Leon S., vor mehr als einem Jahr
  2. das video hat mir sehr geholfen danke dafür XD

    Von Mafafe, vor etwa 2 Jahren
  3. Danke für die tolle erklärung

    Von Serious Omega, vor etwa 2 Jahren
  4. das Video ist sehr gut erklrt und wist sehr hilfreich

    Von Nicky P., vor etwa 3 Jahren
  5. Das Video ist sehr gut man kann es sehr gut verstehen :-)

    Von Ostseeagentur Preis, vor mehr als 3 Jahren
  1. Danke :)

    Von Scratchi, vor mehr als 4 Jahren
  2. vielen rechthertzlichen dank für diese wunderbare erklärung! :)

    Von Iris Dd, vor etwa 5 Jahren
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Umfangswinkelsatz und Mittelpunktswinkelsatz (2 Videos)

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Winkel am Kreis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Winkel am Kreis kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere Peripheriewinkel und Zentriwinkel.

    Tipps

    Der Scheitel eines Winkels ist der Anfangspunkt der beiden den Winkel bildenden Strahlen

    Die Peripherie bezeichnet die Umfangslinie des Kreises, also den Kreisrand.

    Lösung

    In diesem Bild siehst du sowohl einen Peripheriewinkel (hier $\beta$) als auch einen Zentriwinkel (hier $\alpha$).

    Hier siehst du die Definitionen dieser beiden Begriffe:

    Peripheriewinkel

    Peripheriewinkel werden auch Umfangswinkel genannt. Der Scheitelpunkt eines Peripheriewinkels ist ein Punkt $D$, welcher auf der Peripherie des Kreises liegt. Die Peripherie eines Kreises ist die Umfangslinie. Die beiden Schenkel $\overline{DA}$ sowie $\overline{DB}$ sind Sehnen des Kreises.

    Zentriwinkel

    Diese werden auch Mittelpunktswinkel genannt. Deren Scheitelpunkt ist der Mittelpunkt $M$ des Kreises. Die Schenkel sind dann Radien des Kreises.

  • Benenne die Aussage des Satzes von Thales.

    Tipps

    Das Dreieck $\Delta_{ABC}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck.

    Die beiden Winkel sind gleich groß. Es gilt $\gamma=\delta$.

    Die beiden Winkel bei $A$ und $B$ summieren sich zu $90^\circ$.

    Lösung

    Du zeichnest über einer Strecke $\overline{AB}$ einen Halbkreis.

    Der Satz des Thales besagt, dass für jeden Punkt $C$ auf der Peripherie des Halbkreises das Dreieck $\Delta_{ABC}$ ein rechtwinkliges Dreieck ist, mit dem rechten Winkel in $C$.

    Für das obige Bild bedeutet dies $\gamma=\delta=90^\circ$.

    Übrigens: Als Punkt auf der Peripherie darf keiner der Endpunkte $A$ oder $B$ gewählt werden, da sonst kein Dreieck entsteht.

  • Beschreibe die Besonderheit bei Peripheriewinkeln und Zentriwinkeln.

    Tipps

    Zeichne dir eine andere Sehne und die zugehörigen Peripheriewinkel ein. Vergleiche sie mit denen in der gegebenen Zeichnung.

    Es gilt zum Beispiel $\gamma=\frac12\alpha$.

    Lösung

    Hier siehst du zwei Peripheriewinkel $\beta$ und $\gamma$ über dem gleichen Kreisbogen.

    Der Peripheriewinkelsatz besagt, dass alle Peripheriewinkel über dem gleichen Kreisbogen (der gleichen Sehne) gleich groß sind. Also gilt $\beta=\gamma$.

    Du kannst auch eine Beziehung zwischen dem Zentriwinkel über einem Kreisbogen und dem zugehörigen Peripheriewinkel festellen.

    Der Peripherie-Zentriwinkelsatz besagt: Jeder Zentriwinkel über einem Kreisbogen ist doppelt so groß wie der zugehörige Peripheriewinkel.

    Das bedeutet in dem nebenstehenden Bild: $\alpha=2\beta$ oder auch $\alpha=2\gamma$. Umgekehrt kannst du auch feststellen, dass der Peripheriewinkel halb so groß ist wie der Zentriwinkel. Es gilt $\beta=\gamma=\frac12\alpha$.

  • Beschreibe die Konstruktion eines $30^\circ$-Winkels mit Hilfe von Peripherie- und Zentriwinkeln.

    Tipps

    Ein Peripheriewinkel zu einem Zentriwinkel ist immer halb so groß wie dieser Zentriwinkel.

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und damit auch alle Winkel gleich groß.

    Lösung

    In dieser Aufgabe konstruierst du einen Winkel mit der Größe $30^\circ$.

    Wie kommst du zu diesem Winkel? Du konstruierst diesen in mehreren Schritten.

    Schritt 1

    Im ersten Schritt zeichnest du auf dem Rand eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ einen Punkt (hier $A$) ein. Nun zeichnest du einen weiteren Kreis mit dem Radius $r$ und $A$ als Mittelpunkt ein. Dieser Kreis schneidet den ersten in zwei Punkten. Einen Schnittpunkt davon bezeichnest du mit $B$.

    Schritt 2

    Verbinde die drei Punkte $A$, $B$ und $M$. Die Strecken zwischen diesen Punkten sind durch die Konstruktion gleich groß, sodass dies das gleichseitige Dreieck $\Delta_{ABM}$ ergibt.

    Da das Dreieck gleichseitig ist, sind alle drei Innenwinkel gleich groß. Jeder Winkel muss also $60^\circ$ groß sein. Der Zentriwinkel $\delta$ beträgt somit $60^\circ$.

    Schritt 3

    Zeichne nun einen Punkt $C$ auf der Peripherie des ersten Kreises ein. So erhältst du den Peripheriewinkel $\gamma$. Dieser ist laut Peripherie-Zentriwinkelsatz halb so groß wie der zugehörige Zentriwinkel. Es gilt also $\gamma= \frac12\cdot \delta=\frac12\cdot 60^\circ=30^\circ$.

  • Bestimme den Zentriwinkel und die Peripheriewinkel.

    Tipps

    Der Scheitelpunkt eines Peripheriewinkels ist ein beliebiger Punkt (hier $D$), der auf der Peripherie des Kreises liegt. Die beiden Schenkel $\overline{DA}$ sowie $\overline{DB}$ sind Sehnen des Kreises.

    Unter der Peripherie eines Kreises versteht man den Kreisrand.

    Der Scheitelpunkt des Zentripunktes ist der Mittelpunkt $M$ des Kreises.

    In diesem Bild ist $\alpha$ der Zentriwinkel.

    Drei der in der Aufgabe abgebildeten Winkel sind Peripheriewinkel.

    Lösung

    Im Mittelpunkt $M$ erkennst du den Zentriwinkel $\delta$.

    Die drei Punkte $C_1$, $C_2$ sowie $C_3$ auf der Peripherie legen jeweils mit den Strecken nach $A$ beziehungsweise $B$ einen Peripheriewinkel fest. Diese sind also die Winkel $\gamma_1$, $\gamma_2$ sowie $\gamma_3$.

    Im Bezug auf die Sehne $\overline{AB}$ sind weder $\alpha$ noch $\beta$ Peripheriewinkel. $\beta$ ist zum Beispiel ein Peripheriewinkel im Bezug auf die Sehne $\overline{AC_1}$.

  • Wende den Peripherie-Zentriwinkelsatz und den Peripheriewinkelsatz an, um den Satz des Thales nachzuweisen.

    Tipps

    Verwende zunächst den Peripherie-Zentriwinkelsatz: Jeder Zentriwinkel über einem Kreisbogen ist doppelt so groß wie der zugehörige Peripheriewinkel.

    Peripheriewinkel über dem gleichen Kreisbogen sind immer gleich groß.

    Lösung

    Der Satz des Thales besagt: Für jeden Punkt $C$ auf der Peripherie des Halbkreises über der Strecke $\overline{AB}$ ist das Dreieck $\Delta_{ABC}$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel in $C$.

    Wir schauen uns erst einmal an, ob der Winkel in $C$ tatsächlich ein rechter Winkel ist. Hierfür verwenden wir den Peripherie-Zentriwinkelsatz.

    Der betrachtete Zentriwinkel ist der Winkel im Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$, dem Mittelpunkt des Kreises. Dieser Winkel ist ein gestreckter Winkel. Also gilt $\alpha=180^\circ$. Wenn du nun den Winkel in $C$ betrachtest, erhältst du den zugehörigen Peripheriewinkel. Da der Zentriwinkel doppelt so groß ist wie ein zugehöriger Peripheriewinkel, gilt $180^\circ=2\gamma$. Eine Division durch $2$ ergibt $\gamma=90^\circ$.

    Für jeden weiteren Punkt (außer $A$ und $B$) auf dem Rand des Halbkreises gilt, dass der Winkel in diesem Punkt ein Peripheriewinkel zu dem gleichen Kreisbogen ist. Da nach dem Peripheriewinkelsatz alle diese Peripheriewinkel gleich groß sind, kannst du folgern, dass jeder Punkt auf dem Rand des Halbkreises (außer $A$ und $B$) mit $A$ und $B$ ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Der rechte Winkel befindet sich in dem Punkt, der auf der Peripherie des Kreises liegt.

    Auf diese Weise kannst du den Satz des Thales beweisen.