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Kongruenzsätze – WSW 05:22 min

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Transkript Kongruenzsätze – WSW

Hey, in diesem Video beschäftigen wir uns mit dem Kongruenzsatz WSW. Dazu klären wir zunächst, was Kongruenz eigentlich bedeutet. Anschließend schauen wir uns den Kongruenzsatz WSW an und wie man mit dessen Hilfe ein Dreieck konstruieren kann. Der Begriff Kongruenz kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie Deckungsgleichheit. Diese beiden Dreiecke sind zum Beispiel kongruent. Legen wir das eine Dreieck auf das andere, sehen wir, dass sie deckungsgleich übereinander liegen. Nicht nur verschobene, sondern auch gedrehte und gespiegelte Figuren sind also kongruent zueinander. Sind zwei Dreiecke kongruent, dann gleichen sie sich in Form und Größe. Doch wie können wir erkennen, ob zwei Dreiecke kongruent sind? Hierbei helfen uns die vier Kongruenzsätze für Dreiecke. Diese besagen, dass zwei Dreiecke immer dann kongruent sind, wenn sie in drei bestimmten Eigenschaften übereinstimmen. Kongruent sind alle Dreiecke, die in der Länge aller drei Seiten übereinstimmen. Dies gilt auch für Dreiecke, die in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem an der kürzeren Seite anliegenden Winkel überein, sind sie ebenfalls kongruent. Gleiches gilt für zwei Dreiecke, die in einer Seite und den an dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen. S steht hier für Seite und W für Winkel. Die Kongruenzsätze besagen ebenfalls, dass man für die Konstruktion eindeutiger Dreiecke nur diese drei Angaben benötigt. Eindeutig meint hier, dass bei der Konstruktion immer nur kongruente Dreiecke entstehen können. Schauen wir uns jetzt den Kongruenzsatz WSW an. Haben zwei Dreiecke eine gleich lange Seite und sind die an dieser Seite anliegenden Winkel gleich groß, dann sind die Dreiecke nach diesem Satz immer kongruent. Gleichzeitig bedeutet dieser Satz: Hat man für die Konstruktion eines Dreiecks nur zwei Winkel und die von den Winkeln eingeschlossene Seite vorgegeben, dann sind alle so konstruierten Dreiecke kongruent. Schauen wir uns diese Konstruktion doch einmal an. Gegeben sind die Winkel Alpha gleich 30 Grad, Beta gleich 70 Grad und die Seite c mit 7cm. Zunächst zeichnen wir die Seite c. Anschließend zeichnen wir vom Punkt A ausgehend eine Halbgrade mit einem Winkel von 30 Grad. Abschließend zeichnen wir vom Punkt B ausgehend eine Halbgerade mit einem Winkel von 70 Grad. Wir sehen, dass sich die beiden Halbgeraden in einem Punkt schneiden. Das ist der Punkt C des Dreiecks. Da sich die beiden Halbgeraden nur in einem Punkt schneiden, entsteht bei der Konstruktion mit diesen drei Angaben auch nur dieses Dreieck. Die Konstruktion ist also eindeutig. Ist eine Seite, ein angrenzender Winkel und der Winkel gegeben, der der Seite gegenüberliegt, ist eine Konstruktion ebenfalls möglich. Sind beispielsweise Alpha gleich 40 Grad, Gamma gleich 60 Grad und c gleich 7cm gegeben, dann kann man zur Konstruktion eine Parallelverschiebung durchführen. Zeichnen wir nämlich zunächst die Seite c und tragen dann den Winkel von 40 Grad ab, ist nicht klar, wo genau der Punkt C ist, an dem der Winkel Gamma liegt. Wir können jedoch eine Halbgerade im Winkel von 60 Grad abtragen und diese mit einer Parallelverschiebung so verschieben, dass sie den Punkt B trifft. Somit ist eine Konstruktion mit den Angaben SWW ebenfalls möglich. Doch der Winkelsummensatz für Dreiecke kann uns hier ebenfalls behilflich sein. Dieser besagt, dass die Summe der Winkel im Dreieck gleich 180 Grad ist. Da wir bereits wissen, dass Alpha 40 Grad und Gamma 60 Grad betragen, können wir durch Umstellen der Gleichung herausfinden, dass Beta 80 Grad groß sein muss. Nun können wir das Dreieck wie gewohnt mit dem Kongruenzsatz WSW konstruieren. Fassen wir das noch einmal zusammen. Der Kongruenzsatz WSW besagt, dass zwei Dreiecke, in die in zwei Winkeln und der von den Winkeln eingeschlossenen Seite übereinstimmen immer kongruent sind. Gleichzeitig ist ein Dreieck mit diesen drei Angaben immer eindeutig konstruierbar. Gegebenenfalls hilft uns bei der Konstruktion der Winkelsummensatz für Dreiecke. Probier es doch auch mal aus!

Kongruenzsätze – WSW Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kongruenzsätze – WSW kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, wie du bei der Konstruktion von kongruenten Dreiecken vorgehst.

    Tipps

    Wenn zwei Dreiecke nicht kongruent sind, passen sie nicht genau über einander.

    Teilst du ein gleichschenkliges Dreieck längs der Winkelhalbierenden zwischen den beiden Schenkeln, so kannst du die beiden Hälften nicht durch eine Drehung oder Verschiebung zur Deckung bringen.

    In dem Kongreunzsatz $\text{WSW}$ steht das W für Winkel.

    Lösung

    Es gibt verschiedene Kriterien, unter denen zwei Dreiecke deckungsgleich sind. Solche Kriterien heißen Kongruenzsätze. Der Kongruenzsatz $\text{WSW}$ besagt: Haben zwei Dreiecke eine Seite und die beiden anliegenden Winkel gemeinsam, so sind sie kongruent. Kongruenz bedeutet nämlich genau, dass die Dreiecke deckungsgleich sind. Deckungsgleiche oder kongruente Figuren sind also solche, die du durch Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen zur Deckung bringen kannst.

    Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie in Form und Größe übereinstimmen. Die Gleichheit der Form bedeutet, dass ihre Winkelgrößen übereinstimmen. Aber zwei Dreiecke mit denselben Winkeln sind im Allgemeinen nicht kongruent, sondern nur ähnlich. Zwei Dreiecke sind dann und nur dann kongruent, wenn neben den Winkelgrößen auch ihre Seitenlängen gleich sind.

    Der Kongruenzsatz $\text{WSW}$ besagt nun also, dass für die Kongruenz zweier Dreiecke die Gleichheit einer Seite und der beiden anliegenden Winkel genügt. Dass diese Größen das Dreieck bereits eindeutig festlegen, kannst du daran erkennen, dass du das Dreieck mittels dieser Größen konstruieren kannst: Nehmen wir an, die vorgegebene Seite ist $c$. Dann heißen ihre Endpunkte $A$ und $B$ und die anliegenden Winkel $\alpha$ (bei $A$) und $\beta$ (bei $B$). Dies ist die übliche Bezeichnungskonvention für die Eckpunkte, Seiten und Winkel von Dreiecken.

    Zeichne also die vorgegebene Seite $c$ ein und markiere ihre Endpunkte mit $A$ und $B$. Jetzt kannst du in dem Eckpunkt $A$ den gegebenen Winkel $\alpha$ und in dem Eckpunkt $B$ den vorgegebenen Winkel $\beta$ abtragen, und zwar beide auf derselben Seite von $c$, sonst wird daraus kein Dreieck. Zeichne die Winkel mit Halbgeraden. Markiere den Schnittpunkt dieser Halbgeraden und markiere ihn mit $C$. Dann hast du das Dreieck $\Delta_{ABC}$ konstruiert.

  • Beschreibe die Konstruktion eines Dreiecks, wenn eine Seite und zwei Winkel vorgegeben sind.

    Tipps

    Beginne die Konstruktion mit der Strecke $c$.

    Der letzte Konstruktionsschritt fixiert den dritten Punkt des Dreiecks und benennt ihn.

    Die Eckpunkt $A$ und $B$ begrenzen die Strecke $c$.

    Lösung

    Nach dem Kongruenzsatz WSW ist ein Dreieck durch eine Seite und die beiden anliegenden Winkel oder durch eine Seite, einen anliegenden Winkel und den gegenüberliegenden Winkel eindeutig bestimmt. Du kannst nämlich allein mittels dieser Größen das Dreieck konstruieren. Die Konstruktion muss mit einer der gegebenen Größen beginnen und mit der Bestimmung des dritten der drei Eckpunkten enden.

    Da die Strecke $c$ vorgegeben ist, kannst du als Ausgang der Konstruktion ihre Endpunkte $A$ und $B$ festhalten. Das Ziel der Konstruktion ist dann das Auffinden des dritten Eckpunktes $C$. Dies ist die korrekte Konstruktion:

    1. Zeichne die Strecke $c$.
    2. Bezeichne die Endpunkte mit $A$ und $B$.
    3. Trage in $A$ mit dem Geodreieck eine Halbgerade im Winkel $\alpha = 40^\circ$ zu $c$ ab.
    4. Wähle einen Punkt auf der Halbgeraden durch $A$.
    5. Trage in diesem Punkt mit dem Geodreieck eine Halbgerade im Winkel $\gamma = 60^\circ$ ab.
    6. Verschiebe die Halbgerade parallel, bis sie durch den Punkt $B$ verläuft.
    7. Markiere den Schnittpunkt der Halbgeraden durch $A$ und $B$.
    8. Bezeichne den Schnittpunkt mit $C$.
    Alternativ kannst du auch mit dem Innenwinkelsummensatz ($\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$) den fehlenden an der Seite $c$ anliegenden Winkel $\beta$ berechnen und wie gewohnt den Kongruenzsatz WSW nutzen.

  • Bestimme kongruente Dreiecke.

    Tipps

    Markiere in jedem Dreieck höchstens eine Seite.

    Jede markierte Seite muss zwischen zwei markierten Winkeln liegen.

    Markiere nur solche Dreiecke, zu denen es ein kongruentes Dreieck gibt.

    Lösung

    Im Bild siehst du fünf Dreiecke. Darunter sind zwei Paare kongruenter Dreiecke. Du kannst die kongruenten Dreiecke daran erkennen, dass sie dieselbe Form und Größe haben.

    In der Aufgabe sollst du diese Kongruenz korrekt mit dem Kongruenzsatz $\text{WSW}$ ableiten. Das bedeutet, bei jedem der Dreiecke genau diejenigen Seiten und Winkel zu markieren, auf die der Kongruenzsatz anwendbar ist und die Kongruenz der Dreiecke impliziert.

    Im Bild sind die Dreiecke $1$ und $2$ untereinander kongruent, ebenso die Dreiecke $3$ und $4$. Dreieck $5$ ist zu keinem anderen kongruent.

    Bei Dreieck $1$ ist die kürzeste Seite markiert. Für die Anwendung des Kongruenzsatzes WSW muss die vorgegebene Seite von zwei Winkeln eingeschlossen sein. In diesem Fall sind das der größte Winkel des Dreiecks und der mittelgroße. Dieselbe Seite und dieselben Winkel musst du auch bei Dreieck $2$ markieren, also wieder die kürzeste Seite sowie den größten und den mittleren Winkel.

    Bei den Dreiecken $3$ und $4$ ist nur jeweils ein Winkel vorgegeben. Um auf die Kongruenz schließen zu können, kannst du zuerst bei jedem der beiden Dreiecke den jeweils anderen Winkel markieren. Nun sind jeweils zwei Winkel markiert. Wenn du noch bei beiden Dreiecken jeweils die von diesen eingechlossene Seite markierst, also die längste Seite, so hast du alle Vorgaben zur Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{WSW}$ beisammen. Der Kongruenzsatz $\text{WSW}$ ist jetzt anwendbar und impliziert die Kongruenz der Dreiecke $3$ und $4$.

  • Entscheide, welche Dreiecke kongruent nach dem WSW-Satz sind.

    Tipps

    Um mit dem Kongruenzsatz $\text{WSW}$ auf die Kongruenz zweier Dreiecke zu schließen genügt es nicht, dass zwei Winkel und eine Seite übereinstimmen.

    Die beiden abgebildeten Dreiecke sind nicht kongruent, obwohl zwei Winkel und eine Seite übereinstimmen.

    Die Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen immer $180^\circ$.

    Lösung

    Der Kongruenzsatz $\text{WSW}$ schließt die Kongruenz zweier Dreiecke aus der Übereinstimmung zweier Winkel und der dazwischen liegenden Seite. Die Bezeichnung der Seiten und Winkel ist immer so zu verstehen, dass der Seite $a$ der Winkel $\alpha$ gegenüber liegt, der Seite $b$ der Winkel $\beta$ und der Seite $c$ der Winkel $\gamma$. Hat man bei der Bezeichnung der Eckpunkte, Seiten und Winkel freie Wahl, so bezeichnet man sie üblicherweise im Gegenuhrzeigersinn in alphabetischer Reihenfolge. Dieser Drehsinn ändert sich allerdings bei Spiegelungen, daher kann man bei der Überprüfung von Dreiecken auf Kongruenz nicht voraussetzen, dass sie immer alphabetisch im Gegenuhrzeigersinn bezeichnet sind.

    In der Aufgabe kommen Dreiecke mit folgenden Winkeln vor

    • $30^\circ$, $45^\circ$ und $105^\circ$
    sowie

    • $30^\circ$, $60^\circ$ und $90^\circ$
    Bei jedem der Dreiecke sind zwei Winkel und eine Seite angegeben. Aber nicht je zwei Dreiecke, bei denen dieselben Werte für Winkel und Seite vorkommen, sind kongruent. Dazu musst du nämlich die Lage der Seiten bzw. Winkel beachten. Gehen wir die Beispiele einzeln durch:

    • Zu den Winkeln $\alpha =30^\circ$ und $\gamma = 90^\circ$ und der Seite $a = 7~\text{cm}$ bestimmen wir zuerst den Winkel $\beta = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$. Die Winkel $\beta$ und $\gamma$ liegen der Seite gegebenen $a$ an. Dazu passt also ein Dreieck mit einer Seite der Länge $7 ~\text{cm}$ und den anliegenden Winkeln $60^\circ$ und $90^\circ$. Das einzige solche Dreieck ist das mit der Seite $b = 7~\text{cm}$ und den Winkeln $\beta =30^\circ$ und $\gamma = 90^\circ$.
    • Bei dem Dreieck mit den Winkeln $\alpha =30^\circ$ und $\beta = 45^\circ$ und der Seite $a = 7~\text{cm}$ ist $\gamma = 105^\circ$. Die anliegenden Winkel sind $\beta$ und $\gamma$. Das einzige Dreieck mit einer Seite der Länge $7~\text{cm}$ und passenden Winkeln hat $\alpha =30^\circ$, $\gamma = 105^\circ$ und $a = 7~\text{cm}$.
    • Zu $\alpha =30^\circ$, $\gamma = 90^\circ$ und $a = 6~\text{cm}$ finden wir $\beta = 60^\circ$. Die anliegenden Winkel sind $\beta$ und $\gamma$. Das einzige Dreieck mit einer Seite der Länge $6~\text{cm}$ und Winkeln der passenden Größe hat $\alpha =30^\circ$, $\gamma = 60^\circ$ und $a = 6~\text{cm}$. Da die Winkel $\beta$ und $\gamma$ der Seite $a$ anliegen, erfüllt es tatsächlich die Voraussetzungen des Kongruenzsatzes $\text{WSW}$.
    • Das Dreieck mit $\alpha =30^\circ$, $\gamma = 60^\circ$ und $b = 7~\text{cm}$ hat der gegebenen Seite anliegende Winkel von $30^\circ$ und $60^\circ$. Dazu kongruent ist das Dreieck mit $\alpha =30^\circ$, $\gamma = 90^\circ$ und $c = 7~\text{cm}$. Denn die beiden gegebenen Seiten sind gleich lang, und die anliegenden Winkel betragen jeweils $30^\circ$ und $60^\circ$.
  • Gib die Eigenschaften der Kongruenz wieder.

    Tipps

    Ein Dreieck und sein Spiegelbild lassen sich im Allgemeinen nicht nur durch Drehen und Verschieben zur Deckung bringen.

    Teilt man ein Rechteck längs der Diagonalen in zwei Dreiecke, so sind diese Dreiecke kongruent.

    Die beiden angebildeten Dreiecke sind nicht kongruent.

    Lösung

    Kongruenz bedeutet die Deckungsgleichheit von Figuren wie z.B. Dreiecken. Ob zwei Dreiecke kongruent sind, kannst du feststellen, wenn du versuchst, sie durch Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen vollständig zur Deckung zu bringen. Du stellst dann fest, dass Dreiecke nur dann kongruent sein können, wenn sie dieselbe Form haben, d.h. wenn wenn ihre Winkel übereinstimmen. Die Gleichheit der Winkel genügt aber nicht für die Kongruenz. Nur wenn sie auch in der Größe übereinstimmen, d.h. wenn sie dieselben Seiten haben, sind sie kongruent.

    Mit diesen Überlegungen findest du folgende richtige Sätze:

    • „Kongruenz von Dreiecken bedeutet, dass sie deckungsgleich sind.“ Dies ist die Definition der Kongruenz.
    • „Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie in Form und Größe übereinstimmen.“ Die Gleichheit der Form, d.h. der Winkelgrößen allein reicht für die Kongruenz nicht aus.
    • „Ein Dreieck und sein Spiegelbild sind kongruent.“ Durch eine Spiegelung werden ein Dreieck und sein Spiegelbild zur Deckung gebracht.
    Die folgenden Sätze sind dagegen falsch:

    • „Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, kann man sie stets durch Drehungen und Verschiebungen zur Deckung bringen.“ Im Allgemeinen reichen Drehungen und Verschiebung nicht aus, um kongruente Dreiecke zur Deckung zu bringen. Dazu musst du im allgemeinen auch Spiegelungen zulassen.
    • „Stimmen bei zwei Dreiecken alle Winkel überein, so sind sie kongruent.“ Zwei Dreiecke mit gleichen Winkeln sind ähnlich, d.h. haben die gleiche Form. Aber sie können verschiedene Größen haben und sind daher nicht notwendig kongruent.
  • Analysiere die Beschreibungen.

    Tipps

    Prüfe die Voraussetzungen zur Anwendung des Kongruenzsatzes SSW.

    Lösung

    Bei der Anwendung der Kongruenzsätze musst du die Voraussetzungen genau prüfen:

    Aron, Belize und Clara: Die Zeichnungen von Aron und Belize sind verschieden, aber beide korrekt. Clara irrt sich, denn es gibt keinen Kongruenzsatz, der auf diese Situation anwendbar ist. Um den Kongruenzsatz SSW anwenden zu können, müsste der ausschließlich an der kürzeren Seite anliegende Winkel gegeben sein, das wäre der Winkel $\alpha$. Gegeben ist aber $\beta$. Mit diesen Angaben lassen sich bis auf Kongruenz genau die beiden Dreiecke von Aron und Belize konstruieren.

    Zwei gleiche Winkel: Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleiche Winkel, die an jeweils einem der Schenkel anliegen. Wählst du die von den Schenkeln verschiedene dritte Seite genau so wie die zwischen den beiden gleichen Winkeln der vorgegebenen Dreiecks liegende Seite, so ist nach dem Kongruenzsatz WSW das so gewählte gleichschenklige Dreieck zu dem vorgegebenen Dreieck kongruent. Daher ist auch das vorgegebene Dreieck gleichschenklig.

    Halbierung einer Seite durch die Höhe: Halbiert die Höhe eines Dreiecks die zugehörige Seite, so sind für die beiden entstehenden Dreiecke zwei gleiche Seiten (die Höhe und die beiden Hälften der zugehörigen Seite) sowie der dazwischenliegende (rechte) Winkel gleich. Nach dem Kongruenzsatz SWS sind diese Dreiecke kongruent. Daher stimmen auch die jeweils dritten Seiten überein. Dies sind die Schenkel des Dreiecks.