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Kongruenzsätze – SWS 04:05 min

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Transkript Kongruenzsätze – SWS

Ist dir schon einmal aufgefallen, dass Ski Springer mit ihren Skiern ein Dreieck bilden? Der Skispringer bildet das Dreieck mithilfe seiner zwei Skiern und dem eingeschlossenen Winkel. Und wenn man zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel gegeben hat, kann man nur kongruente Dreiecke konstruieren. Bevor wir uns dies näher anschauen, klären wir zunächst, was Kongruenz eigentlich bedeutet. Anschließend schauen wir uns den Kongruenzsatz SWS an und wie man mit dessen Hilfe ein Dreieck konstruieren kann. Der Begriff Kongruenz kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie 'Deckungsgleichheit'. Diese beiden Dreiecke sind zum Beispiel kongruent. Legen wir das eine Dreieck auf das andere, sehen wir, dass sie deckungsgleich übereinander liegen. Nicht nur verschobene, sondern auch gedrehte und gespiegelte Figuren sind also kongruent zueinander. Sind zwei Dreiecke deckungsgleich, dann gleichen sie sich in Form und Größe. Doch wie können wir erkennen, ob zwei Dreiecke kongruent sind? Hierbei helfen uns die vier Kongruenzsätze für Dreiecke. Diese besagen, dass zwei Dreiecke immer dann kongruent sind, wenn sie in drei bestimmten Eigenschaften übereinstimmen. Kongruent sind alle Dreiecke, deren Seitenlängen jeweils gleich sind. Dies gilt auch für Dreiecke, die in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem an der kürzeren Seite anliegenden Winkel überein, sind sie ebenfalls kongruent. Gleiches gilt für zwei Dreiecke, bei denen je eine Seite und die an dieser Seite anliegenden Winkel einander entsprechen. S steht hier für Seite und W für Winkel. Die Kongruenzsätze besagen ebenfalls, dass man für die Konstruktion eindeutiger Dreiecke nur diese drei Angaben benötigt. Eindeutig' meint hier, dass bei der Konstruktion immer nur zueinander kongruente Dreiecke entstehen können. Schauen wir uns jetzt den Kongruenzsatz SWS an. Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein, so sind sie kongruent. Gleichzeitig bedeutet dieser Satz: Hat man für die Konstruktion eines Dreiecks zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel gegeben, dann sind alle SO konstruierten Dreiecke kongruent zueinander. Schauen wir uns diese Konstruktion doch einmal an. Gegeben ist der Winkel alpha gleich 70 Grad, und die Seiten b gleich 6 cm und c gleich 7 cm. Wir zeichnen zunächst die Seite c = 7 cm und erhalten so die Eckpunkte A und B. Dann zeichnen wir an ihr den Winkel alpha ein und erhalten so eine Halbgerade. Um die Länge der Seite b einzuzeichnen, stellen wir den Zirkel auf 6cm ein, stechen ihn in A ein und zeichnen einen Kreisbogen, der diese Halbgerade im Punkt C schneidet. Nun verbinden wir C und B und erhalten so das Dreieck ABC. Da der Kreisbogen die Halbgerade nur in einem Punkt schneidet, entsteht bei der Konstruktion mit diesen drei Angaben auch nur dieses Dreieck. Die Konstruktion ist also eindeutig. Fassen wir das noch einmal zusammen. Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel überein, so sind sie kongruent. Gleichzeitig ist ein Dreieck mit diesen drei Angaben immer eindeutig konstruierbar. Probiere es doch selbst mal aus!

Kongruenzsätze – SWS Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kongruenzsätze – SWS kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe den Kongruenzsatz $\text{SWS}$.

    Tipps

    Zwei Dreiecke heißen kongruent, wenn du sie zur Deckung bringen kannst.

    Der von den Seiten $a$ und $c$ eingeschlossene Winkel heißt $\beta$.

    Bezeichne die Endpunkte der Seite $c$ mit $A$ und $B$.

    Lösung

    Der Kongruenzsatz $\text{SWS } besagt:

    • Haben zwei Dreiecke zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel gemeinsam, so sind sie kongruent, also deckungsgleich.
    Durch Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen kannst du solche Dreiecke zur Deckung bringen. Um zwei beliebige kongruente Dreiecke zur Deckung zu bringen, brauchst du meistens eine Kombination von Verschiebungen und Drehungen oder Spiegelungen.

    Die Deckungsgleichheit kongruenter Dreiecke bedeutet auch, dass zwei Dreiecke genau dann kongruent sind, wenn sie in Form und Größe übereinstimmen. Einzig die Lage und Orientierung der Dreiecke spielt für die Kongruenz keine Rolle. Sind Dreiecke kongruent, so sind ihre Seitenlängen und Winkelgrößen gleich.

    Die Kongruenzsätze formulieren Kriterien für die Kongruenz zweier Dreiecke. Der Kongruenzsatz $\text{SWS}$ besagt, dass für die Kongruenz zweier Dreiecke die Gleichheit zweier Seiten zusammen mit dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel genügt. Denn wenn du diese drei Angaben hast, kannst du das Dreieck bereits konstruieren. Und das geht so: Sind die Seiten $b$ und $c$ und der von ihnen eingeschlossene Winkel $\alpha$ gegeben, so zeichne zuerst die Seite $c$ und markiere ihre Endpunkte mit $A$ und $B$. Lege im Punkt $A$ den Winkelmesser an und trage dort eine Halbgerade im Winkel $\alpha$ zu der Seite $c$ ab. Die Länge der Seite $c$ wählst du als Zirkelspanne. Dann stichst du den Zirkel in $B$ ein und schlägst einen Halbbogen, um die Länge der Seite $b$ auf der Halbgeraden abzutragen. Markiere jetzt noch den Schnittpunkt des Halbkreisbogens mit der Halbgeraden und bezeichne ihn mit $C$. Dann hast du die drei Eckpunkte $A$, $B$ und $C$ konstruiert, die zusammen das Dreieck $\Delta_{ABC}$ bilden.

  • Beschreibe die Konstruktion eines Dreiecks mithilfe des Kongruenzsatzes $\text{SWS}$.

    Tipps

    Der Eckpunkt $C$ wird im letzten Konstruktionsschritt konstruiert.

    Beginne die Konstruktion mit der Markierung der Endpunkte der Seite $c$.

    Verwende den Zirkel, um die Seitenlänge $b$ abzutragen.

    Lösung

    Der Kongruenzsatz $\text{SWS}$ besagt, dass ein Dreieck durch die Angabe zweier Seiten und des von ihnen eingeschlossenen Winkels eindeutig bestimmt ist. Das bedeutet, dass du das Dreieck mit diesen Angaben konstruieren kannst. Die Konstruktion beginnt mit dem Zeichnen einer der beiden vorgegebenen Seiten. Mit welcher Seite du beginnst, ist egal. Hier ist der Beginn mit der Seite $c=7~\text{cm}$ vorgegeben.

    1. Zuerst markierst du die Endpunkte der Seite $c$ und bezeichnest sie mit $A$ und $B$.
    2. Lege den Winkelmesser im Punkt $A$ an, stelle den Winkel $70^\circ$ ein und zeichne dann eine Halbgerade von $A$ aus.
    3. Stelle anschließend den Zirkel auf die Spanne $6~\text{cm}$ ein, stich diesen in $A$ ein und schlage einen Kreisbogen.
    4. Markiere den Schnittpunkt des Kreisbogens mit der Halbgeraden und bezeichne diesen als $C$.
    5. Nun verbindest du noch die Punkte $B$ und $C$, so dass du das Dreieck $ABC$ erhältst.
  • Wende den Kongruenzsatz $\text{SWS}$ an.

    Tipps

    Das $\text{W}$ in $\text{SWS}$ steht für „Winkel“ und die Position zwischen den beiden $\text{S}$ für die Lage des Winkels im Dreieck.

    Dreiecke sind nur dann kongruent, wenn sie dieselbe Form und Größe haben.

    Diese beiden Dreiecke sind kongruent. Du kannst auf die Kongruenz aber nicht mit dem Kongruenzsatz $\text{SWS}$ schließen, da bei beiden Dreiecken nicht die richtigen Seiten und Winkel gegeben sind, um den Kongruenzsatz anzuwenden.

    Lösung

    Nach dem Kongruenzsatz $\text{SWS}$ sind zwei Dreiecke kongruent, wenn zwei ihrer Seiten sowie der von diesen eingeschlossene Winkel übereinstimmen. Die Eigenschaft der Kongruenz ist äquivalent dazu, dass die Dreiecke dieselbe Größe und Form haben. Ihre Lage und Orientierung sind aber im Allgemeinen verschieden. Das bedeutet: Um die Dreiecke zur Deckung zu bringen, genügt es im Allgemeinen nicht, sie nur zu verschieben. Du musst sie evtl. auch drehen oder spiegeln.

    Die Dreiecke in dieser Aufgabe sind fast alle kongruent. Aber nur bei geeigneten Paaren kannst du die Kongruenz mit dem Kongruenzsatz $\text{SWS}$ erschließen. Bei anderen möglichen Paarungen passen die Seiten oder Winkel nicht zusammen.

    Im Bild siehst du exemplarisch zwei Paare von Dreiecken, die je nach dem Kongruenzsatz $\text{SWS}$ kongruent zueinander sind. Die blau und grün markierten Dreiecke sind alle miteinander kongruent, aber nur bei den beiden blauen bzw. den beiden grünen kannst du die Kongruenz mit dem Satz $\text{SWS}$ erschließen.

    Das rot markierte Dreieck ist zu keinem anderen aus der Aufgabe kongruent.

  • Prüfe die Voraussetzungen für den Kongruenzsatz $\text{SWS}$.

    Tipps

    Vergleiche die Seiten und Winkel der Dreiecke. Zur Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SWS}$ müssen jeweils zwei Seiten der Dreiecke und die von diesen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.

    Die beiden gleichen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks heißen Schenkel.

    Lösung

    Um nach dem Kongruenzsatz $\text{SWS}$ auf die Kongruenz zweier Dreiecke zu schließen, müssen von jedem dieser Dreiecke zwei Seiten und der von diesen eingeschlossene Winkel gegeben sein und zwischen den Dreiecken übereinstimmen. In dieser Aufgabe sollst du diese Voraussetzungen überprüfen. Genauer geht es darum, die Angaben so zu ergänzen, dass du den Kongruenzsatz $\text{SWS}$ anwenden kannst. Dabei sollst du alle möglichen Angaben ergänzen, die zur Anwendung des Satzes $\text{SWS}$ notwendig sind. Bei manchen Dreiecken hast du die Wahl, wie du die vorhandene Angabe ergänzen kannst. In diesem Fall sollst du für jede mögliche Wahl alle fehlenden Angaben ergänzen. Aber bei keinem Dreieck sollst du mehr als die für die Anwendung des Satzes $\text{SWS}$ notwendigen Daten angeben.

    Im Bild siehst du alle Dreiecke aus der Aufgabe. Folgende Angaben fehlen für die Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SWS}$:

    1. Gegeben sind die Längen der beiden Seiten $b$ und $c$. Es fehlt eine Angabe des von diesen Seiten eingeschlossenen Winkels $\alpha$.
    2. Bei diesem Dreieck sind die Winkel $\alpha$ und $\beta$ und die von diesen eingeschlossene Seite $c$ vorgegeben. Um den Satz $\text{SWS}$ anwenden zu können, musst du die Angaben so ergänzen, dass einer der beiden Winkel der eingeschlossene Winkel zwischen zwei gegebenen Seiten ist. Es ist nicht festgelegt, ob du die Seite $a$ oder die Seite $b$ ergänzen sollst. Du musst daher beide angeben.
    3. Bei diesem Dreieck ist nur die Seite $c$ vorgegeben. Um diese Angabe zu den für den Kongruenzsatzes $\text{SWS}$ notwendigen zu ergänzen, musst du einen der beiden anliegenden Winkel ergänzen sowie diejenige Seite, die mit der bereits vorgegebenen Seite $c$ den gewählten Winkel einschließt. Die gesuchten Angaben sind also die Seite $a$ und der Winkel $\beta$ oder der Winkel $\alpha$ und die Seite $b$.
    4. Bei diesem Dreieck ist nur der rechte Winkel vorgegeben. Um die Angaben zur Anwendung des Kongruenzsatzes $\text{SWS}$ zu erhalten, musst du die beiden anliegenden Seiten ergänzen. Diese Seiten sind die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks.
    5. Dieses Dreieck ist gleichschenklig, aber nicht gleichseitig. Das bedeutet, dass je zwei der Winkel und Seiten gleich und von dem dritten Winkel bzw. der dritten Seite verschieden sind. Vorgegeben ist dieser dritte Winkel. Zu ergänzen für den Kongruenzsatz $\text{SWS}$ sind die beiden anliegenden Seiten. Sie heißen die Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks.
  • Definiere die Begriffe zum Kongruenzsatz $\text{SWS}$.

    Tipps

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn du das eine so verschieben, drehen oder spiegeln kannst, dass es genau über dem anderen zu liegen kommt, und umgekehrt.

    Sind Dreiecke kongruent, so haben sie den gleichen Flächeninhalt, aber nicht alle Dreiecke desselben Flächeninhalts sind auch kongruent.

    Die Position des Winkels ist im Kongruenzsatz $\text{SWS}$ relevant.

    Lösung

    Die Kongruenzsätze formulieren Kriterien für die Kongruenz zweier Dreiecke. Um auf die Kongruenz zweier Dreiecke schließen zu können, müssen drei geeignete Größen des Dreiecks gegeben sein. Beim Kongruenzsatz SWS sind dies zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel. Um die Aussage des Kongruenzsatzes zu verstehen, musst du auch genau wissen, was Kongruenz bedeutet.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Sind Dreiecke deckungsgleich, so sind sie kongruent.“ Dies ist die Definition der Kongruenz. Deckungsgleichheit bedeutet, dass du eines der Dreiecke so drehen, spiegeln und verschieben kannst, dass es das andere restlos und ohne Überstände bedeckt.
    • „Der Kongruenzsatz SWS besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn sie in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.“ Dies ist die Aussage des Kongruenzsatzes SWS. Du kannst dir merken, dass der Winkel zwischen den beiden gegebenen Seiten liegen muss, wie das W wzischen den beiden S steht.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Besitzen Dreiecke den gleichen Flächeninhalt, so sind sie kongruent.“ Zwar haben kongruente Dreiecke denselben Flächeninhalt, aber es gibt auch nicht-kongruente Dreiecke, deren Flächeninhalte übereinstimmen.
    • „Besitzen Dreiecke die gleichen Winkel, so sind sie kongruent.“ Aus der Winkelgleichheit folgt nur die Ähnlichkeit der Dreiecke. Sie haben also dieselbe Form, aber im Allgemeinen nicht dieselbe Größe. Kongruenz von Dreiecken bedeutet aber, dass diese in Form und Größe übereinstimmen.
    • „Der Kongruenzsatz SWS besagt, dass zwei Dreiecke kongruent sind, wenn sie in zwei Seiten und einem Winkel übereinstimmen.“ Der Kongruenzsatz SWS verlangt etwas mehr: Nämlich, dass der gegebene Winkel der von den beiden Seiten eingeschlossene ist. Der Kongruenzsatz besagt auch, dass du das Dreieck allein aufgrund dieser Angaben konstruieren kannst. Mit zwei Seiten und einem beliebigen Winkel ist das im Allgemeinen nicht möglich.
  • Skizziere mit Hilfe des Kongruenzsatzes $\text{SWS}$ die jeweiligen Dreiecke und gib fehlende Seiten und Winkel an.

    Tipps

    Wenn man zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel gegeben hat, kann man nur kongruente Dreiecke konstruieren.

    Sind beispielsweise $\alpha=70^\circ$, $b=6~\text{cm}$ und $c=7~\text{cm}$ gegeben, so gehen wir bei der Konstruktion wie folgt vor:

    • Wir zeichnen zunächst die Seite $c$ und erhalten so die Eckpunkte $A$ und $B$.
    • Dann zeichnen wir an ihr den Winkel $\alpha$ ein und erhalten so eine Halbgerade.
    • Um die Länge der Seite $b$ einzuzeichnen, stellen wir den Zirkel auf $6~\text{cm}$ ein, stechen ihn in $A$ ein und zeichnen einen Kreisbogen, der diese Halbgerade im Punkt $C$ schneidet.
    • Nun verbinden wir $C$ und $B$ und erhalten so das Dreieck $\Delta{ABC}$.

    Hast du gerade kein Lineal und keinen Zirkel zur Hand, so kannst du beide Dreiecke nur skizzieren. Die Reihenfolge entspricht dabei der genauen Konstruktion.

    Durch das Vergleichen der beiden Dreiecke und mit dem Wissen, dass alle Innenwinkel in einem Dreieck zusammen $180^{\circ}$ ergeben, kannst du die Lösung herleiten.

    Lösung

    Wenn man zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel gegeben hat, kann man nur kongruente Dreiecke konstruieren.

    Sind beispielsweise $\alpha$, $b$ und $c$ gegeben, so gehen wir bei der Konstruktion wie folgt vor:

    • Wir zeichnen zunächst die Seite $c$ und erhalten so die Eckpunkte $A$ und $B$.
    • Dann zeichnen wir an ihr den Winkel $\alpha$ ein und erhalten so eine Halbgerade.
    • Nun spannen wir den Zirkel auf die Länge der Seite $b$, stechen ihn in $A$ ein und zeichnen einen Kreisbogen, der diese Halbgerade im Punkt $C$ schneidet.
    • Nun verbinden wir $C$ und $B$ und erhalten so das Dreieck $\Delta{ABC}$.
    Genauso gehen wir in dieser Aufgabe vor und erhalten folgende Werte:

    Dreieck 1

    Ein Dreieck $\Delta_{ABC}$ mit $a=2~\text{cm}$, $b=4~\text{cm}$ und $\gamma=40^\circ$ besitzt die folgenden weiteren Größen:

    • $c\approx 2,8~\text{cm}$
    • $\alpha\approx 27,5^\circ$
    • $\beta\approx 112,5^\circ$
    Dreieck 2

    Ein Dreieck $\Delta_{ABC}$ mit $b=5~\text{cm}$, $c=7~\text{cm}$ und $\alpha=30^\circ$ besitzt die folgenden weiteren Größen:

    • $a\approx 3,7~\text{cm}$
    • $\beta\approx 43,1^\circ$
    • $\gamma\approx 106,9^\circ$
    Vergleich der beiden Dreiecke

    Während beim ersten Dreieck die eine gegebene Seite doppelt so lang ist wie die andere, liegt das Verhältnis der gegebenen Seiten des zweiten Dreiecks bei $5:7$. Die eingeschlossenen Winkel unterscheiden sich jedoch nur um $10^{\circ}$ voneinander. Demnach muss der stumpfe Winkel des ersten Dreiecks größer sein als der stumpfe Winkel des zweiten Dreiecks. Die jeweils anderen Winkel lassen sich darüber bestimmen, dass die Innenwinkel eines Dreiecks zusammen $180^{\circ}$ ergeben.