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Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Nullstellen 03:33 min

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Transkript Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Nullstellen

Hallo wir sind weiter bei unserer „Funktionsuntersuchung“ oder „Kurvendiskussion“ wie man auch sagt. Und zwar bei Punkt Nummer 3), nämlich: Den Nullstellen. Wir haben also unsere Funktion gegeben und suchen die Zahlen, die wir für x einsetzen können, sodass f(x) = 0. Wir haben den Funktionsterm in faktorisierter Form und in normalen Formen gegeben. Und entsprechend können wir die Nullstellen auf zwei verschiedene Arten bestimmen. Dieser faktorisierte Term ist gleich 0, wenn dieser Faktor oder dieser Faktor oder dieser Faktor gleich Null ist. 30 – 2x = 0, genau dann, wenn x = 15 ist und das ist schon unsere erste Nullstelle dieser Funktion. 20 – 2x = 0, genau dann - ich zeige die Umformungen jetzt nicht, das sind lineare Gleichungen - wenn x = 10 ist. Naja, und Null, naja und x = 0 , wenn x = 0 ist und das ist unsere dritte Nullstelle. Vielleicht bist du es gewohnt, dass hier noch Indizes dranstehen. Das kann man natürlich machen, dann haben wir hier x1, x2, x3 für unsere drei Nullstellen, dann muss hier auch ein x1 hin und hier auch ein x2 in diesem Fall ist Geschmackssache ob die Indizes da dran sollen oder eben nicht. Wenn wir den Funktionsterm in Normalform gleich Null setzen, erhalten wir eine Gleichung dritten Grades und die ist nicht einfach so mit einer Formel lösbar. Das ist aber kein Problem, denn immer, wenn dir so eine Aufgabe gestellt wird, gibt es eine Möglichkeit die Lösungen der Gleichungen auf ganz ordentlichem Weg zu finden. Zum Beispiel diese hier: In jedem Summanden kommt ein x vor, das bedeutet wir könne das x ausklammern und haben dann (4x2-100x+600)×x. Das ist ein Produkt. Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. Heißt also, wir können den ersten Faktor gleich 0 setzen. Naja und dann erhalten wir eine quadratische Gleichung, dass muss ich nicht vormachen. Diese quadratische Gleichung hat zwei Lösungen: Nämlich x1 = 15 und x2 = 10 und wir können den zweiten Faktor auch gleich Null setzen, x = 0, wenn x = 0 ist. Und das ist unsere dritte Nullstelle und damit ist die Sache ja erledigt. So, damit haben wir alle Nullstellen gefunden. Im ersten Fall hatten wir einen faktorisierten Term, da konnten wir die Faktoren gleich 0 setzen. Im zweiten Fall hatten wir eine Gleichung dritten Grades, aber da konnten wir ein x ausklammern und dann blieb nur noch eine quadratische Gleichung übrig. Das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Nullstellen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen – Aufgabe zu Nullstellen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion bestimmt werden können.

    Tipps

    Wenn du $x=0$ in der Funktionsgleichung einsetzt, erhältst du die Stelle, an welcher der Graph die y-Achse schneidet.

    Die Nullstellen sind die Stellen, an welchen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet oder berührt.

    Ein Term der Form $a\cdot b$ wird als Produkt bezeichnet. Dabei werden die Variablen $a$ und $b$ Faktoren genannt.

    Lösung

    Die Funktion $f(x)$ liegt einmal

    • in faktorisierter Form (oben) sowie
    • in Normalform (unten) vor.
    Gesucht sind die Zahlen, die für $x$ eingesetzt werden können, damit $f(x)=0$ ist.

    Wenn die Funktion faktorisiert vorliegt, kann man jeden einzelnen Faktor betrachten. Denn die Funktion wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

  • Benenne die Formel, die benötigt wird, um die Nullstellen zu bestimmen.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung in Normalform lautet

    $x^2+px+q=0$.

    Die zu verwendende Formel ist gegeben durch

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Der Höhensatz gehört zur Satzgruppe des Pythagoras.

    Die Kettenregel ist eine Regel zur Ableitung von verketteten Funktionen.

    Lösung

    Wenn eine kubische Funktion nicht in faktorisierter Form vorliegt, müsste man ganz allgemein eine Nullstelle erraten und dann eine Polynomdivision durchführen.

    Dies ist hier allerdings nicht nötig, da in jedem Summand der Faktor $x$ vorkommt. Dieser kann ausgeklammert werden. Nun kann verwendet werden, dass ein Produkt $0$ wird, wenn einer seiner Faktoren $0$ ist. Der eine Faktor ist $x$. Somit ist eine Nullstelle bereits bekannt. Die beiden übrigen - sofern vorhanden - sind die Nullstellen des quadratischen Terms in der Klammer. Zur Lösung von quadratischen Gleichungen verwendet man die pq-Formel.

    Eine quadratische Gleichung in Normalform $x^2+px+q=0$ wird gelöst durch

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Bei $4x^2-100x+600=0$ muss zunächst durch $4$ dividiert werden zu

    $x^2-25x+150=0$.

    Hier ist $p=-25$ und $q=150$ - damit kann die pq-Formel verwendet werden:

    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{-25}2\pm\sqrt{\left(\frac {-25}2\right)^2-150}\\ &=&\frac{25}2\pm\sqrt{\frac{625}4-\frac{600}4}\\ x_1&=&\frac{25}2+\frac52=15\\ x_2&=&\frac{25}2-\frac52=10 \end{array}$

    Die so gefundenen Nullstellen sind natürlichen dieselben, die mit der faktorisierten Form gefunden wurden. Allerdings ist es weniger aufwändig mit der faktorisierten Form.

  • Bestimme die drei Nullstellen der in faktorisierter Form vorliegenden Funktion $f(x)=(30-2x)(20-2x)x$.

    Tipps

    Ein Produkt wird $0$ (nimmt den Wert $0$ an), wenn einer seiner Faktoren $0$ wird (den Wert $0$ annimmt).

    Stelle die jeweilige lineare Gleichung auf und löse diese.

    Sei zum Beispiel ein Faktor $3x-60$, dann müsstest du wie folgt vorgehen:

    Bei dem dritten Faktor musst du nicht rechnen.

    Lösung

    Da diese Funktion in faktorisierter Form vorliegt, können die Nullstellen als die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt werden. Dies führt zu drei linearen Gleichungen:

    Von links nach rechts

    $\begin{array}{rclll} 30-2x_1&=&0&|&-30\\ -2x_1&=&-30&|&:(-2)\\ x_1&=&15 \end{array}$

    $\begin{array}{rclll} 20-2x_2&=&0&|&-20\\ -2x_2&=&-20&|&:(-2)\\ x_2&=&10 \end{array}$

    Die dritte Nullstellen kann direkt angegeben werden: $x_3=0$.

  • Gib die faktorisierte Form der kubischen Funktion an.

    Tipps

    Klammere zunächst $2x$ aus.

    Du musst die Nullstellen von $x^2-5x+6$ bestimmen. Verwende hierfür die pq-Formel.

    Die Nullstellen von $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ sind $x_1=1$, $x_2=2$ und $x_3=3$.

    Wenn umgekehrt diese Nullstellen der Funktion $f(x)=x^3+bx^2+cx+d$ bekannt sind, so ist die Funktion gegeben durch $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$.

    Achte auf das Vorzeichen bei der faktorisierten Form.

    Lösung

    Dies ist eine kubische Funktion in Normalform. Ausklammern von $2x$ führt zu

    $f(x)=2(x^2-5x+6)x$.

    Eine Nullstelle ist somit gleich gegeben: $x_1=0$.

    Die beiden anderen erhält man durch Anwendung der pq-Formel auf den quadratischen Term mit $p=-5$ und $q=3$. Dies führt zu den weiteren Nullstellen $x_2=3$ und $x_3=2$.

    Wenn man nun wissen möchte, wie die faktorisierte Form dieser kubischen Gleichung aussieht, so kann man sich überlegen, dass die Nullstellen der kubischen Funktion in Normalform die gleichen sind wie die der kubischen Funktion in faktorisierter Form. So erhält man

    $f(x)=2(x^2-5x+6)x=2(x-3)(x-2)x$,

    da $x_2=3$ und $x_3=2$ die Nullstellen des quadratischen Terms sind.

  • Ermittle zu den jeweiligen Funktionen die Nullstellen.

    Tipps

    Untersuche die Nullstellen jedes einzelnen Faktors.

    Die Nullstellen können „abgelesen“ werden.

    Zum Beispiel wird $x-4$ bei $x=4$ zu $0$, denn $4-4=0$.

    Wenn du dich unsicher fühlst, löse die entsprechende Gleichung:

    $\begin{array}{rclll} x-4&=&0&|&+4\\ x&=&4 \end{array}$

    Die Reihenfolge der Nullstellen ist nicht von Bedeutung.

    Lösung

    Liegt eine Funktion in faktorisierter Form vor, können die Nullstellen entweder direkt abgelesen werden oder durch Lösen von linearen (gegebenenfalls auch quadratischen) Gleichungen bestimmt werden:

    1. $f(x)=(x-2)^2(x+1)$ hat die Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=-1$. Übrigens: $x_1=2$ ist eine doppelte Nullstelle. An dieser Stelle berührt der Funktionsgraph die x-Achse. Es liegt ein Tiefpunkt oder Hochpunkt vor.
    2. $f(x)=(x-2)(x+1)(x+2)$ hat die Nullstellen $x_1=2$, $x_2=-1$ und $x_3=-2$.
    3. $f(x)=(x-2)(x+2)$ hat die Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=-2$.
    4. $f(x)=(x+1)^2(x-1)$ hat die Nullstellen $x_1=-1$ und $x_2=1$. Auch hier ist $x_1=-1$ eine doppelte Nullstelle.

  • Leite durch Ausklammern von $x$ die Nullstellen der Funktion $f(x)=2x^3-6x^2-80x$ her.

    Tipps

    Beachte, dass beim Ausklammern von $x$ in jedem Term der Exponent von $x$ um $1$ geringer wird.

    Hier siehst du ein Beispiel für das Ausklammern von $x$.

    Wenn du umgekehrt das Distributivgesetz anwendest, kommst du wieder zu dem Ausgangsterm.

    Wenn $x$ ausgeklammert wird, ist der andere Faktor ein quadratischer Term. Um dessen Nullstellen zu berechnen, verwendest du die pq-Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Beachte, dass die quadratische Gleichung in Normalform vorliegen muss. Das bedeutet, dass vor dem $x^2$ kein Faktor mehr stehen darf.

    Lösung

    Jeder Term in dieser kubischen Funktion beinhaltet den Faktor $x$. Dieser kann also ausgeklammert werden:

    $f(x)=(2x^2-6x-80)x$.

    Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ wird. Also ist entweder

    • $2x^2-6x-80=0$ oder
    • $x=0$.
    Die obere Gleichung ist eine quadratische Gleichung. Um diese mit der pq-Formel zu lösen, muss zunächst durch den Faktor vor dem $x^2$ dividiert werden zu

    $x^2-3x-40=0$.

    Hier ist also $p=-3$ und $q=-40$:

    $\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{-3}2\pm\sqrt{\left(\frac {-3}2\right)^2-(-40)}\\ &=&\frac{3}2\pm\sqrt{\frac{9}4+\frac{160}4}\\ x_1&=&\frac{3}2+\frac{13}2=8\\ x_2&=&\frac{3}2-\frac{13}2=-5 \end{array}$

    Die dritte Nullstelle ist dann $x_3=0$.

    Beachte: Die Anordnung der Nullstellen ist nicht von Bedeutung. Man hätte auch mit $x_1=0$ beginnen und dann mit der pq-Formel $x_{2,3}=...$ berechnen können.