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Lineare Funktionen – Graphen

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Lineare Funktionen – Graphen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Funktionen – Graphen

Herzlich Willkommen zum Video „ Lineare Funktionen - Graphen sind Geraden “. Der Titel lässt schon erahnen, dass die Funktionsgraphen linearer Funktionen Geraden sind. Du solltest an Vorkenntnissen bereits wissen, wie lineare Funktionen definiert sind und was proportionale Funktionen sind. Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat die Form f ( x ) = mx + b. Was passiert, wenn der Parameter b = 0, oder b = 2 ist? Wie verändert sich der Funktionsgraph? Hier siehst du die Erklärung dafür, dass der Graph einer linearen Funktion immer eine Gerade sein muss. Das Ganze wird auch graphisch dargestellt. Viel Spaß mit dem Video!

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. @Sljubica
    Wenn f(x)=0 ist, dann ist der Graph einfach eine horizontale Gerade auf der x-Achse.
    Bei f(x)=x-2 hat man eine verschobene einfache lineare Funktion mit Steigung=1, die die y-Achse bei y=-2 schneidet.

    Liebe Grüße

    Von Nils B., vor fast 3 Jahren
  2. Wie sieht der Graph aus wenn f(x)= x-2 ist

    Von Sljubica, vor fast 3 Jahren
  3. Wie sieht der Graph aus wenn f(x)= 0 ist

    Von Sljubica, vor fast 3 Jahren
  4. @Gessner Fam:
    Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Jeanne O., vor fast 3 Jahren
  5. nicht gut erklärt

    Von Gessner Fam, vor fast 3 Jahren
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Lineare Funktionen – Graphen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Funktionen – Graphen kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zum Zeichnen des Graphen einer linearen Funktion.

    Tipps

    Berechne zu verschiedenen $x$ das $y$ und trage die Punkte $(x|y)$ in ein Koordinatensystem ein.

    Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet:

    $y=m\cdot x+b$.

    Lösung

    Gegeben sei die Funktion $y=\frac13x$.

    Hier ist

    • $m=\frac13$ und
    • $b=0$.
    Wie sieht der Graph einer solchen Funktion aus?

    Zu einigen $x$ können die $y$ berechnet und in ein Koordinatensystem gezeichnet werden.

    Man kann erkennen, dass das Verhältnis von $x$ zu $y$ immer gleich ist.

    Wenn man die Punkte miteinander verbindet, erhält man eine Gerade, welche in dem Bild zu erkennen ist.

  • Gib an, wie die Gerade zu $y=\frac13x+2$ aus der zu $y=\frac13x$ entsteht.

    Tipps

    Berechne zu einigen $x$ das zugehörige $y$.

    Trage die so erhaltenen Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte miteinander.

    Bei $y=\frac13x$ ist $b=0$.

    Wie sieht $b$ bei

    $y=\frac13x+2$

    aus?

    Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet

    $y=m\cdot x+b$.

    Lösung

    Hier in dem Bild ist zu erkennen, wie die rote Gerade zu

    $y=\frac13x+2$

    aus der blauen zu

    $y=\frac13x$

    hervorgeht:

    Es wird zu jedem Funktionswert der zweiten Funktion $2$ addiert. Anschaulich bedeutet das, dass die Gerade um $2$ Einheiten nach oben verschoben wird.

  • Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion $y=-0,5x+3$.

    Tipps

    Setze das entsprechende $x$ in der Funktionsgleichung ein.

    Zum Beispiel ist für $x=4$ $y=-0,5\cdot 4+3=1$.

    Hier ist $m=-0,5$ und $b=3$.

    Lösung

    Die vollständige Wertetabelle ist hier zu sehen.

    Es wird jeweils der Wert für $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt:

    • $x=-1$: $y=-0,5\cdot(-1)+3=3,5$
    • $x=0$: $y=-0,5\cdot0+3=3$
    • $x=1$: $y=-0,5\cdot1+3=2,5$
    • $x=2$: $y=-0,5\cdot2+3=2$
    • $x=3$: $y=-0,5\cdot3+3=1,5$

  • Entscheide, welche der Geraden der Funktionsgraph zu $y=-0,5x+3$ ist.

    Tipps

    Ganz allgemein lautet die Gleichung einer linearen Funktion

    $y=m\cdot x+b$.

    Setze in der allgemeinen Gleichung für $x=0$ ein:

    $y=m\cdot 0+b=b$.

    Was bedeutet das?

    Lösung

    Mithilfe einer Wertetabelle

    $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\ \hline y&3,5&3&2,5&2&1,5 \end{array}$

    kann der Funktionsgraph gezeichnet werden.

    Dieser ist in dem Bild zu erkennen.

    Alle Geraden, welche nicht durch $(0|3)$, den sogenannten y-Achsenabschnitt verlaufen, können bereits ausgeschlossen werden. Dies sind die rote, die hellblaue und die gelbe Gerade.

    Alle übrigen stimmen in dem $y$-Wert für $x=0$ überein.

    Um die tatsächliche Gerade herauszufinden, benötigt man (mindestens) einen weiteren Punkt. Diesen kann man der Wertetabelle entnehmen und erhält, dass die grüne Gerade zu der oben angegebenen Gleichung gehört.

  • Beschreibe, wie der Graph einer linearen Funktion verläuft.

    Tipps

    Berechne zum Beispiel für die Funktion

    $y=2x-2$

    die Werte zu $x=-1$, $x=0$ sowie $x=1$.

    Trage die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde diese.

    Bei einer linearen Funktion ist der höchste Exponent der Variablen $x$ $1$.

    Lösung

    Der Funktionsgraph jeder linearen Funktion ist eine Gerade.

    Diese kann man in ein Koordinatensystem zeichnen, indem man zu verschiedenen $x$ den Funktionswert der linearen Funktion $y=m\cdot x+b$ berechnet und den Punkt $(x|y)$ in das Koordinatensystem zeichnet.

    Die eingezeichneten Punkte werden miteinander verbunden und man erhält eine Gerade.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Schaue dir die folgenden Beispiele an:

    1. $y=3x-4$,
    2. $y=3x+1$ sowie
    3. $y=2x+4$.

    Setze in der allgemeinen Gleichung einer linearen Funktion $x=0$ ein. Was erhältst du?

    Wie lautet ein beliebiger Punkt auf der y-Achse und wie einer auf der x-Achse?

    Lösung

    Seien $2$ Funktionsgleichungen gegeben

    1. $y=m\cdot x+b_1$ sowie
    2. $y=m\cdot x+b_2$,
    dann unterscheiden sich die Funktionswerte immer durch den gleichen Summanden. Das heißt, wenn man auf die eine Gleichung etwas addiert, so erhält man die andere. Die zugehörigen Geraden entstehen aus der jeweils anderen durch eine parallele Verschiebung nach oben oder unten. Die Geraden sind also parallel zueinander.

    Wenn man in der allgemeinen Gleichung $y=mx+b$ für $x=0$ einsetzt, erhält man

    $y=m\cdot 0+b=b$.

    Der Punkt $(0|b)$ liegt auf der y-Achse. Dies ist der sogenannte y-Achsenabschnitt.

    Um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu erhalten, muss $y=0$ sein. Dies führt zu der Gleichung

    $0=m\cdot x+b$.

    Durch Subtraktion von $b$ sowie anschließender Division durch $m\neq 0$ erhält man $x=-\frac bm$.

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