Lineare Funktionen – Treffpunkt ausrechnen

Lineare Funktionen – Treffpunkt ausrechnen Übung

• Stelle die Gleichungen der beiden linearen Funktionen auf.

  Tipps

  Die allgemeine Darstellung einer linearen Funktionsgleichung lautet

  $y=m\cdot x+b$.

  Dabei ist

  • $m$ die Steigung und
  • $b$ der y-Achsenabschnitt.

  Die Steigung $m$ ist durch die Geschwindigkeit der beiden Läuferinnen gegeben.

  Beachte, dass bei Carina die Funktion für den Rücklauf betrachtet werden muss, da sie den Wendepunkt vor Heike erreichen wird.

  Beachte, dass die Hinlauffunktion von Carina gerade $y=\frac{12}{53}x$ ist.

  Lösung

  Die allgemeine Darstellung einer linearen Funktionsgleichung lautet $y=m\cdot x+b$.

  Dabei ist

  • $m$ die Steigung und
  • $b$ der y-Achsenabschnitt.

  Zunächst wird die Gleichung der linearen Funktion aufgestellt, welche den Lauf von Heike darstellt. Heike benötigt für einen Kilometer $6~min$; das heißt, $6~\frac{min}{km}$. Die Steigung ist die Geschwindigkeit; es muss also der Kehrwert gebildet werden:

  $m=\frac16~\left[ \frac{km}{min}\right]$.

  Da Heike am Startpunkt $y=0$ zur Startzeit $x=0$ startet, ist der y-Achsenabschnitt $b=0$. Somit lautet die lineare Gleichung, welche Heikes Lauf beschreibt:

  $y=\frac16x$.

  Die Gleichung von Carinas (Rück-)Lauf aufzustellen, ist etwas komplexer. Da Carina für einen Kilometer $4~min~25~sec$ benötigt – dies entspricht $\frac{53}{12}~min$ – ist die Geschwindigkeit

  $\large{m=\frac{1}{\frac{53}{12}}=\frac{12}{53}}$.

  Für den Hinweg ist der y-Achsenabschnitt ebenfalls $0$. Wann hat Carina den Wendepunkt $y=2,5$ erreicht? Hierfür wird die folgende Gleichung gelöst:

  $\begin{align*} 2,5& =\frac{12}{53}x&|&\cdot\frac{53}{12} \\ x& = 2,5\cdot\frac{53}{12}\\ &=\frac{265}{24}. \end{align*}$

  Der zugehörige Punkt ist dann $\left(\frac{265}{24}|2,5\right)$.

  Da Carina vom Wendepunkt aus zurückläuft, ist die Steigung der Funktion, welche den Rücklauf angibt, gegeben durch

  $m=-\frac{12}{53}$.

  Um den y-Achsenabschnitt zu berechnen, wird der bekannte Punkt in die Funktionsgleichung eingesetzt:

  $\begin{align*} 2,5& =-\frac{12}{53}\cdot\frac{265}{24}+b\\ &=-2,5+b&|&+2,5\\ 5&=b. \end{align*}$

  Die Funktion, die für Carinas Rücklauf steht, ist damit wie folgt gegeben:

  $y=-\frac{12}{53}x+5$.

• Berechne die Zeit und den Ort des Treffpunktes von Heike und Carina.

  Tipps

  Wie berechnet man allgemein den Schnittpunkt zweier Funktionen?

  Beachte, dass die Lösung der linearen Gleichung $x$ liefert, dies ist die gesuchte Zeit.

  Es müssen auch noch die zurückgelegten Kilometer berechnet werden.

  Sei ein $x$ gegeben. So erhält man das dazugehörige $y$ durch Einsetzen in die Funktionsgleichung.

  Lösung

  Um zu berechnen, wann und wo die beiden Läuferinnen sich treffen, muss der Schnittpunkt der beiden linearen Funktionen berechnet werden. Es müssen also die beiden Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden:

  $\begin{align*} \frac16x& =-\frac{12}{53}x+5&|&+\frac{12}{53}x\\ \left(\frac16+\frac{12}{53}\right)x&=5\\ \frac{125}{318}x&=5&|&\cdot\frac{318}{125}\\ x&=5\cdot\frac{318}{125}\\ x&=\frac{318}{25}\approx12,72. \end{align*}$

  Dieses $x$ entspricht $12~min~43,2~sec$. Damit ist klar, wann die beiden sich treffen. Den zurückgelegten Weg erhält man durch Einsetzen dieses $x$ in eine der beiden Funktionsgleichungen:

  $y=\frac16\cdot \frac{318}{25}=\frac{53}{25}=2,12$.

  Wenn Heike bei Kilometer $2,12$ angekommen ist, treffen die beiden sich. Dann ist Carina bereits $2,5+2,5-2,12=2,88$ Kilometer gelaufen.

• Leite die Gleichung der linearen Funktion her.

  Tipps

  Der y-Achsenabschnitt ist der $y$-Wert zu $x=0$.

  Ändert sich die Grundgebühr bei einem Mehrverbrauch?

  Der höchste Exponent der Variablen $x$ bei einer linearen Funktion ist $1$.

  Lösung

  Im Alltag gebräuchlich und verbreitet ist die Kilowattstunde (kWh) als Maßeinheit für den Stromverbrauch.

  Ganz allgemein lautet die Gleichung einer linearen Funktion $y=m\cdot x+b$. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt der Funktion.

  Wenn der Anbieter eine Grundgebühr von $4,94~€$ erhebt, so ist diese unabhängig vom Verbrauch. Sie fällt also auch bei $0$ Kilowattstunden an. Dies ist der y-Achsenabschnitt der linearen Funktion; also ist $b=4,94$.

  Die Kosten, die pro verbrauchter Kilowattstunde anfallen, stellen somit die Steigung dar. Es gilt also $m=0,28$.

  Die gesuchte lineare Funktion lautet demzufolge

  $y=0,28x+4,94$.

  Man könnte diese auch umgekehrt $y=4,94+0,28x$ schreiben. Es ist nur wichtig, dass die Steigung als Faktor vor dem $x$ steht.

• Prüfe, ab welcher Zahl an Kilowattstunden der neue Anbieter günstiger ist.

  Tipps

  Der alte Anbieter nimmt zwar eine geringere Grundgebühr, allerdings höhere Gebühren pro verbrauchter Kilowattstunde.

  Du musst bei dieser Aufgabe die Kosten nicht bestimmen. Es ist nur die Anzahl der Kilowattstunden gefragt.

  Lineare Gleichungen werden gelöst, indem alle Unbekannten auf der einen Seite gesammelt werden und alle Bekannten auf der anderen.

  Du musst die folgende Gleichung lösen: $0,29x+3,76=0,28x+4,94$.

  Lösung

  Zunächst werden die beiden Funktionsgleichungen gleichgesetzt und nach dem Verbrauch $x$ aufgelöst. Bis zum Verbrauch $x$ ist der aktuelle Anbieter günstiger, da er eine niedrigere Grundgebühr verlangt. Ab dem Verbrauch $x$ wird der neue Anbieter günstiger, da die Kosten pro Kilowattstunde bei diesem niedriger sind.

  $\begin{align*} 0,29x+3,76&=0,28x+4,94&|&-0,28x\\ 0,01x+3,76&=4,94&|&-3,76\\ 0,01x&=1,18&|&:0,04\\ x&=118. \end{align*}$

  Das heißt, dass ab einem monatlichen Verbrauch von $118$ Kilowattstunden der neue Anbieter günstiger ist.

  $118$ Kilowattstunden pro Monat entsprechen $1416$ Kilowattstunden pro Jahr. Da eine vierköpfige Familie oft mehr als $3000$ Kilowattstunden pro Jahr verbraucht, lohnt sich ein Wechsel zu dem neuen Anbieter.

• Beschreibe die Vorgehensweise zur Bestimmung des Treffpunktes.

  Tipps

  Da Carina schneller läuft als Heike, wird sie den Wendepunkt als erste erreichen und Heike auf dem Weg zurück begegnen.

  Es wird angenommen, dass beide mit konstanter Geschwindigkeit laufen.

  Lösung

  Diese Aufgabe wird mit linearen Funktionen gelöst.

  Wir berechnen das Verhältnis

  • des zurückgelegten Weges $y$ in Kilometer und
  • der Zeit $x$ in Minuten,

  was uns den Anstieg der linearen Funktionen gibt.

  Dabei ist für Carina die Funktion von Bedeutung, welche den Rücklauf ab dem Wendepunkt darstellt.

  Von den so erhaltenen Funktionen wird der Schnittpunkt berechnet. Dabei ist

  • die $x$-Koordinate der Zeitpunkt
  • die $y$-Koordinate der Ort

  des Treffens.

• Arbeite heraus, wann und wo Paul und Paula sich treffen.

  Tipps

  Stelle zu beiden Schwimmern eine lineare Funktion auf: $y=m\cdot x+b$.

  • $y$ ist der zurückgelegte Weg in $km$ und $x$ die Zeit in $min$.

  Da die Antworten zu Paula gegeben werden soll, wird Paulas Start als Koordinatenursprung angenommen.

  Die Steigung ist jeweils die Geschwindigkeit.

  Beachte, dass Paul $1,5~km$ entfernt von Paula startet und auf diese zuschwimmt.

  Die lineare Gleichung zu Paul (in $km$ und $h$) lautet:

  $y=-3,2x+1,5$.

  Du musst die beiden Funktionen gleichsetzen.

  So erhältst du die benötigte Zeit.

  Setze die erhaltene Zeit in die lineare Schwimmfunktion von Paula ein. So erhältst du den zurückgelegten Weg von Paula.

  Lösung

  Da die Zeit und der Ort von Paula aus angegeben werden sollen, wird der Start von Paula als Koordinatenursprung angenommen. Beide schwimmen mit konstanter Geschwindigkeit. Deswegen kann ein linearer Verlauf vorausgesetzt werden. Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet:

  $y=m\cdot x+b$.

  Dabei steht $y$ für den zurückgelegten Weg in Kilometer und $x$ für die Zeit in Stunden.

  Da Paula bei $0$ startet, ist dies der y-Achsenabschnitt. Die Steigung ist durch die Geschwindigkeit gegeben. Somit erhält man die lineare Funktion

  $y=3x$,

  welche Paulas zurückgelegten Weg nach $x$ Stunden anzeigt.

  Da Pauls Start $1,5~km$ von Paulas Start entfernt ist, ist der y-Achsenabschnitt von Paul $1,5$. Die Steigung ist durch die negative Geschwindigkeit gegeben, da Paul Paula entgegenschwimmt. Somit ist

  $y=-3,2x+1,5$

  die lineare Funktion, welche Pauls Annäherung an Paula in Abhängigkeit von $x$ in Stunden anzeigt.

  Wann treffen die beiden sich? Hierfür muss der Schnittpunkt der beiden Funktionen berechnet werden:

  $\begin{align*} 3x&=-3,2x+1,5&|&+3,2x\\ 6,2x&=1,5&|&:6,2\\ x&=\frac{15}{62}\\ &\hat=14,52~[min] \end{align*}$

  Das heißt, dass sich Paula und Paul ungefähr $14,52~min$ nach dem Start treffen.

  Wo treffen sie sich? Um dies zu berechnen, muss die berechnete Zeit in Paulas Schwimmfunktion eingesetzt werden:

  $y=3\cdot \frac{15}{62}\approx 0,726$.

  Die beiden treffen sich nach ungefähr $14,52~min$ bei $726$ Metern.