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Überabzählbarkeit 03:52 min

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Transkript Überabzählbarkeit

Hallo. Überabzählbarkeit beziehungsweise überabzählbare Mengen spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik. Solche Mengen werden nicht bloß von weltfremden Mathematikern verwendet, sondern sie sind unter uns. Also die Mengen, die Mathematiker auch. Nehmen wir mal die reellen Zahlen auf der Zahlengerade zwischen 0 und 1. Die beginnen alle mit 0 Komma. Solche Zahlen kann man untereinander schreiben, und zwar so, dass alle unendlich viele Nachkommastellen haben. Hier, diese Zahl 0,123456789 können wir weiterführen mit unendlich vielen Nullen. An diese Zahlen müssen wir keine Nullen mehr dran hängen, da hier die Periode 5 beginnt. An diese Zahl 0,2 hängen wir auch unendlich viele Nachkommastellen dran und hier könnte man die Nachkommastellen von Pi hinschreiben und davon gibt es ohnehin unendlich viele. Wir können nun eine neue Zahl hinschreiben. Die erste Nachkommastelle entsteht, indem wir diese Nachkommastelle um 1 erhöhen, die zweite Nachkommastelle, indem wir diese Nachkommastelle um 1 erhöhen. Haben wir irgendwo eine 9, so machen wir mit 0 weiter. Diese neukonstruierte Zahl kommt nicht in dieser Liste vor. Warum? Hier steht sie nicht, denn wir haben die erste Nachkommastelle verändert. Hier steht sie auch nicht, denn wir haben die zweite Nachkommastelle hier verändert. Hier sie auch nicht, wegen der dritten Nachkommastelle, in der vierten Zeile steht sie auch nicht, und so weiter. Nun könnten wir verlangen, dass alle Zahlen dieser Liste um einen Platz weiterrückten und die neue Zahl in die Liste aufgenommen wird. Dann hätten wir in dieser Liste aber nicht alle Zahlen zwischen 0 und 1 stehen, denn wir könnten auch gleiche Weise eine neue Zahl konstruieren, die in dieser Liste nicht vorhanden ist, aber trotzdem zwischen 0 und 1 liegt, denn die neue Zahl kann wieder mit 0 Komma beginnen. Diesen Prozess könnten wir immer wieder ausführen, ohne Ende, also unendlich oft. Das heißt im Klartext: Wenn wir unendlich viele Zahlen in eine Liste schreiben, sind das noch lange nicht so viele Zahlen, wie zwischen 0 und 1 auf der reellen Achse existieren. Es gibt also mehr Zahlen zwischen 0 und 1 als unendlich viele. Um sagen können, wie viele das sind, brauchen wir einen neuen Unendlichkeitsbegriff. In dieser Liste stehen so viele Zahlen, wie man zählen kann. Denn es steht in der ersten Leiste eine Zahl, in der zweiten Zeile eine Zahl, und in dritten Zahl, und so weiter. Da es zwischen 0 und 1 aber mehr Zahlen gibt, als man zählen kann, sagt man: Es gibt dort überabzählbar unendlich viele Zahlen. Zwischen 1 und 2 gibt es auch überabzählbar unendlich viele Zahlen. Ebenso von -1 bis 0, und so weiter. Trotzdem sind auf der gesamten reellen Zahlengerade auch nicht mehr als überabzählbar unendlich viele Zahlen, denn wenn man zu überabzählbar unendlich vielen Zahlen nur abzählbar oft auf überabzählbar unendlich vielen Zahlen addiert, werden es nicht mehr sondern es bleibt im Ganzen bei überabzählbar unendlich vielen Zahlen. Verrückt, oder? Was hat man nun von so vielen Zahlen? In der Wahrscheinlichkeitsrechnung muss man Zufallsversuche, die überabzählbar sind ganz anders behandelt als Zufallsversuche mit abzählbaren Grundmengen. Die Analysis wäre viel einfacher, wenn man die reellen Zahlen abzählbar wären. Sind sie aber nicht. Und unter anderem deshalb bezeichnet man die Analysis auch als höhere Mathematik. Und letzten Endes hat die Überabzählbarkeit auch etwas damit zu tun, ob man beweisen kann, das die Mathematik widerspruchsfrei ist oder nicht.