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Lineare Funktionen – Funktionsgleichungen bestimmen 05:23 min

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Transkript Lineare Funktionen – Funktionsgleichungen bestimmen

Hallo, zwei Verfahren haben wir in diesem Video, die möchte ich nur kurz vorstellen, nur kurz zeigen wie es geht und nicht alles im Einzelnen herleiten. Erstens geht es darum, zu einer gegebenen Geraden und einem gegebenen Punkt eine parallele Gerade durch diesen Punkt zu finden und zweitens geht es darum, durch zwei gegebene Punkte eine Gerade zu finden. Schauen wir uns an was wir hier haben, wir haben eine lineare Funktion in Form einer Funktionsgleichung y = -⅓x + 4. Wir können uns kurz angucken wie das im Koordinatensystem aussieht. Hier ist ungefähr vier, der Graph der Funktion ist eine Gerade, die ungefähr so verläuft. Der Punkt (-1|-2) ist ungefähr hier und wir suchen jetzt eine lineare Funktion, deren Graph parallel zu diesem verläuft und durch diesen Punkt geht. So, wie macht man das? Wir suchen eine Funktionsgleichung einer linearen Funktion der Form y = m * x + n, naja hier kann man auch andere Variablen nehmen, da auch, ich habe mich jetzt für m und n entschieden, oft steht hier auch ein b, soll uns jetzt nicht weiter stören. Weil dieser Graph hier parallel zu diesem verlaufen soll, muss die Funktion, die wir suchen die gleiche Steigung haben wie diese Funktion, die wir gegeben haben. Wir wissen also schon, dass die Funktionsgleichung nach dem Gleichheitszeichen mit -⅓ weitergeht. Wir wissen auch, dass dieser Punkt auf diesem Graphen liegen soll, das heißt wenn wir für x -1 einsetzen, erhalten wir als y-Wert -2. Und dann fehlt uns noch das n, wenn wir das haben, dann ist die Funktionsgleichung, die wir suchen vollständig. Das ist jetzt eine ganz normale Gleichung, die wir nach n auflösen können, hier steht ja letzten Endes +⅓, also rechnen wir noch -⅓. Hier sind schon -6/3, also haben wir insgesamt -7/3, das ist gleich n, und damit haben wir unsere Funktionsgleichung zusammen. Sie lautet y = -⅓ * x - 7/3. Im zweiten Fall haben wir zwei Punkte gegeben und suchen eine lineare Funktion, deren Graph durch diese Punkte geht. Schauen wir uns das kurz im Koordinatensystem an. Wir haben hier fünf ungefähr, da -1 und da -2, hier ist die drei ungefähr und das sind unsere beiden gegebenen Punkte. P1(-1|-2), P2(5|3). Wir können aus diesen Punkten nun ein Steigungsdreieck basteln, das ungefähr so aussieht, wir können damit die Steigung berechnen, wir nehmen die Differenz der y-Werte und teilen sie durch die Differenz der x-Werte, konkret heißt das (y2 - y1) / (x2 - x1). In unserem Fall ist das 3, also y2, nicht wahr? Minus -2, geteilt durch fünf minus -1. (3 - (-2)) / (5 - (-1)). Das hier ist gleich fünf geteilt durch sechs, also 5/6, das ist schon mal unsere Steigung. Dann suchen wir ja eine lineare Funktion, diese wird eine Funktionsgleichung der Form y = m * x + n haben, wir wissen schon, dass die Steigung 5/6 ist und wir wissen auch, dass diese beiden Punkte auf dem Graphen dieser Funktion liegen, das heißt wenn wir für x -1 einsetzen, erhalten wir für y -2. Und dann fehlt uns nur noch das n und wenn wir das haben, wissen wir auch wie unsere Funktionsgleichung aussieht. Wir können diese Gleichung hier lösen und wir haben ja hier -12/6 stehen und haben hier -5/6, müssen also plus 5/6 rechnen und kommen dann auf minus 7/6 und das ist gleich n. Also haben wir unsere Funktionsgleichung vollständig, y = ⅚ * x - 7/6. So, das war es dazu in aller Kürze, dann mach es jetzt auch gut, tschüss.

6 Kommentare
  1. sehr gutes und hilfreiches video!

    Von Astaweinmann, vor etwa 2 Jahren
  2. Richtig gutes video

    Von Suhaib Z., vor mehr als 2 Jahren
  3. Gutes Video!

    Von Danielabloss602, vor mehr als 2 Jahren
  4. kutes fideoh

    Von Leoaigner, vor fast 3 Jahren
  5. Gutes Video!hat mir was gebracht

    Von Maximilian T., vor fast 3 Jahren
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Lineare Funktionen – Funktionsgleichungen bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Funktionen – Funktionsgleichungen bestimmen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Funktionsgleichung der parallelen Gerade an.

    Tipps

    Woran kannst du das bei den Funktionsgleichungen erkennen, wenn zwei Geraden parallel sind?

    Wenn ein Punkt $P(p_x|p_y)$ auf dem Funktionsgraphen einer linearen Funktion liegt, dann gilt $p_y=m p_x+n$.

    Lösung

    Die Gleichung einer linearen Funktion lautet $y=mx+n$. Dabei steht $m$ für die Steigung und $n$ für den y-Achsenabschnitt.

    Die Gerade zu der Funktion $y=-\frac{1}{3}x+4$ ist in dem obigen Bild rot eingezeichnet. Nun ist die Gleichung der Funktion zu der blauen Geraden gesucht. Diese verläuft

    • parallel zu der roten Geraden,
    • durch den Punkt $P(-1|-2)$.
    Die Steigung der Funktion ist, wegen der Parallelität, die gleiche wie die der Ausgangsfunktion. Also lautet die Funktionsgleichung zu der blauen Funktion $y=-\frac{1}{3}x+n$.

    Um $n$ zu berechnen, verwendest du den Punkt $P$. Die $x$- und $y$-Koordinate dieses Punktes eingesetzt, führt zu der Gleichung

    $\begin{align*} -2& =-\frac{1}{3}\cdot(-1)+n~|~-\frac{1}{3} \\ -\frac{7}{3}& =n \end{align*}$.

    Somit lautet die Funktionsgleichung zu der roten Geraden $y=-\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}$.

  • Bestimme die lineare Funktion durch zwei gegebene Punkte P und Q.

    Tipps

    Zeichne dir zwei Beispielpunkte in ein Koordinatensystem und verbinde diese beiden mit einer Geraden.

    Zeichne ein Steigungsdreieck mit den beiden gegebenen Punkten als Eckpunkte.

    Wie ist die Steigung in diesem Dreieck erklärt?

    Was bedeutet es, wenn ein Punkt $P(p_x|p_y)$ auf der zu $y=mx+n$ gehörenden Geraden liegt?

    Lösung

    Zur Bestimmung der Funktionsgleichung gehst du wie folgt vor

    1. Berechnung der Steigung $m$,
    2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $n$ und
    3. Einsetzen von $m$ und $n$ in die Funktionsgleichung $y=mx+n$.
    Die Berechnung der Steigung kannst du dir an einem Steigungsdreieck klar machen. Es gilt $m=\frac{3-(-2)}{5-(-1)}=\frac{5}{6}$. Ddas ist Quotient aus der vertikalen und horizontalen Differenz. So ist die Steigung in einem rechtwinkligen Dreieck erklärt.

    Wenn du die Steigung berechnet hast, kannst du einen der beiden Punkte verwenden, um $n$ zu berechnen. Es ist egal, welchen du verwendest, es kommt das gleiche Ergebnis heraus. Wir berechnen

    $\begin{align*} 3&=\frac{5}{6}\cdot 5 +n \\ 3&=\frac{25}{6}+n~|~-\frac{25}{6}\\ -\frac{7}{6}&=n, \end{align*}$

    und somit hast du die Gleichung $y=\frac{5}{6}\cdot x - \frac{7}{6}$.

  • Ordne die Funktionen ihren parallelen Funktionen zu.

    Tipps

    Zwei lineare Funktionen sind parallel zueinander, wenn sie die gleiche Steigung haben.

    Lineare Funktionen der Form $y=n$ haben die Steigung Null.

    Lösung

    Bei der Untersuchung auf Parallelität reicht es, die Steigung zu betrachten. Zwei Geraden verlaufen parallel zueinander, wenn die Steigungen identisch sind.

    Beachte bitte, dass eine lineare Funktion nicht immer in der Form $y=mx+n$ geschrieben wird. Sie kann auch $y=n+mx$ lauten.

    Die Steigung ist der Faktor vor dem x. Wenn in der Gleichung kein x vorkommt, ist die Steigung 0, dies ist eine konstante Funktion. Damit können wir die Funktionen zuordnen:

    • Die Funktionen $y=2+0,5x$, $y=\frac{3}{6}x-\frac{7}{8}$ und $y=-7+\frac{1}{2}x$ sind parallel zu $y=\frac{1}{2}x-4$.
    • Die Funktionen $y=3-2x$ und $y=-2x+4$ sind parallel zu $y=-2x-1$.
    • Alle übrigen Funktionen sind konstante Funktionen und somit parallel zu $y=3$.
  • Bestimme den Preis für sechs Unterrichtsstunden.

    Tipps

    Die Kosten im $160~€$ Monat März für acht Stunden und $100~€$ im Monat April für vier Stunden entsprechen zwei Punkten.

    x steht für die Anzahl der Stunden und y für die Kosten.

    Der Anstieg m einer linearen Funktion durch zwei Punkte $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ ist gegeben durch $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Nachdem du den Anstieg bestimmt hast, berechne den y-Achsenabschnitt, in dem du einen Punkt in die lineare Funktion $y=mx+n$ einsetzt.

    Kennst du m und n bereits, dann setze $x=6$ ein.

    Lösung

    Die Kosten in den Monaten März und April entsprechen zwei Punkten $P_1(4|100)$ und $P_2(8|160)$.

    Die Steigung der linearen Funktion $y=mx+n$ ist dann gegeben durch

    $m=\frac{160-100}{8-4}=\frac{60}{4}=15$.

    Um n zu berechnen, kannst du einen der beiden Punkte einsetzen. Für $P_2$ ergibt sich:

    $\begin{align*} 160& =15\cdot8+n &|& -120 \\ 40 & =n \end{align*}$.

    Die lineare Funktion lautet: $y=15x+40$.

    Um zu berechnen, wie viel Paul im Mai für sechs Stunden bezahlen muss, setzt du $x=6$ in die Funktionsgleichung ein:

    $y=40+15 \cdot 6=130$.

    Paul muss also im Mai $130~€$ bezahlen.

  • Beschreibe, wie du eine Geradengleichung durch zwei gegebenene Punkte bestimmst.

    Tipps

    Zeichne ein Steigungsdreieck mit dem beiden Punkten $P_1$ und $P_2$.

    Nun kannst du die Steigung ablesen als Quotient aus den Differenzen der jeweiligen y- und x-Koordinaten.

    Mache am Ende der Rechnung eine Probe, ob auch beide Punkte auf der Geraden liegen.

    Lösung

    Die Steigung kannst du mit den beiden Punkten berechnen. Das kannst du in dem Bild sehen: Die dem Punkt $P$ gegenüber liegende Kathete ist 5(=3-(-2)) [LE] und die andere 6=(5-(-1)) [LE] lang. Die Steigung ist der Quotient aus der vertikalen und der horizontalen Differenz: $m=\frac{5}{6}$.

    Nun kannst du einen der beiden Punkte in der Funktion einsetzen. Nimmst du beispielsweise $P_1$, so erhältst du:

    $\begin{align*} -2& =\frac{5}{6}\cdot(-1)+n~|~+\frac{5}{6} \\ -\frac{7}{6}& =n \end{align*}$

    Die lineare Funktionsgleichung lautet also $y=\frac{5}{6}x-\frac{7}{6}$.

  • Leite eine Formel zur Bestimmung einer Funktionsgleichung durch zwei Punkte her.

    Tipps

    Die Steigung m kannst du aus einem Steigungsdreieck ablesen und ist der Quotient aus der vertikalen und der horizontalen Differenz.

    Zwei Lösungen sind richtig. Setze einmal P und einmal Q ein und du bekommst unterschiedliche Darstellungen.

    Rechne immer mit den allgemeinen Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$.

    Lösung

    Gegeben sind die beiden Punkte $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$. Die Steigung ist der Quotient aus der vertikalen und der horizontalen Differenz:

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$.

    Du kannst die Reihenfolge vertauschen, nur musst du beachten, dass du dies dann sowohl im Zähler als auch im Nenner tust. Im Zähler steht die Differenz der y-Koordinaten und im Nenner die der x-Koordinaten.

    Nun kannst du einen der beiden Punkte verwenden zur Berechnung von n. Zum Beispiel für $P(x_1|y_1)$ ergibt sich:

    $\begin{align*} y_1& = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1+n &|& -\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1 \\ n& =y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1 \end{align*}$.

    Dieses n kannst du nun einsetzen und erhältst:

    $\begin{align*} y&=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x+y_1-\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x_1\\ &=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1 \end{align*}$.

    Die Formel $y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_2)+y_2$ hättest du erhalten, wenn du zur Berechnung von n $Q(x_2|y_2)$ statt $P$ verwendet hättest.