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Nullstellen ganzrationaler Funktionen Teil 2

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Martin Wabnik

Nullstellen ganzrationaler Funktionen Teil 2

lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Nullstellen ganzrationaler Funktionen Teil 2

Wenn du die Nullstellen ganzrationaler Funktionen dritten und höheren Grades suchst, kannst du den Funktionsterm gleich 0 setzen - und wenn du Glück hast, kannst du dann diese Gleichung auch mit den Mitteln der Schulmathematik lösen. Im allgemeinen geht das aber nicht. Grundsätzlich werden in der Schule nur die Nullstellen solcher ganzrationaler Funktionen gesucht, die mit Hilfe der folgenden Methoden zu finden sind: 1) Ein x ausklammern. 2) Der Funktionsterm liegt in faktorisierter Form vor. 3) Eine Nullstelle bekannt und Polynomdivision. 4) Substitution.

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. O

    Von Fatimamkfa, vor 4 Monaten
  2. Man kann doch keine negative zahl wurzel
    -27=x^3. |wurzel 3ten grades

    Das geht dich nicht

    Von Fatimamkfa, vor 4 Monaten
  3. Hallo Itslearning Nutzer 2535 1072931,
    kannst du genauer sagen, warum das Video nicht geholfen hat? Wurde beispielsweise etwas deiner Ansicht nach nicht ausführlich genug erklärt? Wir freuen uns immer über Verbesserungsvorschläge.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor etwa 2 Jahren
  4. hat nicht geholfen

    Von Itslearning Nutzer 2535 1072931, vor etwa 2 Jahren
  5. zu leise und konzeptlos!

    Von Manuel V., vor etwa 2 Jahren
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Nullstellen ganzrationaler Funktionen Teil 2 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Nullstellen ganzrationaler Funktionen Teil 2 kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Nullstellen der in faktorisierter Form vorliegenden kubischen Funktion $f(x)=(x-2)(x+3)(x-7)=0$.

    Tipps

    Beachte: Wenn du eine Zahl oder einen Term mit $0$ multiplizierst, erhältst du wieder $0$.

    Merke dir: Faktor mal Faktor gleich Produkt.

    Du löst eine Gleichung der Form $x-6=0$ durch Äquivalenzumformungen:

    $\begin{array}{rclll} x-6&=&0&|&+6\\ x&=&6 \end{array}$

    $x=6$ ist also die Lösung der obigen Gleichung.

    Lösung

    Wenn eine kubische Funktion in faktorisierter Form gegeben ist, ist das für dich wirklich gut: Du kannst die Nullstellen einfach ablesen.

    Warum ist das so? Es gilt: Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

    Du schaust dir also von links nach rechts die Faktoren an und löst die resultierende Gleichung „Faktor $=0$“ durch Äquivalenzumformung:

    Lass uns mit dem Faktor ganz links beginnen:

    $\begin{array}{rclll} x-2&=&0&|&+2\\ x&=&2 \end{array}$

    Die erste Nullstelle ist gefunden: $x_1=2$

    Nun schauen wir uns den mittleren Faktor an:

    $\begin{array}{rclll} x+3&=&0&|&-3\\ x&=&-3 \end{array}$

    Dies ist die zweite Nullstelle $x_2=-3$.

    Bleibt noch der Faktor ganz rechts:

    $\begin{array}{rclll} x-7&=&0&|&+7\\ x&=&7 \end{array}$

    Nun haben wir auch die dritte Nullstelle gefunden: $x_3=7$.

    Übrigens:

    • Eine kubische Funktion hat höchsten drei Nullstellen.
    • Sie kann auch zwei Nullstellen haben. Hier in dem Bild siehst du eine kubische Funktion mit zwei Nullstellen.
    • Eine kubische Funktion muss mindestens eine Nullstelle haben.
  • Beschreibe, wie du die Nullstellen der kubischen Funktion ermitteln kannst.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel, wie du ausklammern kannst:

    $3x^2+4x=x\cdot \left(\frac{3x^2}x+\frac{4x}x\right)=x\cdot (3x+4)$.

    Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

    Die p-q-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform $x^2+px+q=0$ lautet:

    $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$.

    Beachte, dass du noch durch den Faktor vor dem $x^2$ dividieren musst, um die p-q-Formel anwenden zu können.

    Lösung

    Wir betrachten diese kubische Funktion:

    $f(x)=2x^3+14x^2+20x$.

    Das Besondere an dieser Funktion ist, dass sie kein absolutes Glied, also keinen Term ohne die Variable $x$, hat. Das bedeutet, dass du zur Bestimmung der Nullstellen die Variable ausklammern kannst:

    $\begin{array}{lrcl} &2x^3+14x^2+20x&=&0\\ \Leftrightarrow&(2x^2+14x+20)x&=&0 \end{array}$

    Nun kannst du die Regel verwenden, dass ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

    Der eine Faktor ist $2x^2+14x+20$. Wenn du wissen möchtest, für welche Werte für $x$ dieser Term den Wert $0$ annimmt, verwendest du die p-q-Formel. Dividiere zunächst durch $2$:

    $x^2+7x+10=0$.

    Dann ist

    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{7}2\pm\sqrt{\left(\frac{7}2\right)^2-10}\\ &=&-\frac72\pm\sqrt{\frac94}\\ x_1&=&-\frac72-\frac32=-\frac{10}2=-5\\ x_2&=&-\frac72+\frac32=-\frac{4}2=-2 \end{array}$

    Es bleibt noch eine Nullstelle. Diese erhältst du durch den ausgeklammerten Faktor $x$, also $x_3=0$.

  • Leite die Nullstellen der biquadratischen Funktion her.

    Tipps

    Verwende die p-q-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen der Form $x^2+px+q=0$:

    $x_{1,2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac{p}2\right)^2-q}$.

    Du musst die quadratische Gleichung in $z$ erst einmal mit $5$ multiplizieren, um die p-q-Formel anwenden zu können.

    Beachte die kleinen Fallen der Resubstitution:

    • $2^2=4$ UND
    • $(-2)^2=4$

    Hier siehst du den Graphen der Funktion.

    Lösung

    Hier kannst du den Graphen der Funktion $f(x)=0,2x^4-x^2+0,8$ sehen.

    Die Funktion hat nur gerade Exponenten. Du kannst sie also auch so schreiben:

    $f(x)=0,2(x^2)^2-x^2+0,8$.

    Dies ist eine quadratische Gleichung in $x^2$. Deshalb wird sie auch „biquadratisch“ genannt.

    Substituiere nun $z=x^2$. So erhältst du eine quadratische Gleichung in $z$:

    $0,2z^2-z+0,8=0$.

    Um die p-q-Formel anzuwenden, musst du zunächst mit $5$ multiplizieren:

    $z^2-5z+4=0$.

    Nun können wir die Formel verwenden:

    $\begin{array}{rcl} z_{1,2}&=&-\frac{-5}2\pm\sqrt{\left(\frac{-5}2\right)^2-4}\\ &=&\frac52\pm\sqrt{\frac94}\\ z_1&=&\frac52-\frac32=\frac{2}2=1\\ z_2&=&\frac52+\frac32=\frac{8}2=4 \end{array}$

    Beachte, dass du die Nullstellen von $f(x)$ suchst, also musst du die beiden Nullstellen $z_{1,2}$ noch einmal resubstituieren:

    • $x^2=z_1=1$ führt durch Ziehen der Quadratwurzel zu $x_{1,2}=\pm1$ und
    • $x^2=z_2=4$ auf demselben Weg zu $x_{3,4}=\pm2$.
    Beachte, dass du beim Ziehen der Quadratwurzel immer auch den negativen Wurzelwert berücksichtigen musst, denn es gilt:

    • $2^2=4$ UND
    • $(-2)^2=4$.
  • Wende die Polynomdivision an, um die Nullstellen der kubischen Funktion zu bestimmen.

    Tipps

    Dividiere immer den höchsten Exponenten im Dividenden durch den im Divisor.

    Im ersten Schritt bedeutet dies $x^3:x=x^2$.

    Multipliziere das jeweilige Ergebnis mit dem Divisor:

    $x^2\cdot (x+1)$.

    Subtrahiere das Produkt von dem verbliebenen Term.

    Lösung

    Wenn bei einer kubischen Funktion $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ sowohl $d\neq 0$ als auch mindestens einer der beiden Koeffizienten $b$ oder $c$ ungleich $0$ sind, musst du eine Polynomdivision durchführen.

    Hierfür musst du aber schon eine der Nullstellen kennen. In diesem Beispiel ist $x_1=-1$ bereits bekannt. Wie gehen wir nun vor?

    Du dividierst den kubischen Term $x^3-3x^2+4$ durch ein Binom, das die Nullstelle beschreibt, hier $(x^3-3x^2+4):(x+1)$. Dies siehst du in dem Bild.

    Dann gehst du wie folgt vor:

    • Dividiere den höchsten Exponenten im Dividenden durch den im Divisor, also $x^3:x=x^2$.
    • Multipliziere nun $x^2\cdot(x+1)=x^3+x^2$ und
    • subtrahiere das Produkt von dem Ausgangsterm. Du erhältst $-4x^2+4$.
    Nun gehst du wieder so wie im ersten Schritt vor:

    • Dividiere den 4.-höchsten Exponenten im Dividenden durch den im Divisor, also $-4x^2:x=-4x$.
    • Multipliziere nun $-4x\cdot(x+1)=-4x^2-4x$ und
    • subtrahiere das Produkt von $-4x^2+4$. Du erhältst $4x+4$.
    Das Ganze musst du noch einmal machen, dann bist du fertig:

    • Dividiere den höchsten Exponenten im Dividenden durch den im Divisor, also $x4x^3:x=4$.
    • Multipliziere nun $4\cdot(x+1)=4x+4$ und
    • subtrahiere das Produkt von $4x+4$. Du erhältst den Rest $0$.
    Das sollte nicht weiter verblüffen, da $x_1=-1$ eine Nullstelle von $f(x)$ ist. Das bedeutet, dass sich $f(x)$ faktorisieren lässt in einen quadratischen Teil und $x+1$.

    Der quadratische Term rechts von dem Gleichheitszeichen lautet somit $x^2-4x+4$.

    Die verbleibende Nullstelle erhältst du wie folgt:

    • Es ist $x^2-4x+4=(x-2)^2$.
    • Damit ist $x_2=2$ die zweite Nullstelle. Übrigens: Eine solche Nullstelle wird als doppelte Nullstelle bezeichnet. Hier berührt der Funktionsgraph die x-Achse. Das kannst du in dem Bild oben sehen.
  • Erkläre, wie die Nullstellen dieser kubischen Funktionen bestimmt werden können.

    Tipps

    Eine Umformung sieht am Beispiel $2x^3-16=0$ so aus:

    • Addiere $16$ auf beiden Seiten zu $2x^3=16$.
    • Dividiere dann durch $2$. Du erhältst $x^3=8$.
    • Zuletzt ziehst du die dritte Wurzel.
    • Dies führt zu der Lösung $x=2$.

    Schaue dir das folgende Beispiel an: $(x-1)(x+2)^2=0$.

    Auf der linken Seite steht ein kubischer Term. Da dieser als Produkt vorliegt, kannst du dir die Faktoren einzeln anschauen:

    • $x-1=0$ ist äquivalent zu $x=1$ und
    • $(x+2)^2=0$ ist äquivalent zu $x=-2$ (doppelte Nullstelle)

    Versuche, wenn möglich, eine Term als Produkt zu schreiben.

    Verwende dann diese Regel: Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

    Lösung

    Eine kubische Funktion hat ganz allgemein diese Form:

    $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.

    Wenn $d\neq 0$ und zusätzlich noch mindestens einer der beiden Koeffizienten $b\neq 0$ oder $c\neq 0$ ist, haben wir den schwierigsten Fall. Ein Beispiel:

    $x^3+4x^2+x-6$.

    In diesem Fall kennst du entweder bereits eine Nullstelle oder du musst eine raten. Wie auch immer, du musst dann eine Polynomdivision durchführen.

    Es gibt allerdings auch einfachere Fälle:

    • $3x^3+81=0$. Diese Gleichung kannst du durch Umformen lösen. Subtrahiere zunächst $81$ und dividiere dann durch $3$. Dies führt zu $x^3=-27$. Wenn du die dritte Wurzel ziehst, erhältst du $x=-3$.
    • $d=0$: In diesem Fall gibt es keine Konstante und du kannst $x$ ausklammern und hast auf der einen Seite der Gleichung ein Produkt stehen. Nun betrachtest du jeden einzelnen Faktor. Dies ist bei $2x^3+14x^2+20x=0$ der Fall.
    • Oft liegt die kubische Funktion auch in faktorisierter Form vor. Dann erhältst du eine Gleichung dieser Form: $(x-2)(x+3)(x-7)=0$. Bei dieser Form kannst du die Nullstellen an jedem einzelnen Faktor ablesen.
  • Bestimme zu jeder Funktion die Nullstellen.

    Tipps

    Die Gleichung, die sich aus der ersten Funktion ergibt, kannst du umformen.

    Klammere bei der Gleichung, welche aus $g(x)=0$ folgt, die Variable $x$ aus und verwende für die Bestimmung der Stellen, für welche der verbleibende quadratische Term $0$ wird, die p-q-Formel.

    Wenn eine Funktion in faktorisierter Form vorliegt, kannst du die Nullstellen ablesen.

    Anders ausgedrückt: Löse für jeden Faktor die Gleichung

    $x \pm a=0$.

    Substituiere bei der biquadratischen Gleichung $z=x^2$.

    Lösung

    Durch Umformen kann die Gleichung $f(x)=0$ so gelöst werden:

    $\begin{array}{rclll} (x-1)^3-27&=&0&|&+27\\ (x-1)^3&=&27&|&\sqrt[3]{~~~}\\ x-1&=&3&|&+1\\ x&=&4 \end{array}$

    Bei der zweiten Funktion $g(x)=x^3-5x^2+4x$ kannst du $x$ ausklammern: $x(x^2-5x+4)=0$. Damit ist eine Nullstelle schon bekannt, nämlich $x_1=0$. Die beiden anderen erhältst du mit Hilfe der p-q-Formel:

    $\begin{array}{rcl} x_{2,3}&=&-\frac{-5}2\pm\sqrt{\left(\frac{-5}2\right)^2-4}\\ &=&\frac52\pm\sqrt{\frac94}\\ x_2&=&\frac52-\frac32=\frac{2}2=1\\ x_3&=&\frac52+\frac32=\frac{8}2=4 \end{array}$

    Da die Funktion $h(x)=(x+1)(x-3)^2$ in faktorisierter Form vorliegt, kannst du die Nullstellen mehr oder weniger ablesen:

    • Entweder ist $x+1=0$, also $x=-1$,
    • oder $(x-3)^2=0$, also $x=3$.
    Zu guter Letzt müssen noch die Nullstellen der biquadratischen Funktion $h(x)=x^4-18x^2+81$ bestimmt werden. Gehen wir die Schritte einmal durch:

    • Substituiere zunächst $z=x^2$ zu $z^2-18z+81=0$.
    • Mit der 2. binomischen Formel kann der Term auf der rechten Seite umgeformt werden zu $z^2-18z+81=(z-9)^2$.
    • Damit ist $z=9$ die einzige Nullstelle.
    • Nun musst du noch resubstituieren: $x^2=z=9$.
    • Dies führt zu $x_{1,2}=\pm3$.
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