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Lineare Funktionen – Achsenschnittpunkte 03:02 min

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Transkript Lineare Funktionen – Achsenschnittpunkte

Hallo. Wenn du weißt, was lineare Funktionen sind und auch weißt, was die Achsenschnittpunkte eines Graphen einer linearen Funktion sind, dann können wir uns mal ansehen, wie du die Achsenschnittpunkte bestimmen kannst, ohne den Graphen zu zeichnen. Schauen wir uns dazu mal folgende Funktionsgleichung an: y=3x+3. Wenn wir jetzt den Schnittpunkt mit der y-Achse suchen, suchen wir genauer gesagt die Koordinaten dieses Punktes, also die x- und y-Koordinate. Alle Punkte, die außerhalb der y-Achse liegen, haben x-Koordinaten, die ungleich 0 sind. Alle Punkte, die auf der y-Achse liegen, haben die x-Koordinate 0. Die y-Koordinate des Schnittpunktes mit der y-Achse ist der Funktionswert an der Stelle x=0. Diesen Funktionswert erhalten wir, indem wir für x 0 einsetzen. Dann ist das hier gleich 0 und y ist gleich drei. Damit hat der Schnittpunkt mit der y-Achse die Koordinaten (0|3). Wenn wir jetzt den Schnittpunkt mit der x-Achse suchen, suchen wir die x- und y-Koordinate dieses Punktes. Alle Punkte, die außerhalb der x-Achse liegen, haben eine y-Koordinate, die ungleich 0 ist. Alle Punkte, die auf der x-Achse liegen, haben die y-Koordinate 0. Wir wollen jetzt wissen, wie groß x sein muss, damit y gleich 0 sein kann. Und das erfahren wir, indem wir in der Funktionsgleichung y durch 0 ersetzen. Dann haben wir 0=3x+3. Dann können wir -3 rechnen, auf beiden Seiten, und erhalten -3=3x. Und dann noch durch 3 teilen auf beiden Seiten. Dann haben wir -1=x. Damit wissen wir, dass die Nullstelle, also der Schnittpunkt mit der x-Achse die Koordinaten (-1|0) hat. So, damit haben wir erfolgreich die Achsenschnittpunkte gefunden. Überlegen wir uns doch nochmal, wie wir das geschafft haben: Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu finden, haben wir in der Funktionsgleichung x durch 0 ersetzt und konnten die y-Koordinate ausrechnen. Um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu finden, haben wir in der Funktionsgleichung y durch 0 ersetzt und konnten dann die x-Koordinate bestimmen. Das war es dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

2 Kommentare
  1. gutes video

    Von Diamondprincess, vor 6 Monaten
  2. Gutes Video!

    Von Nicolas Z., vor mehr als 2 Jahren

Lineare Funktionen – Achsenschnittpunkte Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Funktionen – Achsenschnittpunkte kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie der $x$- und $y$-Achsenschnittpunkt einer linearen Funktion berechnet wird.

    Tipps

    Dem Koordinatensystem kann man Folgendes entnehmen:

    • Alle Punkte, die auf der $y$-Achse liegen, haben die $x$-Koordinate $0$.
    • Alle Punkte, die auf der $x$-Achse liegen, haben die $y$-Koordinate $0$.

    Die Nullstelle einer Funktion ist diejenige $x$-Koordinate, für welche $y=0$ gilt.

    Lösung

    Hier siehst du den Graphen einer linearen Funktion. Die Funktionsgleichung lautet:

    • $y=x-2$
    Den Schnittpunkt mit der $y$-Achse können wir einfach ablesen. Dieser hat folgende Koordinaten:

    • $S_y\left(0\ \vert -2\right)$
    Den Schnittpunkt mit der $x$-Achse der dargestellten Funktion können wir ebenfalls ablesen. Die Koordinaten lauten $N\left(2\ \vert\ 0\right)$.

    An diesen beiden Punkten sieht man, dass Folgendes gilt:

    • Der Punkt $S_y$, der auf der $y$-Achse liegt, hat die $x$-Koordinate $0$.
    • Der Punkt $N$, der auf der $x$-Achse liegt, hat die $y$-Koordinate $0$.
    Wenn man diese beiden Achsenschnittpunkte also rechnerisch bestimmen möchte, muss man folgendermaßen vorgehen:

    Um die Koordinaten des Schnittpunktes mit der $y$-Achse zu berechnen, muss in der Funktionsgleichung die $x$-Koordinate durch $0$ ersetzt und anschließend die $y$-Koordinate bestimmt werden. Mit $x=0$ folgt für die $y$-Koordinate:

    $ \begin{array}{lll} y & = & 0-2 \\ y & = & -2 \\ \\ \end{array} $

    $S_y\left(0\ \vert\ -2\right)$

    Um die Koordinaten des Schnittpunktes mit der $x$-Achse zu berechnen, muss in der Funktionsgleichung die $y$-Koordinate durch $0$ ersetzt und anschließend die $x$-Koordinate bestimmt werden. Mit $y=0$ folgt für die $x$-Koordinate:

    $ \begin{array}{lllll} 0 & = & x-2 && \vert -x \\ -x & = & -2 && \vert :(-1) \\ x & = & 2 && \\ \\ \end{array} $

    $N\left(2\ \vert\ 0\right)$

  • Benenne die Schnittpunkte des abgebildeten Graphen mit den Koordinatenachsen.

    Tipps

    Der Schnittpunkt mit der $x$-Achse hat immer die $y$-Koordinate $0$. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse hat immer die $x$-Koordinate $0$.

    Der $x$-Achsenschnittpunkt beschreibt denjenigen Koordinatenpunkt, in dem sich der Funktionsgraph und die $x$-Achse schneiden.

    Lösung

    Der Punkt, in dem ein Funktionsgraph die $y$-Achse schneidet, wird $y$-Achsenschnittpunkt genannt. In diesem Punkt ist die $x$-Koordinate immer gleich $0$.

    Der Punkt, in dem ein Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet, wird $x$-Achsenschnittpunkt oder Nullstelle genannt. In diesem Punkt ist die $y$-Koordinate immer gleich $0$.

  • Gib jeweils den $x$- und $y$-Achsenschnittpunkt für die dargestellte lineare Funktion an.

    Tipps

    Die $x$- und $y$-Koordinaten für den Schnittpunkt mit der $y$-Achse $S_y$ müssen dem Punkt entnommen werden, in dem der Funktionsgraph die $y$-Achse schneidet.

    Die $x$- und $y$-Koordinaten des $x$-Achsenschnittpunktes $N$ müssen dem Punkt entnommen werden, in dem der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet.

    Lösung

    Das Vorgehen zum Ablesen der beiden Punkte wird im Folgenden für das erste Beispiel vorgemacht.

    Der $y$-Achsenschnittpunkt der Geraden wird dem Punkt entnommen, in dem die Gerade die $y$-Achse schneidet. Dieser ist in der Abbildung rot eingekreist und setzt sich aus folgenden $x$- und $y$-Koordinaten zusammen:

    • $S_y\left(0\ \vert\ 4\right)$
    Der $x$-Achsenschnittpunkt der Geraden wird dem Punkt entnommen, in dem die Gerade die $x$-Achse schneidet. Dieser ist in der Abbildung blau eingekreist und setzt sich aus folgenden $x$- und $y$-Koordinaten zusammen:

    • $N\left(-2\ \vert\ 0\right)$
  • Bestimme den $x$- und $y$-Achsenschnittpunkte der gegebenen linearen Funktionen.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für die Berechnung eines $y$-Achsenschnittpunktes.

    Wir betrachten die Funktionsgleichung $y=2x-6$.

    Wir setzen nun $x=0$, um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu erhalten:

    $y = 2 \cdot 0 - 6 = -6$

    Der Schnittpunkt ist also $S_y (0\vert -6)$.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Berechnung eines Schnittpunktes mit der $x$-Achse.

    Wir betrachten die Funktionsgleichung $y=2x-6$.

    Wir setzen nun $y=0$, um den Schnittpunkt mit der $x$-Achse zu erhalten:

    $0 = 2x - 6 \Leftrightarrow 6 = 2x \Leftrightarrow x = 3$

    Der Schnittpunkt ist also $N(3\vert 0)$.

    Eine lineare Funktion wird durch folgende allgemeine Form beschrieben:

    $y=mx+n$

    Dabei steht $m$ für die Steigung der Geraden und $n$ für deren $y$-Achsenabschnitt. In dieser Aufgabe solltest du sehr genau auf das Vorzeichen von der Steigung und dem $y$-Achsenabschnitt der gegebenen linearen Funktion achten.

    Hier einige Beispiele, die dir eventuell den Einfluss des Vorzeichens näherbringen könnten.

    $ \begin{array}{llrlll} y &=& 2x-6 && \rightarrow && S_y\left( 0\ \vert\ -6\right) && N\left( +3\ \vert\ 0\right) \\ y &=& -2x-6 && \rightarrow && S_y\left( 0\ \vert\ -6\right) && N\left( -3\ \vert\ 0\right) \\ y &=& -2x+6 && \rightarrow && S_y\left( 0\ \vert\ +6\right) && N\left( +3\ \vert\ 0\right) \\ y &=& 2x+6 && \rightarrow && S_y\left( 0\ \vert\ +6\right) && N\left( -3\ \vert\ 0\right) \end{array} $

    Lösung

    Im Folgenden wird der Lösungsweg für drei Aufgaben vorgerechnet.

    Beispiel 1

    $y=2,5x-17,5$

    Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

    $ \begin{array}{lll} y & = & 2,5\cdot 0-17,5 \\ y & = & -17,5 \\ \\ \end{array} $

    $S_y\left(0\ \vert\ -17,5\right)$

    Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

    $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 2,5x-17,5 && \vert -2,5x \\ -2,5x & = & -17,5 && \vert :(-2,5) \\ x & = & 7 && \\ \\ \end{array} $

    $N\left(7\ \vert\ 0\right)$

    Beispiel 2

    $y=-2,5x+17,5$

    Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

    $ \begin{array}{lll} y & = & -2,5\cdot 0+17,5 \\ y & = & 17,5 \\ \\ \end{array} $

    $S_y\left(0\ \vert\ 17,5\right)$

    Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

    $ \begin{array}{lllll} 0 & = & -2,5x+17,5 && \vert +2,5x \\ 2,5x & = & 17,5 && \vert :(2,5) \\ x & = & 7 && \\ \\ \end{array} $

    $N\left(7\ \vert\ 0\right)$

    Beispiel 3

    $y=-2,5x-17,5$

    Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

    $ \begin{array}{lll} y & = & -2,5\cdot 0-17,5 \\ y & = & 17,5 \\ \\ \end{array} $

    $S_y\left(0\ \vert\ -17,5\right)$

    Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

    $ \begin{array}{lllll} 0 & = & -2,5x-17,5 && \vert +2,5x \\ 2,5x & = & -17,5 && \vert :(2,5) \\ x & = & -7 && \\ \\ \end{array} $

    $N\left(-7\ \vert\ 0\right)$

  • Bestimme zu den gegebenen linearen Funktionen die zutreffenden $x$- und $y$-Achsenschnittpunkte.

    Tipps

    Der Punkt $N$ setzt sich aus den Koordinaten des $x$-Achsenschnittpunktes zusammen. Um den $x$-Achsenschnittpunkt zu berechnen, musst du in der Funktionsgleichung die $y$-Koordinate durch $0$ ersetzen und anschließend die $x$-Koordinate bestimmen.

    Den $y$-Achsenschnittpunkt einer linearen Funktion kann man direkt aus der Funktionsgleichung ablesen. Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

    $y=mx+n$

    Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $n$ der $y$-Achsenabschnitt. Für den $y$-Achsenschnittpunkt gilt dann:

    $S_y\left( 0\ \vert\ n \right)$

    Lösung

    Für die Berechnung der Koordinaten des $x$-Achsenschnittpunktes ersetzen wir in der jeweiligen Funktionsgleichung die $y$-Koordinate durch $0$ und bestimmen anschließend die $x$-Koordinate.

    Für die Berechnung der Koordinaten des $y$-Achsenschnittpunktes ersetzen wir in der jeweiligen Funktionsgleichung die $x$-Koordinate durch $0$ und bestimmen anschließend die $y$-Koordinate.

    Allerdings kann der $y$-Achsenschnittpunkt einer linearen Funktion auch einfacher ermittelt werden. Man kann ihn nämlich direkt aus der Funktionsgleichung ablesen. Die allgemeine Formel einer linearen Funktion lautet:

    $y=mx+n$

    Der Parameter $m$ beschreibt die Steigung der Geraden und $n$ den $y$-Achsenabschnitt. Für den gesuchten $y$-Achsenschnittpunkt gilt dann:

    $S_y\left( 0\ \vert\ n \right)$

    Wir werden im Folgenden beide Schnittpunkte rechnerisch ermitteln.

    Beispiel 1

    $y=3x-3$

    Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

    $ \begin{array}{lll} y & = & 3\cdot 0-3 \\ y & = & -3 \\ \\ \end{array} $

    $S_y\left(0\ \vert\ -3\right)$

    Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

    $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 3x-3 && \vert -3x \\ -3x & = & -3 && \vert :(-3) \\ x & = & 1 && \\ \\ \end{array} $

    $N\left(1\ \vert\ 0\right)$

    Beispiel 2

    $y=5x$

    Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

    $ \begin{array}{lll} y & = & 5\cdot 0 \\ y & = & 0 \\ \\ \end{array} $

    $S_y\left(0\ \vert\ 0\right)$

    Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

    $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 5x && \vert -5x \\ -5x & = & 0 && \vert :(-5) \\ x & = & 0 && \\ \\ \end{array} $

    $N\left(0\ \vert\ 0\right)$

    Beispiel 3

    $y=2x+6$

    Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

    $ \begin{array}{lll} y & = & 2\cdot 0+6 \\ y & = & 6 \\ \\ \end{array} $

    $S_y\left(0\ \vert\ 6\right)$

    Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

    $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 2x+6 && \vert -2x \\ -2x & = & 6 && \vert :(-2) \\ x & = & -3 && \\ \\ \end{array} $

    $N\left(-3\ \vert\ 0\right)$

    Beispiel 4

    $y=4x+8$

    Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

    $ \begin{array}{lll} y & = & 4\cdot 0+8 \\ y & = & 8 \\ \\ \end{array} $

    $S_y\left(0\ \vert\ 8\right)$

    Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

    $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 4x+8 && \vert -4x \\ -4x & = & 8 && \vert :(-4) \\ x & = & -2 && \\ \\ \end{array} $

    $N\left(-2\ \vert\ 0\right)$

  • Berechne den $x$- und $y$-Achsenschnittpunkt der gegebenen linearen Funktionen.

    Tipps

    Die Berechnung der Koordinaten des $x$-Achsenschnittpunktes erfolgt, indem die $y$-Koordinate in der jeweiligen Funktionsgleichung durch $0$ ersetzt und anschließend die $x$-Koordinate bestimmt wird.

    Für die Berechnung der Koordinaten des $y$-Achsenschnittpunktes muss die $x$-Koordinate durch $0$ ersetzt und die $y$-Koordinate bestimmt werden.

    Ein Beispiel könnte dir helfen:

    $y=7x-35$

    Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

    $ \begin{array}{lll} y & = & 7\cdot 0-35 \\ y & = & -35 \\ \\ \end{array} $

    $S_y\left(0\ \vert\ -35\right)$

    Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

    $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 7x-35 && \vert -7x \\ -7x & = & -35 && \vert :(-7) \\ x & = & 5 && \\ \\ \end{array} $

    $N\left(5\ \vert\ 0\right)$

    Lösung

    Anhand der ersten beiden Aufgaben soll das Vorgehen bei der Berechnung der Achsenschnittpunkte verdeutlicht werden.

    Beispiel 1

    $y=2x-10$

    Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

    $ \begin{array}{lll} y & = & 2\cdot 0-10 \\ y & = & -10 \\ \\ \end{array} $

    $S_y\left(0\ \vert\ -10\right)$

    Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

    $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 2x-10 && \vert -2x \\ -2x & = & -10 && \vert :(-2) \\ x & = & 5 && \\ \\ \end{array} $

    $N\left(5\ \vert\ 0\right)$

    Beispiel 2

    $y=5x-10$

    Berechnung des $y$-Achsenschnittpunktes mit $x=0$

    $ \begin{array}{lll} y & = & 5\cdot 0-10 \\ y & = & -10 \\ \\ \end{array} $

    $S_y\left(0\ \vert\ -10\right)$

    Berechnung des $x$-Achsenschnittpunktes mit $y=0$

    $ \begin{array}{lllll} 0 & = & 5x-10 && \vert -5x \\ -5x & = & -10 && \vert :(-5) \\ x & = & 2 && \\ \\ \end{array} $

    $N\left(2\ \vert\ 0\right)$

    Die anderen Beispiele berechnen sich auf die gleiche Art und Weise.