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Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke konstruieren 09:26 min

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Transkript Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke konstruieren

Hallo, ich bin Lennart. Heute erkläre ich dir, was gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke sind, welche Eigenschaften diese haben und wie man sie konstruiert. Dafür werde ich zuerst zeigen, wo gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke im Alltag überall vorkommen. Danach werde ich dir die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks erklären. Als Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks werde ich dir dann das gleichseitige Dreieck vorstellen. Ich werde dir auch erklären, wie du ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei verschiedenen Voraussetzungen konstruieren kannst. Zum Schluss werde ich alles Gelernte zusammenfassen. Du kannst viele Dreiecke im Alltag finden, zum Beispiel im Straßenverkehr. Verkehrsschilder sind oft dreieckig. Sie markieren Gefahrenzonen oder Stellen, an denen man die Vorfahrt beachten muss. Viele Lebensmittel haben auch eine dreieckige Form, zum Beispiel bestimmte Käsesorten sind typischerweise dreieckig. Aber auch Dächer sind dreieckig, wenn man sie von vorne betrachtet, damit das Regenwasser nicht auf dem Dach liegen bleibt. Bestimmt hast du schon Zelte gesehen, die, von vorne betrachtet, dreieckig sind. Was auffällig ist, ist, dass die meisten Dreiecke im Alltag symmetrisch sind, also eine Spiegelachse besitzen, die das Dreieck in zwei kongruente, also deckungsgleiche Dreiecke teilt. Es handelt sich hierbei um sogenannte “gleichschenklige Dreiecke”. Man nennt es so, weil es zwei gleich lange Seiten hat. Diese beiden Seiten nennt man die “Schenkel” des Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks nennt man “Basis”. Dabei steht die Spiegelachse senkrecht auf der Basis. Die beiden Winkel, die von der Basis und einem Schenkel eingeschlossen werden, nennt man die “Basiswinkel”. Da diese beiden Dreiecke kongruent, also deckungsgleich sind, sind auch die Basiswinkel gleich groß. Umgekehrt kann man auch sagen, jedes Dreieck mit zwei gleich großen Winkeln ist gleichschenklig. Der Punkt gegenüber von der Basis nennt man “Spitze”. Ein Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks ist das “gleichseitige Dreieck”. Beim gleichseitigen Dreieck sind nicht nur zwei Seiten gleich lang, sondern es sind, wie der Name schon sagt, alle Seiten gleich lang. Dadurch besitzt es sogar drei Spiegelachsen, welche sich im Mittelpunkt, beziehungsweise Schwerpunkt des Dreiecks schneiden. Außerdem sind beim gleichseitigen Dreieck alle Innenwinkel, also alle Winkel die von den Seiten eingeschlossen sind, gleich groß. Wieder gilt auch die Umkehrung der Aussage, also jedes Dreieck, welches drei gleich große Winkel besitzt, ist gleichseitig. Ich möchte noch einmal die Beispiel vom Anfang ansehen und entscheiden, ob es sich um gleichschenklige oder sogar gleichseitige Dreiecke handelt. Beim Verkehrsschild sind diese beiden Seiten gleich lang, es ist also gleichschenklig. Doch die dritte Seite ist ebenfalls gleich lang, deswegen ist es auch ein gleichseitiges Dreieck. Beim Käse sind diese beiden Seiten gleich lang, jedoch ist diese Seite kürzer als die beiden Schenkel. Deswegen handelt es sich hier um ein gleichschenkliges, aber nicht um ein gleichseitiges Dreieck. Bei einem Häuserdach sind die oberen Seiten meistens gleich lang und die untere Seite ist ein wenig länger. Deshalb handelt es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck. Dasselbe gilt bei einem Zelt, wobei bei diesem speziellen Zelt auch die untere Seite genauso lang ist wie die Schenkel. Demnach ist dieses Zelt von vorne betrachtet auch ein gleichseitiges Dreieck. Doch wie konstruiert man ein gleichschenkliges Dreieck? Dazu benötigst du ein Lineal, einen Zirkel und einen Bleistift. Ich werde allerdings ein größeres Lineal, einen größeren Zirkel und meinen schwarzen Stift benutzen. Um ein gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren, brauchen wir zunächst die Maße, die das Dreieck später haben soll. Ich werde zuerst ein gleichschenkliges Dreieck konstruieren bei dem die Basis und die Schenkellängen gegeben sind. Die Basis ist 4cm lang und die Schenkel sind 3cm lang. Du beginnst die Konstruktion damit, dass du die Basis zeichnest. Dafür zeichnest du mit dem Lineal eine 4cm lange Strecke irgendwo auf deinem Blatt ein und markierst die Eckpunkte der Basis. Als nächstes stellst du deinen Zirkel so ein, dass der Abstand zwischen der Spitze und dem Stift der Länge der Schenkel, also 3cm entspricht. Nun stichst du den Zirkel in einen markierten Punkt und zeichnest die Schenkellänge in einem Kreisbogen ein. Das wiederholst du an dem anderen Eckpunkt der Basis. Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ist die Spitze des gleichschenkligen Dreiecks. Verbinde mit dem Lineal diesen Punkt mit den beiden Eckpunkten der Basis. Wenn du möchtest, kannst du noch die überstehenden Hilfslinien wegradieren. Und fertig ist das gleichschenklige Dreieck. Bei einer zweiten Möglichkeit ist die Basis und der Basiswinkel angegeben. Dafür benötigst du einen Winkelmesser oder ein Geodreieck. Ist beispielsweise die Basis 5cm lang und der Basiswinkel 50°, dann geht man so vor: Man zeichnet zuerst die Basis mit 5cm irgendwo auf das Blatt ein. Ich zeichne es hierhin. Nun trägt man an einem Eckpunkt den Basiswinkel 50° ab und zeichnet den Schenkel ein. Das wiederholt man am anderen Eckpunkt. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist dann die Spitze. Die überschüssigen Linien wegradieren und fertig ist unser gleichschenkliges Dreieck. Es gibt noch weitere Voraussetzungen die ähnlich konstruiert werden können. Ich fasse einmal alles Gelernte zusammen. Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten, die man Schenkel nennt. Außerdem sind die beiden Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks gleich groß. Umgekehrt gilt, dass jedes Dreieck mit zwei gleich großen Winkeln auch gleichschenklig ist. Ein Spezialfall des gleichschenkligen Dreiecks ist das gleichseitige Dreieck. Beim gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Außerdem sind auch alle Winkel gleich groß. Umgekehrt gilt wieder, dass jedes Dreieck mit drei gleich großen Winkeln auch gleichseitig ist. Ein gleichschenkliges Dreieck kannst du unterschiedlich konstruieren, je nachdem welche Größen gegeben sind. Wenn die Basis und die Schenkellängen gegeben sind, dann zeichnest du zuerst die Basis ein. Dann stellst du die Schenkellänge am Zirkel ein und zeichnest oberhalb der Basismitte zwei Kreisbögen. Den Schnittpunkt der Kreisbögen verbindest du jetzt mit den Eckpunkten der Basis. Nach dem wegradieren der Hilfslinien bist du fertig mit dem gleichschenkligen Dreieck. Wenn die Basislänge und die Basiswinkel gegeben sind, dann zeichnest du ebenfalls zu Beginn die Basis ein. Dann trägst du an beiden Eckpunkten den gegebenen Basiswinkel ein und zeichnest die Schenkel. Der Schnittpunkt der Schenkel ist die Spitze. Ich hoffe du hast alles verstanden. Tschüss und bis zum nächsten Mal.

13 Kommentare
  1. Hallo Julian L.,
    danke für dein Feedback. Wir arbeiten bereits daran und in Kürze wird die Beta-Version unserer neuen App veröffentlicht. Mit ihr wird es dir möglich sein, die Übungen auch auf dem Handy zu bearbeiten.
    Alles Gute und viel Erfolg beim Lernen!

    Von Jeanne O., vor etwa einem Jahr
  2. Ich kann die Übung auf dem Handy nicht machen und habe keinen PC :(

    Von Julian L., vor etwa einem Jahr
  3. Sehr gut sofort verstanden 👍🏻

    Von Franz 12, vor mehr als einem Jahr
  4. Danke:)

    Von Marci W., vor mehr als einem Jahr
  5. @Marci W. : Hallo Marci,

    um ein Dreieck zu konstruieren, benötigen wir als Hilfsmittel ein Lineal oder Geodreieck und einen Zirkel. Winkel müssen je nach Angabe konstruiert werden oder dürfen mit dem Geodreieck gezeichnet werden.

    Liebe Grüße und viel Erfolg beim Lernen!

    Von Marianthi M., vor mehr als einem Jahr
  1. Man darf aber das Geodreick für die winkel garnicht nutzen weil sonst wäre es ja nicht Konstruirt.
    Man muss es ja mit einem Zirkel abgreifen!?!

    Von Marci W., vor mehr als einem Jahr
  2. Ich fand das vidio gut

    Von D Ahmad81, vor mehr als einem Jahr
  3. :-() ;-)

    Von D Ahmad81, vor mehr als einem Jahr
  4. 😍😉😄😝😘😜😎😋

    Von D Ahmad81, vor mehr als einem Jahr
  5. Suuuuper Video, supi dupi erklärt.
    :-) ;-)

    Von Jonas Nelly b., vor fast 3 Jahren
  6. das hat nichts mit unserem thema zutuhen hilft trotzdem ♥

    Von Zoe 9, vor fast 5 Jahren
  7. :D

    Von Ibrahimmurat, vor etwa 5 Jahren
  8. Danke. Klasse Video!

    Von Avkcoc, vor mehr als 5 Jahren
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Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke konstruieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke konstruieren kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die gleichseitigen Dreiecke.

    Tipps

    Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten immer gleich lang.

    Lösung

    Die Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks sind, dass alle seine Seiten gleich lang und auch alle seine Winkel gleich groß sind.

    Wenn wir Gegenstände aus dem Alltag betrachten, können wir meistens nur durch Betrachten der Seiten erkennen, ob es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt.

    Von unseren vier Gegenständen haben das Verkehrsschild und das Zelt die Form eines gleichseitigen Dreiecks. Natürlich gibt es auch Zelte, die weiter gespannt werden und damit die Form eines gleichschenkligen Dreiecks haben, aber bei unserem Zelt ist das nicht der Fall.

    Das Hausdach von vorne sowie das Käsestück von oben betrachtet entsprechen je einem gleichschenkligen Dreieck, da jeweils nur zwei Seiten gleich lang sind.

  • Nenne die Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken, die nicht gleichseitig sind.

    Tipps

    Hier siehst du ein gleichschenkliges Dreieck.

    Sind in einem Dreieck nur zwei Seiten gleich lang, dann sind auch nur zwei Innenwinkel (die Basiswinkel) gleich groß.

    Lösung

    Die Eigenschaften eines ausschließlich gleichschenkligen Dreiecks sind:

    • zwei Seiten sind gleich lang (Schenkel),
    • die beiden Winkel an der Basis sind gleich groß (Basiswinkel), und
    • es besitzt eine Spiegelachse
    Jedes Dreieck mit genau zwei gleich großen Winkeln oder genau zwei gleich langen Seiten ist gleichschenklig.

  • Beschreibe die Konstruktion für ein gleichschenkliges Dreieck.

    Tipps

    Ein gleichschenkliges Dreieck besitzt zwei gleich lange Seiten. Diese nennt man Schenkel. Die dritte Seite ist die Basis. Die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind gleich groß.

    Zeichne zunächst die Basis des gleichschenkligen Dreiecks.

    Trage anschließend die Länge der Schenkel (ausgehend von den Eckpunkten der Basis) ab.

    Lösung

    Konstruktion eines Dreiecks mithilfe der Seitenlängen:

    • Man zeichnet zunächst die Basis.
    • Dann stellt man den Zirkel auf die Länge des Schenkels ein.
    • Anschließend sticht man den Zirkel in einen Eckpunkt der Basis ein und zeichnet einen Kreisbogen.
    • Vom zweiten Eckpunkt zeichnet man ebenfalls einen Kreisbogen oberhalb der Basis.
    • Zum Schluss verbindet man den Schnittpunkt der Kreisbögen mit den Eckpunkten der Basis.

  • Bestimme den gesuchten Winkel.

    Tipps

    Der Innenwinkelsummensatz sagt aus, dass in einem Dreieck die Summe aller Innenwinkel immer $180°$ ergibt. Hier gilt: $ 90° + 43° + 47° = 180°$

    Ein gestreckter Winkel ist immer um $180°$ gestreckt. das heißt $142° + 38° = 180°$

    Lösung

    Das Dreieck besteht aus zwei gleichschenkligen Dreiecken, die hier in gelb und grün markiert sind.

    Wir kennen einen Basiswinkel vom grünen Dreieck. Er ist $16°$ groß. Dadurch ist der andere Basiswinkel auch $16°$ groß.

    Wegen des Innenwinkelsummensatzes, der besagt, dass in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel immer zusammen $180°$ ist, muss der dritte Winkel

    $180° - 16° - 16° = 148°$ groß sein.

    Ein gestreckter Winkel ist immer $180°$ groß. Das heißt, dass der Winkel neben den $148°$ so groß sein muss, damit gilt:

    $148° + ? = 180°$

    Daraus folgt, dass der Winkel

    $180° - 148° = 32°$ groß ist.

    Dieser Winkel ist ein Basiswinkel im gelben Dreieck. Das heißt, dass der andere Basiswinkel im gelben Dreieck auch $32°$ groß ist.

    Nach dem Innenwinkelsummensatz ist damit unser gesuchter Winkel

    $180° - 32° - 32° = 116°$ groß.

    Der gesuchte Winkel ist also $116°$ groß.

  • Zeige, wie man ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert.

    Tipps

    Du beginnst, indem du zunächst die Basis zeichnest.

    Die untere Seite der gleichschenkligen Dreiecke ist hier die Basis. Die Schenkel sind gleich lang und die Basiswinkel sind gleich groß.

    Lösung

    Ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem nur die Basis und die Länge der Schenkel gegeben ist, konstruiert du, indem du:

    1. Zunächst die Basis zeichnest.
    2. Man misst mit dem Geodreieck von einem Eckpunkt der Basis den Basiswinkel ab und zeichnet den ersten Schenkel.
    3. Man misst den Basiswinkel vom anderen Eckpunkt der Basis ab und zeichnet den zweiten Schenkel.
    4. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ergibt den dritten Winkel des gleichschenkligen Dreiecks. Überstände können entfernt werden.
  • Erkläre, wie man das Dreieck konstruieren kann.

    Tipps

    Der Winkel gegenüber der Basis ist gegeben. Um das Dreieck konstruieren zu können, benötigst du jedoch die Basiswinkel, also die Winkel an der Basis.

    Die unterste Seite der gleichschenkligen Dreiecke ist hier die Basis. Die Schenkel sind gleich lang und die Basiswinkel sind gleich groß.

    Mithilfe des Innenwinkelsummensatzes kannst du die Basiswinkel berechnen. Alle drei Innenwinkel in einem Dreieck ergeben zusammen $180°$.

    Da beide Basiswinkel gleich groß sind, kannst du den gegebenen Winkel von $180°$ abziehen und dann die Basiswinkel berechnen.

    Lösung

    Ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem nur die Basis und der gegenüber liegende Winkel gegeben ist, könnte man wie folgt konstruieren:

    1. Du zeichnest zunächst die Basis.
    1. Mit dem Innenwinkelsummensatz berechnest du die Größe der beiden Basiswinkel. Diese sind gleich groß.
    In unserem Beispiel ist der Winkel gegenüber der Basis $40°$ groß, dann gilt $ 40° + β + γ = 180°$. Da die Basiswinkel gleich groß sind, könnte man auch einen der Basiswinkel mit 2 multiplizieren. Wir erhalten dann: $ 40° + 2 \cdot β = 180°$. Stellt man diese Gleichung nach dem gesuchten Basiswinkel $β$ um, erhält man $β = (180° - 40°) : 2 = 70°$
    1. Man trägt den Basiswinkel vom Eckpunkt der Basis ab und zeichnet den ersten Schenkel ein.
    1. Man trägt den Basiswinkel vom anderen Eckpunkt der Basis ab und zeichnet den zweiten Schenkel ein.
    1. Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist die Spitze des gleichschenkligen Dreiecks.