Division – Überblick und Anwendung

Division – Überblick und Anwendung Übung

• Nenne die verschiedenen Ausdrücke, die das Aufteilen von 18 Schafen in Gruppen von je 6 Schafen mathematisch korrekt wiedergeben.

  Tipps

  Das Ergebnis kannst du durch eine Umkehraufgabe prüfen:

  $18:~$?$~=6$

  Merke dir:

  Dividend $:$ Divisor $=$ Quotient

  Das Ergebnis bleibt gleich - egal, welche Schreibweise für die Division genutzt wird.

  Lösung

  Der Hirtenhund muss die Herde mit $18$ Schafen auf gleich große Gruppen mit je $6$ Schafen pro Gruppe aufteilen.

  Dies ist eine Divisionsaufgabe $18:6$.

  • $18$ ist der Dividend, die Zahl, die geteilt wird.
  • $6$ ist der Divisor, die Anzahl der Schafe pro Gruppe.
  • Das Ergebnis einer Division ist der Quotient. Hier ist der Quotient $3$, die Anzahl der Gruppen, die McWuff bilden kann.

  Eine Division kannst du auf verschiedene Arten mathematisch korrekt ausdrücken:

  • $18:6=3$ oder
  • $\frac{18}6=3$ (hier steht im Zähler der Dividend und im Nenner der Divisor)

  Das Ergebnis (der Quotient) ist immer gleich und unabhängig davon, welche Schreibweise du wählst.

• Erkläre, wie du das Verhältnis von weißen Schafen zu schwarzen Schafen bestimmen kannst.

  Tipps

  Beachte, dass das Verhältnis von weißen zu schwarzen Schafen gesucht ist und nicht umgekehrt.

  Du kannst Verhältnisse auch als Bruch darstellen.

  Wie du sicher weißt, kannst du Brüche auch vereinfachen (kürzen):

  $\frac{14}{7}=\frac21$

  Lösung

  Verhältnisse können ähnlich geschrieben werden wie Divisionen.

  In der Herde befinden sich $18$ Schafe, $3$ davon sind schwarz und somit kannst du folgern, dass $15$ weiß sind. Das Verhältnis von weißen zu schwarzen Schafen kannst du dann mit $\frac{15}3$ ausdrücken. Diesen Bruch kannst du zu $\frac51$ kürzen.

  Du kannst das Verhältnis von weißen zu schwarzen Schafen auch durch $18:3$ oder, vereinfacht, $5:1$ ausdrücken.

  In jedem Fall kommt auf $5$ weiße Schafe genau $1$ schwarzes Schaf.

  Verhältnisse kannst du also auf diese Arten ausdrücken:

  • $5:1$ oder
  • $\frac51$

• Erkläre, wie du die durchschnittliche Wolle pro Schaf berechnen kannst.

  Tipps

  Schau dir die Berechnung des Durchschnitts bei George und Ringo an:

  • Du addierst $4+6=10$.
  • Dann dividierst du durch $2$, also durch die Anzahl der Schafe.
  • Der gesuchte Durchschnitt ist $\frac{10}2=5$ kg Wolle pro Schaf.

  Die Summe aller berechneten Durchschnittswerte ist $11$.

  Lösung

  Um einen Durchschnittswert zu berechnen, geht man wie folgt vor:

  1. Man addiert alle Werte
  2. Man dividiert diese Summe durch die Anzahl der Werte

  Los geht's mit John und Paul.

  • Summe der Wolle: $4 + 2 = 6$
  • Division der Summe durch die Anzahl der Schafe: $6 : 2 = 3$
  • Lösung: $3~kg$ Wolle pro Schaf ist der Durchschnittswert der Wolle, die John und Paul produzieren.

  Nun sind John, Paul und Ringo an der Reihe:

  • Summe der Wolle: $2 + 4 + 6 = 12$
  • Division der Summe durch die Anzahl der Schafe: $12 : 3 = 4$
  • Lösung: $4~kg$ Wolle pro Schaf sind die Durchschnittsmenge an Wolle von John, Paul und Ringo.

  Zuletzt werden alle vier Schafe betrachtet.

  • Summe der Wolle: $4 + 2 + 4 + 6 = 16$
  • Division der Summe durch die Anzahl der Schafe: $16 : 4 = 4$
  • Lösung: Die vier Schafe produzieren durchschnittlich $4~kg$ Wolle pro Schaf.

• Untersuche, welche Informationen die Bestandteile der Division darstellen.

  Tipps

  Merke dir:

  Dividend $:$ Divisor $=$ Quotient

  Hier siehst du ein Beispiel mit einem Rest:

  $25:3=7+4$

  Du kannst dies prüfen: $7\cdot 3=21$. Wenn du $4$ addierst, erhältst du wieder $25$.

  • $25$ ist der Dividend
  • $3$ ist der Divisor
  • $7$ ist der Quotient
  • $4$ ist der Rest

  Lösung

  Paul und seine Bonbons $25:5=5$

  • $25$ Bonbons ist der Dividend
  • $5$ Personen ist der Divisor
  • $5$ Bonbons ist der Quotient

  Anna und ihre Hausaufgaben $12:3=4$

  • $12$ Hausaufgaben ist der Dividend
  • $3$ Tage ist der Divisor
  • $4$ Hausaufgaben ist der Quotient

  Claire, Suse und Chris und ihr Durchschnittsalter

  1. Addiere $17 + 21 + 34 = 72$. Dies ist der Dividend.
  2. Dividiere diese Summe durch die Anzahl der Personen, $3$. Dies ist der Divisor.
  3. So erhalten die drei ihr Durchschnittsalter: $72:3=24$. $24$ ist der Quotient, also das Durchschnittsalter der drei Freunde.

  Monika und die 100 Äpfel In dem letzten Beispiel wird eine Division mit Rest durchgeführt: $100:6=16+4$

  • $100$ Äpfel ist der Dividend
  • $6$ Klassenkameraden ist der Divisor
  • $16$ Äpfel ist der Quotient
  • $4$ Äpfel sind der Rest

• Gib an, wie die einzelnen Bestandteile der Division heißen.

  Tipps

  Merke dir:

  • für die Addition: Summand $+$ Summand $=$ Summe
  • für die Subtraktion: Minuend $-$ Subtrahend $=$ Differenz

  Für die Multiplikation gilt:

  Faktor $\cdot$ Faktor $=$ Produkt

  Der Dividend ist das, was geteilt wird.

  Das Ergebnis einer Division ist der Quotient.

  Lösung

  Der Hund McWuff muss die Herde in kleinere Gruppen mit je $6$ Schafen pro Gruppe aufteilen. Zu der Herde gehören insgesamt $18$ Schafe. Das kannst du als Divisionsaufgabe $18 : 6$ ausdrücken.

  • $18$ ist der Dividend, die Zahl, die geteilt wird.
  • $6$ ist der Divisor, die Zahl, durch die geteilt wird.
  • Das Ergebnis der Division, die Anzahl der Gruppen mit je $6$ Schafen, ist der Quotient. Hier sind es $3$ Gruppen, die McWuff bilden kann.

  Merke dir: Dividend : Divisor = Quotient

• Wende die Division zur Berechnung von Durchschnitt und Verhältnissen an.

  Tipps

  Vereinfache die Brüche so weit wie möglich. Schau dir dies an einem Beispiel an:

  $\frac{20}{8}=\frac{20:4}{8:4}=\frac52$

  Um den Durchschnitt von verschiedenen Werten zu bestimmen, gehst du wie folgt vor:

  1. Addiere alle Werte
  2. Teile die Summe durch die Anzahl der Werte

  Um das Verhältnis zu bestimmen, ermittle zuerst die Anzahl der Schülerinnen.

  Lösung

  Das Verhältnis von Jungen zu Mädchen:

  • Die Anzahl der Mädchen bestimmst du, indem du von der Gesamtzahl der Schüler, $30$, die Zahl der Jungen, $18$, abziehst: $30-18=12$. Es gibt also $12$ Mädchen in Pauls Klasse.
  • Das kannst du nun in einem Verhältnis $18:12$ Jungen zu Mädchen ausdrücken. Du kannst das Verhältnis auch immer als Bruch schreiben: $\frac{18}{12}$.
  • Brüche und Verhältnisse kannst du vereinfachen, indem du Dividend und Divisor durch den größten gemeinsamen Teiler teilst. Hier kannst du vereinfachen zu $3:2$.
  • Auf jeweils $3$ Jungen kommen also $2$ Mädchen.

  Das Aufteilen der Klasse in Gruppen:

  • Die Klasse soll in $4$ Gruppen aufgeteilt werden. Dies führt zu der folgenden Aufgabe: $30:4=7$, Rest $2$.
  • In jeder Gruppe befinden sich also $7$ Kinder und es bleiben zwei Kinder übrig. Aber kein Problem: Die beiden sind die Schiedsrichter im Quiz!

  Die durchschnittliche Punktzahl pro Gruppe:

  • Um den Durchschnitt zu bestimmen, gehst du immer gleich vor: Addiere alle Werte und teile danach diese Summe durch die Anzahl der Werte.
  • Die Addition der Ergebnisse des Quiz sieht so aus: $120+80+70=270$
  • Diese Summe, $270$, wird durch die Anzahl der Gruppen, $3$, dividiert: $270:3=90$
  • Das Durchschnittsergebnis bei dem Quiz ist $90$ Punkte pro Gruppe.