Lineare Funktionen – Parallele durch einen Punkt

Lineare Funktionen – Parallele durch einen Punkt Übung

• Gib zum x-Wert den y-Wert an bzw. zum y-Wert den x-Wert.

  Tipps

  Setze in der angegeben Funktion die Werte für $x$ oder $y$ ein und bestimme den x- oder Funktionswert.

  Beispiel: $x=5$

  $f(5)=-\frac{2}{5} \cdot 5-2=-2-2=-4$

  Es existiert also der Punkt $S(5|-4)$ auf dem Funktionsgraphen der Funktion $y=-\frac25x+1$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe vervollständigen wir die Wertetabelle der angegebenen Funktion:

  $f(x)=-\frac{2}{5}x-2$

  Um die passenden Werte zu finden, setzen wir nacheinander die Werte für $x$ oder $y$ in der Funktion ein.

  Mit Hilfe zweier Punkte können wir den Graphen einer Geraden eindeutig in ein Koordinatenkreuz zeichnen. Diese heißen $S(0|-2)$ und $T(-5|0)$ und sind identisch mit der Nullstelle und dem y-Achsenabschnitt.

• Bestimme die Funktionsgleichung einer Parallelen durch einen Punkt.

  Tipps

  Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt.

  Eine Gerade ist ebenfalls durch eine gegebene Steigung und einen Punkt eindeutig bestimmt.

  Lösung

  Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Geraden $g: y=-\frac{2}{5}x-2$. Wir sollen nun die Funktionsgleichung einer Gerade $h$, die parallel zu $g$ ist und durch den Punkt $P(5 | -1)$ geht, bestimmen.

  Zunächst können wir uns graphisch anschauen, was wir alles gegeben haben und wie die Funktion aussehen wird.

  Dazu fertigen wir eine Wertetabelle für die Funktion $g$ an. Da die gegebene Funktion eine Gerade ist, brauchen wir lediglich zwei Wertepaare, um die Gerade eindeutig in ein Koordinatenkreuz einzuzeichnen. Die zweite Gerade $h$ soll parallel zur Geraden $g$ sein und durch den Punkt $P$ verlaufen. Wir zeichnen also eine Gerade, die durch den Punkt $P$ verläuft und parallel zur Gerade $g$ ist.

  Als Nächstes bestimmen wir die Funktionsgleichung der Gerade $h$.

  Wir wissen, dass die beiden Graphen parallel zueinander verlaufen sollen. Das heißt, sie müssen die gleiche Steigung besitzen, denn parallele Geraden haben die gleiche Steigung $m$. Außerdem haben wir einen Punkt $P$ gegeben.

  Mit der Steigung $m=-\frac{2}{5}$ und einen Punkt $P (5 | -1)$ können wir die Funktionsgleichung der Geraden $h$ also eindeutig bestimmen.

  $\begin{align} && y&=m \cdot x+b \\ &\Rightarrow& y&=-\frac{2}{5}x+b \\ &\Rightarrow& -1&=-\frac{2}{5} \cdot 5+b \\ &\Leftrightarrow& 1&=b \\ \end{align}$

  Die Funktionsgleichung für die Gerade $h$ lautet also $h: y=-\frac{2}{5}x+1$.

• Gib an, welche Geraden parallel zueinander verlaufen.

  Tipps

  Parallele Geraden haben die gleiche Steigung $m$.

  Lösung

  Wir haben insgesamt sechs Geraden gegeben. Alle besitzen die Form $y=mx+b$. Wir können ganz leicht bestimmen, ob Geraden zueinander parallel sind: Parallele Geraden haben immer die gleiche Steigung $m$.

  Bezogen auf unser Beispiel sind alle Geraden mit der Steigung $m = 2$ parallel zueinander:

  • $y=2x$
  • $y=2x+3$
  • $y=2x-4$

  Die restlichen Geraden sind nicht parallele Geraden.

• Bestimme die Funktionsgleichung einer Geraden durch eine Parallele und einen Punkt.

  Tipps

  Da die beiden Geraden parallel sein sollen, haben sie die gleiche Steigung.

  Um die Funktionsgleichung der Gerade vollständig angeben zu können, benötigen wir neben der Steigung $m$ den $y$-Achensabschnitt $b$.

  Lösung

  Wir haben die Gerade $y = 3x + 2$ gegeben. Eine weitere Gerade soll parallel zu der ersten sein und durch den Punkt $P(3 | 1)$ gehen.

  Da die beiden Geraden parallel sein sollen, haben sie die gleiche Steigung. Wir wissen zudem, dass die Gerade, deren Funktionsgleichung wir bestimmen sollen, durch den Punkt $P$ geht. Wir setzen also ein und bestimmen $b$:

  $\begin{align} && y&=mx+b \\ &\Rightarrow& 1&=3 \cdot 3 + b \\ &\Leftrightarrow& -8&=b\\ \end{align}$

  Die Funktionsgleichung für die gesuchte Gerade lautet $y = 3x - 8$.

• Beschreibe die Funktionsgraphen.

  Tipps

  Parallele Gerade haben die gleiche Steigung.

  Man bezeichnet zwei Geraden parallel, wenn sie sich nicht schneiden.

  Lösung

  Wir haben vier Geraden gegeben. Alle vier Geraden schneiden sich nicht und sind deshalb parallel. Parallele Geraden haben die gleiche Steigung.

  Die Geraden haben unterschiedliche Nullstellen und auch unterschiedliche Schnittpunkte mit der $y$-Achse.

• Bestimme die Funktionsgleichung, welche die Fahrt des aus Hollenstedt startenden Radfahrers beschreibt.

  Tipps

  Wir können die Geschwindigkeit als Steigung betrachten.

  Der Radfahrer hat einen Vorsprung von $40~km$. Wenn er ankommt, muss die Radfahrerin noch $40~km$ zurücklegen.

  Lösung

  Wir wollen die Funktionsgleichung für den Radfahrer aufstellen:

  Die beiden Radfahrer haben die gleiche Geschwindigkeit. Wir können die Geschwindigkeit als Steigung betrachten. Also haben die beiden Funktionsgleichungen auch die gleiche Steigung.

  Demnach ist $m = 16$

  Der Radfahrer startet nicht aus Hamburg sondern aus Hollenstedt, was $40~km$ in Richtung Bremen liegt. Er hat also einen Vorsprung von $40~km$. Wir können auch diese Information in einer Funktionsgleichung berücksichtigen: $b = 40$.

  Jetzt müssen wir nur noch die Werte in die allgemeine Form einer Geradengleichung einsetzen:

  Die Funktionsgleichung für den Radfahrer lautet: $s(t) = 16 \cdot t + 40$.