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Kongruenzsätze – SSS

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Team Digital
Kongruenzsätze – SSS
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Kongruenzsätze – SSS

Inhalt

Kongruenzsatz – SSS – Mathematik

Heute lernst du, was Kongruenz überhaupt bedeutet und wieso es vier Kongruenzsätze für Dreiecke gibt. Danach beschäftigen wir uns näher mit dem Kongruenzsatz SSS und sehen uns an, wie man mit diesem Dreiecke konstruieren kann.

Kongruenz – Definition

Kongruenz bedeutet Deckungsgleichheit.

kongruente Dreiecke

Diese beiden Dreiecke sind kongruent, da sie deckungsgleich sind, wenn wir sie übereinanderlegen.

Sind zwei Dreiecke kongruent, dann gleichen sie sich in Form und Größe.

Kongruenzsätze bei Dreiecken

Um zu erkennen, ob zwei Dreiecke kongruent sind, helfen uns die Kongruenzsätze für Dreiecke. Zwei Dreiecke sind immer dann kongruent, wenn sie in drei bestimmten Eigenschaften übereinstimmen. Die Kongruenzsätze lauten: SSS, SWS, SSW und WSW. Aber was bedeutet SSS? Wir schauen uns eine Übersicht an:

Abkürzung Bedeutung
Kongruenzsatz SSS Seite, Seite, Seite
Kongruenzsatz SWS zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel
Kongruenzsatz SSW zwei Seiten und der an der kürzeren Seite anliegende Winkel
Kongruenzsatz WSW eine Seite und die an dieser Seite anliegenden Winkeln

$S$ steht also für Seite und $W$ für Winkel.

Für die Konstruktion eindeutiger Dreiecke werden auch nur diese drei Angaben benötigt.

Der Kongruenzsatz SSS

Wir wollen nun den Kongruenzsatz SSS genauer betrachten und anwenden:

Wie lautet der Kongruenzsatz SSS? – Definition

Haben zwei Dreiecke drei gleich lange Seiten, so sind sie nach dem Kongruenzsatz SSS immer kongruent. Gleichzeitig bedeutet der Kongruenzsatz:

Hat man für die Konstruktion eines Dreiecks nur die drei Seiten gegeben, so sind alle daraus konstruierten Dreiecke kongruent.

Wie konstruiert man den Kongruenzsatz SSS? – Beispiel

Wir zeichnen nun ein Dreieck mit dem Kongruenzsatz $SSS$. Dazu haben wir als Beispiel die drei Seiten $a=5~\text{cm}$, $b=6~\text{cm}$ und $c=7~\text{cm}$ gegeben.

Zuerst zeichnen wir die Seite $c$ mit $7~\text{cm}$. Die Endpunkte der Strecke $c$ sind $A$ und $B$. Anschließend stechen wir den Zirkel in $A$ ein und zeichnen einen Kreis mit dem Radius $b$. Danach stechen wir den Zirkel in $B$ ein und zeichnen einen Kreis mit dem Radius $a$. Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten. Verbinden wir die Schnittpunkte mit den Punkten $A$ und $B$, so erhalten wir zwei Dreiecke. Weil diese kongruent zueinander sind, ist die Konstruktion mit dem Kongruenzsatz SSS trotzdem eindeutig.

Konstruktion eines Dreiecks aus drei gegebenen Seiten

Dreiecksungleichung

Ein Dreieck mit der Angabe von drei Seitenlängen ist jedoch nur dann konstruierbar, wenn die Dreiecksungleichung erfüllt ist:

$a+b>c$

Die Summe zweier Seiten des Dreiecks muss immer größer als die dritte Seite sein.

In diesem Video zum Kongruenzsatz SSS ...

… lernst du, was Kongruenz überhaupt bedeutet. Danach lernst du die vier Kongruenzsätze für Dreiecke kennen. Abschließend beschäftigen wir uns näher mit dem Kongruenzsatz SSS und zeigen auch, wie man mit diesem Dreiecke konstruiert. Weitere Aufgaben zum Kongruenzsatz SSS findest du auf dieser Seite.

Transkript Kongruenzsätze – SSS

Wow! Wie cool diese Flughörnchen durch die Luft gleiten. Merle, das Eichhörnchen, ist begeistert und würde auch so gerne fliegen können. Deshalb hat sie drei Stöcke gesammelt, um sich einen dreieckigen Flugdrachen zu bauen. Doch, wie sieht dieser wohl aus und wie muss sie die Stöcke zusammenlegen? Um diese Frage beantworten zu können, beschäftigen wir uns heute mit Kongruenzsätzen. In diesem Video geht es um den Kongruenzsatz SSS. Zunächst klären wir, was mit Kongruenz gemeint ist. Dieser Begriff kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie 'Deckungsgleichheit'. Diese beiden Dreiecke sind zum Beispiel kongruent. Legen wir das eine Dreieck auf das andere, sehen wir, dass sie deckungsgleich übereinander liegen. Nicht nur verschobene, sondern auch gedrehte und gespiegelte Figuren sind also kongruent zueinander. Sind zwei Dreiecke kongruent, dann gleichen sie sich in Form und Größe. Doch wie können wir erkennen, ob zwei Dreiecke kongruent sind? Hierbei helfen uns die vier Kongruenzsätze für Dreiecke. Diese besagen, dass zwei Dreiecke immer dann kongruent sind, wenn sie in drei bestimmten Eigenschaften übereinstimmen. Kongruent sind alle Dreiecke, die in der Länge aller drei Seiten übereinstimmen. Das gilt auch für Dreiecke, die in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem an der kürzeren Seite anliegenden Winkel überein, sind sie ebenfalls kongruent. Gleiches gilt für zwei Dreiecke, die in einer Seite und den an dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen. S steht hier für Seite und W für Winkel. Die Kongruenzsätze besagen ebenfalls, dass man für die Konstruktion eindeutiger Dreiecke nur diese drei Angaben benötigt. Eindeutig' meint hier, dass bei der Konstruktion immer nur kongruente Dreiecke entstehen können. Schauen wir uns jetzt den Kongruenzsatz SSS an. Haben zwei Dreiecke drei gleich lange Seiten, dann sind sie nach diesem Satz immer kongruent. Gleichzeitig bedeutet dieser Satz: Hat man für die Konstruktion eines Dreiecks nur die drei Seitenlängen vorgegeben, dann sind alle so konstruierten Dreiecke kongruent. Schauen wir uns diese Konstruktion doch einmal an. Gegeben sind die Seitenlängen a gleich 5cm, b gleich 6cm und c gleich 7cm. Zunächst zeichnen wir die Seite c mit 7cm. Anschließend stechen wir den Zirkel in A ein und zeichnen einen Kreis mit dem Radius der Strecke b. Nun stellen wir den Zirkel auf die Länge der Strecke a ein und zeichnen einen Kreis um den Punkt B. Wir sehen, dass sich die beiden Kreise in zwei Punkten schneiden. Verbinden wir die Schnittpunkte mit den Eckpunkten A und B, erhalten wir zwei Dreiecke. Weil diese aber kongruent zueinander sind, ist die Konstruktion trotzdem eindeutig. Eine Bedingung muss jedoch noch zusätzlich erfüllt sein, damit ein Dreieck mit der Angabe von 3 Seitenlängen konstruierbar ist. Dies wird an folgendem Beispiel deutlich: Gegeben sind diese Seitenlängen. Zeichnen wir das Dreieck wie zuvor, sehen wir, dass sich die beiden Kreise nicht schneiden. Das liegt daran, dass für die Konstruktion eines Dreiecks die sogenannte Dreiecksungleichung erfüllt sein muss. Diese besagt, dass die Summe zweier Seiten des Dreiecks immer größer als die dritte Seite sein muss. Die Summe aus a und b muss also größer als c sein, damit das Dreieck konstruierbar ist. Wir sehen, dass 3cm plus 4cm kleiner als 9cm sind und daher ist das Dreieck nicht konstruierbar. Fassen wir das noch einmal zusammen. Der Kongruenzsatz SSS besagt, dass zwei Dreiecke, die in allen 3 Seitenlängen übereinstimmen immer kongruent sind. Gleichzeitig ist ein Dreieck unter der Angabe von 3 Seitenlängen immer eindeutig konstruierbar. Für die Konstruktion muss jedoch die Dreiecksungleichung gelten. Merle hat mit ihren Stöcken nun ein eindeutiges Dreieck konstruiert, doch ist es auch einen Flugdrachen? Sie nimmt Anlauf und fliegt. Vielleicht nicht so wie gedacht...

17 Kommentare

17 Kommentare
  1. Fünf Sterne

    Von Mne and CH Bayern München Fan, vor 5 Monaten
  2. Sehr gut

    Von Mne and CH Bayern München Fan, vor 5 Monaten
  3. Niedlich

    Von Clara, vor 7 Monaten
  4. Ich will auch fliegen lernen🕴🏻

    Von Florian, vor etwa einem Jahr
  5. Danke hat mir sehr geholfen

    Von Itslearning Nutzer 2535 40320, vor etwa einem Jahr
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Kongruenzsätze – SSS Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kongruenzsätze – SSS kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Konstruktion eines Dreiecks aus drei Seitenlängen.

    Tipps

    Jeder Punkt der Kreislinie hat den gleichen Abstand vom Mittelpunkt des Kreises.

    Nach dem Kongruenzsatz $SSS$ sind zwei Dreiecke, die die jeweils die gleichen Seitenlängen haben, kongruent zueinander

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Zunächst zeichnet sie die Seitenlänge $c$ und die Eckpunkte $A$ und $B$ ein.“

    • Möchtest du ein Dreieck konstruieren, musst du mit dem Zeichnen einer Seitenlänge beginnen.
    „Anschließend zeichnet sie einen Kreis mit der Länge der Strecke $b$ als Radius um den Punkt $A$. Danach zeichnet sie einen Kreis mit dem Radius $a$ um den Punkt $B$.“

    • Auf diese Weise findest du zwei Punkte, die von den Eckpunkten $A$ und $B$ jeweils die Abstände $b$ und $c$ haben. Das sind die zwei möglichen fehlenden Eckpunkte des zu konstruierenden Dreiecks.
    „Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten. Diese Punkte verbindet sie jeweils mit den Punkten $A$ und $B$. So erhält sie zwei Dreiecke, die kongruent zueinander sind.

    • Nach dem Kongruenzsatz $SSS$ sind zwei Dreiecke, die die jeweils die gleichen Seitenlängen haben, kongruent zueinander. Die beiden so konstruierten Dreiecke erfüllen diese Voraussetzung, sind also kongruent.
  • Beschreibe die Dreiecksungleichung.

    Tipps

    Ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt, funktioniert die Konstruktion eines Dreiecks auch nicht.

    Sind die beiden kleineren Längen eines Dreiecks kleiner als die längste Seite, ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Zur Konstruktion eines Dreiecks zeichnen wir die Seite $c$ ein und zeichnen Kreise mit den Seitenlängen $a$ und $b$ um die Eckpunkte $A$ und $B$.

    Die beiden Kreise schneiden sich hier jedoch in keinem Punkt. Die gegeben Seitenlängen erfüllen nämlich die Dreiecksungleichung nicht.“

    • Ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt, funktioniert die Konstruktion eines Dreiecks auch nicht.
    „Diese Gleichung besagt, dass die Summe der beiden kleineren Seitenlängen größer sein muss als die größeren Seitenlänge. Nur dann können wir ein Dreieck konstruieren. Hier gilt:

    $3~\text{cm}+4~\text{cm} =7~\text{cm}<9~\text{cm}$.

    Die Dreiecksungleichung ist also tatsächlich nicht erfüllt.“

    • Die Summe der beiden kleineren Längen ist kleiner als die größte Seitenlänge. Damit ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt und die Konstruktion eines Dreiecks nicht möglich.
  • Ermittle, aus welchen Angaben du ein Dreieck konstruieren kannst.

    Tipps

    Für die eindeutige Konstruktion eines Dreiecks, werden mindestens drei Angaben (Seitenlängen oder Winkel) benötigt.

    Achtung! Damit du ein Dreieck konstruieren kannst, muss auch die Dreiecksungleichung erfüllt sein.

    Lösung

    Mit diesen Angaben kannst du kein eindeutiges Dreieck konstruieren:

    „Gegeben sind die Seitenlängen $a=3~\text{cm}$, $b=4~\text{cm}$ und $c=8~\text{cm}$.“

    • In diesem Fall ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt. Denn es gilt: $a+b<c$.
    „Ein Dreieck hat einen Winkel von $\alpha=40^{\circ}$ und eine Seitenlänge von $a=5~\text{cm}$.“

    • Hier sind nicht genug Angaben gegeben, um ein Dreieck zu konstruieren. Es werden mindestens drei Angaben des Dreiecks benötigt, um ein eindeutiges Dreieck zu konstruieren.
    Mit diesen Angaben kannst du ein Dreieck konstruieren:

    „Ein Dreieck hat die Seitenlängen $a=3~\text{cm}$ und $b=4~\text{cm}$ sowie einen Winkel von $\gamma=30^{\circ}$.“

    • Hier sind zwei Seitenlängen und der Winkel zwischen den beiden Längen gegeben. Nach dem Kongruenzsatz $SWS$ sind alle Dreiecke, bei denen diese Angaben übereinstimmen, kongruent. Du kannst also mit diesen Angaben ein eindeutiges Dreieck konstruieren.
    „Ein gleichseitiges Dreieck hat eine Seitenlänge von $a=4~\text{cm}$.“

    • Ein gleichseitiges Dreieck hat dreimal die gleiche Seitenlänge. Auch hier sind also genug Angaben gegeben um das Dreieck zu konstruieren.
    „Ein Dreieck hat die Seitenlängen $a=4~\text{cm}$ und $b=5~\text{cm}$ sowie einen Winkel von $\beta=50^{\circ}$.“

    • Hier kannst du mit dem $SSW$ Satz ein Dreieck konstruieren.
  • Leite die fehlenden Punkte des Dreiecks ab.

    Tipps

    Du kannst die Koordinaten der Punkte ermitteln, indem du ein Dreieck aus den drei Seitenlängen konstruierst.

    Zeichne jeweils einen Kreis mit dem Radius $5$ um die Punkte $A$ und $B$.

    So sieht der Beginn der Zeichnung aus.

    Lösung

    Du kannst die Koordinaten der Punkte ermitteln, indem du ein Dreieck aus den drei Seitenlängen konstruierst. Zeichne dazu jeweils einen Kreis mit dem Radius $5$ um die Punkte $A$ und $B$. Diese Kreise schneiden sich zweimal. Im Punkt $C(3 \vert 4)$ und im Punkt $C'(3 \vert -4)$. Mit diesen beiden Punkten lassen sich zwei Dreiecke konstruieren, die kongruent zueinander sind.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Kongruenzsätzen.

    Tipps

    Haben zum Beispiel zwei Dreiecke jeweils die gleichen Seitenlängen, sind sie kongruent.

    Spiegelst du ein Dreieck, bleiben Form und Größe des Dreiecks erhalten.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Sind zwei Dreiecke kongruent, dann können sie nicht deckungsgleich sein.“

    • Die Begriffe kongruent und deckungsgleich bedeuten dasselbe.
    „Gespiegelte Dreiecke sind nicht kongruent zueinander.“

    • Spiegelst du ein Dreieck, bleiben Form und Größe erhalten. Ein gespiegeltes Dreieck ist also kongruent zu seinem ursprünglichen Dreieck.
    „Um zu beweisen, dass zwei Dreiecke kongruent sind, müssen mindestens $4$ Eigenschaften der Dreiecke übereinstimmen.“

    • Für den Nachweis genügen $3$ Eigenschaften eines Dreiecks. Haben zum Beispiel zwei Dreiecke jeweils die gleichen Seitenlängen, sind sie kongruent.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Zwei Flächen sind deckungsgleich, wenn du sie so übereinanderlegen kannst, dass sie sich genau überdecken.“

    • Das ist eine Definition von Deckungsgleichheit.
    „Kongruente Dreiecke gleichen sich in Form und Größe.“

  • Ermittle, welche Dreiecke kongruent sind.

    Tipps

    Du kannst herausfinden, welche Dreiecke kongruent sind, indem du die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnest und du anschließend die Seitenlängen vermisst.

    Lösung

    Du kannst herausfinden, welche Dreiecke kongruent sind, indem du die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnest und du anschließend die Seitenlängen vermisst. Die Dreiecke, die die gleichen Seitenlängen aufweisen, sind kongruent. So erhältst du:

    • Das Dreieck mit den Eckpunkten $A(0 \vert 0)$, $B(3 \vert 0)$ und $C(1 \vert 2)$ ist kongruent zu dem Dreieck mit den Seitenlängen $a=2,8~\text{cm}$, $b=2,2~\text{cm}$ und $c=3~\text{cm}$.
    • Das Dreieck mit den Eckpunkten $A(1 \vert 2)$, $B(3 \vert 4)$ und $C(2 \vert 5)$ ist kongruent zu dem Dreieck mit den Seitenlängen $a=1,4~\text{cm}$, $b=3,2~\text{cm}$ und $c=2,8~\text{cm}$ .
    • Die Punkte $A(0 \vert 1)$, $B(6 \vert 2)$ und $C(3 \vert 7)$ ergeben ein Dreieck, das kongruent zum Dreieck mit den Seitenlängen $a=5,8~\text{cm}$, $b=6,7~\text{cm}$ und $c=6,1~\text{cm}$ ist.
    • Die Punkte $A(1 \vert 1)$, $B(5 \vert 1)$ und $C(3 \vert 2)$ bilden ein Dreieck, das kongruent zum Dreieck mit den Seitenlängen $a=2,2~\text{cm}$, $b=2,2~\text{cm}$ und $c=4~\text{cm}$ ist.
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