30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Lineare Funktionen – Beispiele

Bewertung

Ø 4.4 / 7 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Lineare Funktionen – Beispiele
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Funktionen – Beispiele

Herzlich Willkommen. Wir zeigen dir ein paar Funktionen und stellen hierzu einige Fragen. Es handelt sich um ein Wiederholungsvideo. Dieser Film ist aus Wiederholungsaufgaben zu linearen Funktionen entstanden. Du kannst ihn auch verwenden, um dich kurz über diese Funktionen zu informieren. Was ist eine lineare Funktion und wie lautet ihre Funktionsgleichung? Was ist die Steigung einer linearen Funktion? Was versteht man unter dem y- Achsenabschnitt einer linearen Funktion? Nutze die Gelegenheit und notiere dir noch einmal die wichtigsten Informationen rund um das Thema „ Lineare Funktionen “.

Transkript Lineare Funktionen – Beispiele

Hallo hier sind ein paar Funktionen und darauf beziehen sich jetzt mehrere Fragen, Wiederholungsfragen zu den linearen und den quadratischen Funktionen. Die erste Frage ist, es sollen diejenigen Funktionen bestimmt werden, deren Graph eine Gerade ist und es soll dann der y-Achsenabschnitt und die Steigung der jeweiligen Funktionen bzw. des jeweiligen Graphen bestimmt werden. So und da müssen wir uns erst noch mal überlegen was ist eigentlich ein y-Achsenabschnitt, was ist eine Steigung und was ist eine lineare Funktion? Eine lineare Funktion hat folgenden Funktionsterm f von x = m × x plus b oder n wird das meistens genannt, ich schreib jetzt b hin. Rein formal wissen wir m ist die Steigung, b ist der y-Achsenabschnitt. Wir können uns das eben jetzt auch noch kurz vorstellen. Es ist jetzt nicht wichtig, dass ich das Koordinatensystem jetzt ganz exakt mache hier, sondern einfach nur mal so mache, wie das ungefähr hier verlaufen kann, hier ist ein Graph, der ist eine Gerade, dieses Teil hier, ja dieser Abstand, das ist b das ist der y-Achsenabschnitt,  du weißt, was ich meine. Da haben wir den y-Achsenabschnitt und die Steigung kannst du bestimmen, indem von irgendeinem Punkt hier des Graphen parallel zu den Achsen zu einem anderen Punkt des Graphen gehst, hier zum Beispiel, dann bekommst du hier einen Weg, der parallel zu den Koordinatenachsen verläuft und wenn du nach rechts gehst, zählt das positiv, wenn du nach unten gehst, zählt das negativ, du kannst auch in die andere Richtung gehen du kannst auch erst nach oben gehen, zählt das positiv und dann nach links, das zählt negativ, beides mal musst du dann die Y-Differenz der beiden Punkte durch die X-Differenz teilen und dabei die Vorzeichen beachten. Wenn du also, wenn du erst nach rechts gegangen bist und dann nach unten ist hier die Y-Differenz negativ die X-Differenz ist positiv, wenn du negativ durch positiv teilst, erhältst du etwas Negatives. Lineare Funktionen sind keine quadratischen Funktionen und die unterscheiden sich vor allem dadurch, dass der höchste Exponent hier einer linearen Funktion die 1 ist, denn hier kann man sich ja vorstellen dass da x1 steht, x1  ist ja das gleiche wie x. Und hier steht eben nicht x2 oder x3 oder irgendwas anders deshalb ist das hier eine lineare Funktion der höchste Exponent beim x ist eins. So gehen wir mal hier durch, was haben wir da, hier ist ein Quadrat, das ist schon mal keine lineare Funktion, hier haben wir eine lineare Funktion vorliegen, denn der höchste Exponent nach x ist 1 und das ist jetzt in der falschen Reihenfolge aufgeschrieben, die normale Form heißt ja m × x plus b und hier haben wir 5 × x + ¼ das ist aber dann auch eine lineare Funktion, denn es gilt ja das Kommutativgesetz der Addition. Die Steigung ist 5 der y-Achsenabschnitt ist ein ¼. Hier ist ein Quadrat, das kann keine lineare Funktion sein, hier ist eine lineare Funktion, f 4 also, die Steigung ist ¼ der y-Achsenabschnitt ist 5. Hier haben wir x hoch 5, das ist keine lineare Funktion, bei x2 ist das auch nicht der Fall und damit ist diese Aufgabe erledigt, viel Spaß damit. Tschüss.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. sehr gut erklärt

    Von Rainer Kaufmann, vor mehr als 3 Jahren
  2. Die Geräuschkulissen im Hintergrund sind nicht so gut aber sonst top video

    Von Deleted User 309121, vor mehr als 5 Jahren
  3. Sehr Gut hab ne 1 geschrieben:)

    Von Claudia Y., vor mehr als 7 Jahren

Lineare Funktionen – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Funktionen – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was eine lineare Funktion ist.

    Tipps

    Die Funktionsgleichung zu dieser Geraden lautet

    $y=\frac32x+2$.

    Beachte, dass $x=x^1$ ist. Man schreibt den Exponent $1$ üblicherweise nicht auf.

    $y=2x^2+3x-4$ ist ein Beispiel für eine quadratische Funktion.

    Lösung

    Allgemein lautet die Gleichung einer linearen Funktion

    $y=mx+b$,

    dabei ist $m$, der Faktor vor der Variablen, die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt.

    Woran kann man erkennen, ob eine lineare Funktion vorliegt? Bei einer linearen Funktion ist der höchste Exponent der Variablen $x$ die $1$. Wenn der höchste Exponent $2$ ist, spricht man von einer quadratischen Funktion und bei $3$ von einer kubischen Funktion.

  • Gib an, welche der Funktionen linear sind.

    Tipps

    Eine lineare Funktion hat die Form $y=mx+b$. Dabei kann die Reihenfolge variieren.

    Der höchste Exponent der Variablen $x$ bei einer linearen Funktion ist $1$.

    Hier siehst du ein Beispiel für eine lineare Funktion

    $y=2x-3$

    und hier eines für eine quadratische

    $y=x^2-3$.

    Lösung

    Eine lineare Funktion hat die Form $y=mx+b$. Der höchste Exponent der Variablen ist $1$. An diesem Merkmal kann man lineare Funktionen erkennen. Die Reihenfolge kann natürlich auch $y=b+mx$ sein.

    1. $f_1(x)=\frac14(x+5)^2$. In der Klammer steht ein linearer Term, dieser wird quadriert. Dies ist eine quadratische Funktion.
    2. $f_2(x)=\frac14+5x$. Dies ist eine lineare Funktion mit $m=5$ und $b=\frac14$.
    3. $f_3(x)=\frac14x^2+5x$. Der höchste Exponent ist hier $2$, also liegt eine quadratische Funktion vor.
    4. $f_4(x)=\frac14x+5$. Es ist $m=\frac14$ und $b=5$. Dies ist eine lineare Funktion.
    5. $f_5(x)=\frac14x^5$. Der höchste Exponent ist $5$. Eine solche Funktion heißt quintisch.
    6. $f_6(x)=\frac14x^2+5$. Hier ist der höchste Exponent wieder $2$. Dies ist eine quadratische Funktion.

  • Stelle die jeweilige lineare Funktion auf.

    Tipps

    Ganz allgemein lautet die Gleichung einer linearen Funktion $y=mx+b$.

    Welche Steigung hat eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft?

    Wenn $x$ ein fester Wert ist, verläuft die zugehörige Gerade parallel zur y-Achse. Dies ist allerdings nicht der Graph einer Funktion.

    Wenn die Steigung $m=3$ vorgegeben ist und die Stelle, an welcher die Gerade die y-Achse schneidet, $y=-4$ ist, dann lautet die zugehörige Gleichung

    • $y=3x-4$
    oder auch

    • $y=-4+3x$.
    Lösung

    Es ist immer wieder wichtig, sich ganz allgemein die Gleichung einer linearen Funktion vor Augen zu halten: $y=mx+b$. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt.

    1. Die Gerade hat die Steigung $m=2$ und schneidet die y-Achse bei $b=-2$, also ist $y=2x-2$.
    2. Eine Gerade, die die y-Achse bei $b=3$ schneidet, hat die Steigung $m=-1$. Die Gleichung lautet $y=-1x+3=-x+3=3-x$.
    3. Die Gerade hat die Steigung $m=1$ und den y-Achsenabschnitt $b=1$. Somit lautet die Gleichung $y=1x+1=x+1$.
    4. Die Gerade verläuft parallel zur x-Achse und schneidet die y-Achse bei $3$. Eine Gerade parallel zur x-Achse hat die Steigung $m=0$. Damit lautet die Gleichung $y=0x+3=3$.

  • Ordne jeder der Funktionen die Steigung sowie den y-Achsenabschnitt zu.

    Tipps

    Bei einer linearen Funktion

    $y=mx+b$

    ist $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt.

    Die Steigung ist der Faktor vor der Variablen $x$. Das Vorzeichen gehört zu der Steigung dazu.

    Der y-Achsenabschnitt ist der Term, welcher alleine steht. Auch hier gehört das Vorzeichen dazu.

    Lösung

    Die drei Funktionen sehen alle recht ähnlich aus. Da steht eine $2$ oder $-2$ und eine $3$ oder $-3$ und doch sind alle Funktionen verschieden. Was den Funktionen gemeinsam ist, ist, dass alle lineare Funktionen sind mit

    $y=mx+b$.

    Dabei ist $m$, der Faktor vor der Variablen $x$, die Steigung und $b$, der Term, der alleine steht, der y-Achsenabschnitt. Zu beiden gehört das Vorzeichen dazu.

    1. $y=3-2x$ hat die Steigung $m=-2$ und den y-Achsenabschnitt $b=3$.
    2. $y=3x-2$ hat die Steigung $m=3$ und den y-Achsenabschnitt $b=-2$.
    3. $y=-3x+2$ hat die Steigung $m=-3$ und den y-Achsenabschnitt $b=2$.

  • Bestimme jeweils die Steigung und den y-Achsenabschnitt.

    Tipps

    So sieht eine lineare Funktion aus. $m$ ist die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt.

    Die Reihenfolge des Produktes aus Steigung und $x$ sowie des y-Achsenabschnittes kann variieren.

    Die Steigung ist der Faktor vor der Variablen.

    Der y-Achsenabschnitt ist der Term ohne $x$. Oder, anders ausgedrückt: Du erhältst den y-Achsenabschnitt, wenn du in die Gleichung $y=mx+b$ den Wert $x=0$ einsetzt.

    Lösung

    Dies ist eine lineare Funktion. Dabei steht

    • $m$ für die Steigung, $m$ ist der Faktor vor der Variablen.
    • $b$ für den y-Achsenabschnitt. Dieser Term steht alleine.
    Man erhält den y-Achsenabschnitt durch Einsetzen von $x=0$.

    $y=m\cdot 0+b=b$.

    Bei $y=\frac14+5x$ ist

    • $5$ der Faktor vor der Variablen, also $m=5$, und
    • somit $b=\frac14$.
    $y=\frac14x+5$ sieht so ähnlich aus, jedoch ist
    • $\frac14$ der Faktor vor der Variablen, also $m=\frac14$, und
    • somit $b=5$.

  • Leite die zugehörige Funktionsgleichung her.

    Tipps

    Ganz allgemein hat die obige Gleichung die folgende Form:

    $ax+by=c$.

    Dabei soll $b\neq 0$ sein, da ansonsten eine lineare Funktionsgleichung nicht hergeleitet werden kann, weil man durch $0$ dividieren müsste.

    Wenn man durch $b$ dividiert, erhält man

    $\frac ab x+y=\frac cb$.

    Hier siehst du ein Beispiel für ein $b$, welches nicht $1$ ist.

    Es sind nur ganze Zahlen einzutragen.

    Lösung

    Ganz allgemein lautet eine Geradengleichung in Koordinatenform

    $ax+by=c$.

    Dabei dürfen nicht gleichzeitig $a=0$ und $b=0$ sein. Falls $b=0$ ist, verläuft die Gerade parallel zur y-Achse, ist also nicht der Graph einer linearen Funktion. Deshalb ist dieser Fall hier ausgeschlossen.

    Diese Gleichung kann allgemein wie folgt umgeformt werden

    $\begin{array}{rclll} ax+by & = & x &|& -ax\\ by & = & -ax+c &|& :b\\ y & = & -\frac ab x+\frac c b \end{array}$

    Damit kann sich durch Einsetzen von $a$, $b$ und $c$ jeweils die lineare Funktionsgleichung herleiten. Alternativ kann natürlich auch jedes Mal die entsprechende Gleichung nach $y$ umgeformt werden:

    1. $x+y=3$: Subtraktion von $x$ führt zu $y=-x+3$
    2. $2x+y=-2$: Subtraktion von $2x$ führt zu $x=-2x-2$
    3. $-6x+3y=9$: Hier ist $a=-6$, $b=3$ und $c=9$. Diese können in die obige Formel eingesetzt werden $y=-\frac {-6}3 x+\frac 9 3=2x+3$.
    4. $2x+\frac12y=-2$: Multiplikation mit $2$ führt zu $4x+y=-4$. Nun kann $4x$ subtrahiert werden zu $y=-4x-4$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.821

Lernvideos

44.229

Übungen

38.878

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden