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Irrationale Zahlen und Wurzeln 06:57 min

Textversion des Videos

Transkript Irrationale Zahlen und Wurzeln

Hallo. Wenn du Wurzeln behandelt hast, dann sind dir ja auch die irrationalen Zahlen untergekommen. Naja, und die sind ja immer so ein bisschen komisch, deshalb heißen die auch irrationale Zahlen im Sinne von “bekloppte Zahlen”. Und wir können uns jetzt mal angucken, was das für Zahlen sind. Und das geht am besten, indem wir uns überhaupt ansehen welche Zahlenmengen es gibt. Und da fangen wir mit den einfachsten Zahlen an: Und das sind die „natürlichen Zahlen“. Es gibt die Menge der natürlichen Zahlen, da sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, usw. enthalten. Je nach mathematischem Fachgebiet ist die 0 auch da drin. Ist vielleicht überraschend, dass das nicht ganz geklärt ist, ob die 0 nun dazugehört oder nicht, aber das macht man halt immer so wie man es braucht. Die Menge der natürlichen Zahlen hat ein Symbol, und das ist ein N mit einem Doppelstrich hier. Die nächstgrößere Zahlenmenge ist die Menge der „ganzen Zahlen“. Und das Symbol ist ein Z mit einem Doppelstrich. In dieser Menge sind die natürlichen Zahlen enthalten: 1, 2, 3, usw. und auf jeden Fall ist die 0 mit drin. Und es sind die negativen ganzen Zahlen auch mit drin, nämlich -1, -2, -3, usw. In der nächstgrößeren Zahlenmenge sind immer noch keine irrationalen Zahlen enthalten, denn es ist die Menge der „rationalen Zahlen“. Rationale Zahlen, irrationale Zahlen. Vernünftige Zahlen, bekloppte Zahlen. Marmelade, Konfitüre. Hier Tutti, da Frutti, he? Die Menge der rationale Zahlen hat das Symbol Q , mit einem Doppelstrich. Und Q steht für Quotient. Und wie der Name Quotient schon sagt, es geht um Brüche. Also die Menge der rationalen Zahlen besteht aus allen Brüchen. Da haben wir z. B. 1/3 oder wir haben -7/29. Dazu gehören dann auch alle Dezimalbrüche oder Dezimalzahlen oder noch anders gesagt, Kommazahlen. Wir haben z. B. -13,17, das kann man auch als Bruch darstellen oder 0,1 zum Beispiel. Wir haben auch alle periodischen Dezimalzahlen in dieser Menge, z. B. -0,4 Periode, das ist -4/9. Jede periodische Dezimalzahl ist ja auch ein Bruch. Oder wir haben z. B. 0,142857 Periode, das ist 1/7. Und wir haben auch alle natürlichen Zahlen und alle ganzen Zahlen in dieser Menge. Wir können z. B. 0 schreiben als 0/1. Dann ist das auch ein Bruch. Oder wir können -4 schreiben als -4/1. Das ist auch ein Bruch. Oder z. B. die 122 können wir schreiben als 122/1. Jetzt haben wir immer noch keine irrationalen Zahlen. Welche Möglichkeiten gibt es denn jetzt noch? Jetzt gibt es noch die Dezimalzahlen mit unendlich vielen nicht-periodischen Nachkommastellen. Das sind Kommazahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die sich aber nie wiederholen. Um es ganz genau zu machen, wir hatten uns ja z. B. 1/7 angesehen. 1/7 ist als Dezimalzahl geschrieben 0,142857 Periode. Das bedeutet also, dass sich dieser Zahlenblock immer wieder wiederholt. Wir haben also 0,142857142857142857142857142857... Und diese Wiederholungen gibt es bei den irrationalen Zahlen eben nicht. Und wie kommen wir jetzt da drauf? Weil Wurzeln häufig irrationale Zahlen sind. Wir haben nun also eine noch größere Zahlenmenge. Das ist die Menge der „reellen Zahlen“. Das Symbol ist ein R mit einem Doppelstrich. In dieser Menge sind die natürlichen Zahlen enthalten. Es sind die ganzen Zahlen enthalten. Und die rationalen Zahlen, also alle Brüche, alle periodischen Dezimalzahlen, z. B. hier 1/7. Und natürlich auch die Dezimalzahlen mit endlich vielen Nachkommastellen. Und es sind die irrationalen Zahlen auch mit enthalten, z. B. die Wurzel(2), z. B. die Wurzel(3), oder auch -Wurzel(5). Dann kommen noch viele andere Zahlen hinzu, wie z. B. die Kreiszahl π, die ist auch irrational. Dann sind die Seitenverhältnisse in Dreiecken oft irrational. Oder es sind irrationale Zahlen, z. B. der sin(42°). Diese Seitenverhältnisse werden durch Sinus, Kosinus, Tangens und Cotangens angegeben. Sin(42°) ist eine irrationale Zahl. Dann haben wir noch lustige Potenzen, wie z. B. 3(1/5). Das ist auch eine irrationale Zahl. Oder auch freundliche Logarithmen, wie -log7(8). Wenn du diese Sachen hier noch nicht gehabt hast, ist das nicht so schlimm, das kommt noch. Tja, wer hätte das gedacht, dass aus solchen einfachen Wurzeln so verrückte Zahlen rauskommen. Bekannt ist das Ganze übrigens schon seit der Antike, auch da hat man sich über diese Zahlen gewundert, weil man sie ja nicht richtig aufschreiben kann. Und weil man sich so gewundert hat, ist da unheimlich viel Mathematik daraus entstanden. Wir sind aber erstmal hier fertig mit den Zahlenmengen. Viel Spaß damit, tschüss!

4 Kommentare
  1. Richtig gut erklärt und lustig anzuschauen!

    Von Anleb , vor 3 Monaten
  2. Super und lustig erklärt! Danke Martin! :3

    Von Kingaczup, vor 6 Monaten
  3. MEEEEEEGA COOL UND RICHTIG GUT ERKLÄRT!!!

    Von Kunst 1, vor etwa 2 Jahren
  4. witzig und super erklärt. Weiter so !
    Liebe Grüße

    Von behrad r., vor etwa 2 Jahren

Irrationale Zahlen und Wurzeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Irrationale Zahlen und Wurzeln kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne den jeweiligen Zahlenraum.

    Tipps

    Der Buchstabe $\mathbb{N}$ steht für die natürlichen Zahlen.

    Der Buchstabe $\mathbb{Q}$ steht für den Quotienten, also einen Bruch.

    Es gilt die folgende Teilmengenbeziehung:

    $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$

    Das bedeutet: Alle natürlichen Zahlen $(\mathbb{N})$ sind auch ganze Zahlen $(\mathbb{Z})$. Alle ganzen Zahlen sind auch rationale Zahlen $(\mathbb{Q})$.

    Lösung

    Es gibt verschiedene Zahlenbereiche, die dir im Laufe deiner Schulzeit begegnen.

    Die natürlichen Zahlen

    Diese lernst du recht früh kennen. Natürliche Zahlen hängen mit Zählbarkeit zusammen: Du kannst zum Beispiel zählen, wie viele Schüler in deiner Klasse sind.

    Die Menge der natürlichen Zahlen kannst du so schreiben:

    $\mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;...\}$

    Hin und wieder wird die $0$ dazu gezählt, hin und wieder nicht. Hier ist sie zugefügt.

    Manche Rechnungen sind im Bereich der natürlichen Zahlen nicht möglich: Die Rechnung $4-7$ ergibt zum Beispiel $-3$. Diese Zahl ist jedoch nicht in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten. Um die Rechnung dennoch durchführen zu können, wird der Zahlenbereich erweitert.

    Die ganzen Zahlen

    Dies sind die natürlichen Zahlen und die negativen Zahlen. Auch hierfür gibt es eine mathematische Schreibweise:

    $\mathbb{Z}=\{...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...\}$

    Wieder gibt es Aufgaben, die du in diesem Zahlenbereich nicht rechnen kannst. Teile zum Beispiel $25~€$ auf zehn Personen auf. Wie viel Euro bekommt dann jeder?

    Die rationalen Zahlen

    In dem obigen Beispiel bekommt jeder $2,50~€$.

    Die rationalen Zahlen sind die Bruchzahlen. Sie können auch als Dezimalzahlen dargestellt werden. Dabei kann die Dezimalzahl

    • entweder endlich viele Nachkommastellen haben (Beispiel: $-13,17$)
    • oder eine periodische Dezimalzahl sein. (Beispiel: $0,\bar4$)
    Die mathematische Schreibweise ist:

    $\mathbb{Q}=\left\{\frac ab~\vert~a\in\mathbb{Z};~b\in \mathbb{N};~b\neq 0\right\}$

    Die rot umrandeten Zahlen sind die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$, die blau umrandeten die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ und die grün umrandeten die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$.

  • Bestimme den jeweiligen Zahlenbereich durch die entsprechende Beschreibung.

    Tipps

    Merke dir:

    • Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl.
    • Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.

    Wenn man den Zahlenbereich der natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen ergänzt, erhält man den Bereich der ganzen Zahlen.

    Die rationalen Zahlen sind Bruchzahlen.

    Sie können als Dezimalzahlen dargestellt werden, die

    • entweder endlich viele Nachkommastellen haben
    • oder periodisch sind.
    Lösung

    Hier werden noch einmal die verschiedenen Zahlenbereiche beschrieben und als Menge dargestellt:

    • Die natürlichen Zahlen werden mit dem Buchstaben $\mathbb{N}$ bezeichnet. Sie enthalten alle Zahlen, die man durch Zählen erhalten kann. Als Menge schreibt man $\mathbb=\{0;1;2;3;4;...\}$.
    • Die ganzen Zahlen werden mit dem Buchstaben $\mathbb{Z}$ bezeichnet. Sie enthalten alle natürlichen Zahlen und zusätzlich die negativen Zahlen. Als Menge schreibt man $\mathbb{Z}=\{...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...\}$.
    • Die rationalen Zahlen werden mit dem Buchstaben $\mathbb{Q}$ bezeichnet. Sie enthalten alle Zahlen, die mal als Bruch darstellen kann. Dazu gehören auch alle ganzen Zahlen, da z.B. $2$ als $\frac21$ darstellbar ist. Als Menge schreibt man $\mathbb{Q}=\left\{\frac ab~\vert~a\in\mathbb{Z};~b\in \mathbb{N};~b\neq 0\right\}$.
    Zusätzlich gibt es noch die folgenden Zahlenbereiche:
    • Die irrationalen Zahlen werden mit dem Buchstaben $\mathbb{I}$ bezeichnet. Die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ sind nicht in ihnen enthalten. Man kann die irrationalen Zahlen beispielsweise so beschreiben: $\mathbb{I}=\{x~|~ x$ ist weder endend noch periodisch$\} $
    • Die reellen Zahlen werden mit dem Buchstaben $\mathbb{R}$ bezeichnet. Die reellen Zahlen bestehten aus der Vereinigung der beiden Zahlenbereiche $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{I}$. Als Menge schreibt man $\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $.
    Jeder dieser Zahlenbereiche wird in der Mathematik häufig verwendet. Schaue dir hierfür Beispiele an:

    • Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt. Wenn zum Beispiel in einem Produkt der Faktor $a$ genau $n$-mal, mit $n\in\mathbb{N}$, vorkommt, schreibt man $a^n$.
    • Löse die Gleichung $3x+4=6$ im Bereich der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$.
    • Ein beliebiges Vielfaches einer Zahl $z$ wird beschrieben durch $k\cdot z$, wobei $k\in\mathbb{Z}$ ist.
  • Gib an, welche der Zahlen irrational sind.

    Tipps

    $\pi=3,141592653589...$ ist die sogenannte Kreiszahl. (gesprochen: „Pi“)

    Der Ausdruck $-\sqrt{9}$ ergibt $-3$. Dies ist eine ganze Zahl und somit nicht irrational.

    Lösung

    Du hast bereits das Folgende gelernt:

    Zahlen werden als rational bezeichnet, wenn sie als Bruch darstellbar sind. Diesen Zahlenbereich bezeichnet man mit dem Buchstaben $\mathbb{Q}$. Mathematisch drückt man das so aus:

    $\mathbb{Q}=\left\{\frac ab~\vert~a\in\mathbb{Z};~b\in \mathbb{N};~b\neq 0\right\}$

    Sie können auch als Dezimalzahlen dargestellt werden. Dabei kann die Dezimalzahl

    • entweder endlich viele Nachkommastellen haben (Beispiel: $-13,17$)
    • oder eine periodische Dezimalzahl sein. (Beispiel: $0,\bar4$)
    Gibt es denn auch Zahlen, die nicht rational, also irrational, sind? Ja: Zum Beispiel $\sqrt 2$. Das erkennt man daran, dass $2$ keine Quadratzahl ist.

    Beispiele für irrationale Zahlen sind:

    • Die Kreiszahl $\mathbb{\pi}$: Sie kann näherungsweise, zum Beispiel mit dem Näherungsverfahren nach Archimedes, auf viele Stellen hinter dem Komma berechnet werden. Mittlerweile ist $\pi$ bereits auf mehr als 1 Billionen Stellen hinter dem Komma berechnet: $\pi=3,141592653589... $
    • Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind irrationale Zahlen: Also $\sqrt{2}$, $\sqrt 3$, $-\sqrt 5$, ...
    • Die Eulersche Zahl $e=2,718281828459045235360287471...$
    Wenn du zu der Menge der rationalen Zahlen $(\mathbb{Q})$ die der irrationalen Zahlen hinzufügst, erhältst du die Menge der reellen Zahlen. Mathematisch kann man diese so beschreiben:

    $\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \{x~|~ x \text{ ist eine irrationale Zahl} \} $

  • Wende das Heron-Verfahren an, um $\sqrt 5$ näherungsweise zu berechnen.

    Tipps

    Man berechnet das $a$ des nächsten Rechtecks immer mit dem $a$ und dem $b$ aus dem aktuellen Rechteck.

    Mathematisch ausgedrückt ergibt sich $a_{n+1}$ aus $a_n$ und $b_n$. Die Formel lautet:

    $a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$

    Lösung

    Mit Hilfe des Heron-Verfahrens kann man Wurzelausdrücke wie zum Beispiel $\sqrt{5}$ näherungsweise bestimmen.

    Als Ausgangssituation betrachten wir ein Rechteck mit den Seitenlängen $a_0=5$ und $b_0=1$, da dieses den Flächeninhalt $5$ [FE] hat. Die allgemeine Formel zur Bestimmung der ersten Seitenlänge des Rechtecks lautet:

    $a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$

    1. Schritt

    Um die erste Seitenlänge des neuen Rechtecks $a_1$ zu berechnen, nutzen wir die Formel und erhalten $a_1 = \frac{5+1}{2} = 3$. Die andere Seite des neuen Rechtecks ergibt sich nun aus der Bedingung, dass der Flächeninhalt aller Rechtecke beim Heron-Verfahren gleich bleibt. Es muss also weiterhin gelten:

    $3\cdot b_1 = 5$

    Umstellen der Gleichung ergibt $b_1 = \frac53$.

    2. Schritt

    Auf dieselbe Weise errechnen wir $a_2 = \frac{a_1 + b_1}{2}$. Wenn wir diese Gleichung mit Zahlen füllen erhalten wir:

    $a_2 = \frac{3 + {\Large\frac53}}{2} = \frac73$

    Da der Flächeninhalt immer noch $5$ [FE] ergeben muss, können wir $b_2$ ausrechnen:

    $b_2 = 5\cdot\frac37 = \frac{15}{7}$

    3. Schritt

    Im dritten Schritt ergeben sich die Werte $a_3 = \frac{47}{21}$ und $b_3 = \frac{105}{47}$. Beide Brüche ergeben schon $\approx 2,23$ und sind eine gute Näherung für $\sqrt{5}$.

    Weiteres Vorgehen

    Man könnte jetzt auch noch den 4.,5. usw. Schritt berechnen. Das Ergebnis nähert sich immer weitere an $\sqrt{5}$ an. In Aufgaben steht immer, wie viele Schritte man anwenden soll bzw. wie genau die Rundung sein muss.

  • Ordne die Zahlen dem jeweiligen Zahlenbereich zu.

    Tipps

    Alle ganzen Zahlen, also $\mathbb{Z} = \{...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...\}$ sind auch rational, gehören also auch zur Menge $\mathbb{Q}$.

    Bei Wurzelausdrücken musst du überprüfen, ob unter der Wurzel eine Qudratzahl steht.

    Wenn dort eine Quadratzahl steht, ist der Wurzelausdruck rational, sonst irrational.

    Lösung

    Jede Zahl lässt sich eindeutig als rational oder irrational bezeichnen.

    Rationale Zahlen

    Die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ beinhaltet alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen. Dazu gehören auch Dezimalzahlen, die endend sind, oder bei denen sich die Nachkommastellen periodisch wiederholen. Auch natürliche und ganze Zahlen gehören zu dieser Menge, wie wir gleich sehen werden.

    Folgende Zahlen können durch diese Festlegung direkt der Menge $\mathbb{Q}$ zugeordnet werden:

    • $-\frac{1}{3}~;~ -\frac{25}{5}~;~ 0,\bar{1}~;~10,2$
    Dazu kommen Zahlen, die zu den natürlichen oder ganzen Zahlen gehören, da man diese mit dem Nenner $1$ ebenfalls als Bruch darstellen kann:

    • $15=\frac{15}{1}$ und $-1=\frac{-1}{1};$
    Dazu kommen noch die Wurzelausdrücke, die sich zu natürlichen oder ganzen Zahlen berechnen:

    • $\sqrt{25} = 5$ und $-\sqrt{16} = 4$
    Irrationale Zahlen

    Die Menge der irrationalen Zahlen besteht aus Zahlen, die sich als nicht endende und nicht periodische Dezimalzahlen schreiben lassen.

    Dazu gehören unter anderem alle Wurzelausdrücke, bei denen unter der Wurzel eine nicht-Quadratzahl steht, wie:

    • $-\sqrt{2}~;~\sqrt{18}~;~\sqrt{3}~;~\sqrt{15}~;~\sqrt{7}$
    Außerdem gehören dazu einige „besondere“ Zahlen:

    • Die Kreiszahl $\pi=3,14159265...$
    • Die Euler'sche Zahl $e=2,7182818284$
    • Der goldene Schnitt $\Phi=1,61803399...$
    • ...
  • Ermittle den Bereich auf dem Zahlenstrahl, in dem die jeweilige Wurzel liegt.

    Tipps

    Wenn du wissen willst, in welchem Bereich die jeweilige Wurzel liegt, quadriere die Dezimalzahlen, die durch die Striche dargestellt sind:

    • $1,1^2=1,21<2$, also ist $1,1<\sqrt2$.
    • $1,2^2=1,44<2$, also ist $1,2<\sqrt2$.
    • $1,3^2=~...$

    Es gilt:

    $\sqrt 2<\sqrt 3<\sqrt 5$

    • $\sqrt{2} \approx 1,4132$
    • $\sqrt{3} \approx 1,7321$
    • $\sqrt{5} \approx 2,2361$
    Lösung

    Auf dem Bild erkennst du eine graphische Herangehensweise. Das Rechteck, was sich aus dem orangen und dem gelben Quadrat oberhalb des Zahlenstrahls ergibt, hat den Flächeninhalt $2$cm$\cdot1$cm$=2$cm$^2$.

    Das Quadrat unterhalb des Zahlenstrahls ist durch eine Zerschneidung der kleinen Quadrate entstanden. Deshalb muss es ebenfalls den Flächeninhalt $2$cm$^2$ haben. Da es sich um ein Quadrat handelt, sind alle Seitenlängen gleich lang. Weil $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2$ gilt, ist die Seitenlänge des großen Quadrats $\sqrt{2}$cm. Dadurch kannst du am Zahlenstrahl den ungefähren Wert von $\sqrt{2}$ erkennen.

    Kommen wir nun zur rechnerischen Lösung!

    Zuerst ordnen wir $\sqrt 2$ in unseren Zahlenstrahl ein:

    • Es ist $1,4^2=1,96$ und
    • $1,5^2=2,25$.
    Damit gilt $1,4<\sqrt 2<1,5$.

    Hier siehst du nun $\sqrt 2$ mit einigen Nachkommastellen:

    $\sqrt 2=1,41421356237309504880168872420969807856967187537694 …$ ... und das hört tatsächlich nie auf und ist auch nicht periodisch.

    Ebenso kannst du bei den beiden anderen Wurzeln vorgehen.

    Jetzt ordnen wir $\sqrt 3$ in unseren Zahlenstrahl ein:

    • Es ist $1,7^2=2,89<3$ und
    • $1,8^2=3,24>3$.
    Damit ist $1,7<\sqrt 3<1,8$. Auch hier siehst du eine genauere Darstellung von $\sqrt 3$:

    $\sqrt 3=1.73205080757...$

    Zuletzt ordnen wir noch $\sqrt 5$ in unseren Zahlenstrahl ein:

    • Es ist $2,2^2=4,84$ und
    • $2,3^2=5,29$.
    Somit ist sicher $2,2<\sqrt 5<2,3$.

    Hier ist ebenfalls eine genauere Darstellung:

    $\sqrt 5=2,2360679774998...$