Lineare Funktionen – Nullstellen berechnen 1

Lineare Funktionen – Nullstellen berechnen 1 Übung

• Bestimme die Nullstelle der gegebenen linearen Funktion.

  Tipps

  Den $x$-Wert zu einem beliebigen $y$-Wert einer bekannten Funktion finden wir, indem wir den $y$-Wert für $y$ einsetzen und nach $x$ auflösen.

  Um eine Gleichung nach $x$ umzustellen, wollen wir alle Terme wegheben, die auf derselben Seite der Gleichung wie $x$ stehen. Bei Summanden erreichen wir das durch Subtraktion, bei Faktoren durch Division.

  Wenn wir eine Nullstelle in eine Funktion einsetzen, dann nimmt die Funktion immer den Wert $0$ an, denn genau so haben wir eine Nullstelle definiert.

  Lösung

  Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

  „Wir wollen untersuchen, welche Nullstellen die lineare Funktion

  $y=3x+1$

  hat. Nullstellen sind diejenigen Werte von $x$, für die der Funktionswert $y$ gleich Null ist.“

  • Jede Funktion, die die Form $y=mx+b$ hat, wird als lineare Funktion bezeichnet. In unserem Fall gilt $m=3$ und $b=1$. Eine Nullstelle ist als eine Zahl definiert, die Null liefert, wenn wir sie in den Funktionsterm auf der rechten Seite einsetzen. Genau eine solche Zahl suchen wir jetzt.

  „Um diese zu ermitteln, gehen wir immer nach dem gleichen Verfahren vor:

  Schritt 1: Wir setzen $y$ gleich Null.

  Dadurch erhalten wir die folgende Gleichung:

  $0=3x+1$

  Schritt 2: Wir lösen die so entstandene Gleichung nach $x$ auf.“

  • Solange $m\neq 0$ ist wie hier, finden wir für eine lineare Funktion auf diese Weise immer die Nullstelle!

  „Dazu subtrahieren wir zunächst die Zahl $1$ auf beiden Seiten und erhalten:

  $-1=3x$

  Nun wollen wir noch den Faktor vor dem $x$ loswerden. Dazu dividieren wir beide Seiten durch $3$, wodurch wir unser Ergebnis erhalten:

  $x=-\dfrac{1}{3}$

  Damit haben wir unsere Nullstelle gefunden. Wir können nun noch durch Einsetzen überprüfen, ob wir richtig gerechnet haben:

  $3\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)+1=-1+1=0 \quad \checkmark$“

  • Setzen wir die von uns berechnete Nullstelle in die Funktion ein, so muss sich der Funktionswert $0$ ergeben, denn genau das war unser Ziel. Ergibt sich hier ein anderer Wert, dann haben wir die Nullstelle nicht richtig berechnet.

• Gib an, welche Aussagen zu Nullstellen linearer Funktionen richtig sind.

  Tipps

  Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.

  Zwei Geraden können

  • identisch sein,
  • parallel sein oder
  • sich genau einmal schneiden.

  Den Faktor vor dem $x$ bezeichnen wir als Steigung der Geraden der Funktion. Hat eine Gerade keine Steigung, dann liegt sie parallel zur $x$-Achse.

  Lösung

  Die folgenden Antworten sind richtig:

  • „Wenn $b=0$ und $m\neq 0$ ist, dann lässt sich die Formel trotzdem verwenden, um eine Nullstelle zu finden.“ Mit der Formel für die Nullstellen erhalten wir dann $x_0=-\frac{0}{b}=0$, die Nullstelle liegt also im Ursprung.
  • „Wenn $m=0$ und $b=0$ ist, dann liegt der Graph der Funktion auf der $x$-Achse und die Funktion hat somit unendlich viele Nullstellen.“ Für diese Werte lautet die Funktionsgleichung $y=0x+0=0$, der $y$-Wert ist also unabhängig vom $x$-Wert immer gleich Null.
  • „Wenn $m=0$ und $b\neq 0$ ist, dann liegt der Graph der Funktion parallel zur $x$-Achse und die Funktion hat somit keine Nullstelle.“ Hier lautet die Funktionsgleichung $y=0x+b=b$; der $y$-Wert ist also wieder konstant, diesmal aber gleich $b$.

  Die folgenden Antworten sind dagegen falsch und müssen korrigiert werden:

  • „Eine lineare Funktion hat immer genau eine Nullstelle.“ Das gilt nur für $m\neq 0$, denn ansonsten kann es $-$ wie wir gerade gesehen haben $-$ auch unendlich viele oder keine Nullstellen geben.
  • „Wenn $m=0$ und $b\neq 0$ ist, dann hat die Funktion ihre Nullstelle bei $x=0$.“ Dies ist derselbe Fall wie in der dritten richtigen Aussage $-$ der Graph der Funktion ist also parallel zur $x$-Achse und besitzt somit keine einzige Nullstelle.

• Berechne die jeweils fehlenden Größen.

  Tipps

  Eine lineare Funktion hat die folgende Form:

  $f(x)=mx+b$

  Die Nullstelle einer linearen Funktion berechnest du mit der Formel

  $x_0=-\dfrac{b}{m}$.

  Um aus einer Nullstelle und einer zweiten Größe die fehlende Größe zu berechnen, stellst du die Gleichung für die Nullstelle nach der fehlenden Größe um. Beachte dabei, dass du niemals durch $0$ teilen darfst.

  Lösung

  Eine allgemeine lineare Funktion erkennen wir daran, dass sie in der Form $f(x)=mx+b$ steht (wobei wir $m$ als Steigung und $b$ als $y$ -Achsenabschnitt bezeichnen). Tragen wir den Graphen einer solchen Funktion in ein Koordinatensystem ein, dann ergibt sich eine Gerade (also eine „Linie“, daher der Name „linear“). Diese Gerade hat dann in der Regel genau einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse, den man als Nullstelle $x_0$ bezeichnet. An dieser Stelle ist der Funktionswert Null, also $0=mx_0+b$. Diese Gleichung können wir nach $x_0$ umstellen, um die folgende Formel für die Nullstelle zu erhalten:

  $x_0=-\dfrac{b}{m}$

  So können wir die Nullstelle einer Funktion ausrechnen, für die wir die Werte für $m$ und $b$ kennen und $m\neq0$. Genauso gut können wir diese Gleichung aber auch nach einer der anderen Größen umstellen. Dann erhalten wir eine Formel für diese Größe in dem Fall, dass die Nullstelle und die dritte Größe gegeben sind. Wir stellen also einmal nach $m$ um und erhalten für den Fall, dass $x_0\neq 0$:

  $\begin{array}{rll} x_0&=-\dfrac{b}{m} \quad &|\cdot m\\ x_0\cdot m&=-b \quad & |: x_0\\ m&=-\dfrac{b}{x_0} \end{array}$

  Mit dieser Formel können wir nun $m$ ausrechnen, wenn $x_0$ und $b$ bekannt sind. Genauso gut können wir die Gleichung für die Nullstelle aber auch nach $b$ umstellen. Dann erhalten wir:

  $\begin{array}{rll} x_0&=-\dfrac{b}{m} \quad &|\cdot m\\ x_0\cdot m&=-b \quad &|\cdot (-1)\\ b&=-x_0\cdot m \end{array}$

  So können wir nun auch $b$ ausrechnen, wenn $x_0$ und $m$ gegeben sind. Damit haben wir für jede Größe eine Formel und können die Lösungen ausrechnen:

  $\begin{array}{lllccl} m=3,&b=9&\Longrightarrow &x_0=-\dfrac{b}{m}&=-\dfrac{9}{3}&=-3\\ m=1,&x_0=1&\Longrightarrow& b=-m\cdot x_0 &=-1\cdot 1 &= -1\\ b=4,&x_0=-2&\Longrightarrow &m=-\dfrac{b}{x_0}&=-\dfrac{4}{-2}&=2\\ m=-2,&b=6&\Longrightarrow &x_0=-\dfrac{b}{m}&=-\dfrac{6}{-2}&=3\\ m=-15,&b=0&\Longrightarrow &x_0=-\dfrac{b}{m}&=-\dfrac{0}{-15}&=0 \end{array}$

• Untersuche, welche Gleichungen zu welchen Geraden gehören.

  Tipps

  Hier musst du nicht von der Geradengleichung auf die Nullstelle schließen, sondern umgekehrt. Dazu kannst du bei jeder Nullstelle überprüfen, welche Geradengleichung den richtigen Quotienten $-\frac{b}{m}$ liefert.

  Lösung

  Anstatt aus der Geradengleichung die Nullstelle zu berechnen, müssen wir nun von der Nullstelle auf die Geradengleichung schließen. Das ist normalerweise nicht eindeutig möglich, da es für einen bestimmten Wert $x_0=-\frac{b}{m}$ unendlich viele Wertepaare aus $b$ und $m$ gibt, die diese Gleichung erfüllen (solange nur $b=-x_0\cdot m$ gilt). Allerdings steht hier nur eine endliche Anzahl von Geradengleichungen zur Auswahl, sodass wir für jede Nullstelle eine Geradengleichung suchen können, deren Parameter gerade passen. Wir suchen also jetzt für ein gegebenes $x_0$ eine Geradengleichung $y=mx+b$, die die Nullstelle

  $x_0=-\dfrac{b}{m}$

  hat.

  • $x_0=-2$: Diese Gerade markieren wir blau, denn die Funktion $y=1\cdot x+2$ hat die Nullstelle $x_0=-\frac{2}{1}=-2$.
  • $x_0=0$: Dies ist die gelbe Gerade, da $y=3x$ die Nullstelle $x_0=-\frac{0}{3}=0$ hat.
  • $x_0=1$: Zu dieser Nullstelle gehört die grüne Gerade, da $x_0=-\frac{-2}{2}=1$.
  • $x_0=4$: Das ist die Nullstelle der violetten Gerade, da $x_0=-\frac{-2}{\frac{1}{2}}=4$.

• Bestimme die gesuchten Größen anhand des Graphen einer linearen Funktion.

  Tipps

  Die Funktion zu diesem Graphen hat die Funktionsgleichung

  $y=3x+2$.

  Die Steigung einer Straße gibt an, wie viele Meter du nach oben gehst, wenn du dich horizontal einen Meter weiterbewegt hast. Bewegst du dich $20\,\text{cm}$ nach oben für jeden Meter, den du dich horizontal fortbewegst, dann entspricht das einer Steigung von

  $m=\dfrac{0,2\,\text{m}}{1\,\text{m}}=0,2$.

  Lösung

  Eine lineare Funktion benötigt zwei sogenannte Parameter, um vollständig definiert zu sein: Die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt. Diese Parameter können wir aus dem Graphen der Funktion ablesen.

  Die Steigung ist ein Maß dafür, wie steil eine Funktion von links nach rechts verläuft. Bei ihrer Bestimmung hilft uns das Steigungsdreieck: wir beginnen an einem beliebigen Punkt auf der Geraden und gehen von dort genau eine Einheit nach rechts. Dann untersuchen wir, wie weit wir nach oben gehen müssen, um wieder auf der Geraden zu landen. Dieser Wert ist dann die Steigung $m$ der Geraden (müssen wir nach unten gehen, dann ist die Steigung negativ).

  Bei der hier eingezeichneten Geraden müssen wir nach einem Schritt nach rechts genau zwei Schritte nach oben gehen, um wieder auf der Geraden zu landen. Die Steigung ist also gegeben mit:

  $m=2$

  Der zweite Parameter ist der $y$-Achsenabschnitt, der angibt, wo die Gerade die $y$-Achse „abschneidet“, wo sich also die Gerade und die $y$-Achse schneiden. Die $y$-Achse liegt bei $x=0$, und wenn wir diesen Wert in die Funktionsgleichung einsetzen, so sehen wir, dass an diesem Punkt $y=m\cdot 0+b=b$ gilt. Die Gerade und die $y$-Achse schneiden sich also genau bei der Höhe $b$, und diese können wir direkt aus dem Graphen ablesen. Wir erhalten hier:

  $b=1$

  Diese Werte können wir nun in unsere allgemeine Geradengleichung einsetzen. Damit erhalten wir schlussendlich die folgende Funktionsgleichung:

  $y=2\cdot x + 1$

• Berechne die Nullstellen der Funktionen zu folgenden Graphen.

  Tipps

  Die Nullstelle einer linearen Funktion erhältst du mit Hilfe der Formel

  $x_0=-\dfrac{b}{m}$.

  Die Werte für $b$ und $m$ kannst du aus den jeweiligen Graphen ablesen. Hier ergibt sich zum Beispiel:

  $x_0=-\dfrac{2}{4}=-0,5$.

  Lösung

  Um die Nullstellen linearer Funktionen zu berechnen, benötigst du die Parameter $m$ (Steigung) und $b$ ($y$-Achsenabschnitt) einer Funktion. Diese sind hier in die Graphen eingezeichnet: den $y$-Achsenabschnitt $b$ kannst du jeweils direkt als die Höhe ablesen, in der die Gerade die $y$-Achse schneidet. Die Steigung $m$ kannst du aus der Höhe des Steigungsdreiecks ablesen. Das ist die Strecke, die du nach einem Schritt von der Geraden nach rechts noch nach oben/unten laufen musst, um wieder auf der Geraden zu landen (nach oben $\Leftrightarrow m$ positiv; nach unten $\Leftrightarrow m$ negativ). Kennst du beide Werte, kannst du mit folgender Formel die Nullstelle der linearen Funktion berechnen:

  $x_0=-\dfrac{b}{m}$

  So erhalten wir beispielsweise für die erste Gerade:

  $m=-2, \quad b=2 \quad \Longrightarrow \quad x_0=-\dfrac{-2}{2}=-(-1)=1$

  Diese Formel funktioniert hier allerdings nur in den ersten drei Fällen. Im vierten Fall ist $m=0$, sodass die Gerade parallel zur $x$-Achse liegt $-$ sie hat also keine Nullstelle.