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Lineare Funktion aus Punkt und y-Achsenabschnitt bestimmen 04:17 min

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Transkript Lineare Funktion aus Punkt und y-Achsenabschnitt bestimmen

Hallo! Wie kannst du aus einem gegebenen y-Achsenabschnitt und einem weiteren gegebenen Punkt die Gleichung einer linearen Funktion errechnen. Das möchte ich jetzt mal zeigen. Und dazu brauchen wir selbstverständlich einen y-Achsenabschnitt, gemeinhin mit b bezeichnet oder auch n ist gebräuchlich. Ich benutze b hier. Ein Punkt soll gegeben sein, sinnhafter Weise heißt der P1 und der hat die Koordinaten 1 und -1,5 (p1 =1/ -1,5). Ja, es gibt mehrere Methoden, wie du jetzt vorgehen kannst. Zwei möchte ich kurz anreißen. Es gibt auch noch andere. Wie du letzten Endes vorgehst ist egal, oder du fragst das deinen Mathematiklehrer deines Vertrauens. Also du könntest, wenn du die Formel kennst, wie man aus zwei Punkten die Gleichung einer linearen Funktion macht, dann könntest du das hier, als Punkt auffassen, dieses b, denn der y-Achsenabschnitt hat ja die Eigenschaft, dass da an dem Punkt x=0 ist, das bedeutet wir haben einen Punkt gegeben, wenn wir den y-Achsenabschnitt gegeben haben, mit den Koordinaten 0 und in dem Fall hier y-Koordinate=1. Und dann kannst du einfach stumpf weiterrechnen. Du sagst dir, ich habe zwei Punkte gegeben und ich setze das in meine Formel ein und rechne die Sache aus. Kein Problem das geht. Du kannst aber auch etwas anschaulicher vorgehen. Dazu stellst du dir vor, wie das Ganze hier im Koordinatensystem aussieht. Sagen wir mal hier ist die 1, +1, da ist auch die 1 und hier ist -1,5. Dann haben wir hier den y-Achsenabschnitt, der ist gegeben, der ist bei +1. Und wir haben einen weiteren Punkt, der ist bei der x-Koordinate 1 und  der y-Koordinate -1,5. Und wenn du diese Punkte schon mal gegeben hast, dann kannst du auch hier das Steigungsdreieck ablesen und die Steigung ablesen. Dazu gehst du von dem Punkt mit dem kleinsten x-Wert, also der Punkt der am weitesten links liegt, gehst du nach rechts los, über den x-Wert des 2. Punktes, das ist hier bei der 1. Dann gehst du zu dem y-Wert des 2 Punktes und erhältst ein Steigungsdreieck. Diese Differenz hier ist freundlicherweise 1, sie könnte natürlich auch 2,3 oder 18,6 sein. Das wäre völlig egal. Diese Differenz hier kannst du auch ganz einfach ablesen, das ist -2,5. Minus deshalb, weil du nach unten gegangen bist. Hier entsteht dann das Steigungsdreieck und du kannst m, die Steigung direkt ablesen, es ist also diese Differenz hier, y-Differenz, geteilt durch x-Differenz. Die y-Differenz = -2,5/1= -2,5. Ja, da ist die Steigung. b ist schon gegeben, da kannst du also die Funktionsgleichung direkt aufschrieben: y= mx+b muss es ja heißen, m ist -2,5 * x plus b, b ist 1, das ist schon gegeben, also +1. Das ist eine von mehreren Methoden. So kann man da vorgehen. Ich hoffe, es ist alles klar geworden. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss.

6 Kommentare
  1. Toll erklärtes Video!!!!!!!!

    Von Julian D., vor fast 2 Jahren
  2. coolster Lehrer ever du kannst gut erklären

    Von rouven s., vor mehr als 2 Jahren
  3. bester Lehrer auf ganz sofatutor danke dafür

    Von Lauenrothsche, vor mehr als 2 Jahren
  4. super gut

    Von Carsten W., vor fast 5 Jahren
  5. Haha, ich habe verstanden, das Steigungsdreieck und ich habe verstanden, wie m berechnet wird.

    y und x m und b

    Von Lufthansa, vor mehr als 9 Jahren
  1. Haha, ich habe verstanden, das Steigungsdreieck und ich habe verstanden, wie m berechnet wird.

    y und x m und b

    Von Lufthansa, vor mehr als 9 Jahren
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Lineare Funktion aus Punkt und y-Achsenabschnitt bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Funktion aus Punkt und y-Achsenabschnitt bestimmen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschrifte die allmeine lineare Funktionsgleichung im Allgemeinen und anhand der gegebenen Punkte.

    Tipps

    Beachte, dass bei einem Punkt $P$ die erste Koordinate die x- und die zweite die y-Koordinate beschreibt.

    Die Steigung einer Geraden zeigt an, wie stark sich die Werte in Abhängigkeit von der Variablen $x$ verändern.

    Der y-Achsenabschnitt ist die Stelle, an welcher die Gerade die y-Achse schneidet.

    Lösung

    Eine lineare Funktionsgleichung ist gegeben durch

    $y=mx+b$.

    Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt.

    Jeder Punkt $P(x_1|y_1)$, der die Funktion

    $y_1=mx_1+b$

    erfüllt, ist ein Punkt, der auf dem Graphen der Funktion (hier eine Gerade) liegt.

    Wenn insbesondere ein Punkt vorgegeben ist - zum Beispiel $P_1(1|-1,5)$ -, dann könnte man $x=1$ und $y=-1,5$ in die obige Funktionsgleichung einsetzen. Man erhielte

    $-1,5=m \cdot 1 + b$.

  • Gib an, womit man die Steigung bestimmen kann.

    Tipps

    Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion ist hier abgebildet.

    Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt.

    Die Steigung in diesem Beispiel beträgt $m=-\frac34$.

    $a^2+b^2=c^2$ könnte unter gewissen Voraussetzungen der Satz des Pythagoras sein.

    Lösung

    Hier sind zwei Punkte $P_1(-4|4)$ sowie $P_2(0|1)$ gegeben. Durch diese beiden Punkte kann eine Gerade gezeichnet werden.

    Hier kann man sehen, wie die Steigung bestimmt wird:

    • Ein Pfeil geht von $P_1$ vier Einheiten nach rechts und
    • ein weiterer von dort drei Einheiten nach unten zu $P_2$.
    Neben einem waagerechten und einem senkrechten Pfeil, kann auch die direkte Verbindung zwischen $P_1$ und $P_2$ gezeichnet werden, sodass man ein rechtwinkliges Dreieck erhält. Dieses Dreieck wird als Steigungsdreieck bezeichnet. Die Steigung ist dann gegeben als der Quotient aus vertikaler Länge und horizontaler Länge: $m=\frac{-3}4=-\frac34$. Es ist wichtig, in der jeweiligen Differenz die Koordinaten desselben Punktes an den Anfang zu stellen.

    Nun vergleichen wir dies mit der Formel zur Berechnung der Steigung: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Setzen wir die gegebenen Punkte ein:

    $m=\frac{1-4}{0-(-4)}=\frac{-3}{4}=-\frac34$.

    Wir erhalten die gleiche Steigung.

  • Bestimme die lineare Funktionsgleichung mit dem y-Achsenabschnitt $b=1$ und dem Punkt $P_1(1|-1,5)$.

    Tipps

    Gesucht ist eine Gleichung der Form $y=mx+b$.

    Der y-Achsenabschnitt ist die Stelle, an welcher die Gerade die y-Achse schneidet. Die y-Achse liegt bei $x=0$.

    Die Formel zur Berechnung der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte $P_1(x_1|y_1)$ sowie $P_2(x_2|y_2)$ lautet

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Lösung

    Da bereits der y-Achsenabschnitt $b=1$ bekannt ist, wird noch die Steigung $m$ benötigt.

    Es ist weiterhin ein Punkt $P_1(1|-1,5)$ bekannt. Wenn noch ein weiterer bekannt wäre, könnte die Steigung mit der Formel

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    berechnet werden. Es ist der y-Achsenabschnitt bekannt, nämlich $b=1$. Somit ist auch der zugehörige Punkt $P_2(0|1)$ bekannt. Nun kann die Formel zur Berechnung der Steigung angewendet werden:

    $m=\frac{1-(-1,5)}{0-1}=\frac{2,5}{-1}=-2,5$.

    Zuletzt kann die komplette Funktionsgleichung angegeben werden:

    $y=-2,5x+1$.

  • Untersuche die Lage der Geraden zueinander.

    Tipps

    Der y-Achsenabschnitt der Geraden $1$ ist negativ. Das bedeutet, dass in die Lücke eine positive Zahl gehört.

    Zwei Geraden sind parallel zueinander, wenn die Steigungen dieser Geraden übereinstimmen.

    Zur Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden setzt du die zugehörigen Funktionsterme gleich und löst diese Gleichung nach $x$ auf.

    Beide Koordinaten des Schnittpunktes sind positiv und haben eine Nachkommastelle.

    Lösung

    Hier sind drei verschiedene Geraden gegeben, wobei verschiedene Angaben bekannt sind. Um die Lage dieser Geraden zueinander bestimmen zu können, müssen zunächst die zugehörigen Funktionsgleichungen aufgestellt werden:

    1. Gerade 1: Da die Steigung $m=4$ bereits bekannt ist, ist $y=4x+b$. Nun können die Koordinaten des Punktes $P_1(2|2)$ in diese Gleichung eingesetzt werden: $2=4\cdot 2+b$. Diese Gleichung wird nach $b$ umgeformt, es wir $4\cdot 2=8$ subtrahiert, und man erhält $b=-6$ und somit die lineare Funktionsgleichung $y=4x-6$.
    2. Gerade 2: Hier sind zwei Punkte $P_2(3|4)$ sowie $P_3(2|0)$ bekannt. Zunächst kann die Steigung berechnet werden, also $m=\frac{0-4}{2-3}=\frac{-4}{-1}=4$. Ebenso wie bei Gerade $1$ wird ein bekannter Punkt (welcher ist egal) in die Gleichung eingesetzt: $0=4\cdot 2+b$. Subtraktion von $4\cdot 2=8$ führt zu $b=-8$ und der linearen Funktionsgleichung $y=4x-8$.
    3. Gerade 3: Hier ist der y-Achsenabschnitt $b=2$ bekannt, also $y=mx+2$. Wiederum kann der bekannte Punkt $P_4(1|1)$ eingesetzt werden und man erhält $1=m\cdot 1+2$. Subtraktion von $2$ führt zu $m=-1$. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet somit $y=-x+2$.
    Nun können die Lagebeziehungen untersucht werden.

    Da die Geraden $1$ und $2$ die gemeinsame Steigung $m=4$ haben, sind sie parallel. Da die y-Achsenabschnitte verschieden sind, sind die Geraden nicht identisch.

    Die Geraden $1$ und $3$ haben verschiedene Steigungen. Das bedeutet, dass die Geraden sich schneiden müssen. Die x-Koordinate des Schnittpunktes erhält man durch Lösen der Gleichung $4x-6=-x+2$

    $\begin{array}{rcllll} & 4x-6& =&~-x+2 &|& +x \\ \Leftrightarrow& 5x-6 & =&~2 &|& +6 \\ \Leftrightarrow& 5x& =&~8&|&:5 \\ \Leftrightarrow& x & =&~1,6 \end{array}$

    Die ermittelte Koordinate $x=1,6$ wird in eine der beiden Funktionsgleichungen eingesetzt, um die zugehörige y-Koordinate zu erhalten:

    $y=-1,6+2=0,4$.

    Damit ist der Schnittpunkt $S(1,6|0,4)$.

  • Ermittle für $P_1(2|2)$ zu verschiedenen $b$ die Steigung.

    Tipps

    Zu dem y-Achsenabschnitt $b$ gehört der Punkt $P_2(0|b)$.

    Verwende diese Formel zur Berechnung der Steigung der Geraden durch die Punkte $P_(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$.

    Achte auf das Vorzeichen, wenn du die Koordinaten der Punkte in die obige Formel einsetzt.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Berechnung einer Steigung.

    Gegeben sind die beiden Punkte $P_1(3|2)$ sowie $P_2(4|6)$.

    Lösung

    Hier ist die Formel zu sehen, die man benötigt, um eine Steigung zu berechnen, wenn zwei Punkte $P_1(x_1|y_1)$ sowie $P_2(x_2|y_2)$ gegeben sind.

    Gegeben ist der Punkt $P_1(2|2)$.

    Wenn zusätzlich der y-Achsenabschnitt gegeben ist, so hat man noch einen weiteren Punkt, nämlich $P_2(0|b)$.

    Es werden jeweils die Koordinaten der gegebenen Punkte in die hier abgebildete Formel eingesetzt:

    • Für den y-Achsenabschnitt $b=-2$ ergibt sich der zusätzliche Punkt $P_2(0|-2)$, sodass sich die Steigung mit $m=\frac{-2-2}{0-2}=\frac{-4}{-2}=2$ berechnen lässt.
    • Ebenso erhalten wir für $b=-1$ den Punkt $P_2(0|-1)$ und berechnen die Steigung $m=\frac{-1-2}{0-2}=\frac{-3}{-2}=\frac32=1,5$.
    • Für $b=1$ erhalten wir den Punkt $P_2(0|1)$ und die Steigung $m=\frac{1-2}{0-2}=\frac{-1}{-2}=\frac12=0,5$.
    • Zu guter Letzt erhalten wir für $b=2$ den Punkt $P_2(0|2)$ und die Steigung $m=\frac{2-2}{0-2}=\frac{0}{-2}=0$.
  • Leite die lineare Funktionsgleichung zu $b=2$ und $P_1(3|14)$ her.

    Tipps

    Wenn du bereits $b$ kennst, fehlt nur noch $m$.

    Du kennst auch einen Punkt der Geraden. Das bedeutet, dass die Koordinaten dieses Punktes die lineare Funktionsgleichung erfüllen müssen.

    In der Gleichung $y=mx+b$ befinden sich vier Variablen, von denen du drei aber schon kennst.

    Lösung

    In der Gleichung $y=mx+b$ befinden sich vier Unbekannte (oder Variablen), von denen drei bekannt sind. Diese drei bekannten Größen können in die Gleichung eingesetzt werden. Dies ist in der nebenstehenden Skizze zu sehen. So erhält man

    $14=m\cdot3+2$.

    Subtraktion von $2$ führt zu $12=m\cdot 3$.

    Nun wird durch $3$ dividiert, um zu $m=4$ zu gelangen.

    Die Funktionsgleichung lautet also $y=4x+2$.