Lineare Funktion aus einem Graphen bestimmen (Übungsvideo 1)

Lineare Funktion aus einem Graphen bestimmen (Übungsvideo 1) Übung

• Bestimme die lineare Funktionsgleichung zu der Geraden.

  Tipps

  Der y-Achsenabschnitt ist die Stelle der y-Achse, an welcher die Gerade diese Achse schneidet.

  Verwende zur Berechnung der Steigung die Formel

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  bei gegebenen Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$.

  Du kannst die Steigung auch mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.

  Lösung

  Die beiden Punkte $P_1(0|-1)$ sowie $P_2(3|0)$ können dem Bild entnommen werden.

  Da zu $x=0$ der Funktionswert $y=-1$ gehört, ist der y-Achsenabschnitt $b=-1$. Somit ist $y=mx-1$.

  Nun kann $m$ bei gegebenen zwei Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ mit der Formel

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  berechnet werden. Dabei steht im Zähler die Differenz der y-Koordinaten und im Nenner die Differenz der x-Koordinaten der Punkte.

  $m=\frac{0-(-1)}{3-0}=\frac13$.

  Die Funktionsgleichung lautet vollständig:

  $y=\frac13 x-1$.

• Schildere, wie der y-Achsenabschnitt bei gegebener Steigung berechnet werden kann.

  Tipps

  Bestimme zunächst die Steigung $m$ und setze anschließend die Koordinaten eines gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung ein. Diese lautet:

  $y=mx+b$

  Ein Punkt hat die Form:

  $P(x\vert y)$

  Es ist egal, welchen der beiden Punkte man einsetzt. Man erhält jedes Mal den gleichen y-Achsenabschnitt. Du kannst das gerne einmal mit dem anderen Punkt $P_1(0|-1)$ probieren.

  Du erhältst eine lineare Gleichung mit der Unbekannten $b$, dem y-Achsenabschnitt.

  Lösung

  Die Steigung der oben zu sehenden Funktion ist $m=\frac13$.

  Diese kann entweder mit Hilfe eines Steigungsdreiecks oder bei gegebenen Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ mit der Formel

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  bestimmt werden. Also ist $y=\frac13x+b$.

  Wie kann nun der y-Achsenabschnitt berechnet werden?

  Man setzt einen (der beiden, es ist egal welchen) Punkt, der gegeben ist, in die Funktionsgleichung ein:

  • die y-Koordinate des Punktes auf der linken Seite für $y$ und
  • die x-Koordinate auf der rechten Seite für $x$:

  Am Beispiel des Punktes $P_2(3|0)$ bedeutet dies:

  $\begin{align*} 0&=\frac13\cdot 3+b\\ 0&=1+b&|&-1\\ -1&=b. \end{align*}$

  Somit lautet die lineare Funktionsgleichung:

  $y=\frac13x-1$.

• Ermittle die Gleichung der linearen Funktion.

  Tipps

  Wenn zwei Geraden parallel sind, dann stimmen

  • die Steigungen oder
  • die y-Achsenabschnitte überein?

  Zeichne die parallelen Geraden:

  • Wie sehen die y-Achsenabschnitte aus?
  • Wie sehen die Steigungsdreiecke aus?

  Bei gegebener Steigung kannst du den gegebenen Punkt und die Steigung in die Funktionsgleichung einsetzen und dann den y-Achsenabschnitt berechnen.

  Lösung

  Wenn zwei Geraden parallel zueinander sind, haben sie die gleiche Steigung. Das bedeutet $m=3$.

  Die Gleichung lautet dann

  $y=3x+b$.

  Zur Bestimmung des y-Achsenabschnitts werden die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Gleichung eingesetzt:

  $\begin{align*} 3&=3\cdot 3+b\\ 3&=9+b&|&-9\\ -6&=b. \end{align*}$

  Also ist die Gleichung gegeben durch

  $y=3x-6$.

• Beschreibe, wie die Funktionsgleichung bei zwei gegebenen Punkten berechnet werden kann.

  Tipps

  Seien zwei Punkte $R(x_1|y_1)$ sowie $S(x_2|y_2)$ gegeben. Verwende die Formel

  $m= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  zur Berechnung der Steigung.

  Wenn die Steigung bekannt ist, kannst du einen der beiden Punkte in der Gleichung einsetzen. So erhältst du den y-Achsenabschnitt.

  Du kannst die erhaltene Gleichung prüfen, indem du die beiden gegebenen Punkte einsetzt. Die jeweilige Gleichung muss erfüllt sein.

  Lösung

  Es sind die beiden Punkte $P(3|-2)$ sowie $Q(-1|-1)$ gegeben. Da man die Geradengleichung berechnen soll, das Ablesen aus dem Koordinatensystem ungenau sein kann, muss man zuerst die Steigung bestimmen.

  Hierfür verwendet man die Formel

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  bei zwei Punkten $R(x_1|y_1)$ sowie $S(x_2|y_2)$.

  Somit ist

  $m=\frac{-1-(-2)}{-1-3}=\frac1{-4}=-\frac14$.

  Die Gleichung lautet: $y=-\frac14x+b$.

  Einer der beiden Punkte, zum Beispiel $P$, man könnte auch $Q$ nehmen, wird nun in der Gleichung eingesetzt:

  $-2=-\frac14\cdot3+b$.

  Durch Addition von $\frac34$ erhält man $b=-\frac54$.

  Somit ist die Gleichung vollständig:

  $y=-\frac14x-\frac54$.

• Gib die allgemeine Funktionsgleichung sowie die Eigenschaft des y-Achsenabschnittes einer linearen Funktion an.

  Tipps

  Ein Beispiel für eine lineare Funktion ist

  $y=3x-4$.

  Zeichne den Graphen der Funktion $y=3x-4$ in ein Koordinatensystem.

  Lösung

  Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet

  $y=mx+b$.

  Dabei steht

  • $m$ für die Steigung und
  • $b$ für den y-Achsenabschnitt, die Stelle, an welcher die Gerade die y-Achse schneidet.

• Bestimme die Gleichungen der gesuchten Funktionen.

  Tipps

  Trage bei negativen Werten auch das Vorzeichen ein.

  Bei zwei Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ ist die Steigung gegeben durch

  $m=\large\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

  Ein Punkt $P(p_x|p_y)$, der auf einer Geraden liegt, erfüllt die Gleichung

  $p_y=m\cdot p_x+b$.

  Lösung

  Alle drei Geraden verlaufen durch den Punkt $P(1|1)$.

  1. Die erste Funktion hat die Steigung $m=3$. Dann gilt $y=3x+b$. Der Punkt $P$ wird in der Gleichung eingesetzt:

  $1=3\cdot1+b$. Dies ist äquivalent zu $b=-2$.

  Die gesuchte Funktion ist $y=3x-2$.

  2. Die zweite Funktion hat die Gleichung $y=mx$. Das bedeutet, dass der y-Achsenabschnitt $b=0$ ist. Anders ausgedrückt: Ein weiterer Punkt der Geraden ist der Koordinatenursprung $O(0|0)$. Dann kann die Steigung berechnet werden:

  $m=\frac{1-0}{1-0}=\frac11=1$.

  Die gesuchte Gleichung ist gegeben durch $y=x$.

  3. Die dritte Gerade verläuft durch den Punkt $Q(2|3)$. Auch hier kann die Steigung wie folgt berechnet werden:

  $m=\frac{3-1}{2-1}=\frac21=2$.

  Mit dieser Steigung und der Funktion $y=2x+b$ kann der y-Achsenabschnitt berechnet werden:

  $1=2\cdot 1+b$. Dies ist äquivalent zu $b=-1$.

  Die gesuchte Gleichung lautet: $y=2x-1$.