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Lineare Funktionen – Einführung

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Lineare Funktionen – Einführung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Funktionen – Einführung

Wenn du dir lineare Funktionen graphisch vorstellen kannst, ist das sehr praktisch. Z.B.: In einer Textaufgabe geht es darum, eine lineare Funktion aufzustellen. Wenn du dir lineare Funktionen vorstellen kannst, siehst du der aufgestellten Funktion (meistens) direkt an, ob sie richtig sein kann.

Ist die lineare Funktion in Form einer Funktionsgleichung gegeben, kannst du den y-Achsen-Abschnitt und die Steigung des Funktionsgraphen direkt ablesen. Damit weißt du alles über den graphsichen Verlauf der Funktion.

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. coolertrick

    Von Justusolewichers, vor 7 Monaten
  2. Gut

    Von Feste, vor mehr als einem Jahr
  3. Habe es leider nicht verstanden :/

    Von Familie Basel, vor etwa 3 Jahren
  4. @ Daniela Born: Hallo Daniela,

    die -4 in der unteren Zeichnung ist richtig so. Denn die Gerade trifft das Quadrat an der unteren Seite nach einem Viertel der Strecke zur -1.
    Die 3 oben ist hingegen näher an der 1, nach einem Drittel der Strecke.

    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Julia S., vor mehr als 3 Jahren
  5. Hey, wollte fragen, ob bei 4:10min ein Fehler ist: Sollte das 4 unten nicht auch ein 3 sein? Wenn nein, warum nicht?

    Von Daniel & Daniela S., vor mehr als 3 Jahren
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Lineare Funktionen – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Funktionen – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib wieder, wie man sich den Funktionsgraphen zu $y=-1{,}5x+2$ graphisch vorzustellen hat.

    Tipps

    Die allgemeine Funktionsgleichung lautet $y=m\cdot x + b$.

    Beim Schnittpunkt mit der $y$-Achse gilt $x=0$.

    Was passiert mit der Gleichung, wenn du diesen $x$-Wert einsetzt?

    Die Steigung gibt an, um wie viel die $y$-Werte größer oder kleiner werden, wenn man die $x$-Achse nach links oder rechts wandert.

    Approximieren bedeutet „sich annähern“. In diesem Fall wird ein Wert approximiert, indem eine „handlichere“ Zahl in demselben Zahlenbereich gewählt wird.

    Lösung

    Um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu finden, können wir in die Gleichung $y=mx+b$ (allgemeine Form) einfach $x=0$ einsetzen.

    So bekommen wir $y=-1{,}5\cdot x + 2= -1{,}5\cdot 0 + 2 = 2$.

    Unser Schnittpunkt mit der $y$-Achse liegt also immer bei $b$, in unserem Fall $b=2$.

    Die Steigung können wir einfach aus der Gleichung ablesen. Sie ist hier bei $m=-1{,}5$.

    Das Vorzeichen der Steigung gibt an, ob die Funktion steigt oder fällt. Dabei steigen Funktionen mit positiver Steigung, werden also größer, und Funktionen mit negativer Steigung fallen, werden also kleiner.

    Wie stark die Funktion steigt oder fällt, gibt der Betrag der Steigung an. Willst du überprüfen, wie stark die Funktion steigt oder fällt, kannst du immer das Steigungsquadrat zu Hilfe nehmen.

    Manchmal sind die Zahlenwerte der Funktionen so krumm, dass es schwer fällt, sich etwas Genaues vorzustellen. In diesen Fällen bietet es sich immer an, die Zahlen zu vereinfachen: $m=\frac {17}{37}$ wird so zu $m \approx \frac {20}{40}=\frac1 2$.

  • Schildere, wie man sich Funktionen bildlich veranschaulichen kann.

    Tipps

    Die allgemeine Funktionsgleichung lautete $y=m\cdot x + b$.

    Den Schnittpunkt mit der $y$-Achse bekommt man, indem man in der Funktionsgleichung $x=0$ setzt.

    Die „einfachste“ Gleichung ist $y=x$. Hier steigen die $y$-Werte genau so schnell wie die $x$-Werte.

    Jedoch ist die allgemeine Gleichung ja $y=m\cdot x +b$. In diesem speziellen Fall ist $m=1$ und $b=0$.

    Die Steigung ist also gleich $1$.

    Eine andere „einfache“ Funktion ist besteht aus einem horizontalen (waagerechten) Funktionsgraphen. Dann gilt für die Steigung $m=0$. Der Graph steigt oder fällt ja nicht.

    Je näher ein Graph dieser horizontalen Linie kommt, desto näher ist seine Steigung an $0$.

    Ein flacher Graph hat also eine geringere Steigung als ein steiler Graph. Hierbei ist übrigens egal, ob der Graph steil ansteigt oder fällt.

    Lösung

    Wir wollen uns den Funktionsgraph der Gleichung $y=-1,5x+2$ vorstellen. Am einfachsten ist es, sich als erstes zu überlegen, wo der Graph die $y$-Achse schneidet. Dies können wir nämlich einfach an der Gleichung ablesen.

    Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse liegt bei $b$, wenn wir die allgemeine lineare Funktionsgleichung $y=m\cdot x + b$ betrachten. In unserem Fall ist $b=2$. Der Stelle, an welcher die y-Achse geschnitten wird, ist somit $y=2$.

    Nun wollen wir uns überlegen, wie der Graph ab diesem Punkt verläuft.

    Hierzu müssen wir uns überlegen, was uns die andere Größe in der Gleichung verrät. Das $m$ in der allgemeinen lineare Funktionsgleichung verrät uns die Steigung des Graphen, also wie stark die Gleichung steigt oder fällt.

    Wir stellen uns die Gleichung einmal mit Hilfe des Steigungsquadrates vor. Im Bild oben sind zwei der Quadrate dargestellt.

    Schauen wir uns das linke Quadrat etwas genauer an. Wenn ein Graph die Steigung $m=1$ hat, dann heißt dies, dass $y$- und $x$-Werte gleich schnell steigen. In dem linken Quadrat ist dies also der Graph, der von der linken unteren Ecke genau in die rechte obere Ecke verläuft.

    Ist die Steigung größer als $m=1$, dann steigt der Graph auch schneller. Zum Beispiel steigt er bei $m=2$ doppelt so schnell. in dem linken Quadrat ist dies der Graph, welcher von der linken unteren Ecke in die Mitte des oberen Randes des Quadrates verläuft.

    Ist die Steigung dementsprechend kleiner als $m=1$, dann steigt der Graph langsamer. Der Graph, welcher zur Steigung $m=0,5$ gehört, verläuft also von der linken unteren Ecke zur Mitte des rechten Randes des Steigungsquadrates.

    Ist die Steigung negativ, so fällt der Graph. Wir sehen dies im rechten Quadrat.

    Ist die Steigung $m=-1$, verläuft der Graph dabei von der linken oberen Ecke zur rechten unteren Ecke. Analog zu den steigenden Graphen, fällt der Graph mit der Steigung $m=-2$ doppelt so schnell und der Graph mit der Steigung $m=-0,5$ halb so schnell wie der Graph mit der Steigung $m=-1$.

  • Leite anhand der Graphen die Parameter der Funktionen ab.

    Tipps

    Die allgemeine Formel lautet $y=m\cdot x + b$. In dieser finden sich zwei Parameter. Dabei repräsentiert $m$ die Steigung und $b$ den y-Achsenabschnitt, $x$ wird als Argument bezeichnet.

    Lies am Funktionsgraphen immer als erstes ab, an welcher Stelle die $y$-Achse geschnitten wird.

    Dies ist dein $b$-Wert.

    Bestimme als nächstes die Steigung. Verwende das quadratische Raster als Steigungsdreieck.

    Überprüfe jedoch als erstes, ob der Graph steigt oder fällt. Steigt er, dann ist die Steigung positiv. Fällt der Graph, so ist die Steigung negativ.

    Du kannst dann überprüfen, wo der Graph das Steigungsquadrat schneidet.

    Verläuft der Graph zum Beispiel von der linken unteren Ecke zur rechten oberen Ecke, dann hat der Graph die Steigung $m=1$.

    Steigt er schneller (in diesem Fall schneidet er den oberen Rand des Quadrates), so ist seine Steigung größer als $m=1$.

    Lösung

    Der Graph des ersten Funktionsgraphen schneidet die $y$-Achse bei $y=-1$. Damit ist auch $b=-1$, denn $b$ ist immer derjenige $y$-Wert, wo die $y$-Achse geschnitten wird.

    Um die Steigung zu bestimmen, nehmen wir wieder das Steigungsquadrat zu Hilfe. Wir benutzen dafür die schon eingezeichneten Quadrate. Es ist dabei nicht entscheidend, welches Quadrat wir genau nehmen. Wichtig ist nur, dass der Graph die linke untere Ecke schneidet und dann nach rechts oben verläuft. Der Graph steigt ja schließlich an.

    Wir sehen, dass der Graph, nachdem er die linke untere Ecke durchstoßen hat, zur Mitte des oberen Randes des Steigungsquadrates verläuft. Damit ist die Steigung gleich $m=2$.

    Beim zweiten Funktionsgraphen ist der Schnittpunkt der $y$-Achse bei $b=1$. Um die Steigung herauszufinden, nehmen wir wieder das Steigungsquadrat zu Hilfe. Der Graph fällt, also wissen wir schon einmal, dass die Steigung negativ ist. Außerdem verläuft der Graph dann in unserem Steigungsquadrat von der linken oberen Ecke nach rechts unten.

    Wenn wir uns ein Steigungsquadrat gesucht haben, stellen wir fest, dass der Graph den rechten Rand des Quadrates bei ungefähr einem Drittel schneidet. Damit ist unsere Steigung dann $m=-\frac13$.

    Beim dritten Bild gehen wir wieder genau so vor und ordnen dem Graph so die Werte $m=-3$ und $b=2$ zu.

  • Entscheide, welche Parameter die Funktionen beschreiben.

    Tipps

    Die Graphen werden allgemein durch die Gleichung $y=m\cdot x + b~$ beschrieben.

    Die Steigung $m$ kannst du dabei mit Hilfe des Steigungsquadrates bestimmen.

    Der Parameter $b$ ist der Schnittpunkt mit der $y$-Achse.

    Auf jedem der Bilder sind schon quadratische Raster eingezeichnet. Diese kannst du auch als Steigungsquadrate gebrauchen.

    Achte zunächst darauf, ob die Graphen steigen oder fallen.

    Sollte der Graph steigen, musst du dir ein Quadrat aussuchen, bei dem der Graph der Funktion von der linken unteren Ecke nach rechts oben verläuft.

    Sollte er fallen, dann muss der Graph das Quadrat in der linken oberen Ecke schneiden und dann nach rechts unten laufen.

    Um die Steigung letzten Endes zu bestimmen, überprüfst du dann, an welcher Stelle der Graph das Quadrat wieder verlässt.

    Ist die Steigung zum Beispiel positiv (der Graph steigt also an) und schneidet der Graph die Mitte des oberen Randes des Quadrates, so hat die Funktion die Steigung $m=2$.

    Lösung

    Wir gehen bei allen vier Bildern immer gleich vor. Wir bestimmen zunächst $b$, indem wir überprüfen, an welcher Stelle die $y$-Achse vom Graph der Funktion geschnitten wird und benutzen anschließend ein Steigungsquadrat, um die Steigung zu bestimmen. Dazu bedienen wir uns der vielen schon eingezeichneten Quadrate.

    • Beim ersten Funktionsgraphen schneidet der Graph die $y$-Achse bei $-1$, damit gilt $b=-1$. Nun sehen wir, dass der Graph fällt, die Steigung muss also negativ sein. Nun bestimmen wir die Steigung mit dem Steigungsquadrat. Wir suchen uns ein Quadrat, bei dem der Graph die linke obere Ecke durchstößt und dann nach rechts unten läuft. Wir können erkennen, dass der Graph anschließend den unteren Rand des Steigungsquadrates schneidet und zwar genau in der Mitte. Damit muss die Steigung $m=-2$ sein.
    • Beim zweiten Funktionsgraphen betrachten wir als erstes wieder den Schnittpunkt mit der $y$-Achse und bestimmen so $b=1$. Die Steigung bestimmen wir am besten wieder über das Steigungsquadrat. Die Steigung ist wieder negativ, der Graph fällt ja wieder, also suchen wir uns wieder ein Quadrat, bei dem der Graph von links oben nach rechts unten verläuft. Wenn wir uns so eins gesucht haben, stellen wir fest, dass der Graph den rechten Rand des Quadrates bei der Mitte schneidet. Also ist die Steigung hier $m=-0{,}5$.
    • Wir gehen beim dritten Funktionsgraphen wieder auf die gleiche Weise vor und bestimmen durch den Schnittpunkt mit der $y$-Achse $b=-2$ und mithilfe des Steigungsquadrats $m=4$
    • Der Graph im vierten Bild wird durch die Variablen $b=2$ und $m=0{,}25$ beschrieben.
  • Beschrifte das folgende Bild mit den richtigen Steigungen.

    Tipps

    Die Steigung eines Funktionsgraphen gibt an, wie stark dieser ansteigt oder eben fällt.

    Die Steigung einer horizontalen Linie ist gleich $0$.

    Ist ein Graph sehr flach, ist seine Steigung fast $0$.

    Ist die Steigung eines Graphen $m=1$, dann steigen die $y$-Werte genauso schnell an wie die $x$-Werte.

    Lösung

    Als erstes sehen wir uns den orangen Graphen an. Er verläuft von der linken unteren Ecke zur rechten oberen Ecke des Quadrates.

    Bei ihm steigen die $y$-Werte gleich stark an wie die $x$-Werte. Hier ist die Steigung also $m=1$.

    Graphen, die eine höhere Steigung haben, steigen auch schneller.

    Der hellgrüne Graph zum Beispiel ist steiler. Er verläuft von der linken unteren Ecke zur Mitte des oberen Randes. Da er dort genau die Mitte trifft, ist seine Steigung $m=2$.

    Der lila Graph schneidet den oberen Rand des Quadrates bei einem Drittel, von der linken Seite aus gesehen. Seine Steigung ist gleich $m=3$.

    Der blaue Graph schneidet den rechten Rand des Quadrates in der Mitte. Seine Steigung ist somit $m=0{,}5$.

    Auf diese Weise bestimmen wir alle Steigungen der Graphen und können uns immer gut vorstellen, wie ein Graph verläuft, wenn wir nur die Formel gegeben haben.

  • Ermittle die zu den Graphen gehörigen Funktionsgleichungen.

    Tipps

    Die allgemeine Gleichung für einen dieser Funktionsgraphen lautet $y=m\cdot x + b$.

    Dabei bestimmen wir den y-Achsenabschnitt $b$ wieder, indem wir uns den Schnittpunkt mit der $y$-Achse ansehen, und $m$ mithilfe des Steigungsquadrats.

    Manchmal ist es jedoch etwas schwieriger, die Steigung mit dem Steigungsquadrat zu bestimmen, besonders wenn die Steigung sich nicht durch eine ganze Zahl beschreiben lässt. Besonders beim ersten Funktionsgraphen ist dies gut zu erkennen.

    Alternativ kannst du die Steigung auch bestimmen, indem du untersuchst, wie stark die $y$-Werte für jeden größer werdenden $x$-Wert steigen oder eben fallen .

    Beispielsweise können es pro $x$-Wert, den wir nach rechts gehen, gleich zwei $y$-Werte weniger werden.

    Vergiss außerdem nicht, dass du bei negativen Parametern das Vorzeichen mit in die Lücke schreiben musst.

    Lösung

    Wir schauen uns zunächst wie immer die Schnittpunkte mit der $y$-Achse an und bestimmen auf diese Weise den Parameter $b$.

    Anschließend werden wir die Steigungen bestimmen. Dies kann man mithilfe des Steigungsquadrates machen, jedoch ist dies besonders bei den ersten beiden Bildern etwas schwieriger. Hier kann es von Vorteil sein, dass wir untersuchen, um wie viel $y$ größer oder eben kleiner wird für jeden $x$-Wert, den wir auf dem Bild nach rechts gehen.

    • Beim ersten Bild sehen wir, dass der Graph die $y$-Achse bei $b=-1$ schneidet. Der Graph wächst an, also muss die Steigung schon mal positiv sein. Die Steigung jedoch genau festzustellen, ist hier etwas schwieriger, da sie nicht durch eine gerade Zahl dargestellt wird. Wir können aber auf einen anderen Trick zurückgreifen. Wir prüfen, um wie viel $y$ wächst, wenn wie einen Schritt nach rechts gehen. Wir gehen zum Beispiel bei $x=0$ los, wo $y=-1$ ist. Bei $x=1$ sehen wir, dass der Graph bei $y=0{,}5$ ist. Also ist das $y$ bei diesem Schritt insgesamt um $1{,}5$ gewachsen. Dies entspricht auch der Steigung $m=\frac{0,5-(-1)}{1-0}=1{,}5$ . Unsere Gleichung lautet also $y=1{,}5 \cdot x -1$.
    • Auch beim zweiten Bild überprüfen wir die Schnittstelle mit der $y$-Achse als erstes und kommen so auf $b=2$. Nun stellen wir die Steigung fest. Der Graph fällt, was bedeutet, dass die Steigung negativ sein muss. Bei $x=0$ haben wir noch einen $y$-Wert von $y=2$. Bei $x=1$ ist der Graph schon bei $y=-0,{,}5$. Die Steigung ist somit $m= \frac{-0,5-2}{1-0}=-2{,}5$. Die Gleichung lautet somit $y=-2{,}5\cdot x +2$.
    • Der dritte Graph wird durch die Gleichung $y=-0{,}5\cdot x +0{,}5$ beschrieben.
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