Dreiecke konstruieren – Bedingungen für Seiten und Winkel

Dreiecke konstruieren – Bedingungen für Seiten und Winkel Übung

• Beschreibe die Bedingungen für die Seiten und Winkel von Dreiecken.

  Tipps

  Für ein beliebiges Dreieck $\Delta_{ABC}$, dessen längste Seite $c$ ist, gilt folgende Dreiecksungleichung:

  $c<a+b$.

  Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer $180^\circ$.

  Lösung

  Wir betrachten nun ein beliebiges Dreieck $\Delta_{ABC}$, dessen längste Seite $c$ ist. Dann gilt folgende Dreiecksungleichung:

  • $c<a+b$.

  Zudem beträgt die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks $180^\circ$. Daraus ergeben sich folgende Bedingungen für Dreiecke:

  • Haben wir drei Seiten eines Dreiecks gegeben, muss die längste Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten sein. Genau das sagt die obige Dreiecksungleichung aus.
  • Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.
  • Die Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein. Denn die Summe aller drei Winkel eines Dreiecks muss genau $180^\circ$ betragen.

• Gib an, bei welchen der Angaben die Konstruktion eines Dreiecks möglich ist.

  Tipps

  Hast du drei Seiten eines Dreiecks gegeben, muss die längste Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten sein.

  Die Summe aller drei Winkel eines Dreiecks muss genau $180^\circ$ betragen.

  Lösung

  Bevor wir die Angaben zu den Dreiecken untersuchen, wiederholen wir die Bedingungen für die Seiten und Winkel von Dreiecken:

  • Haben wir drei Seiten eines Dreiecks gegeben, muss die längste Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten sein.
  • Die Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein.

  Mit diesen beiden Bedingungen können wir nun die Angaben überprüfen:

  Beispiel 1

  Die Seiten $a = 150\ \text{cm}$, $b = 70\ \text{cm}$ und $c = 30\ \text{cm}$ erfüllen nicht die erste Bedingung. Es gilt nämlich:

  • $b+c=70\ \text{cm}+30\ \text{cm}=100\ \text{cm}<150\ \text{cm}$

  Die längste Seite ist also nicht kleiner als die Summe der beiden anderen kürzeren Seiten.

  Beispiel 2

  Die Seiten $a = 150\ \text{cm}$, $b = 70\ \text{cm}$ und $c = 100\ \text{cm}$ ergeben ein Dreieck, da sie die erste Bedingung erfüllen. Es gilt nämlich:

  • $b+c=70\ \text{cm}+100\ \text{cm}=170\ \text{cm}>150\ \text{cm}$

  Die längste Seite ist also kleiner als die Summe der beiden anderen kürzeren Seiten.

  Beispiel 3

  Die Seite $c = 150\ \text{cm}$ und die Winkel $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 150^\circ$ erfüllen nicht die zweite Bedingung. Es gilt nämlich:

  • $\alpha+\beta=50^\circ+150^\circ=200^\circ>180^\circ$.

  Die Summe der gegebenen beiden Winkel ist also größer als $180^\circ$.

  Beispiel 4

  Die Seite $c = 150\ \text{cm}$ und die Winkel $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 52^\circ$ erfüllen die zweite Bedingung. Es gilt nämlich:

  • $\alpha+\beta=50^\circ+52^\circ=102^\circ<180^\circ$.

  Die Summe der gegebenen beiden Winkel ist kleiner als $180^\circ$.

• Ermittle jeweils die möglichen Längen für die dritte Seite der Dreiecke.

  Tipps

  Kennst du zwei Seiten eines Dreiecks, so muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.

  Lösung

  Da wir jeweils zwei Seiten der Dreiecke kennen, müssen wir nur noch die Differenz und die Summe dieser bestimmen, um die Grenzen für die Länge der dritten Seite zu bestimmen. Diese muss nämlich größer als die Differenz und kleiner als die Summe der gegebenen Seiten sein. Damit erhalten wir:

  Beispiel 1

  Mit $a=10\ \text{cm}$ und $b=50\ \text{cm}$ erhalten wir:

  • $a+b=10\ \text{cm}+50\ \text{cm}=60\ \text{cm}$
  • $b-a=50\ \text{cm}-10\ \text{cm}=40\ \text{cm}$

  Damit folgt: $~40\ \text{cm}\ <\ c\ <\ 60\ \text{cm}$

  Beispiel 2

  Mit $a=10\ \text{cm}$ und $c=80\ \text{cm}$ erhalten wir:

  • $a+c=10\ \text{cm}+80\ \text{cm}=90\ \text{cm}$
  • $c-a=80\ \text{cm}-10\ \text{cm}=70\ \text{cm}$

  Damit folgt: $~70\ \text{cm}\ <\ c\ <\ 90\ \text{cm}$

  Beispiel 3

  Mit $b=20\ \text{cm}$ und $c=110\ \text{cm}$ erhalten wir:

  • $b+c=20\ \text{cm}+110\ \text{cm}=130\ \text{cm}$
  • $c-b=110\ \text{cm}-20\ \text{cm}=90\ \text{cm}$

  Damit folgt: $~90\ \text{cm}\ <\ c\ <\ 130\ \text{cm}$

  Beispiel 4

  Mit $a=50\ \text{cm}$ und $b=60\ \text{cm}$ erhalten wir:

  • $a+b=50\ \text{cm}+60\ \text{cm}=110\ \text{cm}$
  • $b-a=60\ \text{cm}-50\ \text{cm}=10\ \text{cm}$

  Damit folgt: $~10\ \text{cm}\ <\ c\ <\ 110\ \text{cm}$

• Bestimme, in welchem Bereich der gesuchte Winkel jeweils liegen darf.

  Tipps

  Die Innenwinkelsumme von Dreiecken beträgt immer $180^\circ$.

  Lösung

  Die Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein. Denn die Summe aller drei Winkel eines Dreiecks, also die Innenwinkelsumme, muss genau $180^\circ$ betragen. Es gilt also:

  • $\alpha +\beta +\gamma=180^\circ$

  Damit gilt auch, dass die Summe zweier Winkel eines Dreiecks kleiner als $180^\circ$ sein muss. Unser Winkel $\beta$ muss also folgende Ungleichung erfüllen:

  • $\alpha +\beta < 180^\circ$

  Wir erhalten damit die folgenden Lösungen:

  Beispiel 1

  Ist $c=100\ \text{cm}$ und $\alpha=100^\circ$, so gilt:

  $\begin{array}{llll} 100^\circ+\beta &<& 180^\circ & \vert -100^\circ \\ \beta &<& 80^\circ & \end{array}$

  Beispiel 2

  Ist $c=30\ \text{cm}$ und $\alpha=80^\circ$, so gilt:

  $\begin{array}{llll} 80^\circ+\beta &<& 180^\circ & \vert -80^\circ \\ \beta &<& 100^\circ & \end{array}$

  Beispiel 3

  Ist $c=60\ \text{cm}$ und $\alpha=30^\circ$, so gilt:

  $\begin{array}{llll} 30^\circ+\beta &<& 180^\circ & \vert -30^\circ \\ \beta &<& 150^\circ & \end{array}$

  Beispiel 4

  Ist $c=100\ \text{cm}$ und $\alpha=20^\circ$, so gilt:

  $\begin{array}{llll} 20^\circ+\beta &<& 180^\circ & \vert -20^\circ \\ \beta &<& 160^\circ & \end{array}$

• Bestimme, welche Längen die Seite $c$ des Dreiecks $\Delta_{ABC}$ annehmen kann.

  Tipps

  Die längste Seite eines Dreiecks ist immer kürzer als die Summe der beiden kürzeren Seiten.

  Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz der anderen Seiten sein.

  Lösung

  Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.

  Also bestimmen wir zunächst die Differenz der gegebenen beiden Seiten:

  • $a-b=150\ \text{cm}-70\ \text{cm}=80\ \text{cm}$

  Es gilt also $80\ \text{cm}<c$. Nun können wir mit der Summe die obere Grenze für die Länge der Seite $c$ bestimmen:

  • $a+b=150\ \text{cm}+70\ \text{cm}=220\ \text{cm}$

  Damit erhalten wir das folgende Intervall:

  • $80\ \text{cm}<c<220\ \text{cm}$

  Haben wir zwei Winkel des Dreiecks gegeben, so muss die Summe der beiden Winkel kleiner als $180^\circ$ sein.

  • $50^\circ+ 52^\circ< 180^\circ$

• Erschließe die fehlenden Größen.

  Tipps

  Ein offenes Intervall $\rbrack a;b \lbrack$ enthält alle Zahlen von $a$ bis $b$ außer die Grenzen selbst, also $a$ und $b$.

  • Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.
  • Die Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein.

  Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleiche Seiten, nämlich die Schenkel, und zwei gleiche Winkel, nämlich die Basiswinkel.

  Ein gleichseitiges Dreieck besitzt drei gleich lange Seiten.

  Lösung

  Gleichschenkliges Dreieck

  Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleiche Seiten, nämlich die Schenkel, und zwei gleiche Winkel, nämlich die Basiswinkel. Auch für ein gleichschenkliges Dreieck gelten die folgenden Bedingungen:

  • Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.
  • Die Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein.

  Es gilt also:

  Den Bereich, in dem der Basiswinkel $\alpha$ eines gleichschenkligen Dreiecks liegen muss, können wir uns wie folgt herleiten. Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei Basiswinkel $\alpha$. Die Summe zweier Winkel in einem Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein. Damit folgt:

  $\begin{array}{llll} \alpha+\alpha &<& 180^\circ & \\ 2\alpha &<& 180^\circ & \vert :2 \\ \alpha &<& 90^\circ & \end{array}$

  Den Bereich für die Basislänge eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Schenkellänge $10\ \text{cm}$ können wir uns ebenfalls herleiten. Wir haben in einem gleichschenkligen Dreieck zwei Schenkel und wissen, dass die dritte Seite, also die Basis, größer als die Differenz und kleiner als die Summe der beiden Schenkel sein muss. Es gilt also:

  • $10\ \text{cm} -10\ \text{cm}=0\ \text{cm}$
  • $10\ \text{cm}+10\ \text{cm}=20\ \text{cm}$

  Damit muss die Länge der Basis in dem folgenden Intervall liegen:

  • $\rbrack 0;20\lbrack$

  Gleichseitiges Dreieck

  Das gleichseitige Dreieck hat drei gleich lange Seiten und damit drei gleich große Winkel. Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt stets $180^\circ$. Es gilt also:

  $\begin{array}{llll} 3\alpha &=& 180^\circ & \vert :3 \\ \alpha &=& 60^\circ & \\ \end{array}$