Lineare Funktion aus einem Graphen bestimmen (Übungsvideo 2)

Lineare Funktion aus einem Graphen bestimmen (Übungsvideo 2) Übung

• Berechne die Steigung der Funktion, zu der zwei Punkte bekannt sind.

  Tipps

  Beachte die Reihenfolge bei der Berechnung der Differenzen. Die Formel zur Berechnung der Steigung lautet:

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Kürze gegebenenfalls so weit als möglich.

  Du kannst die Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und durch eine Gerade verbinden. Nun kannst du die Steigung mit Hilfe eines Steigungsdreiecks überprüfen.

  Beachte, dass die Subtraktion von negativen Zahlen zur Addition der positiven Zahl führt:

  $6-(-2)=6+2=8$.

  Lösung

  Wenn zwei Punkte gegeben sind, kann man durch diese eindeutig eine Gerade legen. Die Steigung der zugehörigen Funktionsgleichung ist gegeben als Quotient aus der Differenz der y- und der der x-Koordinaten.

  Bei den oben angegebenen Punkten erhält man somit

  $m=\large{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}=\large{\frac{1-5}{5-(-3)}}=\large{\frac{-4}8}=-\large\frac12$.

  Die Gleichung kann in der Form $y=-\frac12x+b$ angegeben werden.

• Beschreibe, wie der y-Achsenabschnitt bei gegebener Steigung berechnet werden kann.

  Tipps

  Es ist egal, welchen der beiden Punkte man einsetzt. Man erhält jedes Mal den gleichen y-Achsenabschnitt. Du kannst das gerne mal mit dem anderen Punkt $P_2$ probieren.

  Du erhältst eine lineare Gleichung mit der Unbekannten $b$, dem y-Achsenabschnitt.

  Lösung

  Die Steigung der Funktion ist $m=-\frac12$.

  Diese kann man entweder mit Hilfe eines Steigungsdreiecks oder bei gegebenen Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ mit der Formel

  $m= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  bestimmen. Also ist $y=-\frac12x+b$.

  Wie kann man den y-Achsenabschnitt berechnen?

  Man setzt einen (der beiden, es ist egal welchen) Punkt, der gegeben ist, in die Funktionsgleichung ein:

  • die y-Koordinate des Punktes auf der linken Seite für $y$ und
  • die x-Koordinate auf der rechten Seite für $x$:

  Am Beispiel des Punktes $P_1(-3|5)$ bedeutet dies:

  $\begin{align*} 5&=-\frac12\cdot (-3)+b\\ 5&=1,5+b&|&-1,5\\ 3,5&=b. \end{align*}$

  Somit lautet die lineare Funktionsgleichung

  $y=-\frac12x+3,5$.

• Ermittle den y-Achsenabschnitt und gib die lineare Funktionsgleichung an.

  Tipps

  Die Steigung ist bereits vorgegeben. Du musst noch den y-Achsenabschnitt berechnen.

  Eine allgemeine Gleichung einer linearen Funktion ist gegeben durch

  $y=mx+b$.

  Dabei ist

  • $m$ die Steigung und
  • $b$ der y-Achsenabschnitt.

  Lösung

  Da die Steigung $m=1$ bereits vorgegeben ist, ist

  $y=x+b$.

  Zur Bestimmung des y-Achsenabschnitts werden die Koordinaten des gegebenen Punktes in der Gleichung eingesetzt:

  $\begin{align*} 5&=4+b&|&-4\\ 1&=b. \end{align*}$

  Also ist die Gleichung gegeben durch

  $y=x+1$.

• Leite die lineare Funktionsgleichung zu der Geraden, welche durch die Punkte $P$ und $Q$ verläuft, her.

  Tipps

  Die Koordinaten der Punkte kannst du aus dem Koordinatensystem ablesen. Die erste Koordinate eines Punktes ist die x-, die zweite die y-Koordinate.

  Verwende die Formel

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-_1}$

  zur Berechnung der Steigung. Kürze so weit wie möglich. Diese Formel besagt, dass die Differenz der y-Koordinaten der Punkte durch die Differenz der x-Koordinaten geteilt wird.

  Du kannst die gefundenen Werte überprüfen, indem du die Ausgangspunkte in der so erhaltenen Gleichung einsetzt.

  Lösung

  Die beiden Punkte $P(-2|2)$ sowie $Q(2|4)$ können durch die Verwendung der Formel

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-_1}$

  aus dem Koordinatensystem abgelesen werden.

  Somit ist

  $m=\frac{4-2}{2-(-2)}=\frac24=\frac12$.

  Die Gleichung lautet

  $y=\frac12x+b$.

  Nun kann zum Beispiel der Punkt $P$ in dieser Gleichung eingesetzt werden:

  $2=\frac12\cdot(-2)+b=-1+b$.

  Dies ist äquivalent zu $b=3$. Die gesuchte Gleichung lautet somit

  $y=\frac12x+3$.

• Gib an, welche der gegebenen Funktionen der allgemeinen linearen Funktionsgleichung entspricht.

  Tipps

  Der Faktor vor dem $x$ wird als Steigung bezeichnet.

  Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

  Lösung

  Die allgemeine Darstellung einer linearen Funktionsgleichung ist gegeben durch

  $y=mx+b$,

  dabei ist

  • $m$ die Steigung und
  • $b$ der y-Achsenabschnitt.

  Der y-Achsenabschnitt ist die Stelle auf der y-Achse, an welcher die Gerade diese Achse schneidet.

• Wende die angegebene Formel an, um eine lineare Funktionsgleichung herzuleiten.

  Tipps

  In der obigen Formel ist die Formel zur Berechnung von $m$ enthalten:

  $m= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

  Du kannst auch bei beiden Gleichungen die Steigung zunächst ausrechnen und dann einen Punkt in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten.

  Die Reihenfolge, in welcher du die Punkte einsetzt, ist egal.

  Beachte: Wenn du von der y-Koordinate des einen (zum Beispiel $P$) die des anderen subtrahierst, musst du diese Reihenfolge auch im Nenner bei der Subtraktion der x-Koordinaten beibehalten.

  Die Koordinaten, welche bei $(x-x_1)$ sowie dem Summanden $y_1$ in der Formel eingesetzt werden, können auch von dem anderen Punkt kommen. Du erhältst beide Male die gleiche Funktionsgleichung.

  Lösung

  Wenn man die oben angegebene Formel kennt, kann man die Gleichungen von linearen Funktionen direkt durch Einsetzen herleiten:

  • $P(3|-2)$ und $Q(1|0)$:

  $y=\frac{0-(-2)}{1-3}(x-3)+(-2)=\frac2{-2}(x-3)-2=-(x-3)-2=-x+3-2=-x+1$.

  Du hättest auch wie folgt rechnen können:

  $y=\frac{0-(-2)}{1-3}(x-1)+0=\frac2{-2}(x-1)=-(x-1)=-x+1$.

  • $R(4|-4)$ und $S(3|3)$:

  $y=\frac{3-(-4)}{3-4}(x-4)+(-4)=\frac7{-1}(x-4)-4=-7(x-4)-4=-7x+28-4=-7x+24$.