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Parallelprojektion 07:51 min

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Transkript Parallelprojektion

Hallo, ich bin Lennart und heute erkläre ich dir die Parallelprojektion und wie man eine Mehrtafelprojektion, welche ein besonderer Fall der Parallelprojektion ist, konstruiert. Dazu wiederhole ich zunächst kurz den Unterschied zwischen einer zentralen und einer Parallelprojektion, danach zeige ich dir die wichtigsten Eigenschaften der Parallelprojektion und welche Form der Parallelprojektion es gibt. Anhand eines Beispiels werde ich dir dann zeigen, wie man eine Mehrtafelprojektion konstruiert. Zum Schluss werde ich noch einmal alles Wichtige zusammenfassen. Sehen wir uns nun also den Unterschied zwischen der Zentral- und der Parallelprojektion an. Projektionen kann man sich im Prinzip als Schatten vorstellen. Wenn Lichtstrahlen auf ein Objekt stoßen, projizieren sie einen Schatten auf eine Projektionsebene, z.B. den Boden zu euren Füßen, wobei die Lichtstrahlen die Projektionsgeraden sind. Bei diesem Beispiel hier sind die einzelnen Sonnenstrahlen, also die Projektionsgeraden, parallel zueinander und genau so funktioniert die Parallelprojektion. Doch es gibt auch Fälle, wo die Projektionsgeraden nicht parallel zueinander sind und sich in einem Punkt schneiden. Auch hier kann man Schatten als Beispiel nehmen. Nehmen wir z.B. eine Laterne als Lichtquelle. Das Licht trifft auf eine Mülltonne und wirft einen Schatten. Diesmal kommen die Projektionsgeraden aus einem Punkt und sind nicht parallel zueinander. In diesem Fall würde man von einer Zentralprojektion sprechen. Die Parallelprojektion hat folgende Eigenschaften, um diese zu zeigen benutze ich die Parallelprojektion, um einen Würfel auf meinem Whiteboard darzustellen. Die erste nützliche Eigenschaft ist, dass Strecken auf Strecken und Geraden auf Geraden abgebildet werden. Wie du siehst, sind alle Kanten des Würfels nach der Projektion immer noch gerade. Außerdem bleiben parallele Geraden parallel, also parallele Geraden werden auf parallele Geraden abgebildet. Wie du siehst, sind auch hier sämtliche Kanten, die beim Würfel parallel sind, auch nach der Projektion parallel. Eine weitere Eigenschaft ist, dass zur Bildebene parallele Figuren auf kongruente Figuren abgebildet werden, das heißt z.B. dass dieses und dieses Viereck, welche sich parallel zur Bildebene befinden, eins zu eins abgebildet werden. Es gibt zwei Arten von Parallelprojektionen, schiefe und senkrechte Parallelprojektion. Ein Beispiel für eine schiefe Parallelprojektion ist das Schrägbild, welches du bestimmt schon aus dem Geometrieunterricht kennst. Beim Schrägbild treffen die Projektionsgeraden schräg auf die Projektionsebene. Ein Beispiel für eine senkrechte Parallelprojektion ist die Mehrtafelprojektion. Diese wird meist von Architekten für Gebäudegrundrisse oder von Ingenieuren für Baupläne benutzt. Bei ihr treffen die Projektionsgeraden senkrecht auf die Projektionsebene. Der Vorteil bei dieser Projektionsart ist, dass man die genauen Maße eines Objekts unverzerrt sehen kann. Eine Mehrtafelprojektion von unserem blauen Würfel würde in etwa so aussehen. Dies ist eine Dreitafelprojektion, da der Würfel auf drei Ebenen projiziert wird. Dabei ist das untere Bild der Grundriss. Der Grundriss entsteht, wenn man das Objekt senkrecht auf die horizontale Grundebene projiziert. Er zeigt also genau das, was du siehst, wenn du das Objekt von oben betrachtest. Das Bild oben links ist der Aufriss. Dieser entsteht, wenn man das Objekt senkrecht auf die hintere vertikale Ebene projiziert, also wenn man sich das Objekt genau von vorne ansieht. Das obere rechte Bild, ist der Seitenriss, der entsteht, wenn wir das Objekt senkrecht auf die andere vertikale Ebene projizieren. Man sieht sich das Objekt sozusagen von der Seite an. Dabei haben diese Zwischenräume auch eine Bedeutung. Wenn man nämlich die Dreitafelprojektion an den Rissachsen falten würde, könnte man den Würfel so hineinhalten, dass er sich genau zwischen Grundriss, Aufriss und Seitenriss befindet. Oft wird auch der Seitenriss weggelassen und nur der Grundriss und Aufriss gezeichnet. Dies nennt man dann die Zweitafelprojektion. Wie man diese konstruiert, zeige ich dir anhand eines Beispiels. Nehmen wir dieses dreiseitige Prisma. Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen 6cm, 8cm und 10cm. Außerdem ist das Prisma 15 cm hoch. Als erstes zeichnest du die Rissachse. Einen Zentimeter oberhalb der Rissachse zeichnest du den Aufriss, also das Prisma, wie es von vorne aussieht. In diesem Fall ist es die Grundfläche des Prismas. Nun zeichnest du von jedem Eckpunkt des Aufrisses eine dünne Linie, senkrecht zur Rissachse nach unten. Einen Zentimeter unterhalb der Rissachse fängst du nun an, den Grundriss zu zeichnen. Dazu fängst du mit den Linien an, die senkrecht zur Rissachse stehen. Hast du dies getan, brauchst du nur noch den Grundriss zu vervollständigen. Wenn du möchtest, kannst du nun die dünnen Hilfslinien wegradieren, und fertig ist die Zweitafelprojektion. Ich fasse noch einmal das Wichtigste zusammen: Die wichtigsten Eigenschaften einer Parallelprojektion sind, dass Geraden auf Geraden und damit Strecken auf Strecken abgebildet werden. Parallele Geraden bleiben parallel und außerdem werden zur Bildebene parallele Figuren auf kongruente Figuren abgebildet. Dabei gibt es zwei Arten von Parallelprojektionen, die schiefe und die senkrechte Parallelprojektion, wobei ich Parallelprojektion mit PP abgekürzt habe. Bei der schiefen Parallelprojektion, also wie z.B. beim Schrägbild, fallen die Projektionsgeraden schräg auf die Projektionsebene. Bei der senkrechten Parallelprojektion, wie z.B. die Mehrtafelprojektion, fallen sie senkrecht auf die Projektionsebene. Eine Mehrtafelprojektion konstruierst du wie folgt: Zunächst zeichnest du die Rissachse, dann zeichnest du 1cm darüber den Aufriss, also die Vorderansicht des Objekts. Dann ziehst du von jedem Eckpunkt des Aufrisses dünne Hilfslinien senkrecht zur Rissachse nach unten. Nun zeichnest du den Grundriss. Erst die senkrechten Linien und dann vervollständigst du den Grundriss. Ich hoffe, du hast alles verstanden. Tschüss und bis zum nächsten Mal.

2 Kommentare
  1. Hallo Nati500,
    das hast du gut erkannt. Man kann auch mit Vektoren oder Matrizen solche Projektionen durchführen. Zum Beispiel kann man bestimmte Figuren oder Körper im dreidimensionalen Koordinatensystem auf die Koordinatenebenen projizieren. Das kannst du dir dann so vorstellen wie der Schatten der entsteht, wenn eine Lichtquelle aus einer bestimmten Richtung kommt, den Körper anstrahlt und auf eine der Koordinatenebenen gerichtet ist. Dafür müsste man dann die Schnittpunkte der Geraden, die durch die Richtung der Lichtquelle und die zu projizierenden Punkte gegeben sind, mit den Koordinatenebenen berechnen. Das aber nur ganz kurz an dieser Stelle, da das ja eher zur analytischen Geometrie gehört.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Florian H., vor 11 Monaten
  2. hat das was mit den Vektoren zu tun?

    Von Nati500, vor 11 Monaten

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Parallelprojektion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parallelprojektion kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die Eigenschaften einer Parallelprojektion.

    Tipps

    Ein Schrägbild ist ein Beispiel für eine schiefe Parallelprojektion.

    Eine Parallelprojektion kannst du dir vorstellen wie einen Schatten, der durch parallel einfallende Strahlen erzeugt wird.

    Lösung

    Die wichtigsten Eigenschaften einer Parallelprojektion sind:

    1. Strecken werden auf Strecken und Geraden auf Geraden abgebildet.
    2. Parallele Geraden werden auf parallele Geraden abgebildet.
    3. Zur Bildebene parallele Figuren werden auf kongruente Figuren abgebildet.

  • Beschreibe die Blickrichtungen bei einer Dreitafelprojektion.

    Tipps

    Du hast vielleicht schon einmal von dem Grundriss einer Wohnung oder eines Hauses gehört.

    Dies ist der Grundriss eines Schulgeländes.

    Lösung

    Bei der Dreitafelprojektion wird ein Objekt aus drei verschiedenen Blickrichtungen gezeichnet:

    • von oben, dann spricht man von dem Grundriss,
    • von vorne, dann spricht man von dem Aufriss sowie
    • von der Seite, dann spricht man von dem Seitriss.
    „Riss“ kommt von „anreißen“. Das bedeutet: Zeichnen von Maßlinien. Dies kann man zum Beispiel bei einem Grundriss sehen.

  • Erstelle eine Zweitafelprojektion von einem Prisma mit dreieckiger Grundfläche.

    Tipps

    Ohne Risskante kann keine Mehrtafelprojektion durchgeführt werden.

    Wie beim Erstellen eines Schrägbildes startest du mit dem Zeichnen einer Seitenfläche: in diesem Fall mit der Grundfläche.

    In der Zweitafelprojektion sind der Grund- und der Aufriss zu sehen.

    Lösung

    Man konstruiert so eine Zweitafelprojektion.

    1. Man beginnt mit der Risskante.
    2. Etwas oberhalb der Risskante wird die Grundseite gezeichnet. In diesem Fall ein rechtwinkliges Dreieck.
    3. Nun werden von jedem Eckpunkt des Dreiecks Hilfslinien senkrecht zur Risskante gezeichnet.
    4. Der Grundriss wird eingezeichnet. Dabei werden die Maße des Originals entweder direkt oder maßstabsgetreu übernommen.
    5. Die Hilfslinien können entfernt werden: Fertig ist die Zweitafelprojektion eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche.
  • Untersuche, welche Schritte nicht zur Erstellung der Zweitafelprojektion eines Zylinders gehören.

    Tipps

    Zur Erstellung einer Zweitafelprojektion wird zunächst der Riss gezeichnet und etwas darüber eine Fläche. In diesem Fall der Kreis als Grundfläche des Zylinders.

    Danach werden Hilfslinien eingezeichnet.

    Nimm dir, sofern du eine zur Hand hast, eine Getränkedose. Diese ist oft ein Zylinder.

    Lösung

    Die Seitenansicht eines Zylinders ist ein Rechteck, die Grundfläche ist ein Kreis.

    • Bis zu den Hilfslinien ist alles richtig.
    • Die nächsten beiden Bilder sind nicht richtig, da die Seitenansicht des Zylinders ein Rechteck ist. Das heißt die begrenzenden Kanten sind gerade.
    • Das vorletzte Bild ist wieder richtig: Es zeigt, bis auf die Hilfslinien, die Zweitafelprojektion eines Zylinders.
    • Das letzte Bild ist wiederum falsch, da die Seitenansicht kein Rechteck ist.

  • Prüfe, welche Zweitafelprojektion zu dem räumlichen Objekt gehört.

    Tipps

    Schaue dir zunächst die Grundfläche und die Seitenflächen dieser Pyramide an.

    Die entsprechende Projektion hängt auch immer von dem Blickwinkel ab.

    Eine der Zweitafelprojektionen ist richtig.

    Lösung

    Die Grundfläche der Pyramide ist ein Quadrat und die Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke.

    Sowohl in dem 2. als auch 3. Bild von links ist jeweils das Quadrat zu erkennen. Je nachdem von welcher Seite man auf die Pyramide schaut, sieht man auf dem 2. Bild ein gleichschenkliges Seitendreieck oder man sieht genau auf die Kante zwischen zwei Seitendreiecken auf dem 3. Bild. Das 3. Bild ist aber keine Zweitafelprojektion, da das Quadrat um 45° im Uhrzeigersinn gedreht werden müsste. Die Linie in dem Dreieck muss genau auf eine Kante stoßen. Das ist hier nicht der Fall.

    Also ist nur das 2. Bild von links eine Zweitafelprojektion der Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

  • Ordne der Zweifelderprojektion das räumliche Objekt zu.

    Tipps

    Schau dir bei der jeweiligen Figur die Seitenflächen an.

    Falls du eines der Objekte zu Hause hast, schaue es dir von verschiedenen Seiten an.

    Hast du eine solche Verpackung zu Hause?

    Lösung

    Anhand der Seitenflächen und / oder Grundflächen kann man die Zweitafelprojektionen den räumlichen Objekten zuordnen:

    A: Hier ist ein Kreis und ein gleichschenkliges Dreieck zu sehen. Der Kreis ist die Grundfläche eines Kegels. Wenn man sich den Kegel von der Seite anschaut, sieht man ein gleichschenkliges Dreieck.

    B: Die sechseckige Grundfläche und als Seitenansicht die Verbindungskante zweier Seitendreiecke, gehören zu der Pyramide mit sechseckiger Grundfläche.

    C: Beide Ansichten sind Quadrate: Hier handelt es sich um einen Quader.

    D: Eine Fläche ist ein Kreis und eine Fläche ein Rechteck. Dies ist die Zweitafelprojektion eines Zylinders.

    Eine Kugel würde bei einer Zweitafelprojektion aus zwei Kreisen bestehen.