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Kongruenzsätze – SWS 04:05 min

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Transkript Kongruenzsätze – SWS

Ist dir schon einmal aufgefallen, dass Ski Springer mit ihren Skiern ein Dreieck bilden? Der Skispringer bildet das Dreieck mithilfe seiner zwei Skiern und dem eingeschlossenen Winkel. Und wenn man zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel gegeben hat, kann man nur kongruente Dreiecke konstruieren. Bevor wir uns dies näher anschauen, klären wir zunächst, was Kongruenz eigentlich bedeutet. Anschließend schauen wir uns den Kongruenzsatz SWS an und wie man mit dessen Hilfe ein Dreieck konstruieren kann. Der Begriff Kongruenz kommt aus dem Lateinischen und bedeutet so viel wie 'Deckungsgleichheit'. Diese beiden Dreiecke sind zum Beispiel kongruent. Legen wir das eine Dreieck auf das andere, sehen wir, dass sie deckungsgleich übereinander liegen. Nicht nur verschobene, sondern auch gedrehte und gespiegelte Figuren sind also kongruent zueinander. Sind zwei Dreiecke deckungsgleich, dann gleichen sie sich in Form und Größe. Doch wie können wir erkennen, ob zwei Dreiecke kongruent sind? Hierbei helfen uns die vier Kongruenzsätze für Dreiecke. Diese besagen, dass zwei Dreiecke immer dann kongruent sind, wenn sie in drei bestimmten Eigenschaften übereinstimmen. Kongruent sind alle Dreiecke, deren Seitenlängen jeweils gleich sind. Dies gilt auch für Dreiecke, die in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem an der kürzeren Seite anliegenden Winkel überein, sind sie ebenfalls kongruent. Gleiches gilt für zwei Dreiecke, bei denen je eine Seite und die an dieser Seite anliegenden Winkel einander entsprechen. S steht hier für Seite und W für Winkel. Die Kongruenzsätze besagen ebenfalls, dass man für die Konstruktion eindeutiger Dreiecke nur diese drei Angaben benötigt. Eindeutig' meint hier, dass bei der Konstruktion immer nur zueinander kongruente Dreiecke entstehen können. Schauen wir uns jetzt den Kongruenzsatz SWS an. Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein, so sind sie kongruent. Gleichzeitig bedeutet dieser Satz: Hat man für die Konstruktion eines Dreiecks zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel gegeben, dann sind alle SO konstruierten Dreiecke kongruent zueinander. Schauen wir uns diese Konstruktion doch einmal an. Gegeben ist der Winkel alpha gleich 70 Grad, und die Seiten b gleich 6 cm und c gleich 7 cm. Wir zeichnen zunächst die Seite c = 7 cm und erhalten so die Eckpunkte A und B. Dann zeichnen wir an ihr den Winkel alpha ein und erhalten so eine Halbgerade. Um die Länge der Seite b einzuzeichnen, stellen wir den Zirkel auf 6cm ein, stechen ihn in A ein und zeichnen einen Kreisbogen, der diese Halbgerade im Punkt C schneidet. Nun verbinden wir C und B und erhalten so das Dreieck ABC. Da der Kreisbogen die Halbgerade nur in einem Punkt schneidet, entsteht bei der Konstruktion mit diesen drei Angaben auch nur dieses Dreieck. Die Konstruktion ist also eindeutig. Fassen wir das noch einmal zusammen. Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel überein, so sind sie kongruent. Gleichzeitig ist ein Dreieck mit diesen drei Angaben immer eindeutig konstruierbar. Probiere es doch selbst mal aus!