Lineare Funktionen zeichnen – rationale Parameter m und b

Lineare Funktionen zeichnen – rationale Parameter m und b Übung

• Bestimme die Steigung und den y-Achsenabschnitt der Funktion.

  Tipps

  Die Steigung ist der Faktor vor dem $x$ und der $y$-Achsenabschnitt der Term, der alleine steht.

  Achte sowohl bei der Steigung als auch beim $y$-Achsenabschnitt auf das Vorzeichen.

  Häufig rechnest du zu einigen $x$-Werten die zugehörigen Funktionswerte $y$ aus und überträgst diese in ein Koordinatensystem.

  So kannst du den Graphen einer Funktion erstellen.

  Lösung

  Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet:

  $y=m\cdot x+b$

  Dabei steht

  • $m$, also der Faktor vor dem $x$, für die Steigung und
  • $b$, also der Term, der alleine steht, für den $y$-Achsenabschnitt.

  Wenn man den Graphen einer linearen Funktion ohne Angabe einer Wertetabelle zeichnen möchte, benötigt man lediglich die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt.

  Bei der Funktion mit der Funktionsgleichung $y=-\frac23x+\frac45$ ist $m=-\frac23$ die Steigung und $b=\frac45$ der $y$-Achsenabschnitt.

• Beschreibe, wie man den Graphen einer linearen Funktion zeichnen kann.

  Tipps

  Der Term, der alleine steht, ist der $y$-Achsenabschnitt. Daran kannst du erkennen, wo die Gerade die $y$-Achse schneidet.

  Der Faktor vor dem $x$ ist die Steigung. Diese wird mit Hilfe eines Steigungsdreiecks eingezeichnet.

  Wenn die Steigung als negativen Bruch gegeben ist, zeichnet man das Steigungsdreieck wie folgt:

  Beispiel: $~m=-\frac 25$

  • Man geht $5$ Einheiten nach rechts und $2$ Einheiten nach unten.

  Oder:

  • Man geht $5$ Einheiten nach links und $2$ Einheiten nach oben.

  Lösung

  Wenn man den Graphen einer linearen Funktion $y=m\cdot x+b$, also eine Gerade, zeichnen möchte, geht man wie folgt vor:

  Schritt 1

  Zunächst trägt man auf der $y$-Achse den $y$-Achsenabschnitt ein, hier $b=\frac45$.

  Schritt 2 und 3

  Nun zeichnet man ein Steigungsdreieck. Wir betrachten hier $-\frac 23=\frac {-2}{3}$ und müssen daher $3$ Einheiten in positive $x$-Richtung und $2$ Einheiten in negative $y$-Richtung gehen:

  • Ausgehend von dem Punkt auf der $y$-Achse geht man parallel zur $x$-Achse drei Einheiten nach rechts.
  • Von dort aus geht man parallel zur $y$-Achse zwei Einheiten nach unten.

  Würden wir stattdessen $-\frac 23=\frac {2}{-3}$ annehmen, dann müssten wir $3$ Einheiten in negative $x$-Richtung und $2$ Einheiten in positive $y$-Richtung gehen. Aber das führt beides auf dieselbe Gerade.

  Schritt 4

  • Wenn man den Punkt auf der $y$-Achse mit jenem verbindet, zu dem man durch das Steigungsdreieck gelangt ist, erhält man die gesuchte Gerade.

• Prüfe die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Mache dir jeweils die Aussage an einem Beispiel klar. Wenn du glaubst, dass die Aussage falsch ist, genügt es, ein Gegenbeispiel zu finden.

  Zeichne die beiden Geraden zu $y=2x-4$ und zu $y=2x+1$ in ein gemeinsames Koordinatensystem. Was fällt dir auf?

  Zeichne die beiden Geraden zu $y=2x+1$ und zu $y=x+1$ in ein gemeinsames Koordinatensystem. Was fällt dir auf?

  Lösung

  Welche Bedeutung haben die Steigung und der $y$-Achsenabschnitt?

  • Der $y$-Achsenabschnitt ist die Stelle, an welcher die Gerade die $y$-Achse schneidet.

  • Die Steigung $m$ zeigt an, ob die Gerade steigt ($m>0$) oder fällt ($m<0$).

  Darüber hinaus kann man feststellen, dass zwei Geraden mit identischer Steigung entweder parallel oder identisch sind. Sie sind identisch, wenn zusätzlich auch noch die $y$-Achsenabschnitte übereinstimmen.

  Wenn nur die $y$-Achsenabschnitte, jedoch nicht die Steigungen, übereinstimmen, schneiden sich die beiden Geraden in dem $y$-Achsenschnittpunkt.

• Ordne den jeweiligen Geraden Funktionsgleichungen zu.

  Tipps

  Ermittle zunächst jeweils den $y$-Achsenabschnitt. Dies ist der Term, der alleine steht.

  Ausgehend von dem $y$-Achsenabschnitt kannst du ein Steigungsdreieck einzeichnen. Dieses verrät dir die Steigung der Geraden. Hierzu teilst du die Längeneinheiten der vertikalen Seite durch die Längeneinheiten der horizontalen Seite des Steigungsdreiecks.

  Du kannst aber auch mit Hilfe zweier Punkte auf der Geraden die Steigung als Quotient aus der Differenz der $y$-Koordinaten und der Differenz der $x$-Koordinaten berechnen:

  • $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Lösung

  Ganz allgemein lautet die Gleichung einer linearen Funktion wie folgt:

  $y=m\cdot x+b$

  Dabei ist

  • $m$ die Steigung und
  • $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Der $y$-Achsenabschnitt ist die $y$-Stelle, an welcher die Gerade die $y$-Achse schneidet.

  Die Steigung kann man mit Hilfe eines weiteren Punktes bestimmen. Dieser Punkt sollte gut abzulesen sein. In jedem dieser Beispiele wären dies die Schnittpunkte mit der $x$-Achse.

  Die Geraden von oben nach unten:

  • Der $y$-Achsenabschnitt ist $1$. Ausgehend vom $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0|1)$ gehen wir $1$ Einheit nach unten und $3$ Einheiten nach rechts. Damit beträgt die Steigung $-\frac 13$. Die Gleichung lautet $y=-\frac 13x+1$.
  • Der $y$-Achsenabschnitt ist $2$ – der $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0|2)$. Ein weiterer Punkt ist $Q(1|0)$, somit ist die Steigung $m=\frac{0-2}{1-0}=-2$. Die Gleichung lautet $y=-2x+2$.
  • Der $y$-Achsenabschnitt ist $1$ und damit ist $S_y(0|1)$. Ein weiterer Punkt ist $Q(-2|0)$, somit ist die Steigung $m=\frac{0-1}{-2-0}=\frac12$. Die Gleichung lautet $y=\frac12x+1$.
  • Der $y$-Achsenabschnitt ist $-2$. Ausgehend vom $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0|-2)$ gehen wir $2$ Einheiten nach oben und $3$ Einheiten nach rechts. Damit beträgt die Steigung $\frac 23$. Die Gleichung lautet $y=\frac23x-2$.

• Gib an, wie man mit Hilfe des Steigungsdreiecks eine Gerade zeichnen kann.

  Tipps

  Wenn die Steigung als Bruch gegeben ist, zeichnet man das Steigungsdreieck wie folgt: $~m=\frac ab$

  • Man geht $b>0$ Einheiten nach rechts und
  • $|a|$ Einheiten nach oben, wenn $a>0$ ist, beziehungsweise nach unten, wenn $a<0$ ist.

  Oder:

  • Man geht $|b|$ Einheiten nach rechts, wenn $b>0$ ist, beziehungsweise nach links, wenn $b<0$ ist, und
  • $a>0$ Einheiten nach oben.

  Beachte:

  • Ist die Steigung negativ, fällt die Gerade.
  • Ist sie positiv, steigt die Gerade.

  Es sind zwei Aussagen korrekt.

  Lösung

  Wenn man den $y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion auf der $y$-Achse eingetragen hat, kann man mit Hilfe eines Steigungsdreiecks die Steigung einzeichnen.

  Wenn ganz allgemein die Steigung als Bruch $m=\frac ab$ gegeben ist, dann

  • geht man $b>0$ Einheiten nach rechts und
  • $|a|$ Einheiten nach oben, wenn $a>0$ ist, beziehungsweise nach unten, wenn $a<0$ ist.

  Oder:

  • Man geht $|b|$ Einheiten nach rechts, wenn $b>0$ ist, beziehungsweise nach links, wenn $b<0$ ist, und
  • $a>0$ Einheiten nach oben.

  Sei, wie in diesem Beispiel, die Steigung $m=-\frac23$, so kann man wie folgt vorgehen:

  • Wenn wir die Steigung $m=-\frac23=\frac{2}{-3}$ betrachten, gehen wir von einem Punkt der Geraden aus $2$ Schritte nach oben und $3$ Schritte nach links.
  • Wenn wir die Steigung $m=-\frac23=\frac{-2}{3}$ betrachten, gehen wir von einem Punkt der Geraden aus $2$ Schritte nach unten und $3$ Schritte nach rechts.

  Beide Möglichkeiten sind richtig und führen mit Hilfe des Steigungsdreiecks zur gesuchten Gerade.

• Ermittle jeweils die Gleichung der linearen Funktionen.

  Tipps

  Zeichne zum Beispiel eine Gerade mit einer bekannten Steigung in ein Koordinatensystem ein. Überlege nun, welche Steigung eine zu dieser Geraden parallele bzw. senkrechte Gerade hat.

  Den Betrag der Steigung kannst du ausgehend vom Steigungsdreieck wie folgt bestimmen:

  $|m|=\dfrac{\text{vertikale Seite}}{\text{horizontale Seite}}$

  Das Vorzeichen ergibt sich aus dem Verlauf der Geraden. Fällt die Gerade, so ist die Steigung negativ. Eine steigende Gerade besitzt eine positive Steigung.

  Eine Gerade hat die Steigung $m$. Jede Gerade, die zu dieser Geraden ...

  • ... parallel ist, hat ebenfalls die Steigung $m$.
  • ... senkrecht ist, hat die Steigung $-\frac 1m$.

  Lösung

  Da sich alle Geraden im Koordinatenursprung treffen, haben sie alle den $y$-Achsenabschnitt $b=0$. Die Steigungen erhalten wir wie folgt:

  Gerade 1

  Jede Gerade, die zu einer Geraden der Steigung $m$ parallel ist, hat ebenfalls die Steigung $m$. Damit erhalten wir hier folgende Geradengleichung:

  • $y=-2x+0=-2x$

  Gerade 2

  Jede Gerade, die zu einer Geraden der Steigung $m$ senkrecht ist, hat die Steigung $-\frac 1m$. Damit erhalten wir hier folgende Geradengleichung:

  • $y=-3x+0=-3x$

  Gerade 3

  Den Betrag der Steigung kannst du ausgehend vom Steigungsdreieck wie folgt bestimmen:

  • $|m|=\dfrac{\text{vertikale Seite}}{\text{horizontale Seite}}$

  Das Vorzeichen ergibt sich aus dem Verlauf der Geraden. Fällt die Gerade, so ist die Steigung negativ. Eine steigende Gerade besitzt eine positive Steigung.

  Wir betrachten hier eine steigende Gerade, deren Steigungsdreieck folgende Eigenschaften hat: Seine horizontale Seite ist ein Viertel so lang wie die vertikale. Es gilt also:

  • $|m|=\dfrac{\text{vertikale Seite}}{\text{horizontale Seite}}=\dfrac{\text{vertikale Seite}}{\frac 14\text{vertikale Seite}}=4$

  Damit ist:

  • $y=4x+0=4x$