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y-Achsen-Abschnitt einer linearen Funktion 04:28 min

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Transkript y-Achsen-Abschnitt einer linearen Funktion

Hallo. Wenn Du weißt, was lineare Funktionen sind, dann können wir uns jetzt mal eine kleine Spezialität angucken, und zwar den y-Achsen-Abschnitt. Wie Du ja weißt, sind lineare Funktionen, Funktionen mit einer Funktionsgleichung der Form y = m * x + b und der y-Achsen-Abschnitt ist b. Beziehungsweise, die Zahl, die man für b einsetzt, wenn man eine konkrete Funktion vor sich hat. Dann können wir uns das mal grafisch angucken. Wenn wir also einen Graphen einer Funktion haben, der zum Beispiel so verläuft, das ist eine Gerade, zeichne ich jetzt einfach mal so aus der Hand. Dann ist der y-Achsen-Abschnitt die Zahl, die dort steht, wo der Graph die y-Achse schneidet. So, fertig. Wenn Dir das jetzt alles zu knapp war, ich kann den Film auch nochmal zurückspulen und nochmal von vorne anfangen und das mal in ausführlich machen. Also dann, los geht es. (5 Sek.) Hallo. Lineare Funktionen haben y-Achsen-Abschnitte und was das ist, können wir uns jetzt mal ansehen. Lineare Funktionen erstmal, sind ja Funktionen mit Funktionsgleichungen der Form y = m * x + b. Und wir können uns jetzt einfach mal eine konkrete Funktion dazu ansehen. Zum Beispiel die hier, y = -¼ * x – 3. Also da ist jetzt für m –¼ eingesetzt worden und für b ist -3 eingesetzt worden. Was kann man mit solchen Funktionen machen? Man kann den Graphen zeichnen, da braucht man erst eine Wertetabelle. Habe ich hier schon mal vorbereitet. Man setzt zum Beispiel 0 ein für x und rechnet dann den Funktionswert aus. Oder man setzt für x eins ein und rechnet dann den Funktionswert aus. Man kann dann diese Wertepaare in ein Koordinatensystem eintragen und den Graphen zeichnen. Ich werde mich mal hier auf diese beiden Werte stürzen, weil man ja nur zwei Werte braucht, um eine Gerade zeichnen zu können. Bei minus zwei ist der y-Wert -2,5 und bei zwei ist der y-Wert gleich -3,5. Jetzt brauche ich nur noch die beiden hier verbinden und dann haben wir schon den Funktionsgraphen. Dieser Funktionsgraph schneidet jetzt die y-Achse. Das geht nicht anders, immer wenn man Funktionsgraphen linearer Funktionen zeichnet, schneiden diese Graphen die y-Achse an einer bestimmten Stelle. Das ist hier jetzt, können wir ablesen, bei minus drei. Der y-Achsen-Abschnitt sollte vom Wortsinn her, eigentlich ein Abschnitt der y-Achse sein, ist er aber nicht. Wenn man den y-Achsen-Abschnitt angibt, gibt man die Zahl an, die hier steht, wo der Graph die y-Achse schneidet. Also eigentlich müsste es dieser Abschnitt sein, aber man sagt auf die Frage, welchen y-Achsen-Abschnitt hat diese Funktion hier? Dann sagt man einfach -3. Ich weiß, ist nicht logisch, aber so ist das in der Mathematik, da ist eben nicht immer alles logisch. Wir können uns jetzt noch überlegen, wie man diesen y-Achsen-Abschnitt berechnen kann. Und dazu können wir uns überlegen, wie groß denn der x-Wert bei diesem Funktionswert -3 ist. Naja, da das immer auf der y-Achse liegt, ist der x-Wert gleich null. Das bedeutet, wenn wir für x in die Funktionsgleichung null einsetzen, dann erhalten wir den y-Achsen-Abschnitt, nämlich hier, in dieser Wertetabelle. Und das passt auch mit dem zusammen, was wir gerade gesehen haben, nämlich, dass der y-Achsen-Abschnitt gleich minus 3 ist. Wenn man sich jetzt allgemein fragt, wie berechne ich also den y-Achsen-Abschnitt einer linearen Funktion? Kann man sagen, Du nimmst Dir die Funktionsgleichung und schreibst die Zahl ab, die man hier für b eingesetzt hat. Das ist alles. Dann sind wir damit fertig, mit dem y-Achsen-Abschnitt, viel Spaß damit, tschüss.

7 Kommentare
  1. Wow, er ist erwachsen geworden, thx

    Von Joey 1, vor 23 Tagen
  2. Sehr gutes Video .

    Von Geoportmv, vor mehr als einem Jahr
  3. sehr gut danke :)

    Von Lena Koepp, vor mehr als einem Jahr
  4. sehr gut hat mir echt geholfen

    Von Itslearning Nutzer 1974 400952, vor mehr als einem Jahr
  5. sehr gut danke

    Von Itslearning Nutzer 1974 400952, vor mehr als einem Jahr
  1. Sehr Große Klasse !

    Von Timonator13, vor fast 2 Jahren
  2. Gutes Video dreh bitte weiter an solchen Orten und so gut erklärt!!!

    Von Fabian S., vor mehr als 2 Jahren
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y-Achsen-Abschnitt einer linearen Funktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video y-Achsen-Abschnitt einer linearen Funktion kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, welcher Teil der linearen Funktion für den $y$-Achsenabschnitt steht.

    Tipps

    Der $y$-Achsenabschnitt ist weder ein Relations- noch ein Operationszeichen.

    Die Steigung ist der Faktor vor dem $x$.

    Wenn du $x=0$ in der Funktionsgleichung erhältst du einen Punkt des Graphen, welcher auf der $y$-Achse liegt.

    Lösung

    Aus welchen Teilen besteht eine lineare Funktion und welche Bedeutung haben sie?

    Eine lineare Funktion ist eine Funktion, die eine Funktionsgleichung der Form $y=m\cdot x+b$ hat.

    Dabei ist...

    • ...$m$ die Steigung.
    • ...$b$ der $y$-Achsenabschnitt.
    • ...$y$ der Funktionswert.
    • ...$x$ die Funktionsvariable.
    • ...$=$ ein Relationszeichen.
    • ...$+$ das Operationszeichen für die Addition.
  • Beschreibe die Bedeutung des $y$-Achsenabschnitts einer linearen Funktion.

    Tipps

    Der $y$-Achsenabschnitt ist das $b$ in der Gleichung einer linearen Funktion.

    Setze für $x=0$ ein, dann ist $y=b$.

    Jeder Punkt, dessen $x$-Koordinate $0$ ist, liegt auf der $y$-Achse.

    Lösung

    Die Gleichung einer linearen Funktion lautet $y=m\cdot x+b$. Im Koordinatensystem ist diese Funktion als Gerade erkennbar.

    Was bedeutet der $y$-Achsenabschnitt $b$ graphisch?

    Der $y$-Achsenabschnitt ist die Zahl, die dort steht, wo der Graph die $y$-Achse schneidet.

  • Bestimme den $y$-Achsenabschnitt der Funktion.

    Tipps

    Der $y$-Achsenabschnitt ist der Term ohne die Variable $x$ auf der rechten Seite der Funktionsgleichung.

    Die Punkte der Koordinatenachsen zeichnen sich dadurch aus, dass mindestens eine der beiden Koordinaten $0$ ist.

    Du kannst den $y$-Achsenabschnitt auch anhand des ersten Eintrags in der Wertetabelle erkennen, da dort $x$ den Wert $0$ hat.

    Lösung

    Man kann dieser Wertetabelle zwei Punkte des Funktionsgraphen entnehmen, zum Beispiel $(2|-3{,}5)$ sowie $(-2|-2{,}5)$.

    Wenn man diese Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet und diese miteinander verbindet, erhält man eine Gerade.

    Diese Gerade schneidet die $y$-Achse an einer Stelle. In diesem Beispiel ist dies $b=-3$.

    Dies kann man auch bereits an der Funktionsgleichung $y=-\frac14x-3$ erkennen.

    Wenn man in dieser Gleichung für $x$ den Wert $0$ einsetzt, erhält man:

    $y=-\frac14\cdot 0-3=-3$.

    Der Punkt $(0|-3)$ kann auch der Wertetabelle entnommen werden.

  • Berechne den $y$-Achsenabschnitt der Geraden, die durch die vorgegebenen Punkte geht.

    Tipps

    Es gibt mehrere Wege diese Aufgabe zu lösen.

    Du kannst entweder die beiden Punkte einzeichnen, verbinden und den $y$-Achsenabschnitt ablesen oder die Funktionsgleichung rechnerisch bestimmen.

    Die Steigung der linearen Funktion ist gegeben durch die Differenz der $y$-Werte geteilt durch die Differenz der $x$-Werte.

    Die Steigung der linearen Funktion ist gegeben durch $m=3$.

    Um den $y$-Achsenabschnitt zu bestimmen, musst du einen der beiden Punkte in der Funktionsgleichung einsetzen und $b$ ausrechnen:

    $y=3x+b$.

    Lösung

    Wenn man den $y$-Achsenabschnitt bestimmen will, kann man auf verschiedene Arten vorgehen. Möglich ist es bspw. ...

    • ...die Funktionsgleichung aufzustellen.
    • ...die beiden Punkte in ein Koordinatensystem zu zeichnen, diese zu verbinden und den $y$-Achsenabschnitt abzulesen.
    Um die Steigung einer Gerade zu berechnen, welche durch zwei Punkte gegeben ist, wird die Differenz der $y$-Koordinaten durch die der $x$-Koordinaten dividiert.

    Hier angewendet ergibt sich also:

    $m=\frac{5-2}{4-3}=\frac31=3$.

    Der $y$-Achsenabschnitt ergibt sich durch Einsetzen eines der beiden Punkte in der Funktionsgleichung $y=3x+b$:

    $\begin{array}{rcll} 2&=&3\cdot3+b&|-9\\ -7&=&b \end{array}$

    Die Funktionsgleichung lautet also $y=3x-7$ und der $y$-Achsenabschnitt ist $-7$.

  • Gib jeweils den $y$-Achsenabschnitt der Funktion an.

    Tipps

    Der $y$-Achsenabschnitt ist der Wert der „alleine“ (ohne $x$) steht.

    Beachte, dass die Reihenfolge auch vertauscht werden kann:

    Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion könnte auch so geschrieben werden:

    $y=b+m\cdot x$.

    Lösung

    Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet $y=m\cdot x+b$.

    • Der Faktor $m$ vor der Variablen $x$ ist die Steigung.
    • Der Wert $b$ ist der $y$-Achsenabschnitt.
    In dieser Aufgabe geht es um den $y$-Achsenabschnitt:

    Die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt kann man direkt aus der Funktion ablesen. Der Faktor bei dem $x$ ist dabei immer die Steigung.

    1. $y=2-x$: Hier ist $b=2$. Man könnte diese Gleichung auch schreiben als $y = -x + 2$.
    2. $y=-0,5x+4$: Hier ist $b=4$.
    3. $y=2+x$: Hier ist $b=2$.
    4. $y=4$: Hier ist $b=4$.
    5. $y=3-0,3x$: Hier ist $b=3$.
  • Untersuche die Funktionen auf gemeinsame $y$-Achsenabschnitte.

    Tipps

    Schaue dir die Stelle an, wo die Graphen die $y$-Achse schneiden.

    Diesen Punkt nennt man $y$-Achsenabschnitt.

    Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet wie folgt:

    $y=m\cdot x+b$.

    Dabei ist $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Lösung

    Den $y$-Achsenabschnitt kann man ablesen: Es ist die Zahl, welche an der Stelle steht, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet.

    • Die blaue Gerade hat den $y$-Achsenabschnitt $b=0$. Sie ist der Graph einer proportionalen Funktion.
    • Die grüne und rote Gerade haben den gleichen $y$-Achsenabschnitt bei $b=-4$.
    • Die orange Gerade hat den $y$-Achsenabschnitt $b=-3$.
    Die blaue und die grüne Gerade verlaufen tatsächlich parallel zueinander: Das bedeutet, dass die beiden linearen Funktionen die gleiche Steigung haben.