Irrationalität der Eulerschen Zahl e 03:23 min

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Transkript Irrationalität der Eulerschen Zahl e

Hallo, in diesem Video möchte ich zeigen, dass die Eulersche Zahl irrational ist. Die Beweisführung erfolgt indirekt, das heißt, wir nehmen an, dass e rational ist und leiten daraus einen Widerspruch her. Sei also e rational. Dann lässt sie sich als ein Bruch schreiben. e=p/q. Wie wir wissen liegt e zwischen 2 und 3. Dazu gibt es auch ein Video bei Sofatutor. Das heißt, e ist keine ganze Zahl, und folglich q>1, das ist äquivalent zu q≥2. Außerdem merken wir, dass p und q aus dem Bereich der natürlichen Zahlen ausgewählt werden können. Wir betrachten nun die Reihendarstellung der Eulerschen Zahl e=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+ und so weiter. Diese Reihe multiplizieren wir mit q!. Wir erhalten q!e=q!+q!/1!+q!/2!+q!/3!+q!/4!+ uns so weiter bis q!/q! und dann kommt q!/(q+q)!+q!/(q+2)!+ und so weiter. Für die linke Seite dieser Gleichung gilt: q!×e=q!×p/q=(q-1)!×p. Dies ist eine natürliche Zahl. Die erste Teilsumme auf der rechten Seite, wir bezeichnen sie mit S, ist auch eine natürliche Zahl, denn alle Nenner von 1! bis q! sind Teiler des Zählers q! und die Summer der natürlichen Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl. Wir betrachten nun die zweite Teilsumme, die wir mit T bezeichnen. T=q!/(q+1)!+q!/(q+2)!+ und so weiter. Dies lässt sich schreiben als 1/(q+1)+1/(q+1)×(q+2))+ und so weiter. Da q ≥ als 2 ist, ist diese Summe ≤ als 1/3+1/(3×4)+1/(3×4×5)+ und so weiter. Diese Summe ist definitiv kleiner als 1/3+1/3²+1/3³+ und so weiter. In dieser Reihe erkennen wir sofort eine geometrische Reihe mit dem Quotienten 1/3 und dem Anfangsglied auch 1/3. Die Summe dieser Reihe lässt sich mit der bekannten Formel wie folgt berechnen. 1/3×1/(1-1/3), das ist genau 1/2. Auf diese Weise habe wir nun gezeigt, dass T zwischen 0 und 1/2 liegt und somit definitiv keine natürliche Zahl ist. Insgesamt haben wir also gezeigt, dass die rechte Seite keine natürliche Zahl ist. Dies steht im Widerspruch zu der linken Seite. Das heißt, unsere Annahme war falsch und die Eulersche Zahl ist irrational. So viel zur Irrationalität von e. Danke für Ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Mathematik.

1 Kommentar
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    Gut

    Von Sarahcupcakelove, vor etwa 6 Jahren

Irrationalität der Eulerschen Zahl e Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Irrationalität der Eulerschen Zahl e kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie du die Irrationalität von e nachweisen kannst.

    Tipps

    Bei einem Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil von dem an, was man beweisen will.

    Um zu zeigen, dass $e$ keine rationale Zahl ist, nehmen wir das Gegenteil an. Somit muss also $e=\frac{p}{q}$ gelten.

    Beachte, dass $q!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot q$ ist.

    Echt gebrochen rationale Zahlen lassen sich als Brüche schreiben und nicht weitervereinfachen, wie z.B. $\frac{1}{2}$. Dagegen ist $\frac{4}{2}$ keine echt gebrochen rationale Zahl, denn wir können sie auch als die ganze Zahl 2 schreiben.

    Lösung

    Den Nachweis für die Irrationalität führen wir am besten indirekt.

    • Wir nehmen an, dass $e$ doch rational ist und schreiben $e=\frac{p}{q}$ mit natürlichen Zähler und Nenner. Dabei ist $q\geq 2$, denn $2<e<3$.
    • Multiplizieren wir die Reihendarstellung $e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots $ auf beiden Seiten mit $q!$, so erhalten wir
    $q!\cdot e=q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\cdots +\frac{q!}{q!}+\frac{q!}{(q+1)!}+\frac{q!}{(q+2)!}+\cdots $.
    • Die linke Seiten können wir auch schreiben als $q!\cdot e=q!\cdot \frac{p}{q}=(q-1)!\cdot p$, was offensichtlich eine natürliche Zahl ist
    • Nun werden wir noch zeigen, dass die rechte Zahl keine natürliche Zahl ist. Damit haben wir einen Widerspruch und $e$ ist doch eine irrationale Zahl.
    $q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\cdots +\frac{q!}{q!}$ ist offensichtlich eine natürliche Zahl, denn jeder Summand ist eine natürliche Zahl. Der Rest $T:=\frac{q!}{(q+1)!}+\frac{q!}{(q+2)!}+\cdots $ ist es aber nicht, denn T ist eine Zahl zwischen 0 und 1, wie es folgende Abschätzung beweist: \begin{align} T &= \frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)\cdot (q+2)}+\cdots \\ &\leq \frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\cdots \\ &< \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots \\ &= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2} \end{align} Dabei haben wir in der letzten Zeile die Formel für die geometrische Reihe angewendet. Insgesamt ist die rechte Seite also keine natürliche Zahl. Das gibt uns den Widerspruch.

  • Bestimme die Reihendarstellung der Eulerschen Zahl.

    Tipps

    Wenn du die Reihe in der Form $1+r+r^2+r^3+\dots$ schreiben kannst, dann handelt es sich um eine geometrische Reihe.

    Gegebenenfalls ergibt es Sinn, Fakultäten auszuschreiben.

    Lösung

    Die Eulersche Zahl hat die Reihendarstellung $e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\dots$, was du durch das Auflösen der Fakultät auch als $2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\dots$ schreiben kannst. Die anderen Reihen sind aber ebenfalls interessant:

    • $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots $ ist die sogenannte harmonische Reihe. Sie konvergiert nicht und hat somit keinen konkreten Wert.
    • $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots $ kannst du mittels $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots$ als geometrische Reihe identifizieren. Sie hat hier den Wert $\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.
    • $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots $ ist wiederum eine geometrische Reihe und nimmt als Wert $\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$ an.
    • $1+\frac{2}{1!}+\frac{2^2}{2!}+\frac{2^3}{3!}+\dots $ ist die Reihendarstellung für $e^2$ und ergibt $e^2\approx 7,389$.

  • Gib die natürlichen Zahlen an.

    Tipps

    Bedenke, dass $e=\frac{p}{q}$ nicht gilt.

    Die Fakultät ist folgendermaßen definiert: $q!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot q$.

    Die geometrische Formel lautet allgemein $1+r+r^2+\ldots = \frac{1}{1-r}$ für $|r|<1$.

    $\frac{q!}{r!}$ kannst du als die natürliche Zahl $q\cdot (q-1)\cdot \ldots \cdot (r+1)$ schreiben für $r<q$.

    Lösung

    Nur eine Auswahlmöglichkeit ist richtig:

    • $T:=\frac{q!}{(q+1)!}+\frac{q!}{(q+2)!}+\ldots $ ist keine natürliche Zahl, da sie zwischen 0 und $\frac{1}{2}$ liegt.
    • $e$ ist eine irrationale Zahl und kann damit nicht zu der Menge der natürlichen Zahlen gehören.
    • $q!\cdot e$ ist keine natürliche Zahl. Im Beweis hatten wir fälschlicherweise angenommen, dass $e=\frac{p}{q}$ gilt, wodurch man den Ausdruck $q!\cdot e$ zu $q!\cdot \frac{p}{q}=(q-1)!\cdot p$ hätte ändern können. Hier hätte eine natürliche Zahl vorgelegen. Aber $e$ ist ja keine rationale Zahl und es gilt somit auch $e=\frac{p}{q}$ nicht.
    • Den Wert $\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\ldots $ können wir direkt bestimmen. Die Reihe ist also ein Bruch und somit keine natürliche Zahl:
    $\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\ldots = \frac{1}{3}\cdot \left( 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\ldots \right) =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{2}$

    • $\frac{q!}{r!}$ kannst du als die natürliche Zahl $q\cdot (q-1)\cdot \ldots \cdot (r+1)$ schreiben für $r<q$. Damit können wir $q!+\frac{q!}{1!}+\frac{q!}{2!}+\ldots +\frac{q!}{q!}$ als $q!+q!+q\cdot (q-1)\cdot \ldots \cdot 3+\ldots +1$ schreiben, was offenbar eine natürliche Zahl ist.
    • $\frac{1}{2}$ ist offenbar ein echter Bruch und somit keine natürliche Zahl.
  • Zeige, dass auch $\sqrt{2}$ irrational ist.

    Tipps

    Überlege dir noch einmal, wie prinzipiell ein indirekter Beweis funktioniert.

    Der Widerspruch kommt dadurch zustande, dass der als gekürzt angenommene Bruch $\frac{p}{q}$ doch nicht gekürzt ist.

    Aus der Gleichung $a=b\cdot c$ folgt, dass b und c Teiler von a sind.

    Lösung

    Wir haben bereits überprüft, dass die Eulersche Zahl $e$ irrational ist. Die Wurzel $\sqrt{2}$ ist ebenfalls eine irrationale Zahl, was wir mit der Methode des indirekten Beweises zeigen können.

    • Wir nehmen an, dass $\sqrt{2}$ doch rational ist. Wir können die Wurzel als gekürzten Bruch $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ mit teilerfremden natürlichen Zahlen p und q darstellen. Der Widerspruch wird dadurch erzeugt, dass p und q jeweils durch 2 teilbar sind und somit nicht teilerfremd sind.
    • Quadrieren wir den Ansatz auf beiden Seiten, dann verschwindet die Wurzel und wir haben:
    $\begin{align} 2=\frac{p^2}{q^2} \quad \Leftrightarrow \quad p^2=2\cdot q^2 \end{align}$

    • Aus der letzten Gleichung können wir erkennen, dass $p^2$ von 2 geteilt wird. Somit muss p eine gerade Zahl sein, denn wenn du eine ungerade Zahl quadrierst kommt wieder eine ungerade Zahl heraus. Gerade Zahlen können wir in der Form $2n$ mit natürlichem n schreiben. Wir setzen also $p:=2n$.
    • Setzen wir diesen Ausdruck in die letzte Gleichung ein, so bekommen wir:
    $\begin{align} (2n)^2=2\cdot q^2 \quad \Leftrightarrow \quad q^2=2\cdot n^2 \end{align}$

    • Wir erkennen, dass nun 2 auch ein Teiler von $q^2$ sein muss. Analog wie eben ist q auch eine gerade Zahl und als $q:=2m$ darstellbar.
    • Dadurch bekommen wir bereits unseren Widerspruch, denn p und q haben als gemeinsamen Teiler 2 und sind somit nicht teilerfremd. Unsere Annahme ist falsch und $\sqrt{2}$ ist doch eine irrationale Zahl.
  • Leite mittels eines alternativen Widerspruchsbeweises die Irrationalität der Eulerschen Zahl her.

    Tipps

    Orientiere dich daran, wie der andere Beweis funktioniert hat. Stelle ähnliche Überlegungen zur Annahme und Beweisführung an.

    Beachte, dass jeder Bruch $\frac{n!}{r!}$ für $n\geq r$ ganzzahlig ist, da $\frac{n!}{r!}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (r+1)$.

    Der Widerspruch kommt dadurch zustande, dass auf der einen Seite eine natürliche Zahl und auf der anderen Seite eine echt gebrochen rationale Zahl steht.

    Lösung

    Wir können die Irrationalität von $e$ auch auf eine andere Art und Weise beweisen, die sogar etwas einfacher ist und ohne schwierige Abschätzungen auskommt.

    • Wir wollen wiederum einen indirekten Beweis führen und nehmen wieder an, dass $e$ rational ist. Das heißt, dass $e=\frac{p}{q}$ für geeignete natürliche Zahlen p und q gilt.
    • Nun wählen wir eine natürliche Zahl $n>q$ und $n\geq 3$, deren Rolle später noch ersichtlich wird. Der entscheidene Unterschied ist, dass wir die Taylorsche Restformel für einen geeigneten Rest $\theta$ mit $0<\theta <1$ nutzen statt der Reihendarstellung von $e$:
    $e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots +\frac{1}{n!}+\frac{e^{\theta}}{(n+1)!}$

    Die restlichen Überlegungen funktionieren ähnlich; d.h. wir multiplizieren mit einem Faktor und zeigen, dass bei der entstehenden Gleichung links eine natürliche Zahl und rechts eine gebrochen rationale Zahl steht:

    • Wir multiplizeren nun die Gleichung mit $n!$ statt mit $q!$ und erhalten
    $e\cdot n!=n!+\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+\ldots +\frac{n!}{n!}+\frac{e^{\theta}}{n+1}$.

    • Links steht eine natürlich Zahl, denn $e\cdot n!=\frac{p}{q}\cdot n!\in \mathbb{N}$ wegen $n>q$.
    Gleiches gilt für den Ausdruck $n!+\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+\dots +\frac{n!}{n!}$, da jeder Bruch $\frac{n!}{r!}$ für $n\geq r$ ganzzahlig ist wegen $\frac{n!}{r!}=n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (r+1)$.
    • Der verbleibende Bruch $\frac{e^{\theta}}{n+1}$ liegt nun echt zwischen 0 und 1, weil $e^{\theta}$ zwischen $e^0=1$ und $e^1=e<3$ liegt und $n+1\geq 4$ ist.
    • Damit bekommen wir einen Widerspruch; unsere Annahme ist falsch und e ist eine rationale Zahl.
  • Entscheide, zu welchem Zahlenbereich die angegebenen Zahlen gehören.

    Tipps

    Versuche jede Zahl zunächst als Bruch zu schreiben. $0,125$ kannst du als $\frac{1}{8}$ schreiben und ist somit eine echt gebrochen rationale Zahl.

    $\sqrt{5}$ kannst du nicht als echt gebrochen rationale Zahl schreiben.

    Lösung

    0 und 1 sind dir schon seit langem bekannt. Sie gehören zu der Menge der natürlichen Zahlen, die eine Teilmenge der ganzen Zahlen bilden. Sie gehören also wie auch -5 zu den ganzen Zahlen.

    Zu den echt gebrochen rationalen Zahlen zählen alle Brüche, die sich nicht zu ganzen Zahlen vereinfachen lassen. Offensichtlich ist $\frac{1}{4}$ so ein Bruch. Aber auch 0,5 und $0,\overline{3}$ zählen dazu, denn sie können durch $\frac{1}{2}$ bzw. $\frac{1}{3}$ dargestellt werden.

    Wie du bereits gelernt hast, gehört $e$ zu den irrationalen Zahlen. Auch $\sqrt{2}$ kannst du nicht als Bruch schreiben. $\sqrt{2}$ ist ebenfalls irrational.