Trapez – Grundlagen 09:57 min
Transkript Trapez – Grundlagen
Hallo liebe Schülerinnen und Schüler. Herzlich Willkommen zu diesem Video. Geometrie Teil 32. Das Thema dieses Videos lautet: Das Trapez. Das Unterthema dieses Videos lautet: A: Grundlagen. Ein langer, langer Tunnel soll gebaut werden. Und dieser lange Tunnel hat den Querschnitt eines Viereckes. So wie hier, durch dieses Rote Modell, dargestellt wird. Wir haben schon viel Erfahrungen mit Vierecken gesammelt. Und gehen wie gewohnt vor. Zunächst beschriften wir die Eckpunkte unseres Vierecks. Mit den Großbuchstaben A, B, C und D. Die Seiten heißen entsprechend, mit kleinen Buchstaben notiert: a, b, c und d. Wollen wir uns zunächst die Seitenlängen anschauen. Ich habe hier ein Modell der maßstabgetreu den Tunnel darstellt. Es ist der Maßstab 1 zu 100. Das bedeutet, dass ein Zentimeter in meinem Modell, 100 Zentimeter in Natur sind. Oder ein Zentimeter in meinem roten Modell, sind ein Meter in Wirklichkeit. Ich messe nun die Längen in dem maßstabgetreuen Modell und multipliziere sie gleich mit 100. Das Ergebnis nenne ich euch. Die Seite a beträgt in Wirklichkeit 28 Meter. Die Seite b beträgt 11,5 Meter. Die Seite c beträgt 14 Meter. Die Seite d beträgt 12,8 Meter. Wir vergleichen alle vier Seiten und stellen fest: Alle vier Seiten sind verschieden lang. Als nächstes betrachten wir die mögliche Parallelität von Seiten. b-c und d-a sind nicht parallel zueinander. b-c nicht parallel zu d-a. Die Seiten a-b und c-d sind sehr wohl parallel zu einander. Das kann man nachweisen, in dem man den Abstand zwischen den beiden Parallelen, die durch a-b, beziehungsweise c-d gehen, ausmisst. Ich messe an drei verschiedenen Stellen und erhalte jeweils 10 cm als Abstand zwischen diesen beiden Parallelen. Ich schreibe auf: h=10 Zentimeter. Daraus ergibt sich: a-b ist parallel zu c-d. Wir können schlussfolgern: Zwei Seiten sind parallel zueinander. Jetzt können wir eine Definition des neuen Viereckes verfassen. Probiert es einmal. Vielleicht so: Ein Viereck mit zwei parallelen Seiten nennt man Trapez. Der Querschnitt des Tunnels ist demnach ein Trapez. Die Seiten sind a, b, c und d. Und für ein Trapez muss gelten: a ist parallel zu c. Als nächstes wollen wir die Innenwinkel in einem Trapez betrachten. Wir bezeichnen sie in gewohnter Weise, mit den griechischen Kleinbuchstaben α, β, γ, und δ. Bereits im Video Geometrie Teil 7 haben wir gezeigt, dass in jedem Viereck die Summe der Innenwinkel 360° beträgt. Also α+β+γ+δ = 360°. Das gilt für jedes Viereck. Welche Besonderheiten hat unser Trapez aufzuweisen? Ich verlängere ein Mal die beiden parallelen Seiten durch zwei Geraden. Fällt euch nun etwas auf? Richtig. α+δ = 180°. Und außerdem β+γ = 180°. Was haben wir bereits im Video Geometrie Teil 5 besprochen? Wisst ihr noch wie diese Winkel an geschnittenen Parallelen hießen? Richtig, benachbarte Winkel. Wir wollen nun einen Merksatz für die Innenwinkel im Trapez formulieren. Im Trapez ergibt jeweils die Summe zweier Winkel, die an derselben nicht parallelen Seite angrenzen, 180°. α und δ grenzen an der nicht parallelen Seite d an. Also α+δ = 180°.β und γ grenzen an der nicht parallelen Seite b an. Also: β+γ = 180°. Als letzten Punkt heute wollen wir das Thema Trapez und andere Vierecke besprechen. Wir wollen das Trapez mit anderen Vierecken vergleichen. Zunächst kann ich ein Trapez folgendermaßen darstellen: Ich nehme mir Baumaterial aus einem einfachen Holzbaukasten und bastele so ein Modell für ein Trapez. Das ist allen klar, nicht? So. Und als nächstes kann ich mir ein Parallelogramm basteln. Und bei einem Parallelogramm sind ja zwei Seiten zueinander parallel. Also ist das auch ein Trapez. Die beiden anderen Seiten sind auch parallel zueinander. Na klar, ein Parallelogramm ist ein Trapez. So. Und jetzt mache ich aus dem Parallelogramm ein spezielles Parallelogramm. Nämlich ein Rechteck. Und wie sieht es damit aus? Schau ich mir das einmal an. So. Also das Rechteck hat auch zwei parallele Seiten. Unten und oben. Genau wie das Trapez. Also ist ein Rechteck auch ein Trapez. Und die beiden anderen Seiten beim Rechteck sind auch parallel. Na klar, ein Rechteck ist auch ein Trapez. So. Und wie sieht es denn beim Quadrat aus? Naja, beim Quadrat habe ich unten und oben zwei parallele Seiten. Genau wie beim Trapez. Oben und unten. Und wenn ich es drehe, habe ich nochmal zwei parallele Seiten. Also ist ein Quadrat auch ein Trapez. So. Und wenn ich das Quadrat etwas verbiege. Etwas schief mache. Erhalte ich was? Richtig. Eine Raute, einen Rhombus. Und beim Rhombus, sind die Seiten oben und unten auch parallel. Also wieder ein Trapez, wenn ich es drehe, Oben und Unten, auch parallel. Also ganz klar. Eine Raute, auch Rhombus genannt, ist ein Trapez. Wir wollen das Gesagte und Gehörte einmal zusammenfassen. Folgende Vierecke gehören zu den Trapezen: Könnt ihr euch daran erinnern? Ja, richtig. Das Parallelogramm. Das Parallelogramm ist ein Trapez. Weiter, das Rechteck. Richtig, auch das Rechteck ist ein Trapez. Das nächste Viereck. Die Raute. Auch Rhombus genannt. Auch die Raute ist ein Trapez. Und schließlich, ja, das Quadrat. Auch das Quadrat ist ein Trapez. Parallelogramm, Rechteck, Raute und Quadrat. Alle diese Vierecke sind Trapeze. So. Und wir sind schon wieder am Ende. Euch wünsche ich alles Gute, viel Erfolg, Gesundheit. Und vielleicht sehen und hören wir uns wieder. Im Video Geometrie Teil 33. Tschüss!
Videobeschreibung
Hallo liebe Schülerinnen und Schüler. Herzlich Willkommen zum 32. Teil der Videoreihe „ Geometrie “. Das Thema dieses Video lautet „Trapez - Grundlagen “. Ein langer Tunnel mit trapezförmigem Querschnitt soll gebaut werden. In den letzten Videos haben wir bereits viele Erfahrungen mit Vierecken gesammelt. Zuerst werden wir die Seiten und die Innenwinkel des Viereckes vermessen und überprüfen, ob es irgendwelche besonderen Eigenschaften hat. Im Anschluss werden wir eine Definition für das Trapez aufzustellen. Zum Schluss wird das spezielle Viereck mit dem Parallelogramm, dem Rechteck, der Raute und dem Quadrat verglichen. Viel Spaß beim Mitmachen!
Der Tutor:
Dr. rer. nat.
Trapez – Grundlagen
Trapez – Grundlagen Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Trapez – Grundlagen kannst du es wiederholen und üben.
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Beschreibe die Eigenschaften eines Trapezes.
Tipps
In jedem Viereck gilt: Die Summe der vier Innenwinkel ergibt $360^\circ$.
Wenn zwei parallele Geraden $g$ und $h$ von einer weiteren Geraden $l$ geschnitten werden, erhält man verschiedene Schnittwinkel.
- Zum Beispiel sind $\alpha$ und $\beta$ Wechselwinkel. Sie sind gleich groß.
- $\beta$ und $\delta$ sind benachbarte Winkel (Nebenwinkel). Diese ergänzen sich zu $180^\circ$.
Zwei Seiten (Geraden) sind parallel zueinander, wenn sie überall den gleichen Abstand zueinander haben.
Lösung
Was zeichnet ein Trapez aus?
Bei einem Trapez sind mindestens zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel zueinander.
In diesem Trapez sind die Seiten $\overline{AB}$ sowie $\overline{CD}$ parallel zueinander. Dies kannst du dir so klarmachen:
- Zeichne zwei Geraden. Auf der einen liegt die Seite $\overline{AB}$ und auf der anderen die Seite $\overline{CD}$.
- Nun kannst du an verschiedenen Punkten der einen Geraden den Abstand zu der anderen messen.
- Wenn alle Abstände gleich groß sind, sind die Geraden parallel.
Ansonsten können die Seiten durchaus verschieden lang sein.
Schauen wir uns noch die Winkel an:
- Zum einen ist die Summe der vier Innenwinkel (wie bei jedem Viereck) gleich $360^\circ$.
- Wenn du die Seite $c$ über den Punkt $C$ hinaus verlängerst, erhältst du einen Winkel, der $\gamma$ zu $180^\circ$ ergänzt. Dieser Winkel ist ein Wechselwinkel zu $\beta$ und deshalb genauso groß wie $\beta$.
- Damit folgt, dass $\beta+\gamma=180^\circ$.
- Gleiches gilt für die benachbarten Winkel $\alpha+\delta=180^\circ$.
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Bestimme die zueinander parallelen Seiten in dem Trapez.
Tipps
Die zueinander parallelen Seiten müssen einander gegenüberliegen.
Die Paare einander gegenüberliegender Seiten sind:
- $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$,
- $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$.
Parallele Geraden $g$ und $h$ haben überall den gleichen Abstand $D(g;h)$ zueinander.
Lösung
Wenn in einem Viereck zwei Seiten parallel zueinander sind, ist das Viereck ein Trapez. Die parallelen Seiten liegen sicher einander gegenüber.
Schau dir die Seite $\overline{AB}$ an. Dieser Seite gegenüber liegt die Seite $\overline{CD}$. Diese Seiten sind nicht parallel: $\overline{AB}\not\parallel\overline{CD}$.
Nun bleibt noch das andere Paar einander gegenüberliegender Seiten: $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$. Diese Seiten sind parallel zueinander: $\overline{AD}\not\parallel\overline{BC}$.
Das abgebildete Viereck ist tatsächlich ein Trapez.
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Gib die Vierecke an, welche ebenfalls ein Trapez sind.
Tipps
In einem Trapez sind mindestens zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sein. Es kann durchaus auch zwei Paare paralleler Seiten geben.
Im Haus der Vierecke wohnen alle Vierecke.
Ein Pfeil Viereck$_1$ $\mathbf{\rightarrow}$ Viereck$_2$ bedeutet, dass Viereck$_1$ insbesondere auch alle Eigenschaften von Viereck$_2$ besitzt.
Das Trapez wohnt in der zweiten Etage. Es ist orange gezeichnet.
Lösung
Im Haus der Vierecke wohnen alle Vierecke. Das (orange) Trapez wohnt in der zweiten Etage.
Wenn ein Pfeil von Viereck$_1$ zu Viereck$_2$ führt, bedeutet dies, dass Viereck$_1$ insbesondere alle Eigenschaften von Viereck$_2$ besitzt.
Wie du siehst, führt vom Drachenviereck und vom allgemeinen Viereck kein Pfeil zum Trapez. Diese beiden Vierecke sind keine Trapeze.
Alle übrigen Vierecke sind ebenfalls Trapeze:
- Das Quadrat wohnt ganz oben. Du könntest dieses als das perfekte Viereck bezeichnen.
- Raute (oder auch Rhombus),
- Rechteck und
- Parellelogramm.
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Ermittle die fehlenden Größen eines Trapezes.
Tipps
Der Umfang eines (beliebigen) Vierecks ist die Summe der einzelnen Seitenlängen.
Ist in einem rechtwinkligen Dreieck ein spitzer Winkel $45^\circ$ gegeben, dann beträgt auch der andere spitze Winkel $45^\circ$.
Das bedeutet, dass das Dreieck zusätzlich auch gleichschenklig ist.
Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.
Lösung
Lass uns in diesem Trapez mit den Seitenlängen beginnen.
Du siehst hier links und rechts zwei rechtwinklige Dreiecke. Da der Winkel $45^\circ$ gegeben ist, kannst du folgern, dass der andere Winkel ebenfalls $45^\circ$ beträgt. Das bedeutet, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
Von links nach rechts ergibt sich $a=15~\text{cm}$, also so $15~\text{cm}=3~\text{cm}+c+3~\text{cm}$. Subtrahiere nun $6~\text{cm}$. So erhältst du $c=9~\text{cm}$.
Die Seiten $b=d$ kannst du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras bestimmen:
$\begin{array}{rclll} d^2&=&\left(3~\text{cm}\right)^2+\left(3~\text{cm}\right)^2\\ &=&18~\text{cm}^2&|&\sqrt{~~~}\\ d&=&\sqrt{18}~\text{cm}\\ &=&3\cdot \sqrt2~\text{cm} \end{array}$
Da nun alle Seitenlängen bekannt sind, kannst du den Umfang und den Flächeninhalt des Trapezes berechnen:
Mit $u=a+b+c+d$ erhältst du $u=15~\text{cm}+3\cdot\sqrt2~\text{cm}+9~\text{cm}+3\cdot\sqrt2~\text{cm}=(24+6\cdot \sqrt2)~\text{cm}\approx32,5~\text{cm}$.
Verwende für den Flächeninhalt die Formel $A=\frac{a+c}2\cdot h$. Damit ist $A=\frac{15~\text{cm}+9~\text{cm}}2\cdot 3~\text{cm}=36~\text{cm}^2$.
Bleiben noch die Winkel:
- Die Winkel, die an den parallelen Seiten anliegen, sind gleich groß. Somit ist $45^\circ=\beta$.
- Die an den Schenkeln anliegenden Winkel summieren sich zu $180^\circ$. Dies führt zu $45^\circ+\gamma=180^\circ$. Subtraktion von $45^\circ$ führt zu $\gamma=180^\circ-45^\circ=135^\circ$.
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Untersuche die Winkel in einem gleichschenkligen Trapez.
Tipps
Verwende den Kongruenzsatz SSW: Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in zwei Seiten sowie dem der längeren der beiden Seiten gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.
Kongruente Dreiecke sind insbesondere ähnliche Dreiecke. Das bedeutet, dass einander entsprechende Winkel gleich groß sind.
Beachte: Die Höhe zwischen einem Punkt und einer Seite steht senkrecht zu dieser Seite.
Dies siehst du hier am Beispiel eines Dreiecks: Die Höhe $h_C$ steht senkrecht zu der Seite $c$.
Lösung
Wenn du in das Trapez die Höhe (einmal in $D$ und einmal in $C$) einzeichnest, erhältst du zwei rechtwinklige Dreiecke: $\triangle{APD}$ sowie $\triangle{BQC}$.
Diese Dreiecke sind kongruent zueinander. Wieso ist das so? Du verwendest den Kongruenzsatz SSW: Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der längeren der beiden Seiten gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.
- Die beiden rechten Winkel in den Fußpunkten $P$ und $Q$ sind gleich groß.
- Die gegenüberliegenden Seiten sind $b$ beziehungsweise $d$. Da das Trapez gleichschenklig ist, gilt $b=d$ oder $\overline{AD}=\overline{BC}$.
- Die Dreiecke haben auch die Höhe $h$ gemeinsam. Es gilt also $\overline{PD}=\overline{QC}$.
So erhältst du $\alpha=\beta$.
Verwende $\alpha+\delta=180^\circ$ sowie $\beta+\gamma=180^\circ$. Es ist also $\alpha+\delta=\alpha+\gamma$. Subtrahiere nun den Winkel $\alpha$. So kommst du zu $\delta=\gamma$.
Zusammenfassend gilt: Die an den parallelen Seiten eines gleichschenkligen Trapezes anliegenden Winkel sind gleich groß.
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Leite den Flächeninhalt eines gleichseitigen Trapezes her.
Tipps
Das Trapez setzt sich zusammen aus einem Rechteck und zwei rechtwinkligen Dreiecken. Das bedeutet, dass sich der Flächeninhalt durch Addition der entsprechenden Flächeninhalte ergibt.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ berechnet sich über die Formel $A=a\cdot b$.
Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ergibt sich so: Du multiplizierst die Katheten und dividierst das Produkt durch $2$.
In dem abgebildeten Dreieck gilt somit $A=\frac12\cdot a\cdot b$.
Lösung
Das Trapez lässt sich aufteilen in ein Rechteck $PQCD$ sowie die rechtwinkligen (und kongruenten) Dreiecke $\triangle{APD}$ und $\triangle{BQC}$.
Das bedeutet, wenn du die einzelnen Flächen berechnest und diese dann addierst, erhältst du den Flächeninhalt des Trapezes.
Das Rechteck
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der Seitenlängen. So erhältst du $A_1=c\cdot h$.
Die rechtwinkligen Dreiecke
Du berechnest den Flächeninhalt des Dreiecks $\triangle{APD}$. Dieser ist gegeben durch $A_{\triangle{APD}}=\frac12\cdot \overline{AP}\cdot h$.
Die Länge der Seite $\overline{AP}$ ist gegeben durch $\frac{a-c}2$.
Da die beiden Dreiecke kongruent sind, erhältst du den Gesamtflächeninhalt $A_2=2\cdot\frac12\cdot\frac{a-c}2\cdot h=\frac{a-c}2\cdot h$.
Addition der Flächen
Zuletzt addierst du $A_1$ und $A_2$ zu dem Flächeninhalt des Trapezes:
$\begin{array}{rcl} A&=&c\cdot h+\frac{a-c}2\cdot h\\ &=&\frac{2c}2\cdot h+\frac{a-c}2\cdot h\\ &=&\frac{2c+a-c}2\cdot h\\ &=&\frac{a+c}2\cdot h \end{array}$
Übrigens: Diese Formel gilt für jedes beliebige Trapez.
8 Kommentare
Find ich gut, war aber nicht das, was ich brauche. Aber sonst ist er ganz gut!!
Super! Ich habe es jetzt verstanden!
sehr gut erklärt danke :D
Gutes Video =)
nice
gutes video
habe es endlich verstanden :) :D
supi