Reelle Zahlen
Reelle Zahlen bestehen aus rationalen und irrationalen Zahlen. Natürliche Zahlen sind zählbare Zahlen, ganze Zahlen beinhalten ihre Gegenzahlen. Rationale Zahlen sind Brüche, irrationalen Zahlen können nicht als Bruch dargestellt werden. Erfahre mehr über reellen Zahlen und wie die alle rationalen und irrationalen Zahlen umfassen.
- Was sind reelle Zahlen?
- Zahlenmenge reelle Zahlen – irrationale Zahlen und rationale Zahlen
- Was ist der Unterschied zwischen reellen und rationalen Zahlen?
- Was gehört nicht zu reellen Zahlen?
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Grundlagen zum Thema Reelle Zahlen
Was sind reelle Zahlen?
Die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ besteht aus den rationalen und den irrationalen Zahlen.
Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir zählen, wie z. B. $6$, $40$ oder $110$. Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Symbol $\mathbb{N}$ bezeichnet. Fügen wir noch die Gegenzahlen der natürlichen Zahlen hinzu, also z. B. $-54$ oder $-132$, erhalten wir die Menge der ganzen Zahlen. Diese Menge bezeichnen wir mit dem Symbol $\mathbb{Z}$. Bei einem Haus zählen wir z. B. die Stockwerke vom Erdgeschoss nach oben mit den positiven Zahlen, die Kellergeschosse nach unten mit den negativen Zahlen. Alle Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen, heißen rationale Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit dem Symbol $\mathbb Q$ bezeichnet. Rationale Zahlen können wir z. B. als Kommazahlen an einer Waage ablesen. Jede Kommazahl mit endlich vielen Nachkommastellen können wir als Bruch darstellen, ebenso jede Kommazahl mit Periode. Zahlen, die wir nicht als Bruch schreiben können, heißen irrationale Zahlen. Wir bezeichnen die Menge der irrationalen Zahlen mit dem Symbol $\mathbb{I}$. Fügen wir zur Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen die Menge $\mathbb{I}$ der irrationalen hinzu, erhalten wir die Menge der reellen Zahlen. Diese Menge wird mit dem Symbol $\mathbb{R}$ bezeichnet.
Zahlenmenge reelle Zahlen – irrationale Zahlen und rationale Zahlen
In der Mathematik betrachten wir verschiedene Zahlenbereiche. Die Menge $\mathbb R$ der reellen Zahlen teilt sich auf in die Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen und die Menge $\mathbb I$ der irrationalen Zahlen. Jede natürliche oder ganze Zahl ist zugleich eine rationale Zahl, denn wir können sie als Bruch schreiben: $5$ ist dasselbe wie $\frac{5}{1}$ und $-4$ ist dasselbe wie $-\frac{4}{1}$. Daher sind die Mengen $\mathbb N$ und $\mathbb Z$ Teilmengen der Menge $\mathbb Q$. Des Weiteren gehören endliche Dezimalbrüche sowie periodische Dezimalbrüche zur Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen. So ist z. B.:
$-0{,}18 = -\dfrac{18}{100} \quad$ und $\quad 0{,}\overline{3} = \dfrac{1}{3}$
Die Menge der irrationalen Zahlen besteht aus allen reellen Zahlen, die wir nicht als Bruch schreiben können. Dazu gehören zum Beispiel:
- die Kreiszahl $\pi$: Sie kann zum Beispiel mit dem Näherungsverfahren nach Archimedes auf viele Stellen hinter dem Komma berechnet werden. Mittlerweile ist $\pi$ bereits auf mehr als 1 Billionen Stellen hinter dem Komma berechnet:
$\quad~~ \pi=3{,}141592653589793238462... $
- Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind: Diese Zahlen haben unendlich viele Nachkommastellen und sind nicht periodisch. Zum Beispiel sind $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{11}$ irrational sowie:
$\quad~~\sqrt 6=2{,}44948974...$
Schlaue Idee
Sollten Wurzeln von natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, auftauchen, macht es in den meisten Fällen Sinn, die Wurzel an sich stehen zu lassen oder mit dieser weiterzurechnen. Die Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen bringt einen oft nicht weiter. Mit der Wurzel einer Zahl kann man beispielsweise die Wurzelgesetze anwenden oder die Zahl wieder quadrieren.
- Die eulersche Zahl $e$ ist eine irrationale Zahl:
$\quad~~e=2{,}718281828459045235360287471...$
Die Menge der reellen Zahlen kann auch als die Vereinigung der rationalen und der irrationalen Zahlen geschrieben werden:
$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$
Was ist der Unterschied zwischen reellen und rationalen Zahlen?
Die Menge der reellen Zahlen umfasst die Menge der rationalen Zahlen und geht über diese hinaus. Das bedeutet, jede rationale Zahl ist auch gleichzeitig eine reelle Zahl, aber nicht jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl. Reelle Zahlen, wie z. B. $\pi$ oder $\sqrt{2}$, können nicht als Bruch geschrieben werden und sind daher irrational.
Was gehört nicht zu reellen Zahlen?
Die komplexen Zahlen gehören nicht zur Menge der reellen Zahlen. Die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ schließt die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ein und enthält außerdem die imaginäre Einheit $i$. Dadurch lassen sich negative Zahlen unter der Wurzel schreiben.
Zusatz:
Eine Erweiterung der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ist die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$. Der Bereich $\mathbb{C}$ enthält die reellen Zahlen und einen imaginären Teil. Für den imaginären Teil definieren wir die sogenannte imaginäre Einheit $i$ durch:
$i^2 = -1$
Die Lösung dieser Gleichung ist nur möglich, wenn auch negative Zahlen unter der Wurzel zugelassen werden.
Eine komplexe Zahl wird folgendermaßen geschrieben:
$z = a + i \cdot b$,
wobei $a,b \in \mathbb{R}$ reelle Zahlen sind und $i$ die imaginäre Einheit ist.
Fehleralarm
Im Bereich der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ist es mit der imaginären Einheit $i$ möglich, die Wurzel aus $-1$ zu ziehen. Das gilt aber ausdrücklich nicht für die reellen Zahlen $\mathbb{R}$. Achte bei deinen Rechenaufgaben in der Schule darauf, dass du die Wurzel aus $-1$ nicht ziehen darfst, wenn du dich in dem Zahlenbereich der reellen Zahlen bewegst!
Reelle Zahlen – Beispiele
Zu den reellen Zahlen gehören die natürlichen Zahlen
$\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, … \}$,
die ganzen Zahlen
$\mathbb{Z} =\{ …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … \}$,
die rationalen Zahlen
$\mathbb{Q} =\left\{ \dfrac{a}{b} ~ \Big\vert ~ a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}, b \neq 0 \right\}$
und die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$.
Jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl, aber nicht jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl. Die reelle Zahl $\pi$ z. B. ist keine rationale Zahl. Denn $\pi$ hat unendlich viele Nachkommastellen und ist nicht periodisch. Auch die eulersche Zahl $e$ ist eine irrationale reelle Zahl.
| Zahlenmenge | Beispiele |
|---|---|
| $\mathbb{N}$ | $1; 5; 87$ |
| $\mathbb{Z}$ | ${-}3; 7; 0; 23; {-}154$ |
| $\mathbb{Q}$ | $\dfrac{1}{3}; {-}\dfrac{8}{7}; 2{,}8; {-}4{,}9$ |
| $\mathbb{R}$ | $\pi; e; \sqrt{2}; \sqrt{7}$ |
Beweis – Wurzel $2$ ist irrational
Der Beweis der Irrationalität von $\mathbf{\sqrt 2}$ kann durch einen Widerspruch geführt werden. Dabei werden die bereits bekannten Zahlensysteme benutzt. Wir nehmen an, dass $\sqrt 2$ eine rationale Zahl ist. Was würde dies bedeuten?
$\sqrt 2=\dfrac ab$
Da $\sqrt 2$ positiv ist, gilt $a\in \mathbb{N}$ und $b\in\mathbb{N}\setminus{0}$. Sicherlich sind nicht sowohl $a$ als auch $b$ gerade Zahlen.
Warum? Wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner gerade Zahlen sind, können wir so lange durch $2$ kürzen, bis entweder der Zähler oder der Nenner oder beide ungerade sind.
Sei nun der Zähler gerade und der Nenner ungerade, dann gilt
- $a=2n$ und
- $b=2m+1$,
wobei sowohl $n$ als auch $m$ natürliche Zahlen sind. Jetzt lässt sich $\sqrt 2$ wie folgt schreiben:
$\sqrt 2=\dfrac{2n}{2m+1}$
Nun können wir beide Seiten der Gleichung quadrieren und erhalten:
$2 = \dfrac{(2n)^2}{(2m+1)^2} = \dfrac{4n^2}{4m^2+4m+1}$
Dabei haben wir die erste binomische Formel verwendet. Nun multiplizieren wir auf beiden Seiten mit $4m^2+4m+1$ und dividieren dann durch $2$:
$2(4m^2+4m+1)=4n^2 \quad \implies \quad 4m^2+4m+1 = 2n^2$
Betrachten wir die linke und die rechte Seite:
- $4m^2+4m+1$ ist als Summe zweier gerader Zahlen und $1$ eine ungerade Zahl.
- $2n^2$ ist wegen des Faktors $2$ eine gerade Zahl.
Das bedeutet, dass es eine Zahl geben muss, die sowohl ungerade als auch gerade ist. Dies ist ein Widerspruch. Damit können wir folgern, dass die Annahme, $\sqrt 2$ sei rational, nicht richtig sein kann.
$\implies \mathbf{\sqrt 2}$ ist somit nicht rational.
Übrigens: Dieser Beweis läuft vollkommen analog, wenn der Zähler ungerade ist und der Nenner gerade oder beide ungerade sind.
Reelle Zahlen auf der Zahlengeraden
Jede reelle Zahl hat eine eindeutig bestimmte Stelle auf der Zahlengeraden. Eine irrationale reelle Zahl hat aber unendlich viele Nachkommastellen und ist nicht periodisch. Daher ist es nicht einfach, ihre Stelle auf der Zahlengeraden genau zu bestimmen. Wir können diese aber mit einer Intervallschachtelung annähern:
Da $\sqrt{2} \approx 1{,}41421356$ gilt, erkennen wir an der Zahl vor dem Komma, dass $\sqrt{2}$ zwischen den natürlichen Zahlen $1$ und $2$ liegt. Die erste Ziffer $4$ nach dem Komma zeigt an, dass $\sqrt{2}$ zwischen den rationalen Dezimalbrüchen $1{,}4$ und $1{,}5$ liegt. Betrachten wir auch die zweite Stelle nach dem Komma, erkennen wir genauer, dass $\sqrt{2}$ zwischen $1{,}41$ und $1{,}42$ liegt usw.
Wusstest du schon?
Die irrationale Zahl $\sqrt{2}$ taucht häufiger im Alltag als du denkst! Bei einem Quadrat der Seitenlänge $a = 1~\text{m}$ haben die beiden Diagonalen des Quadrats die Länge von $\sqrt{2}$ Metern. Das kannst du mit dem Satz des Pythagoras nachrechnen.
Reelle Zahlen – Zeichen und Teilmengen
Das Zeichen für die reellen Zahlen ist $\mathbb{R}$. Manchmal möchten wir aber nur einen Teil der reellen Zahlen betrachten, zum Beispiel nur die positiven oder nur die negativen. Diese schreiben wir dann mit einem kleinen Zusatzzeichen. Hier sind die Teilmengen von $\mathbb{R}$:
| Teilmenge | Zeichen | Definition |
|---|---|---|
| positive reelle Zahlen | $\mathbb{R}^+$ | $\lbrace x ~ \vert ~ x \in \mathbb{R}, x > 0 \rbrace$ |
| negative reelle Zahlen | $\mathbb{R}^-$ | $\lbrace x ~ \vert ~ x \in \mathbb{R}, x < 0 \rbrace$ |
| positive reelle Zahlen inklusive Null | $\mathbb{R}^{+}_0$ | $\lbrace x ~ \vert ~ x \in \mathbb{R}, x \geq 0 \rbrace$ |
| negative reelle Zahlen inklusive Null | $\mathbb{R}^{+}_0$ | $\lbrace x ~ \vert ~ x \in \mathbb{R}, x \leq 0 \rbrace$ |
| reelle Zahlen ohne Null | $\mathbb{R}^*$ | $\lbrace x ~ \vert ~ x \in \mathbb{R}, x \neq 0 \rbrace$ |
Mit reellen Zahlen rechnen
Da manche reellen Zahlen unendlich viele Nachkommastellen haben, verwenden wir zum Rechnen meistens gerundete Werte. Um darzustellen, dass $\sqrt{2}$ nicht dasselbe ist wie der gerundete Wert $1{,}41$, schreiben wir $\sqrt{2} \approx 1{,}41$.
In der folgenden Tabelle sind die Zahlbereiche übersichtlich zusammengefasst. Du siehst für jeden der Zahlbereiche die Beschreibung, das zugehörige mathematische Symbol des Zahlenbereichs und ein Beispiel:
| Name des Zahlenbereichs | Beschreibung | Mathematisches Symbol | Beispiel |
|---|---|---|---|
| natürliche Zahlen | Zählzahlen | $\mathbb N$ | $5$ |
| ganze Zahlen | positive und negative Zahlen | $\mathbb Z$ | $-4$ |
| rationale Zahlen | endliche oder periodische Dezimalbrüche | $\mathbb Q$ | $0{,}18$ oder $0{,}\overline{3}$ |
| irrationale Zahlen | unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche | $\mathbb I$ | $\pi$ oder $\sqrt{2}$ |
| reelle Zahlen | alle Zahlbereiche zusammen | $\mathbb R$ | alle vorherigen |
Was berechnet man mit reellen Zahlen?
Mit reellen Zahlen können wir mit allen Grundrechenarten rechnen, so wie wir es von natürlichen oder ganzen Zahlen gewohnt sind. So können wir mit reellen Zahlen Additionen, Subtraktionen, Divisionen und Multiplikationen durchführen. Dabei müssen wir auf die folgenden Rechengesetze achten:
-
Kommutativgesetz:
$a + b = b + a~$ und $~a \cdot b = b \cdot a$
Beispiele:
$1 + 3 = 4 = 3 + 1~$ und $~2 \cdot 5 = 10 = 5 \cdot 2$ -
Assoziativgesetz:
$a + (b + c) = (a+b)+c~$ und $~a \cdot (b \cdot c) = (a\cdot b) \cdot c$
Beispiele:
$1 + (3 + 6) = 1 + 9 = 10 = 4 + 6 = (1 + 3) + 6~$ und
$2 \cdot (3 \cdot 6) = 2 \cdot 18 = 36 = 6 \cdot 6 = (2 \cdot 3) \cdot 6$ -
Distributivgesetz:
$a \cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c$
Beispiel:
$4 \cdot (2 + 3) = 20 = 8 + 12 = 4 \cdot 2 + 4 \cdot 3$
Außerdem können wir Zahlen potenzieren, die Wurzel ziehen oder Logarithmen bilden:
-
Potenzieren: Eine Zahl wird so oft wie der Wert der Hochzahl mit sich selbst multipliziert. Das bedeutet, für eine Zahl $a$ und eine Hochzahl $n$ gilt: $a^n = \underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot … \cdot a}_{n-\text{mal}}$
Beispiel: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ -
Wurzel ziehen: Wenn eine Zahl $a$ das Quadrat einer Zahl $b$ ist, also $a = b^2$, wird $b$ Quadratwurzel genannt und man schreibt: $b = \sqrt{a}$.
Beispiel: $5^2 = 25 \quad \rightarrow \quad 5 = \sqrt{25}$ -
Logarithmisieren: Wenn $a$ der Wert des Logarithmus einer Zahl $c$ mit Basis $b$ ist, also ${a = \log_b(c)}$, bedeutet das, dass die Zahl $b$ mit $a$ potenziert werden muss, um $c$ zu erhalten, also: $b^a = c$.
Beispiel: $2^4 = 16 \quad \rightarrow \quad \log_2 16 = 4$
Ausblick – das lernst du nach Reelle Zahlen
Falls du bereit für eine Herausforderung bist und dich weiter mit Zahlenmengen beschäftigen möchtest, dann versuche dich an Komplexe Zahlen. Ansonsten könnten Folgen und ihre Grenzwerte hilfreich sein, um dein Verständnis für reelle Zahlen zu erweitern.
Reelle Zahlen – Zusammenfassung
- Die Menge der reellen Zahlen wird mit dem Zeichen $\mathbb{R}$ geschrieben.
- Sie enthält die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$, die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$, die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ und die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$.
- Eine Zahl ist irrational, wenn sie nicht als Bruch oder endliche Dezimalzahl dargestellt werden kann. So sind zum Beispiel $\pi$, $\sqrt{2}$ oder $e$ irrational.
- Es können Teilmengen von reellen Zahlen betrachtet werden, zum Beispiel nur die positiven reellen Zahlen oder die reellen Zahlen ohne die Null.
- Um mit reellen Zahlen zu rechnen, müssen die Zahlen meist gerundet werden, da sie unendlich viele Nachkommastellen besitzen.
- Mit reellen Zahlen können alle vier Grundrechenarten unter Einhaltung der Rechengesetze (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz) durchgeführt werden.
- Reelle Zahlen können potenziert, radiziert (Wurzel ziehen) und logarithmisiert werden.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Reelle Zahlen
Transkript Reelle Zahlen
Was sind reelle Zahlen überhaupt? Du kennst bestimmt schon die natürlichen Zahlen, die sogenannten "Zählzahlen", wie zum Beispiel die 6, 40 oder auch 110. Du kannst Zahlen wie diese an einem Rechenschieber, auch Abakus genannt, abzählen. Fügen wir zu den natürlichen Zahlen noch die negativen ganzen Zahlen hinzu, so erhalten wir die Menge der ganzen Zahlen. Stell dir einmal ein Haus mit mehreren Stockwerken vor. Es gibt Stockwerke im Keller, diese repräsentieren die negativen Zahlen. Das Haus hat aber auch Stockwerke, die über dem Keller liegen. Diese sollen die positiven Zahlen darstellen. Nehmen wir dazu dann noch alle negativen und positiven Zahlen, die man als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben kann, so erhalten wir die Menge der rationalen Zahlen. Wiegst du auf einer Waage etwas ab, so wird dir meist eine Kommazahl angezeigt. Diese Kommazahl kannst du auch als Bruch darstellen. Aber es gibt auch Zahlen, die du nicht als Bruch schreiben kannst. Diese nennt man dann irrationale Zahlen. Fügt man diese noch hinzu, so erhält man die Menge der reellen Zahlen. Sie wird mit diesem R gekennzeichnet. Du hast doch sicher schon einmal etwas von der Zahl Pi gehört, oder? Pi hat unendlich viele Nachkommastellen. Du kannst sie also nie ganz aufschreiben. Ein Computer könnte dir ganz viele Nachkommastellen anzeigen. Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den RATIONALEN Zahlen und den IRRATIONALEN Zahlen. Aber was für Zahlen sind das denn jetzt alles? Die natürlichen und ganzen Zahlen sind Teil der Menge der reellen Zahlen, da man sie als Bruch schreiben kann. Sie sind also rational und gehören somit AUCH zu der Menge der reellen Zahlen. So kann man 5 als 5 Ganze schreiben und auch minus 4 als minus 4 Ganze schreiben. Auch endliche und periodische Dezimalbrüche können in einen Bruch umgewandelt werden. So sind minus 0,18 minus 18 Hundertstel. 0, periode 3 sind 1 Drittel. Dazu kommen dann noch die irrationalen Zahlen I, also die die man nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben kann. Wir haben soeben schon Pi als irrationale Zahl kennengelernt. Auch Wurzel 2 ist eine irrationale Zahl. Du kannst sie nicht als Bruch aus 2 ganzen Zahlen darstellen und sie hat unendlich viele Nachkommastellen. Auch viele andere Wurzeln sind irrational. Kann man die irrationalen Zahlen, wie zum Beispiel Wurzel 2, auch auf einer Zahlengerade eintragen, so wie bei den rationalen Zahlen? Da sie unendlich viele Nachkommastellen haben, geht dies nicht so einfach. Du kannst aber eine Intervallschachtelung durchführen und so abschätzen, wo die Zahlen ungefähr liegen. Vor dem Komma steht eine 1, also liegt Wurzel 2 im Intervall zwischen 1 und 2. Du kannst dies immer genauer machen. Die erste Stelle nach dem Komma ist eine 4, also liegt Wurzel 2 im Intervall von 1,4 und 1,5. So kannst du die Intervallschachtelung immer weiterführen. Aber wie kann man denn mit reellen Zahlen rechnen, wenn sie unendlich lang sind? Möchtest du mit einem Zwischenergebnis weiterrechnen, verwendest du meistens gerundete Werte. Fassen wir das noch einmal zusammen. Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den RATIONALEN Zahlen und den IRRATIONALEN Zahlen. Dies enthält auch die Natürlichen und die ganzen Zahlen, denn jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl und jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl. Gibt es auch Zahlen, die nicht Teil dieser Menge sind? Damit beschäftigen wir uns in einem anderen Video.
Reelle Zahlen Übung
-
Beschreibe die verschiedenen Zahlbereiche.
TippsMit natürlichen Zahlen kannst du die Anzahl von Elementen einer Menge bestimmen.
Negative Zahlen bilden keinen eigenen Zahlbereich.
Jede Wurzel einer Primzahl ist irrational.
LösungMan unterscheidet mehrere Zahlbereiche, von denen einige ineinander enthalten sind und andere nicht. Mit den natürlichen Zahlen hast du einmal rechnen und zählen gelernt. Sie beginnen bei $0$ oder bei $1$ (je nach Konvention) und werden immer größer. Die Menge aller natürlichen Zahlen wird mit dem Symbol $\mathbb N$ bezeichnet. Mit den natürlichen Zahlen kannst du alle Additionen durchführen, aber nicht alle Subtraktionen. Ist der Subtrahend kleiner als der Minuend, so ist die Differenz negativ. Nimmst du zu den natürlichen Zahlen noch alle möglichen Ergebnisse von Subtraktionen natürlicher Zahlen hinzu, so erhältst du die Menge $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen. Diese Menge besteht also aus allen natürlichen Zahlen (mit $0$) sowie deren Gegenzahlen. In der Menge der rationalen Zahlen sind alle natürlichen und ganzen Zahlen enthalten sowie alle Zahlen, die du als Bruch aus den beiden schreiben kannst. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit dem Symbol $\mathbb Q$ bezeichnet.
Rationale Zahlen kannst du auch als Dezimalbrüche schreiben, aber nicht jeder Dezimalbruch beschreibt eine rationale Zahl. Denn nur endliche Dezimalbrüche und periodische Dezimalbrüche lassen sich als Brüche umschreiben. Nur solche Dezimalbrüche sind also rationale Zahlen.
Umgekehrt gehören alle unendlichen, nichtperiodischen Dezimalbrüche nicht zur Menge der rationalen Zahlen. Solche Dezimalbrüche sind aber reelle Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen enthält alle rationalen Zahlen, also auch alle ganzen und alle natürlichen Zahlen und wird mit dem Symbol $\mathbb R$ bezeichnet. Sie enthält mit den unendlichen, nichtperiodischen Dezimalbrüchen nun aber auch Zahlen, die nicht als Brüche ganzer Zahlen geschrieben werden können. Solche Dezimalbrüche sind also keine rationalen Zahlen und heißen daher irrationale Zahlen. Die Menge dieser Zahlen wird mit $\mathbb I$ bezeichnet. Typische irrationale Zahlen sind die Kreiszahl $\pi$ sowie die Wurzeln von Primzahlen, also $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ usw.
Die Mengen der natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen sind sukzessive ineinander enthalten:
$\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R$
Die Menge $\mathbb I$ der irrationalen Zahlen ist dagegen nur in der Menge $\mathbb R$ der reellen Zahlen enthalten und ist insbesondere keine Erweiterung eines der anderen Zahlbereiche.
-
Bestimme, zu welchen Zahlbereichen die Zahlen gehören.
TippsDie Menge $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen enthält die Zählzahlen und ihre Gegenzahlen.
Jeder Bruch ganzer Zahlen gehört zu der Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen.
Irrationale Zahlen kannst du nur durch Symbole vollständig aufschreiben wie z. B. $\sqrt{3}$, nicht durch Dezimalbrüche mit endlich vielen Ziffern.
LösungMan unterscheidet vier verschiedene Zahlbereiche. Hier ist eine Beschreibung der Zahlen dieser Zahlbereiche:
$\mathbb N$:
Die Menge $\mathbb N$ der natürlichen Zahlen besteht aus den Zählzahlen, mit denen du Anzahlen bestimmst. Eine Anzahl ist nie negativ, daher enthält $\mathbb N$ keine negativen Zahlen. Zu den natürlichen Zahlen gehören hier die Zahlen $6$ und $110$.
$\mathbb Z$:
Die Menge $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen enthält die natürlichen Zahlen, die $0$ und deren Gegenzahlen, also auch negative Zahlen. Solche negativen Zahlen kommen vor, wenn du Differenzen ausrechnest. Auch bei der Nummerierung von Stockwerken sind negative Zahlen sinnvoll: Du beginnst im Erdgeschoss mit $0$, zählst die Stockwerke nach oben wie üblich und die Kellergeschosse mit negativen Zahlen. In der Aufgabe sind $-54$ und $-132$ Beispiele ganzer Zahlen.
$\mathbb Q$:
Kommazahlen sind weder natürliche noch ganze Zahlen. Endliche Kommazahlen oder solche mit periodischen Nachkommastellen sind rationale Zahlen, denn du kannst sie als Bruch schreiben. Der Bruch $2\frac{5}{7}$, der endliche Dezimalbruch $-0,18=\frac{-18}{100}$ sowie der periodische Dezimalbruch $0,\overline{3} = \frac{1}{3}$ sind Beispiele rationaler Zahlen.
$\mathbb R$:
Alle nichtperiodischen Dezimalbrüche sind irrationale Zahlen. Du erkennst sie nicht leicht an den Nachkommastellen, denn du kannst sie ja nie ganz aufschreiben. Daher ist es nützlich zu wissen, dass die Kreiszahl $\pi$ sowie die Wurzeln $\sqrt{2},$ $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$ usw. irrational sind. Die Menge $\mathbb R$ der reellen Zahlen umfasst alle vorher genannten Zahlbereiche, also auch die Menge der irrationalen Zahlen.
$\mathbb I$:
Die Menge $\mathbb I$ enthält dagegen nur die irrationalen Zahlen, also keine Zahl der Zahlenbereiche $\mathbb N$, $\mathbb Q$ oder $\mathbb R$. Die Kreiszahl $\pi$ und die Zahlen $\sqrt{3}$ und $\sqrt{7}$ sind irrational, sie sind also in keiner der Mengen $\mathbb N$, $\mathbb Z$ oder $\mathbb Q$ enthalten.
-
Charakterisiere die Zahlen.
TippsDie Differenz zweier natürlicher Zahlen ist eine natürliche oder ganze Zahl.
Nicht jede Wurzel einer ganzen Zahl ist irrational.
Das Produkt einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist stets irrational.
LösungDie Mengen der natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen sind sukzessive ineinander enthalten:
$ \mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q$
Die Menge $\mathbb I$ der irrationalen Zahlen ist disjunkt zur Menge der rationalen Zahlen und beide Mengen zusammen ergeben die Menge $\mathbb R$ der reellen Zahlen:
$\mathbb I \cap \mathbb Q = \emptyset$ und $\mathbb Q \cup \mathbb I = \mathbb R$
Natürliche Zahlen haben keine Nachkommastellen und keine negativen Vorzeichen. Allerdings können manche Brüche so gekürzt werden, dass nur eine natürliche Zahl bzw. ein Bruch mit Nenner $1$ übrig bleibt. Daher lassen sich solche Brüche der Menge der natürlichen Zahlen zuordnen.
$\mathbb N$:
- $\sqrt{36}=6$
- $2\frac{21}{3} = 2+\frac{21}{3}=2+\frac{7}{1}=9$
$\mathbb Z$:
- $-\sqrt{36}=-6$
- $(-2) \cdot \sqrt{4} = (-2) \cdot 2 = -4$
- $17-21 = -4$
$\mathbb Q$:
- $-1,\overline{2345} = -\frac{12 345}{10 000}$
- $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4} $
- $\frac{-19}{21}$
$\mathbb I$:
- $2\pi$
- $2 \cdot \sqrt{3}$
- $-\pi+\sqrt{3}$
- $2+\sqrt{3}$
-
Analysiere die Aussagen.
TippsDas Produkt rationaler Zahlen ist rational. Überlege, was daraus für die Wurzeln irrationaler Zahlen und für die Produkte rationaler und irrationaler Zahlen folgt.
LösungFolgende Aussagen sind richtig:
- „Ist eine Zahl irrational, so ist auch deren Wurzel irrational.“ Jede Zahl ist das Quadrat ihrer Wurzel. Wäre die Wurzel rational, so wäre auch die Zahl selbst rational, denn das Quadrat rationaler Zahlen ist rational.
- „Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist irrational.“ Andernfalls könntest du die Summe als Bruch schreiben. Nach Umstellen der Gleichung wäre dann die irrationale Zahl die Differenz zweier Brüche, also selbst ein Bruch.
- „Jedes rationale Vielfache einer irrationalen Zahl ist irrational.“ Wäre das Produkt einer rationalen und einer irrationalen Zahl rational, so könntest du das Produkt und einen der Faktoren als Bruch schreiben. Durch Multiplikation mit dem Kehrwert des rationalen Faktors könntest du dann auch den irrationalen Faktor als Bruch schreiben.
- „Jede Lösung einer Gleichung ist eine rationale Zahl.“ Eine Lösung der Gleichung $x^2+1=0$ kann keine reelle Zahl sein. Denn für jede reelle Zahl $x$ ist $x^2 \geq 0$, also $x^2+1\geq 1$.
- „Jede Lösung einer Gleichung ist eine irrationale Zahl.“ Die Gleichung $x^2-4=0$ hat nur die rationalen Lösungen $+2$ und $-2$. Es sind sogar beides ganze Zahlen.
- „Das Produkt zweier irrationaler Zahlen ist stets irrational.“ Das Produkt der irrationalen Zahlen $\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$ ist die rationale Zahl $-2$.
-
Vervollständige die Sätze.
TippsDen Dezimalbruch $0,\overline{3}$ kannst du als Bruch $\frac{1}{3}$ darstellen.
Jeden endlichen Dezimalbruch kannst du als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner darstellen.
Die Kreiszahl $\pi$ ist ein unendlicher, nichtperiodischer Dezimalbruch.
LösungFolgende Aussagen sind richtig:
- „Jede irrationale Zahl, aber keine rationale Zahl ... ist ein unendlicher, nichtperiodischer Dezimalbruch.“ Jede irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, lässt sich also als Dezimalbruch schreiben. Endliche Dezimalbrüche und periodische Dezimalbrüche kannst du immer als Brüche ganzer Zahlen umformulieren, sie sind also rational. Daher ist jede irrationale Zahl ein unendlicher, nichtperiodischer Dezimalbruch.
- „Jeder der Zahlbereiche $\mathbb Q$, $\mathbb I$ und $\mathbb R$ ... enthält unendlich viele Zahlen.“ Die Zahlbereiche $\mathbb Q$ und $\mathbb R$ enthalten nämlich die unendlich vielen natürlichen Zahlen. Der Zahlbereich $\mathbb I$ enthält zwar nicht die natürlichen Zahlen, aber trotzdem unendlich viele verschiedene Zahlen, z. B. alle Vielfache von $\pi$ und alle Wurzeln der Primzahlen.
- „Nicht jeder der Zahlbereiche $\mathbb Q$, $\mathbb I$ und $\mathbb R$ ... enthält die natürlichen Zahlen.“ Jede natürliche Zahl ist nämlich eine rationale Zahl, ist also in der Menge $\mathbb Q$ enthalten. Insbesondere ist keine natürliche Zahl in der Menge $\mathbb I$ der irrationalen Zahlen enthalten.
- „Nicht jede rationale Zahl ... ist ein endlicher Dezimalbruch.“ Die Zahl $\frac{1}{3}$ ist nämlich rational, aber der zugehörige Dezimalbruch $0,\overline{3}$ ist unendlich.
- „Keine rationale Zahl, aber mindestens eine irrationale Zahl ... hat als Quadrat die Zahl $2$.“ Die Lösungen der Gleichung $x^2 = 2$ sind $\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$. Beide Zahlen sind irrational. Man kann auch beweisen, dass keine Lösung der Gleichung $x^2=2$ rational sein kann. Es gibt also keine rationale Zahl, deren Quadrat $2$ ist.
-
Analysiere die Zahlen.
TippsEs gibt auch Zahlen, die nicht den reellen Zahlen zugeordnet werden können. Diese kannst du ignorieren.
Nicht jede Wurzel einer reellen Zahl ist wieder eine reelle Zahl.
Die Wurzel einer irrationalen Zahl ist stets wieder irrational.
LösungJede reelle Zahl kannst du als Dezimalbruch schreiben und jeder Dezimalbruch ist eine reelle Zahl. Jede reelle Zahl ist entweder rational oder irrational. Rationale Zahlen sind solche Dezimalbrüche, die sich als Bruch ganzer Zahlen umschreiben lassen. Das sind genau die endlichen sowie die periodischen Dezimalbrüche. Alle anderen Dezimalbrüche sind irrational.
In Gleichungen treten manchmal auch Terme auf, die durch keine reelle Zahl beschrieben werden können, die also insbesondere weder rational noch irrational sind. Beispielsweise hat die Gleichung $x^2+1=0$ keine reelle Zahl $x$ als Lösung. Denn für jede reelle Zahl $x$ ist $x^2 \geq 0$ und daher $1 \leq x^2+1 \neq 0$. Schreibst du $x= \sqrt{-1}$ als Lösung dieser Gleichung, so ist $x$ keine reelle Zahl.
Du findest folgende rationale und irrationale Zahlen in dieser Aufgabe:
Rationale Zahlen:
- $-\frac{1}{23}$
- $\frac{2\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} = 2$
- $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$
- $\sqrt{4} = 2$
- $\sqrt{0} = 0$
- $10$
- $\sqrt{3}$
- $\sqrt{\pi}$
- $\frac{\pi}{3}$
- $3\sqrt{3}$
- $\sqrt{-1}$
- $\sqrt{-2^2}$
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nice👌
Als ich das Video zum ersten mal angekuckt habe habe ich es nicht verstanden aber beim zweiten mal habe ich es verstanden danke 😘❤❤❤❤❤❤💜💖
Noice!
Danke!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
In Minute 3:54 wird gesagt Intervall gehört das nicht in den Musik-Unterricht?