Lineare Funktionen – Achsenschnittpunkte

Lineare Funktionen – Achsenschnittpunkte Übung

• Beschreibe, wie der $x$- und $y$-Achsenschnittpunkt einer linearen Funktion berechnet wird.

  Tipps

  Dem Koordinatensystem kann man Folgendes entnehmen:

  • Alle Punkte, die auf der $y$-Achse liegen, haben die $x$-Koordinate $0$.

  • Alle Punkte, die auf der $x$-Achse liegen, haben die $y$-Koordinate $0$.

  Die Nullstelle einer Funktion ist diejenige $x$-Koordinate, für welche $y=0$ gilt.

  Lösung

  Hier siehst du den Graphen einer linearen Funktion. Die Funktionsgleichung lautet:

  • $y=x-2$

  Den Schnittpunkt mit der $y$-Achse können wir einfach ablesen. Dieser hat folgende Koordinaten:

  • $S_y\left(0\ \vert -2\right)$

  Den Schnittpunkt mit der $x$-Achse der dargestellten Funktion können wir ebenfalls ablesen. Die Koordinaten lauten $N\left(2\ \vert\ 0\right)$.

  An diesen beiden Punkten sieht man, dass Folgendes gilt:

  • Der Punkt $S_y$, der auf der $y$-Achse liegt, hat die $x$-Koordinate $0$.
  • Der Punkt $N$, der auf der $x$-Achse liegt, hat die $y$-Koordinate $0$.

  Wenn man diese beiden Achsenschnittpunkte also rechnerisch bestimmen möchte, muss man folgendermaßen vorgehen:

  Um die Koordinaten des Schnittpunktes mit der $y$-Achse zu berechnen, muss in der Funktionsgleichung die $x$-Koordinate durch $0$ ersetzt und anschließend die $y$-Koordinate bestimmt werden. Mit $x=0$ folgt für die $y$-Koordinate:

  $ \begin{array}{lll} y & = & 0-2 \\ y & = & -2 \\ \\ \end{array} $

  $S_y\left(0\ \vert\ -2\right)$

  Um die Koordinaten des Schnittpunktes mit der $x$-Achse zu berechnen, muss in der Funktionsgleichung die $y$-Koordinate durch $0$ ersetzt und anschließend die $x$-Koordinate bestimmt werden. Mit $y=0$ folgt für die $x$-Koordinate:

  $ \begin{array}{lllll} 0 & = & x-2 && \vert -x \\ -x & = & -2 && \vert :(-1) \\ x & = & 2 && \\ \\ \end{array} $

  $N\left(2\ \vert\ 0\right)$

• Gib jeweils den $x$- und $y$-Achsenschnittpunkt für die dargestellte lineare Funktion an.

  Tipps

  Die $x$- und $y$-Koordinaten für den Schnittpunkt mit der $y$-Achse $S_y$ müssen dem Punkt entnommen werden, in dem der Funktionsgraph die $y$-Achse schneidet.

  Die $x$- und $y$-Koordinaten des $x$-Achsenschnittpunktes $N$ müssen dem Punkt entnommen werden, in dem der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet.

  Lösung

  Das Vorgehen zum Ablesen der beiden Punkte wird im Folgenden für das erste Beispiel vorgemacht.

  Der $y$-Achsenschnittpunkt der Geraden wird dem Punkt entnommen, in dem die Gerade die $y$-Achse schneidet. Dieser ist in der Abbildung rot eingekreist und setzt sich aus folgenden $x$- und $y$-Koordinaten zusammen:

  • $S_y\left(0\ \vert\ 4\right)$

  Der $x$-Achsenschnittpunkt der Geraden wird dem Punkt entnommen, in dem die Gerade die $x$-Achse schneidet. Dieser ist in der Abbildung blau eingekreist und setzt sich aus folgenden $x$- und $y$-Koordinaten zusammen:

  • $N\left(-2\ \vert\ 0\right)$

• Bestimme zu den gegebenen linearen Funktionen die zutreffenden $x$- und $y$-Achsenschnittpunkte.

  Tipps

  Der Punkt $N$ setzt sich aus den Koordinaten des $x$-Achsenschnittpunktes zusammen. Um den $x$-Achsenschnittpunkt zu berechnen, musst du in der Funktionsgleichung die $y$-Koordinate durch $0$ ersetzen und anschließend die $x$-Koordinate bestimmen.

  Den $y$-Achsenschnittpunkt einer linearen Funktion kann man direkt aus der Funktionsgleichung ablesen. Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

  $y=mx+n$

  Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $n$ der $y$-Achsenabschnitt. Für den $y$-Achsenschnittpunkt gilt dann:

  $S_y\left( 0\ \vert\ n \right)$

  Lösung

  Für die Berechnung der Koordinaten des $x$-Achsenschnittpunktes ersetzen wir in der jeweiligen Funktionsgleichung die $y$-Koordinate durch $0$ und bestimmen anschließend die $x$-Koordinate.

  Für die Berechnung der Koordinaten des $y$-Achsenschnittpunktes ersetzen wir in der jeweiligen Funktionsgleichung die $x$-Koordinate durch $0$ und bestimmen anschließend die $y$-Koordinate.

  Allerdings kann der $y$-Achsenschnittpunkt einer linearen Funktion auch einfacher ermittelt werden. Man kann ihn nämlich direkt aus der Funktionsgleichung ablesen. Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

  $y=mx+n$

  Der Parameter $m$ beschreibt die Steigung der Geraden und $n$ den $y$-Achsenabschnitt. Für den gesuchten $y$-Achsenschnittpunkt gilt dann:

  $S_y\left( 0\ \vert\ n \right)$

  Wir werden im Folgenden beide Schnittpunkte rechnerisch ermitteln.

  Beispiel 1

  $y=3x-3$

  Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

  $ \begin{array}{lll} y & = & 3\cdot 0-3 \\ y & = & -3 \\ \\ \end{array} $

  $S_y\left(0\ \vert\ -3\right)$

  Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

  $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 3x-3 && \vert -3x \\ -3x & = & -3 && \vert :(-3) \\ x & = & 1 && \\ \\ \end{array} $

  $N\left(1\ \vert\ 0\right)$

  Beispiel 2

  $y=5x$

  Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

  $ \begin{array}{lll} y & = & 5\cdot 0 \\ y & = & 0 \\ \\ \end{array} $

  $S_y\left(0\ \vert\ 0\right)$

  Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

  $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 5x && \vert -5x \\ -5x & = & 0 && \vert :(-5) \\ x & = & 0 && \\ \\ \end{array} $

  $N\left(0\ \vert\ 0\right)$

  Beispiel 3

  $y=2x+6$

  Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

  $ \begin{array}{lll} y & = & 2\cdot 0+6 \\ y & = & 6 \\ \\ \end{array} $

  $S_y\left(0\ \vert\ 6\right)$

  Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

  $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 2x+6 && \vert -2x \\ -2x & = & 6 && \vert :(-2) \\ x & = & -3 && \\ \\ \end{array} $

  $N\left(-3\ \vert\ 0\right)$

  Beispiel 4

  $y=4x+8$

  Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

  $ \begin{array}{lll} y & = & 4\cdot 0+8 \\ y & = & 8 \\ \\ \end{array} $

  $S_y\left(0\ \vert\ 8\right)$

  Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

  $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 4x+8 && \vert -4x \\ -4x & = & 8 && \vert :(-4) \\ x & = & -2 && \\ \\ \end{array} $

  $N\left(-2\ \vert\ 0\right)$

• Berechne den $x$- und $y$-Achsenschnittpunkt der gegebenen linearen Funktionen.

  Tipps

  Die Berechnung der Koordinaten des $x$-Achsenschnittpunktes erfolgt, indem die $y$-Koordinate in der jeweiligen Funktionsgleichung durch $0$ ersetzt und anschließend die $x$-Koordinate bestimmt wird.

  Für die Berechnung der Koordinaten des $y$-Achsenschnittpunktes muss die $x$-Koordinate durch $0$ ersetzt und die $y$-Koordinate bestimmt werden.

  Ein Beispiel könnte dir helfen:

  $y=7x-35$

  Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

  $ \begin{array}{lll} y & = & 7\cdot 0-35 \\ y & = & -35 \\ \\ \end{array} $

  $S_y\left(0\ \vert\ -35\right)$

  Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

  $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 7x-35 && \vert -7x \\ -7x & = & -35 && \vert :(-7) \\ x & = & 5 && \\ \\ \end{array} $

  $N\left(5\ \vert\ 0\right)$

  Lösung

  Anhand der ersten beiden Aufgaben soll das Vorgehen bei der Berechnung der Achsenschnittpunkte verdeutlicht werden.

  Beispiel 1

  $y=2x-10$

  Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

  $ \begin{array}{lll} y & = & 2\cdot 0-10 \\ y & = & -10 \\ \\ \end{array} $

  $S_y\left(0\ \vert\ -10\right)$

  Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

  $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 2x-10 && \vert -2x \\ -2x & = & -10 && \vert :(-2) \\ x & = & 5 && \\ \\ \end{array} $

  $N\left(5\ \vert\ 0\right)$

  Beispiel 2

  $y=5x-10$

  Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

  $ \begin{array}{lll} y & = & 5\cdot 0-10 \\ y & = & -10 \\ \\ \end{array} $

  $S_y\left(0\ \vert\ -10\right)$

  Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

  $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 5x-10 && \vert -5x \\ -5x & = & -10 && \vert :(-5) \\ x & = & 2 && \\ \\ \end{array} $

  $N\left(2\ \vert\ 0\right)$

  Die anderen Beispiele berechnen sich auf die gleiche Art und Weise.

• Benenne die Schnittpunkte des abgebildeten Graphen mit den Koordinatenachsen.

  Tipps

  Der Schnittpunkt mit der $x$-Achse hat immer die $y$-Koordinate $0$. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse hat immer die $x$-Koordinate $0$.

  Der $x$-Achsenschnittpunkt beschreibt denjenigen Koordinatenpunkt, in dem sich der Funktionsgraph und die $x$-Achse schneiden.

  Lösung

  Der Punkt, in dem ein Funktionsgraph die $y$-Achse schneidet, wird $y$-Achsenschnittpunkt genannt. In diesem Punkt ist die $x$-Koordinate immer gleich $0$.

  Der Punkt, in dem ein Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet, wird $x$-Achsenschnittpunkt oder Nullstelle genannt. In diesem Punkt ist die $y$-Koordinate immer gleich $0$.

• Bestimme den $x$- und $y$-Achsenschnittpunkte der gegebenen linearen Funktionen.

  Tipps

  Hier siehst du ein Beispiel für die Berechnung eines $y$-Achsenschnittpunktes.

  Wir betrachten die Funktionsgleichung $y=2x-6$.

  Wir setzen nun $x=0$, um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu erhalten:

  $y = 2 \cdot 0 - 6 = -6$

  Der Schnittpunkt ist also $S_y (0\vert -6)$.

  Hier siehst du ein Beispiel für die Berechnung eines Schnittpunktes mit der $x$-Achse.

  Wir betrachten die Funktionsgleichung $y=2x-6$.

  Wir setzen nun $y=0$, um den Schnittpunkt mit der $x$-Achse zu erhalten:

  $0 = 2x - 6 \Leftrightarrow 6 = 2x \Leftrightarrow x = 3$

  Der Schnittpunkt ist also $N(3\vert 0)$.

  Eine lineare Funktion wird durch folgende allgemeine Form beschrieben:

  $y=mx+n$

  Dabei steht $m$ für die Steigung der Geraden und $n$ für deren $y$-Achsenabschnitt. In dieser Aufgabe solltest du sehr genau auf das Vorzeichen von der Steigung und dem $y$-Achsenabschnitt der gegebenen linearen Funktion achten.

  Hier einige Beispiele, die dir eventuell den Einfluss des Vorzeichens näherbringen könnten.

  $ \begin{array}{llrlll} y &=& 2x-6 && \rightarrow && S_y\left( 0\ \vert\ -6\right) && N\left( +3\ \vert\ 0\right) \\ y &=& -2x-6 && \rightarrow && S_y\left( 0\ \vert\ -6\right) && N\left( -3\ \vert\ 0\right) \\ y &=& -2x+6 && \rightarrow && S_y\left( 0\ \vert\ +6\right) && N\left( +3\ \vert\ 0\right) \\ y &=& 2x+6 && \rightarrow && S_y\left( 0\ \vert\ +6\right) && N\left( -3\ \vert\ 0\right) \end{array} $

  Lösung

  Im Folgenden wird der Lösungsweg für drei Aufgaben vorgerechnet.

  Beispiel 1

  $y=2,5x-17,5$

  Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

  $ \begin{array}{lll} y & = & 2,5\cdot 0-17,5 \\ y & = & -17,5 \\ \\ \end{array} $

  $S_y\left(0\ \vert\ -17,5\right)$

  Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

  $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 2,5x-17,5 && \vert -2,5x \\ -2,5x & = & -17,5 && \vert :(-2,5) \\ x & = & 7 && \\ \\ \end{array} $

  $N\left(7\ \vert\ 0\right)$

  Beispiel 2

  $y=-2,5x+17,5$

  Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

  $ \begin{array}{lll} y & = & -2,5\cdot 0+17,5 \\ y & = & 17,5 \\ \\ \end{array} $

  $S_y\left(0\ \vert\ 17,5\right)$

  Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

  $ \begin{array}{lllll} 0 & = & -2,5x+17,5 && \vert +2,5x \\ 2,5x & = & 17,5 && \vert :(2,5) \\ x & = & 7 && \\ \\ \end{array} $

  $N\left(7\ \vert\ 0\right)$

  Beispiel 3

  $y=-2,5x-17,5$

  Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

  $ \begin{array}{lll} y & = & -2,5\cdot 0-17,5 \\ y & = & 17,5 \\ \\ \end{array} $

  $S_y\left(0\ \vert\ -17,5\right)$

  Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

  $ \begin{array}{lllll} 0 & = & -2,5x-17,5 && \vert +2,5x \\ 2,5x & = & -17,5 && \vert :(2,5) \\ x & = & -7 && \\ \\ \end{array} $

  $N\left(-7\ \vert\ 0\right)$