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Lineare Funktion aus einem Graphen bestimmen (Übungsvideo 1) 03:35 min

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Transkript Lineare Funktion aus einem Graphen bestimmen (Übungsvideo 1)

Hallo. Eine typische Aufgabe beim Thema ”Lineare Funktionen” ist folgende: Ein Graph ist gegeben und die Funktionsgleichung dazu soll gefunden werden. Um die Aufgabe lösen zu können, wäre es gut, wenn du weißt, was lineare Funktionen und wie deren Graphen und Gleichungen aussehen. Bevor wir richtig anfangen, muss ich noch eine Sache vorwegschicken: Normalerweise ist es nicht möglich aus Graphen Funktionsgleichungen zu erstellen, denn um aus einem Graphen eine Funktionsgleichung zu erstellen, braucht man die Koordinaten von Punkten des Graphen. Und diese Koordinaten braucht man hundertprozentig genau und hundertprozentig genau kann man normalerweise diese Koordinaten nicht ablesen. Aber, wenn eine solche Aufgabe gestellt wird, ist es natürlich möglich, die Koordinaten von Punkten ganz genau abzulesen, denn sonst wäre die Aufgabe ja gar nicht lösbar. Also, schauen wir uns einen Graphen an. Um die Funktionsgleichung zu bestimmen, brauchen wir die Koordinaten zweier Punkte. Den hier können wir, zum Beispiel, P1 nennen. Der hat die Koordinaten (0|-1). Und der soll jetzt mal hier P2 heißen. Der hat die Koordinaten (3|0). Wir haben nun zwei Punkte des Graphen und können das Standardverfahren anwenden, mit dem man aus zwei Punkten die Funktionsgleichung erstellt. Wir suchen die Gleichung einer linearen Funktion und die hat die Form y = m×x + b. Dabei ist b der y-Achsenabschnitt und den haben wir hier schon abgelesen. Also der Funktionswert bei x = 0. Der ist -1. Dann können wir das schon mal hinschreiben. b = -1. Und dann brauchen wir die Steigung. Die können wir mit der dafür zuständigen Formel ausrechnen: m = (y2 - y1)/(x2 - x1). Wir können dann Werte einsetzen. Was y2 und was y1 ist, ist eigentlich egal. Jetzt haben wir hier P2 stehen. Dann sagen wir: Okay, das ist hier y2. Warum nicht? Das ist null. y1 = -1. Und x2 = 3. - x1 = 0. Und da steht es. Ja und das ist 1/3. Und damit haben wir die Gleichung vollständig. y = 1/3x - 1. Wenn man jetzt b nicht direkt ablesen kann, dann macht man folgendes: Man rechnet m aus mit dieser Formel, hier also 1/3, und nimmt dann die Koordinaten eines Punktes. Nehmen wir mal den hier. Und die Koordinaten setzt man dann ein. Also haben wir hier 3 stehen und da haben wir 0 stehen. Das ist eine Gleichung, die man dann nach b auflösen kann und dann kann man b ablesen. So, das war es dazu. Schauen wir uns nochmal an, wie wir die Funktionsgleichung gefunden haben. Wir haben erst die Koordinaten von zwei Punkten des Graphen abgelesen und haben dann das Standardverfahren angewendet, mit dem man aus zwei Punkten die Funktionsgleichung erstellt. Viel Spaß damit. Tschüss.

3 Kommentare
  1. gut erklärt weiter so bitte

    Von Diamondprincess, vor 6 Monaten
  2. super
    #

    Von Alfred 4, vor etwa 3 Jahren
  3. gut erklärt, weiter so bitte

    Von Itslearning Nutzer 1974 5566, vor fast 4 Jahren

Lineare Funktion aus einem Graphen bestimmen (Übungsvideo 1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Funktion aus einem Graphen bestimmen (Übungsvideo 1) kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die allgemeine Funktionsgleichung sowie die Eigenschaft des y-Achsenabschnittes einer linearen Funktion an.

    Tipps

    Ein Beispiel für eine lineare Funktion ist

    $y=3x-4$.

    Zeichne den Graphen der Funktion $y=3x-4$ in ein Koordinatensystem.

    Lösung

    Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet

    $y=mx+b$.

    Dabei steht

    • $m$ für die Steigung und
    • $b$ für den y-Achsenabschnitt, die Stelle, an welcher die Gerade die y-Achse schneidet.

  • Bestimme die lineare Funktionsgleichung zu der Geraden.

    Tipps

    Der y-Achsenabschnitt ist die Stelle der y-Achse, an welcher die Gerade diese Achse schneidet.

    Verwende zur Berechnung der Steigung die Formel

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    bei gegebenen Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$.

    Du kannst die Steigung auch mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.

    Lösung

    Die beiden Punkte $P_1(0|-1)$ sowie $P_2(3|0)$ können dem Bild entnommen werden.

    Da zu $x=0$ der Funktionswert $y=-1$ gehört, ist der y-Achsenabschnitt $b=-1$. Somit ist $y=mx-1$.

    Nun kann $m$ bei gegebenen zwei Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ mit der Formel

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    berechnet werden. Dabei steht im Zähler die Differenz der y-Koordinaten und im Nenner die Differenz der x-Koordinaten der Punkte.

    $m=\frac{0-(-1)}{3-0}=\frac13$.

    Die Funktionsgleichung lautet vollständig:

    $y=\frac13 x-1$.

  • Schildere wie der y-Achsenabschnitt bei gegebener Steigung berechnet werden kann.

    Tipps

    Bestimme zunächst die Steigung $m$ und setzte anschließend die Koordinaten eines gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung ein, diese lautet:

    $y=mx+b$

    Ein Punkt hat die Form:

    $P(x\vert y)$

    Es ist egal, welchen der beiden Punkte man einsetzt. Man erhält jedes Mal den gleichen y-Achsenabschnitt. Du kannst das gerne mal mit dem anderen Punkt $P_1(0|-1)$ probieren.

    Du erhältst eine lineare Gleichung mit der Unbekannten $b$, dem y-Achsenabschnitt.

    Lösung

    Die Steigung der oben zu sehenden Funktion ist $m=\frac13$.

    Diese kann man entweder mit Hilfe eines Steigungsdreiecks oder bei gegebenen Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ mit der Formel

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    bestimmt werden. Also ist $y=\frac13x+b$.

    Wie kann nun der y-Achsenabschnitt berechnet werden?

    Man setzt einen (der beiden, es ist egal welchen) Punkt, der gegeben ist, in die Funktionsgleichung ein:

    • die y-Koordinate des Punktes auf der linken Seite für $y$ und
    • die x-Koordinate auf der rechten Seite für $x$:
    Am Beispiel des Punktes $P_2(3|0)$ bedeutet dies:

    $\begin{align*} 0&=\frac13\cdot 3+b\\ 0&=1+b&|&-1\\ -1&=b. \end{align*}$

    Somit lautet die lineare Funktionsgleichung

    $y=\frac13x-1$.

  • Bestimme die Gleichungen der gesuchten Funktionen.

    Tipps

    Trage bei negativen Werten auch das Vorzeichen ein.

    Bei zwei Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ ist die Steigung gegeben durch

    $m=\large\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Ein Punkt $P(p_x|p_y)$, der auf einer Geraden liegt, erfüllt die Gleichung

    $p_y=m\cdot p_x+b$.

    Lösung

    Alle drei Geraden verlaufen durch den Punkt $P(1|1)$.

    1. Die erste Funktion hat die Steigung $m=3$. Dann gilt $y=3x+b$. Der Punkt $P$ wird in der Gleichung eingesetzt:

    $1=3\cdot1+b$. Dies ist äquivalent zu $b=-2$.

    Die gesuchte Funktion ist $y=3x-2$.

    2. Die zweite Funktion hat die Gleichung $y=mx$. Das bedeutet, dass der y-Achsenabschnitt $b=0$ ist. Anders ausgedrückt: ein weiterer Punkt der Geraden ist der Koordinatenursprung $O(0|0)$. Dann kann die Steigung berechnet werden:

    $m=\frac{1-0}{1-0}=\frac11=1$.

    Die gesuchte Gleichung ist gegeben durch $y=x$.

    3. Die dritte Gerade verläuft durch den Punkt $Q(2|3)$. Auch hier kann die Steigung wie folgt berechnet werden:

    $m=\frac{3-1}{2-1}=\frac21=2$.

    Mit dieser Steigung und der Funktion $y=2x+b$ kann der y-Achsenabschnitt berechnet werden:

    $1=2\cdot 1+b$. Dies ist äquivalent zu $b=-1$.

    Die gesuchte Gleichung lautet: $y=2x-1$.

  • Ermittle die Gleichung der linearen Funktion.

    Tipps

    Wenn zwei Geraden parallel sind, dann stimmen

    • die Steigungen oder
    • die y-Achsenabschnitte überein?

    Zeichne dir parallele Geraden:

    • Wie sehen die y-Achsenabschnitte aus?
    • Wie sehen die Steigungsdreiecke aus?

    Bei gegebener Steigung kannst du den gegebenen Punkt und die Steigung in die Funktionsgleichung einsetzen und dann den y-Achsenabschnitt berechnen.

    Lösung

    Wenn zwei Geraden parallel zueinander sind, haben sie die gleiche Steigung. Das bedeutet $m=3$.

    Die Gleichung lautet dann

    $y=3x+b$.

    Zur Bestimmung des y-Achsenabschnitts werden die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Gleichung eingesetzt:

    $\begin{align*} 3&=3\cdot 3+b\\ 3&=9+b&|&-9\\ -6&=b. \end{align*}$

    Also ist die Gleichung gegeben durch

    $y=3x-6$.

  • Beschreibe, wie die Funktionsgleichung bei zwei gegebenen Punkten berechnet werden kann.

    Tipps

    Seien zwei Punkte $R(x_1|y_1)$ sowie $S(x_2|y_2)$ gegeben. Verwende die Formel

    $m= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    zur Berechnung der Steigung.

    Wenn die Steigung bekannt ist, kannst du einen der beiden Punkte in der Gleichung einsetzen. So erhältst du den y-Achsenabschnitt.

    Du kannst die erhaltene Gleichung prüfen, indem du die beiden gegebenen Punkte einsetzt. Die jeweilige Gleichung muss erfüllt sein.

    Lösung

    Es sind die beiden Punkte $P(3|-2)$ sowie $Q(-1|-1)$ gegeben. Da man die Geradengleichung berechnen soll, das Ablesen aus dem Koordinatensystem kann ungenau sein, muss man zuerst die Steigung bestimmen.

    Hierfür verwendet man die Formel

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    bei zwei Punkten $R(x_1|y_1)$ sowie $S(x_2|y_2)$.

    Somit ist

    $m=\frac{-1-(-2)}{-1-3}=\frac1{-4}=-\frac14$.

    Die Gleichung lautet: $y=-\frac14x+b$.

    Einer der beiden Punkte, zum Beispiel $P$, man könnte auch $Q$ nehmen, wird nun in der Gleichung eingesetzt:

    $-2=-\frac14\cdot3+b$.

    Durch Addition von $\frac34$ erhält man $b=-\frac54$.

    Somit ist die Gleichung vollständig:

    $y=-\frac14x-\frac54$.