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Nullstellen ganzrationaler Funktionen Teil 1 05:55 min

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Transkript Nullstellen ganzrationaler Funktionen Teil 1

Hallo! Nullstellen ganzrationaler Funktionen ist unser Thema. Dafür wäre es gut, wenn du weißt, was ganzrationale Funktionen sind, welchen Grad sie haben und was Polynome sind. Dieses Thema ist übrigens ein fundamentales Thema der Mathematik. Durch diese Nullstellen wissen wir erst welche Zahlen es gibt, dass es zum Beispiel transzendente Zahlen gibt. Und an denen wiederum können wir sehen, dass die Quadratur des Kreises unmöglich ist. Das heißt wir sind also richtig tief drinnen in der schönen Mathematik und fangen jetzt mit den einfachsten ganzrationalen Funktionen an. Das hier ist der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion. Es ist ein Polynom. Und weil der höchste Exponent gleich 3 ist, ist es ein Polynom dritten Grades und damit ist es auch der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion dritten Grades. Das geht aber noch einfacher. Es gibt noch einfacherer ganzrationale Funktionen. Wenn ich das hier mal alles wegwische, dann sieht man das. So, das ist auch ein Polynom. Um das vielleicht deutlich zu machen, kann man hier noch ×x0 hinschreiben. Es ist ein Polynom nullten Grades und damit ist es auch der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nullten Grades. Also hat nun eine Funktion nullten Grades eine Nullstelle? Normalerweise nicht. Schauen wir uns dazu den Graphen dieser Funktion an. Der Graph ist eine Parallele zur x-Achse durch den Punkt (0,-1). Und dieser Graph schneidet die x-Achse überhaupt nicht und deshalb haben wir hier auch überhaupt keine Nullstellen. Das kann man auch rechnerisch sehen, denn egal was wir für x einsetzen, x0 ist immer gleich 1. Und -1×1 = -1. Wir können natürlich auch den Funktionsterm 0×x0 aufstellen. Der Graph ist dann die x-Achse und die besteht nur aus Nullstellen. Ja gut, aber diese Funktion hat keine weitere Bedeutung und deshalb können wir festhalten: “Bis auf die Nullfunktion haben ganzrationale Funktionen nullten Grades keine Nullstellen.” Wie sieht es nun mit ganzrationalen Funktionen ersten Grades aus? Wir haben hier eine ganzrationale Funktion ersten Grades, denn der Funktionsterm ist ein Polynom ersten Grades. Ja das x ist ja gleich x1 und damit ist 1 hier der höchste Exponent von x. Wir haben genau einen Nullstelle, das können wir hier grafisch sehen. Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade und diese schneidet die x-Achse halt genau in einem Punkt. Rechnerisch können wir die Nullstelle bestimmen, indem wir den Funktionsterm gleich 0 setzen. Und dann entsteht eine lineare Gleichung. Und solange hier vor dem x keine 0 steht, den Fall hatten wir ja gerade schon, hat diese Gleichung also genau eine Lösung, nämlich x = -2. Wie dir vielleicht aufgefallen ist, sind ganzrationale Funktionen ersten Grades lineare Funktionen. Und die Bestimmung der Nullstellen erfolgt bei allen Funktionen gleich und zwar so, wie wir es gerade gesehen haben und deshalb können wir festhalten: “Ganzrationale Funktionen ersten Grades haben genau eine Nullstelle.” Kommen wir zu den ganzrationalen Funktionen zweiten Grades, die haben Funktionsterme, die Polynome zweiten Grades sind oder anders gesagt, es sind quadratische Funktionen. Hier haben wir so einen Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades. Das ist ein Polynom. Der höchste Exponent von x ist 2, deshalb ist es ein Polynom zweiten Grades. Wenn wir jetzt von dieser Funktion die Nullstellen suchen setzen wir den Funktionsterm gleich 0 und erhalten eine quadratische Gleichung. In dem Fall hat diese quadratische Gleichung zwei Lösungen, nämlich x1 = -4 und x2 = 2. Und wie du weißt, können quadratische Gleichungen auch nur eine Lösung haben oder eben auch gar keine. Rein optisch, visuell gesehen, sind die Graphen quadratischer Funktionen Parabeln. Eine Parabel kann zum Beispiel so im Koordinatensystem liegen, dann hat die zugehörige Funktion dazu keine Nullstelle. Eine Parabel kann auch beispielsweise so liegen, also die x-Achse in einem Punkt berühren, dann hat die Funktion eine Nullstelle. Oder eine Parabel kann auch so liegen, dann hat die Funktion zwei Nullstellen. Jetzt denkst du dir vielleicht, naja, das kannte ich ja alles schon. Ok, mag sein. Es ging in diesem Video aber auch mehr darum, die Methoden zusammenzutragen und eben die ganzrationalen Funktionen zu strukturieren. Die Nullstellenbestimmung hängt nämlich vom Grad der Funktion ab. Beim nullten Grad muss man eigentlich nichts machen, beim ersten Grad kann man den Funktionsterm gleich 0 setzen, und beim zweiten Grad kannst du das auch machen und erhältst dann eine quadratische Gleichung und kannst die Lösungsformeln darauf anwenden. So, dann können wir jetzt strukturiert durchs Leben gehen. Viel Spaß damit. Tschüss.