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Dreiecke konstruieren – Bedingungen für Seiten und Winkel 06:07 min

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Transkript Dreiecke konstruieren – Bedingungen für Seiten und Winkel

Pharaoh Ahmose genießt einen luxuriösen Lebenstil, aber irgendetwas fehlt. Er hörte Geschichten von Drachen, die unter den Kaisern in China große Begeisterung erregten. Nun möchte er natürlich seinen eigenen. Also ruft Ahmose all seine Ingenieure zusammen und gibt ihnen die Aufgabe einen dreieckigen Drachen zu bauen, der wie ein Falke in die Lüfte steigt. Die Ingenieure sind sich aber nicht so sicher, ob sie aus den Materialien, die ihnen zur Verfügung stehen, tatsächlich ein Dreieck formen können. Dazu müssen sie herausfinden, welche Bedingungen für die Seiten und Winkel eines Dreiecks überhaupt erfüllt sein müssen. Die Ingenieure bekommen drei Stäbe als Elemente für ihren Drachen gegeben. Diese sind 150 cm, 70 cm und 30cm lang. Wir nennen sie einmal 'a', 'b' und 'c'. Lass uns 'a', das größte Segment, einmal so hinlegen. Nun können wir mithilfe der anderen beiden Stäbe versuchen, ein Dreieck zu formen. Klappt das hier überhaupt? Nein! Wir können die Winkel von 'b' und 'c' so oft verändern, wie wir mögen; sie werden nie zu einem Dreieck zusammenfinden. Sie sind einfach viel zu kurz! Denn 'b' und 'c' ergeben zusammen 100cm also weniger als 150cm, die Länge von 'a'. Was könnten wir denn ändern, um ein Dreieck konstruieren zu können? Lass uns den 30cm langen Stab mal durch einen 100cm langen ersetzen. Schau mal! Nun haben wir ein Dreieck! Die beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen 170cm, also mehr als die mit 150cm längste Seite. Die Summe der beiden kürzeren Seiten muss zusammen immer größer als die Länge der dritten Seite sein. Wenn wir drei Seiten gegeben haben, muss diese Bedingung erfüllt sein, um ein Dreieck konstruieren zu können. Diese Bedingung nennen wir auch Dreiecksungleichung. Die Ingenieure wollen nun verschiedene Seitenlängen ausprobieren. Lass uns also den 100cm langen Stab entfernen und experimentieren. Wenn zwei beliebige Seiten gegeben sind, was sind also die unter- und Obergrenzen für die Länge der dritten Seite? Fangen wir mal bei der kleinsten Möglichkeit für die Länge von 'c' an. Der Winkel an 'a' muss also sehr klein sein. Kann 'c' 80cm lang sein? Nein! Dann würden die Linien ja übereinander liegen und kein Dreieck bilden. Könnte 'c' 81cm lang sein? Oder 85cm? Ja! Tatsächlich kann 'c' jeden Wert der größer als 80cm ist annehmen, da 80 die Differenz der beiden gegeben Seiten, 150 und 70, ist. Alle Werte, die größer als diese Differenz sind, sollten also in Ordnung sein, oder? Oh, aber Moment mal! Was ist denn der größte Wert, den 'c' annehmen kann? Wenn wir den Winkel richtig groß machen, dann wird 'c' ja länger. Kann 'c' 220cm lang sein? Nein! Hier bekommen wir dann eine gerade Linie und kein Dreieck. c' muss also kürzer als 220cm sein was der Summe der beiden gegebenen Seiten 150 und 70 entspricht. Jeder Wert, der unter dieser Summe liegt funktioniert also. Diese Bedingungen können wir nun zusammenfassen. Haben wir zwei der Seiten eine Dreiecks gegeben, können wir also ein Intervall für die Größe der dritten Seite angeben. Die dritte Seite muss als größer als die Differenz und kleiner als die Summe der zwei gegebenen Seiten sein. In diesem Fall muss 'c' also zwischen 80 und 220 liegen. Aber ein Dreieck besteht ja aus mehr als nur drei Seiten. Es hat außerdem noch drei Winkel. Können wir ein Dreieck auch konstruieren, wenn wir nur zwei Winkel gegeben haben? Lass uns das mal ausprobieren. Zuerst zeichnen wir also wieder eine Horizontale 'AB'. Dann können wir mit dem Geodreieck ein Winkel von 50° und dort einfach eine Gerade ohne ein bestimmtes Ende einzeichnen. An 'B' können wir dann den 150° Winkel einzeichnen und wieder eine Gerade einzeichnen. Geben diese beiden Winkel uns ein Dreieck? Nein! Diese beiden Geraden werden sich nie schneiden. Die Summe der beiden Winkel beträgt 200°. Aber was passiert, wenn wir den Winkel bei 'B' kleiner machen? Schau, je kleiner die Summe der beiden Winkel wird, desto mehr nähern wir uns einem Dreieck an. Tatsächlich muss jede Summe von zwei Winkeln in einem Dreieck kleiner als 180° sein. Jetzt wissen die Ingenieure alle Bedingungen für die Seiten und Winkel, um einen dreieckigen Drachen konstruieren zu können. Fassen wir dies noch einmal zusammen. Haben wir drei Seiten eines Dreiecks gegeben, muss die längste Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten sein. Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein. Außerdem wissen wir, dass die Summe zweier Winkel im Dreieck immer kleiner als 180° sein muss. Mit all diesem Wissen konnten die Ingenieure einen wunderschönen Drachen konstruieren, der wie ein Falke in der Luft schwebt. Aber Ahmose, schau den Drachen doch nicht einfach nur an, du musst ihn auch fliegen lassen.

1 Kommentar
  1. sehr wissenswert habe jetzt eine 1 geschrieben

    Von Mh Appel, vor 4 Monaten

Dreiecke konstruieren – Bedingungen für Seiten und Winkel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dreiecke konstruieren – Bedingungen für Seiten und Winkel kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Bedingungen für die Seiten und Winkel von Dreiecken.

    Tipps

    Für ein beliebiges Dreieck $\Delta_{ABC}$, dessen längste Seite $c$ ist, gilt folgende Dreiecksungleichung:

    $c<a+b$.

    Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer $180^\circ$.

    Lösung

    Wir betrachten nun ein beliebiges Dreieck $\Delta_{ABC}$, dessen längste Seite $c$ ist. Dann gilt folgende Dreiecksungleichung:

    • $c<a+b$.
    Zudem beträgt die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks $180^\circ$. Daraus ergeben sich folgende Bedingungen für Dreiecke:

    • Haben wir drei Seiten eines Dreiecks gegeben, muss die längste Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten sein. Genau das sagt die obige Dreiecksungleichung aus.
    • Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.
    • Die Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein. Denn die Summe aller drei Winkel eines Dreiecks muss genau $180^\circ$ betragen.
  • Gib an, bei welchen der Angaben die Konstruktion eines Dreiecks möglich ist.

    Tipps

    Hast du drei Seiten eines Dreiecks gegeben, muss die längste Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten sein.

    Die Summe aller drei Winkel eines Dreiecks muss genau $180^\circ$ betragen.

    Lösung

    Bevor wir die Angaben zu den Dreiecken untersuchen, wiederholen wir die Bedingungen für die Seiten und Winkel von Dreiecken:

    • Haben wir drei Seiten eines Dreiecks gegeben, muss die längste Seite kleiner als die Summe der beiden anderen Seiten sein.
    • Die Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein.
    Mit diesen beiden Bedingungen können wir nun die Angaben überprüfen:

    Beispiel 1

    Die Seiten $a = 150\ \text{cm}$, $b = 70\ \text{cm}$ und $c = 30\ \text{cm}$ erfüllen nicht die erste Bedingung. Es gilt nämlich:

    • $b+c=70\ \text{cm}+30\ \text{cm}=100\ \text{cm}<150\ \text{cm}$
    Die längste Seite ist also nicht kleiner als die Summe der beiden anderen kürzeren Seiten.

    Beispiel 2

    Die Seiten $a = 150\ \text{cm}$, $b = 70\ \text{cm}$ und $c = 100\ \text{cm}$ ergeben ein Dreieck, da sie die erste Bedingung erfüllen. Es gilt nämlich:

    • $b+c=70\ \text{cm}+100\ \text{cm}=170\ \text{cm}>150\ \text{cm}$
    Die längste Seite ist also kleiner als die Summe der beiden anderen kürzeren Seiten.

    Beispiel 3

    Die Seite $c = 150\ \text{cm}$ und die Winkel $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 150^\circ$ erfüllen nicht die zweite Bedingung. Es gilt nämlich:

    • $\alpha+\beta=50^\circ+150^\circ=200^\circ>180^\circ$.
    Die Summe der gegebenen beiden Winkel ist also größer als $180^\circ$.

    Beispiel 4

    Die Seite $c = 150\ \text{cm}$ und die Winkel $\alpha = 50^\circ$ und $\beta = 52^\circ$ erfüllen die zweite Bedingung. Es gilt nämlich:

    • $\alpha+\beta=50^\circ+52^\circ=102^\circ<180^\circ$.
    Die Summe der gegebenen beiden Winkel ist kleiner als $180^\circ$.

  • Ermittle jeweils die möglichen Längen für die dritte Seite der Dreiecke.

    Tipps

    Kennst du zwei Seiten eines Dreiecks, so muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.

    Lösung

    Da wir jeweils zwei Seiten der Dreiecke kennen, müssen wir nur noch die Differenz und die Summe dieser bestimmen, um die Grenzen für die Länge der dritten Seite zu bestimmen. Diese muss nämlich größer als die Differenz und kleiner als die Summe der gegebenen Seiten sein. Damit erhalten wir:

    Beispiel 1

    Mit $a=10\ \text{cm}$ und $b=50\ \text{cm}$ erhalten wir:

    • $a+b=10\ \text{cm}+50\ \text{cm}=60\ \text{cm}$
    • $b-a=50\ \text{cm}-10\ \text{cm}=40\ \text{cm}$
    Damit folgt: $~40\ \text{cm}\ <\ c\ <\ 60\ \text{cm}$

    Beispiel 2

    Mit $a=10\ \text{cm}$ und $c=80\ \text{cm}$ erhalten wir:

    • $a+c=10\ \text{cm}+80\ \text{cm}=90\ \text{cm}$
    • $c-a=80\ \text{cm}-10\ \text{cm}=70\ \text{cm}$
    Damit folgt: $~70\ \text{cm}\ <\ c\ <\ 90\ \text{cm}$

    Beispiel 3

    Mit $b=20\ \text{cm}$ und $c=110\ \text{cm}$ erhalten wir:

    • $b+c=20\ \text{cm}+110\ \text{cm}=130\ \text{cm}$
    • $c-b=110\ \text{cm}-20\ \text{cm}=90\ \text{cm}$
    Damit folgt: $~90\ \text{cm}\ <\ c\ <\ 130\ \text{cm}$

    Beispiel 4

    Mit $a=50\ \text{cm}$ und $b=60\ \text{cm}$ erhalten wir:

    • $a+b=50\ \text{cm}+60\ \text{cm}=110\ \text{cm}$
    • $b-a=60\ \text{cm}-50\ \text{cm}=10\ \text{cm}$
    Damit folgt: $~10\ \text{cm}\ <\ c\ <\ 110\ \text{cm}$

  • Bestimme, in welchem Bereich der gesuchte Winkel jeweils liegen darf.

    Tipps

    Die Innenwinkelsumme von Dreiecken beträgt immer $180^\circ$.

    Lösung

    Die Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein. Denn die Summe aller drei Winkel eines Dreiecks, also die Innenwinkelsumme, muss genau $180^\circ$ betragen. Es gilt also:

    • $\alpha +\beta +\gamma=180^\circ$
    Damit gilt auch, dass die Summe zweier Winkel eines Dreiecks kleiner als $180^\circ$ sein muss. Unser Winkel $\beta$ muss also folgende Ungleichung erfüllen:

    • $\alpha +\beta < 180^\circ$
    Wir erhalten damit die folgenden Lösungen:

    Beispiel 1

    Ist $c=100\ \text{cm}$ und $\alpha=100^\circ$, so gilt:

    $\begin{array}{llll} 100^\circ+\beta &<& 180^\circ & \vert -100^\circ \\ \beta &<& 80^\circ & \end{array}$

    Beispiel 2

    Ist $c=30\ \text{cm}$ und $\alpha=80^\circ$, so gilt:

    $\begin{array}{llll} 80^\circ+\beta &<& 180^\circ & \vert -80^\circ \\ \beta &<& 100^\circ & \end{array}$

    Beispiel 3

    Ist $c=60\ \text{cm}$ und $\alpha=30^\circ$, so gilt:

    $\begin{array}{llll} 30^\circ+\beta &<& 180^\circ & \vert -30^\circ \\ \beta &<& 150^\circ & \end{array}$

    Beispiel 4

    Ist $c=100\ \text{cm}$ und $\alpha=20^\circ$, so gilt:

    $\begin{array}{llll} 20^\circ+\beta &<& 180^\circ & \vert -20^\circ \\ \beta &<& 160^\circ & \end{array}$

  • Bestimme, welche Längen die Seite $c$ des Dreiecks $\Delta_{ABC}$ annehmen kann.

    Tipps

    Die längste Seite eines Dreiecks ist immer kürzer als die Summe der beiden kürzeren Seiten.

    Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz der anderen Seiten sein.

    Lösung

    Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.

    Also bestimmen wir zunächst die Differenz der gegebenen beiden Seiten:

    • $a-b=150\ \text{cm}-70\ \text{cm}=80\ \text{cm}$
    Es gilt also $80\ \text{cm}<c$. Nun können wir mit der Summe die obere Grenze für die Länge der Seite $c$ bestimmen:

    • $a+b=150\ \text{cm}+70\ \text{cm}=220\ \text{cm}$
    Damit erhalten wir das folgende Intervall:

    • $80\ \text{cm}<c<220\ \text{cm}$
    Haben wir zwei Winkel des Dreiecks gegeben, so muss die Summe der beiden Winkel kleiner als $180^\circ$ sein.

    • $50^\circ+ 52^\circ< 180^\circ$
  • Erschließe die fehlenden Größen.

    Tipps

    Ein offenes Intervall $\rbrack a;b \lbrack$ enthält alle Zahlen von $a$ bis $b$ außer die Grenzen selbst, also $a$ und $b$.

    • Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.
    • Die Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein.

    Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleiche Seiten, nämlich die Schenkel, und zwei gleiche Winkel, nämlich die Basiswinkel.

    Ein gleichseitiges Dreieck besitzt drei gleich lange Seiten.

    Lösung

    Gleichschenkliges Dreieck

    Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleiche Seiten, nämlich die Schenkel, und zwei gleiche Winkel, nämlich die Basiswinkel. Auch für ein gleichschenkliges Dreieck gelten die folgenden Bedingungen:

    • Haben wir zwei Seiten gegeben, muss die dritte Seite größer als die Differenz und kleiner als die Summe der anderen Seiten sein.
    • Die Summe zweier Winkel im Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein.
    Es gilt also:

    Den Bereich, in dem der Basiswinkel $\alpha$ eines gleichschenkligen Dreiecks liegen muss, können wir uns wie folgt herleiten. Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei Basiswinkel $\alpha$. Die Summe zweier Winkel in einem Dreieck muss immer kleiner als $180^\circ$ sein. Damit folgt:

    $\begin{array}{llll} \alpha+\alpha &<& 180^\circ & \\ 2\alpha &<& 180^\circ & \vert :2 \\ \alpha &<& 90^\circ & \end{array}$

    Den Bereich für die Basislänge eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Schenkellänge $10\ \text{cm}$ können wir uns ebenfalls herleiten. Wir haben in einem gleichschenkligen Dreieck zwei Schenkel und wissen, dass die dritte Seite, also die Basis, größer als die Differenz und kleiner als die Summe der beiden Schenkel sein muss. Es gilt also:

    • $10\ \text{cm} -10\ \text{cm}=0\ \text{cm}$
    • $10\ \text{cm}+10\ \text{cm}=20\ \text{cm}$
    Damit muss die Länge der Basis in dem folgenden Intervall liegen:

    • $\rbrack 0;20\lbrack$
    Gleichseitiges Dreieck

    Das gleichseitige Dreieck hat drei gleich lange Seiten und damit drei gleich große Winkel. Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt stets $180^\circ$. Es gilt also:

    $\begin{array}{llll} 3\alpha &=& 180^\circ & \vert :3 \\ \alpha &=& 60^\circ & \\ \end{array}$