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Kongruenzsätze – SSW 04:25 min

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Transkript Kongruenzsätze – SSW

Hey, in diesem Video beschäftigen wir uns mit dem Kongruenzsatz SSW. Dazu klären wir zunächst, was Kongruenz eigentlich bedeutet. Anschließend schauen wir uns den Kongruenzsatz SSW an und wie man mit dessen Hilfe ein Dreieck konstruieren kann. Der Begriff Kongruenz kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie 'Deckungsgleichheit'. Diese beiden Dreiecke sind zum Beispiel kongruent. Legen wir das eine Dreieck auf das andere, sehen wir, dass sie deckungsgleich übereinander liegen. Nicht nur verschobene, sondern auch gedrehte und gespiegelte Figuren sind also kongruent zueinander. Sind zwei Dreiecke deckungsgleich, dann gleichen sie sich in Form und Größe. Doch wie können wir erkennen, ob zwei Dreiecke kongruent sind? Hierbei helfen uns die vier Kongruenzsätze für Dreiecke. Diese besagen, dass zwei Dreiecke immer dann kongruent sind, wenn sie in drei bestimmten Eigenschaften übereinstimmen. Kongruent sind alle Dreiecke, deren Seitenlängen jeweils gleich sind. Dies gilt auch für Dreiecke, die in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem an der kürzeren Seite anliegenden Winkel überein, sind sie ebenfalls kongruent. Gleiches gilt für zwei Dreiecke, bei denen je eine Seite und die an dieser Seite anliegenden Winkel einander entsprechen. S steht hier für Seite und W für Winkel. Die Kongruenzsätze besagen ebenfalls, dass man für die Konstruktion eindeutiger Dreiecke nur diese drei Angaben benötigt. Eindeutig' meint hier, dass bei der Konstruktion immer nur zueinander kongruente Dreiecke entstehen können. Schauen wir uns jetzt den Kongruenzsatz SSW an. Haben zwei Dreiecke zwei gleich lange Seiten und ist der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel ebenfalls gleich groß, dann sind die Dreiecke nach diesem Satz immer kongruent. Gleichzeitig bedeutet dieser Satz: Hat man für die Konstruktion eines Dreiecks zwei Seiten und den der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel gegeben, dann sind alle so konstruierten Dreiecke kongruent. Schauen wir uns diese Konstruktion doch einmal an. Gegeben ist der Winkel Alpha gleich 80 Grad, und die Seiten a gleich 10 cm und c gleich 8 cm. Zunächst zeichnen wir die kürzere der beiden gegebenen Seiten, also c. Hier haben wir dann die Punkte A und B. Dann zeichnen wir an A den Winkel Alpha. Nun müssen wir nur die längere der gegebenen Seiten einzeichnen, welche die Seite a ist, da sie gegenüber von dem Winkel liegen soll. Wir stellen dazu den Zirkel auf 10 cm ein, stechen ihn in B ein und zeichnen einen Kreisbogen um B, der diese Halbgerade im Punkt C schneidet. Abschließend verbinden wir B mit C zum Dreieck ABC. Da der Kreis die Halbgerade nur in einem Punkt schneidet, entsteht bei der Konstruktion mit diesen drei Angaben auch nur dieses Dreieck. Die Konstruktion ist also eindeutig. Und wie ist das, wenn der Winkel der kürzeren Seite gegenüberliegt? So eine Konstruktion ist nicht möglich, denn der Kreisbogen schneidet diese Halbgerade nicht. Die Seiten würden sich also nie treffen. Es ist für die Konstruktion also wichtig, dass die längere Seite gegenüber des gegebenen Winkels liegt. Deswegen wird dieser Kongruenzsatz auch oft mit der Schreibweise S, klein S, W bezeichnet. Das kleine s zeigt dabei an, dass die kürzere gegebene Seite an dem Winkel anliegt. Fassen wir das noch einmal zusammen. Haben zwei Dreiecke zwei gleich lange Seiten und ist der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel ebenfalls gleich groß, dann sind die Dreiecke immer kongruent. Gleichzeitig ist ein Dreieck mit diesen drei Angaben immer eindeutig konstruierbar. War doch gar nicht so schwierig.

Kongruenzsätze – SSW Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kongruenzsätze – SSW kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe den Kongruenzsatz $\text{SSW}$.

    Tipps

    Sind zwei Dreiecke deckungsgleich, so haben sie dieselben Seitenlängen und Winkelgrößen.

    Trage den gegebenen Winkel an der kürzeren der beiden gegebenen Seiten ab.

    Zwischen der Halbgerade und dem Halbkreisbogen darf kein Abstand bleiben, sonst kannst du die Konstruktion nicht zu Ende führen.

    Lösung

    Die Kongruenzsätze formulieren Kriterien für die Kongruenz zweier Dreiecke. Dazu werden drei übereinstimmende Angaben jedes dieser beiden Dreiecke benötigt. Für den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ sind das zwei Seiten und ein Winkel, nämlich derjenige, der nur der kürzeren Seite anliegt.

    Stimmen also zwei gegebene Dreiecke in zwei Seiten überein, so sind sie nach dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ kongruent, wenn zusätzlich die nur der kürzeren Seite anliegenden Winkel übereinstimmen. Mit Kongruenz der Dreiecke ist gemeint, dass sie deckungsgleich sind, d.h. vollständig zur Deckung gebracht werden können. Mit anderen Worten: Du kannst die Dreiecke so verschieben, drehen und spiegeln, dass sie einander restlos überdecken. Insbesondere sind zwei Dreiecke genau dann kongruent, wenn sie in Form und Größe übereinstimmen, d.h. wenn ihre Seitenlängen und Winkelgrößen gleich sind. Dagegen spielt die Lage keine Rolle, denn sie darf durch die Spieglungen, Drehungen und Verschiebungen verändert werden. Auch die Orientierung der Dreiecke, also z. B. die Reihenfolge der Seite im Uhrzeigersinn, bleibt bei der Kongruenz unberücksichtigt.

    Der Kongruenzsatz $\text{SSW}$ besagt nun, dass für die Kongruenz zweier Dreiecke die Gleichheit zweier Seiten und des der kürzeren Seite anliegenden Winkels genügt. Du kannst den Kongruenzsatz auch so verstehen, dass diese Angaben ausreichen, um das Dreieck zu konstruieren. Diese Konstruktion geht so: Du beginnst mit dem Zeichnen der kürzeren Seite, denn hier soll der vorgegebene Winkel anliegen. Lege also den Winkelmesser an einem Endpunkt der Seite an und trage eine Halbgerade (Strahl) in dem vorgegebenen Winkel zu der bereits gezeichneten Seite ab. Um nun die andere Seite einzuzeichnen, stellst du die Zirkelspanne auf die längere der gegebenen Seiten ein. Nun stichst du den Zirkel an dem anderen Endpunkt der zuerst gezeichneten Strecke ein und schlägst einen Halbbogen, der die Halbgerade schneidet. Die beiden Endpunkte der zuerst gezeichneten Strecke sind Eckpunkte des zu konstruierenden Dreiecks. Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt des Halbkreisbogens mit der Halbgerade.

  • Beschreibe die Konstruktion eines Dreiecks mithilfe des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$.

    Tipps

    Beginne die Konstruktion mit dem Zeichnen der kürzeren Dreiecksseite.

    In letzten Konstruktionsschritt wird der dritte Eckpunkt des Dreiecks konstruiert und benannt.

    Die Eckpunkte $A$ und $B$ sind die Endpunkte der zuvor konstruierten Strecke.

    Lösung

    Die Kongruenzsätze besagen, dass zwei gegebene Dreiecke genau dann kongruent sind, wenn sie in drei bestimmten Angaben übereinstimmen. Für den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ sind dies zwei Seiten sowie der Winkel, der nur der kürzeren der beiden Seiten anliegt. Du kannst den Kongruenzsatz auch so verstehen, dass sich ein Dreieck aufgrund dieser Angaben bis auf Kongruenz eindeutig konstruieren lässt.

    Die Konstruktion beginnt mit der kürzeren Seite, denn an ihr soll ja der Winkel anliegen. Du kannst dann als Nächstes den Winkel einzeichnen und später die zweite vorgegebene Seitenlänge abtragen.

    Hier ist die Konstruktion in der richtigen Reihenfolge:

    1. Zeichne zuerst mit dem Lineal eine Strecke der Länge $8~\text{cm}$ und bezeichne sie mit $c$.
    2. Markiere die Endpunkte der Strecke $c$ und bezeichne sie mit $A$ und $B$.
    3. Lege den Winkelmesser in $A$ an. Dann zeichne von $A$ aus eine Halbgerade im Winkel $80^\circ$ zu $c$ ein.
    4. Stich den Zirkel mit einer Spanne von $10~\text{cm}$ in $B$ ein. Schlage einen Halbkreisbogen, der die Halbgerade schneidet, markiere diesen Schnittpunkt und bezeichne ihn mit $C$.
    5. Nun verbindest du noch die Punkte $C$ und $A$ und erhältst dadurch das Dreieck $ABC$.
  • Leite die eindeutige Konstruktion der Dreiecke mit dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ ab.

    Tipps

    Markiere in jedem Dreieck höchstens einen Winkel.

    Markiere nur solche Dreiecke, zu denen es im Bild ein kongruentes Dreieck gibt.

    Markiere keine anderen Seiten und Winkel als die notwendigen und verwende nur den Kongrunzsatz SSW.

    Lösung

    Im Bild siehst du fünf Dreiecke. Bei jedem Dreieck sind ein oder zwei Größen gegeben. Die fehlenden Größen zur Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ kannst du ermitteln, indem du die jeweiligen Seitenlängen abschätzt. Zur Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ müssen zwei Seiten und ein Winkel bekannt sein. Der Winkel ist dabei nicht eingeschlossen und liegt jeweils der kürzeren Seite an.

    • Dreieck $3$: Hier sind eine Seite und ein Winkel gegeben. Dementsprechend ist eine Seite gesucht. Da nur eine der beiden „noch zu wählenden“ Seite kürzer ist als die bereits gegebenen Seite, muss es diese sein. Der Winkel liegt nämlich immer an der kürzeren der beiden Seiten, wenn man den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ anwenden möchte.
    • Dreieck $4$: Es sind eine Seite und ein angrenzender Winkel gegeben. Demnach wird eine weitere Seite gesucht. Da der Winkel, zur Anwendung des Kongruzenzsatzes $\text{SSW}$ nicht eingeschlossen ist von den beiden Seiten, sondern an der kürzeren Seite anliegt, muss die gesuchte Seite dem Winkel gegenüberliegen.
    • Dreieck $2$: Es ist genau ein Winkel gegeben, weshalb zwei Seiten gesucht werden. Der Winkel muss hier der kürzeren Seite anliegen und darf nicht eingeschlossen sein. Daher sind die kurze Seite und die dem Winkel gegenüberliegende Seite gesucht.
    • Dreieck $5$: Es sind zwei Seiten gegeben, weshalb ein Winkel gesucht wird. Dieser muss der kürzeren Seite anliegen. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kann hier schnell erkannt werden, dass der gesuchte Winkel nicht an der Hypotenuse anliegen kann, da sie die längste Seite im Dreieck ist.
    • Dreieck $1$: Hier ist ein Winkel gegeben, weshalb wieder zwei Seiten gesucht werden. Der Winkel muss der kürzeren Seite anliegen und darf nicht eingeschlossen sein.
  • Ergänze die Angaben für den Kongruenzsatz $\text{SSW}$.

    Tipps

    Im Bild siehst du die in der Übung verwendete Bezeichnung der Seiten und Winkel eines Dreiecks.

    In dem Kongruensatz $\text{SSW}$ darf der gegebene Winkel jeweils nur einer der beiden gegebenen Seiten anliegen.

    Liegt der vorgegebene Winkel der längsten Seite eines Dreiecks an, so gehört diese Seite in keinem Fall zu den notwendigen Vorgaben für die Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$.

    Lösung

    Um mit dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ auf die Kongruenz zweier Dreiecke zu schließen, müssen die Dreiecke in zwei Seiten sowie dem nur der kürzeren dieser beiden Seiten anliegenden Winkel übereinstimmen. Sind nur diese drei Größen vorgegeben, so kannst du das Dreieck bis auf Kongruenz eindeutig bestimmen.

    Sind die Vorgaben für die Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ unvollständig, so kannst du überlegen, durch welche Angaben du sie ergänzen müsstest. In dieser Aufgabe sollst du alle möglichen Ergänzungen angeben, die für die Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ notwendig sind. Im Bild siehst du alle Dreiecke aus der Aufgabe. Folgende Angaben sind zu ergänzen:

    1. Bei diesem Dreieck sind die kürzeste Seite $b$ und die längste Seite $c$ gegeben. Für die Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ brauchst du noch den nur der kürzeren Seite anliegenden Winkel, also den Winkel, der der Seite $b$ anliegt, nicht aber der Seite $c$. Dieser Winkel heißt $\gamma$ und liegt im Dreieck am oberen Eckpunkt.
    2. Vorgegeben sind hier der rechte Winkel und eine ihm anliegende Seite. Zur Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ muss auch die Hypotenuse gegeben sein, die dem Winkel gegenüberliegt. Da im Dreieck die Beschriftung im Gegenuhrzeigersinn stattfindet, ist hier die Seite $b$ gesucht.
    3. Hier ist nur die längste Seite vorgegeben. Du musst die Vorgabe also um eine Seite und einen Winkel ergänzen, um den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ anwenden zu können. Die Vorgabe einer Seite ist beliebig, den Winkel musst du dann passend wählen, nämlich so, dass er dieser Seite anliegt, aber nicht der längsten Seite $c$ anliegt. Du kannst also die Seite $a$ und den Winkel $\gamma$ wählen oder die Seite $b$ und ebenfalls den Winkel $\gamma$.
    4. In diesem Dreieck ist eine Seite $a$ vorgegeben, die weder die längste noch die kürzeste Seite des Dreiecks ist. Bei der Ergänzung dieser Vorgabe zu den Voraussetzungen des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ kannst du zwei Fälle unterscheiden: Entweder ist $a$ die kürzere der beiden vorgegebenen Seiten; dann musst du die Seite $c$ und den Winkel $\gamma$ zur Vervollständigung der Voraussetzungen wählen. Oder die Seite $a$ wird die längere der beiden vorgegebenen Seiten. In diesem Fall ist $b$ die zweite Seite der Vorgabe und der dazu passende Winkel ist $\alpha$.
  • Bestimme die fehlenden Angaben.

    Tipps

    Ist nur der Winkel gegeben, so wähle die Seiten so, dass der Winkel nur der kürzeren dieser beiden Seiten anliegt.

    Sind zwei Seiten vorgegeben, so ist der von diesen eingeschlossene Winkel nicht der Richtige, um den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ anzuwenden.

    In diesem Dreieck kannst du den Kongruenzsatz z. B. auf die Seiten $a$ und $b$ und den Winkel $\beta$ anwenden, denn $\beta$ liegt der längeren dieser beiden Seiten gegenüber.

    Lösung

    Der Kongruenzsatz $\text{SSW}$ verwendet zwei Seiten und einen Winkel, um auf die Kongruenz zweier Dreiecke zu schließen oder ein Dreieck mit diesen Vorgaben zu konstruieren. Dabei kommt es auf die Lage der Seiten und des Winkels zueinander an.

    In einem Dreieck liegen je zwei gegebene Seiten nebeneinander. Der gegebene Winkel kann entweder von diesen Seiten eingeschlossen sein oder nur der kürzeren oder nur der längeren dieser Seiten anliegen. Der Kongruenzsatz $\text{SSW}$ setzt voraus, dass der Winkel nur der kürzeren Seite anliegt. Denn nur in diesem Fall ist das Dreieck aufgrund der Angaben konstruierbar.

    Links im Bild siehst du ein Dreieck mit zwei blau markierten Seiten. Um den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ anzuwenden, fehlt noch die Vorgabe des Winkels, der der kürzeren Seite anliegt. Die kürzere der beiden blau markierten Seiten ist die linke Seite des Dreiecks. Nur der obere Winkel liegt von den beiden blau markierten Seiten einzig der kürzeren an.

    Rechts im Bild siehst du einen Winkel markiert. Für den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ muss dies der der kürzeren von zwei Seiten anliegende Winkel sein. Dem Winkel liegen die kürzeste und die längste Seite des Dreiecks an. Da dem Winkel nur die kürzere von zwei gegebenen Seiten anliegen soll, scheidet die längste Seite des Dreiecks aus: In keinem Fall ist die längste Seite die kürzere von zwei gegebenen Seiten. Es bleiben nur die beiden anderen Seiten zu markieren. Mit ihnen und dem vorgegebenen Winkel sind die Voraussetzungen des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ erfüllt.

  • Wende den Kongruenzsatz $\text{SSW}$ an.

    Tipps

    Zulässig sind nur Argumente mit dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$; keine anderen Schlüsse wie z. B. der Satz des Pythagoras und keine anderen Kongruenzsätze.

    Die Sonne steht senkrecht über dem Horizont.

    Für das Anwenden des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$ benötigst du zwei Seitenlängen und einen Winkel.

    Lösung

    Mit dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ kannst du auf die Kongruenz zweier Dreiecke schließen, die in zwei Seiten und dem der kürzeren Seite anliegenden Winkel übereinstimmen. Außerdem besagt der Satz, dass ein Dreieck mit diesen drei Vorgaben bereits konstruierbar und daher eindeutig festgelegt ist.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Nach dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck durch die Länge der Hypotenuse und einer Kathete eindeutig bestimmt.“ Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist länger als jede Kathete. Daher stimmen die Vorgaben genau zu den Voraussetzungen des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$.
    • „Um mit dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ auf die Kongruenz zweier stumpfwinkliger Dreiecke zu schließen, genügt es, wenn die stumpfen Winkel übereinstimmen sowie die beiden kürzeren Seiten.“ In jedem Dreieck gibt es höchstens einen stumpfen Winkel. Der stumpfe Winkel liegt jeweils der längsten Seite gegenüber. Daher passt die Übereinstimmung des stumpfen Winkels und der beiden jeweils kürzeren und mittleren Seiten zu den Voraussetzungen des Kongruenzsatzes $\text{SSW}$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Nach dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ sind zwei gleichschenklige Dreiecke kongruent, wenn ihre Schenkel und der Winkel dazwischen übereinstimmen.“ Unter den gegebenen Voraussetzungen kannst du mit dem Kongruenzsatz $\text{SWS}$ auf die Kongruenz schließen, aber nicht mit dem Satz $\text{SSW}$. Die einzige Möglichkeit, den Satz $\text{SSW}$ auf gleichschenklige Dreiecke anzuwenden, ist durch die Vorgabe eines Winkels, der nicht zwischen den Schenkeln liegt sowie eines Schenkels und der dritten Seite, die kein Schenkel ist.
    • „Kennst du den Winkel zwischen der Sichtachse zur Sonne und dem Horizont, so ist nach dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ der Abstand zur Sonne durch die Höhe der Sonne über dem Horizont eindeutig bestimmt.“ Die Sonne steht senkrecht über dem Horizont. Der Winkel der Sichtachse ist einer der beiden spitzen Winkel dieses rechtwinkligen Dreiecks. Um mit dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ zu argumentieren, müssten zwei Seitenlängen gegeben sein. Die Kenntnis der optischen Höhe der Sonne über dem Horizont ist dafür nicht ausreichend. Selbst wenn du die Entfernung zum Horizont ebenfalls kenntest, könntest du mit dem Kongruenzsatz $\text{SSW}$ nur auf die Entfernung zu der Position des Bildes der Sonne über dem Horizont schließen. Das ist nicht dasselbe wie die tatsächliche Entfernung zur Sonne. Denn die Sonne sinkt ja auch nicht am Horizont in das Meer.
    • „Der Kongruenzsatz $\text{SSW}$ impliziert: Haben zwei gleichseitige Dreiecke dieselbe Seitenlänge, so sind sie kongruent.“ Mit der Länge jeder Seite kannst du die Kongruenz aus dem Kongruenzsatz $\text{SSS}$ erschließen. Der Kongruenzsatz $\text{SSW}$ setzt voraus, dass zwei Seiten verschieden lang sind, er ist daher auf gleichseitige Dreiecke nicht anwendbar.