Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks
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Grundlagen zum Thema Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks
Der Mittelpunkt einer Strecke und der Schwerpunkt eines Dreiecks in Mathe
Im Restaurant Triangolo werden nur dreieckige Tabletts verwendet. Als guter Kellner muss Fabian ein Tablett auf nur einem Finger balancieren können. Das geht aber nur, wenn er den Schwerpunkt des Dreiecks kennt.
Wie er diesen besonderen Punkt findet, wollen wir uns im Folgenden genauer anschauen. Dazu überlegen wir uns zunächst, wie wir den Mittelpunkt einer Strecke bestimmen können.
Der Mittelpunkt einer Strecke
Wir betrachten die Strecke $\overline{AB}$ zwischen den Endpunkten $A$ und $B$. Da wir kein genaues Lineal dabeihaben, können wir den Mittelpunkt dieser Strecke nicht durch eine Messung bestimmen. Wir haben allerdings einen Zirkel, den wir benutzen können! Wir stechen den Zirkel in den Punkt $A$ ein und zeichnen einen Kreisbogen. Den Radius des Kreisbogens können wir dabei frei wählen – er muss nur größer als die halbe Streckenlänge sein. Anschließend zeichnen wir einen Kreisbogen mit exakt demselben Radius um den Punkt $B$. Die Kreisbögen schneiden sich in genau zwei Punkten, die wir $S_1$ und $S_2$ nennen. Wenn wir eine Gerade durch $S_1$ und $S_2$ zeichnen, ist das die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$. Sie schneidet die Strecke $\overline{AB}$ gerade in ihrem Mittelpunkt $M$.
Damit wissen wir, wie wir den Mittelpunkt einer Strecke bestimmen können.
Der Schwerpunkt eines Dreiecks
Schwerpunkt eines Dreiecks – Definition
Als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet man den Punkt, an dem das Dreieck genau ausbalanciert ist. Das heißt, wenn das Dreieck nur an diesem Punkt unterstützt wird, bleibt es stabil.
Wir können den Schwerpunkt eines Dreiecks konstruieren, indem wir die Seitenhalbierenden zu zwei beliebigen Seiten des Dreiecks zeichnen. Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.
Schwerpunkt eines Dreiecks – Beispiel
Wir betrachten ein Dreieck $ABC$ mit den Seiten $a$, $b$ und $c$. Zunächst bestimmen wir den Mittelpunkt $M_c$ der Seite $c$ mithilfe des Zirkels – so, wie wir es im vorherigen Abschnitt erklärt haben. Dann verbinden wir den Mittelpunkt $M_c$ der Seite $c$ mit dem Eckpunkt $C$ des Dreiecks. Die Strecke $\overline{M_cC}$ ist die Seitenhalbierende der Seite $c$. Mit demselben Vorgehen bestimmen wir die Seitenhalbierende der Seite $a$.
Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt $S_P$. Dieser Punkt ist der Schwerpunkt des Dreiecks.
Schwerpunkt eines Dreiecks – Herleitung
Wir haben bereits gelernt, wie wir den Schwerpunkt eines Dreiecks über die Seitenhalbierenden bestimmen können. Aber warum funktioniert das überhaupt?
Eine Seitenhalbierende teilt das Dreieck in zwei exakt gleich große Flächen. Wir könnten das Dreieck also entlang der Seitenhalbierenden auf eine Kante legen und es würde nicht herunterfallen, da es perfekt ausbalanciert ist. Das Gleiche gilt für jede andere Seitenhalbierende im Dreieck. Auch diese teilt das Dreieck in zwei gleich große Flächen. Auf zwei Kanten ist das Dreieck somit in alle Richtungen ausbalanciert und kann nicht mehr herunterfallen.
Der Schnittpunkt dieser zwei Kanten – und somit auch der Seitenhalbierenden – ist dann exakt der Schwerpunkt des Dreiecks. In diesem ist das Dreieck perfekt ausbalanciert.
Transkript Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks
Fabian hat sich als Kellner beworben. Heute hat er seinen Probetag im „Ristorante Triangolo“. Grundvoraussetzung für die Arbeit als Kellner ist es allerdings, die dreieckigen Tabletts auf einem Finger tragen zu können. Fabian fragt sich, wie er das bloß schaffen soll. Um Fabian bei diesem Problem zu unterstützen, beschäftigen wir uns heute mit dem Mittelpunkt einer Strecke und dem Schwerpunkt eines Dreiecks. Um den Mittelpunkt einer beliebigen Strecke AB herauszufinden, müssen wir zunächst die Mittelsenkrechte konstruieren. Dazu stechen wir den Zirkel zunächst in den Punkt A ein und zeichnen einen Kreisbogen um A. Den Radius des Kreisbogens können wir nahezu frei wählen. Die einzige Bedingung ist, dass der Radius größer als die Hälfte der Strecke AB sein muss. Mit demselben Radius zeichnen wir nun auch einen Kreisbogen um den Punkt B. Wie wir sehen, schneiden sich die beiden Kreisbögen in den Punkten S1 und S2. Zeichnen wir nun eine Gerade, die durch die Punkte S1 und S2 verläuft, ist diese Gerade gleichzeitig die Mittelsenkrechte zur Strecke AB. Wie wir sehen, schneidet die Mittelsenkrechte die Gerade AB in einem Punkt. Diesen Punkt bezeichnen wir mit M. Da die Mittelsenkrechte genau durch die Mitte der Strecke AB verläuft, ist M somit der Mittelpunkt dieser Strecke. Den Mittelpunkt einer Strecke benötigen wir nun, um den Schwerpunkt eines Dreiecks zu bestimmen. Doch, was ist überhaupt der Schwerpunkt eines Dreiecks? Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Punkt, in dem das Dreieck ausbalanciert ist. Legt ein Kellner also das dreieckige Tablett exakt im Schwerpunkt auf seine Fingerspitze, fällt es nicht herunter. Den Schwerpunkt des Dreiecks findet man, indem man zwei Seitenhalbierende eines Dreickecks und somit deren Schnittpunkt konstruiert. Die Seitenhalbierende ist eine Strecke, die einen Eckpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Schauen wir uns die Konstruktion Schritt für Schritt an. Den Mittelpunkt einer Seite konstruieren wir über die Mittelsenkrechte. Dasselbe können wir auch mit einer beliebigen anderen Seite des Dreiecks tun. Verbinden wir nun die Eckpunkte mit den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten, erhalten wir so zwei Seitenhalbierende des Dreiecks. Wie wir sehen, schneiden sich die zwei Seitenhalbierenden in einem Punkt. Wir können den Punkt mit SP bezeichnen. SP ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Doch warum ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden der Schwerpunkt des Dreiecks? Eine Seitenhalbierende teilt das Dreieck in zwei exakt gleich große Flächen. Wir könnten das Dreieck also entlang der Seitenhalbierenden auf eine Kante legen und es würde nicht herunterfallen, da es perfekt ausbalanciert ist. Das gleiche gilt für jede andere Seitenhalbierende im Dreieck. Auch diese teilt das Dreieck in zwei gleich große Flächen. Auf zwei Kanten ist das Dreieck somit in alle Richtungen ausbalanciert und kann nicht mehr herunterfallen. Der Schnittpunkt dieser zwei Kanten – und somit auch der Seitenhalbierenden – ist dann exakt der Schwerpunkt des Dreiecks. In diesem ist das Dreieck perfekt ausbalanciert. Fassen wir das noch einmal zusammen: Um den Mittelpunkt einer Strecke zu bestimmen, konstruieren wir die Mittelsenkrechte zur Strecke. Die Mittelsenkrechte schneidet diese Strecke genau in ihrem Mittelpunkt. Die Strecke, die einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet, nennt man Seitenhalbierende. Der Schwerpunkt ist wiederum der Schnittpunkt von zwei Seitenhalbierenden eines Dreiecks. Das Dreieck ist im Schwerpunkt ausbalanciert. Endlich ist Fabian bereit für seinen neuen Job. Da muss er wohl noch seinen Schwerpunkt finden.
Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks Übung
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Beschreibe die Konstruktion des Schwerpunktes eines Dreiecks.
TippsJede Seitenhalbierende teilt das Dreieck in zwei Dreiecke desselben Flächeninhalts. Längs der Seitenhalbierenden ist das Dreieck ausbalanciert.
Um den Schwerpunkt eines Dreiecks zu finden, konstruierst du zuerst die Seitenmittelpunkte und anschließend die Seitenhalbierenden.
Der Mittelpunkt einer Strecke ist der Schnittpunkt der Strecke mit ihrer Mittelsenkrechten.
LösungDu kannst Fabian helfen, den Schwerpunkt des dreieckigen Tabletts zu konstruieren:
Den Mittelpunkt einer Strecke $\overline{AB}$ kannst du mit Zirkel und Lineal konstruieren. Der Mittelpunkt ist nämlich der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ mit der Strecke $\overline{AB}$ selbst.
Um diese Mittelsenkrechte zu konstruieren, stichst du die Zirkelspitze nacheinander in beide Punkte $A$ und $B$ ein und ziehst jeweils einen Kreisbogen auf beiden Seiten der Strecke. Die Zirkelspanne darfst du dabei aber nicht verändern, sonst wird die Konstruktion falsch. Jetzt markierst du die Schnittpunkte der beiden Kreisbogen und verbindest sie. Die Verbindungsgerade der Schnittpunkte ist die Mittelsenkrechte auf die Strecke $\overline{AB}$.
Um nun den Schwerpunkt eines Dreiecks zu bestimmen, konstruierst du die Mittelpunkte zweier Seiten. Dann verbindest du diese Mittelpunkte mit den jeweils gegenüberliegenden Eckpunkten. Diese Verbindungsstrecken heißen Seitenhalbierende. Ihr Schnittpunkt ist der gesuchte Schwerpunkt des Dreiecks.
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Benenne die Schritte bei der Konstruktion einer Mittelsenkrechten.
TippsDie Konstruktion beginnt mit der Einstellung des Zirkels.
Markiere Schnittpunkte, bevor du sie verbindest.
Der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ entsteht im letzten Konstruktionsschritt. Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke.
LösungDer Mittelpunkt einer Strecke $\overline{AB}$ ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke. Dieses Prinzip machen wir uns bei der Konstruktion zu Nutze. Bevor die Konstruktion losgehen kann, müssen wir den Zirkel auf eine nicht zu kleine Zirkelspanne einstellen. Die einzelnen Konstruktionsschritte in der korrekten Reihenfolge sind:
- Wähle zunächst eine Zirkelspanne, die größer ist als die Hälfte der Strecke $\overline{AB}$.
- Stich den Zirkel entweder in $A$ oder $B$ ein.
- Zeichne den ersten Kreisbogen so, dass dieser auf beiden Seiten der Strecke $\overline{AB}$ verläuft.
- Verändere die Zirkelspanne nicht.
- Stich die Zirkelspitze in den anderen der beiden Punkte $A$ und $B$ ein.
- Ziehe einen zweiten Kreisbogen, der den ersten in zwei Punkten schneidet.
- Markiere die beiden Schnittpunkte der Kreisbogen.
- Ziehe mit dem Lineal die Verbindungsstrecke der beiden Schnittpunkte der Kreisbogen. Dies ist die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.
- Markiere den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke $\overline{AB}$. Dies ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.
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Prüfe die Aussagen.
TippsJe zwei Seitenhalbierende des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt lässt sich mit Zirkel und Lineal konstruieren und ist für alle Seitenhalbierenden derselbe.
Mittelsenkrechte und Seitenhalbierende verlaufen beide durch den Mittelpunkt einer Seite. Die Seitenhalbierende verläuft zusätzlich durch die gegenüberliegende Ecke.
Die Mittelsenkrechte verläuft im Allgemeinen nicht durch eine Ecke des Dreiecks. Überlege, wie die Teilfiguren des Dreiecks aussehen, die durch die Mittelsenkrechte und die Ecken des Dreiecks gebildet werden.
LösungFolgende Aussagen sind richtig:
- „Der Schwerpunkt eines gleichseitigen Dreiecks ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.“ Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Bei einem gleichseitigen Dreieck sind Seiten- und Winkelhalbierende identisch.
- „Die Winkelhalbierende einer Dreiecksseite teilt das Dreieck in zwei Teile mit demselben Flächeninhalt.“ Der Flächeninhalt ist die Hälfte des Produktes aus der Länge von Grundseite und Höhe. Die beiden Teildreiecke haben gleich lange Grundseiten, nämlich die beiden Hälften der ursprünglichen Dreiecksseite. Sie haben auch dieselbe Höhe, nämlich die Höhe des ursprünglichen Dreiecks.
- „Zwei der drei Mittelsenkrechten eines rechtwinkligen Dreiecks verlaufen parallel zu den Seiten des Dreiecks.“ Die beiden an dem rechten Winkel anliegenden Seiten stehen senkrecht aufeinander. Die eine Seite ist daher parallel zur Mittelsenkrechten der anderen und umgekehrt.
- „Die Mittelsenkrechte eines Dreiecks ist eine Seitenhalbierende, wenn sie durch die gegenüberliegende Ecke verläuft.“ Die Mittelsenkrechte und die Seitenhalbierende verlaufen beide durch den Mittelpunkt der Seite. Die Seitenhalbierende verläuft zusätzlich durch die gegenüberliegende Ecke. Falls die Mittelsenkrechte einer Seite durch die gegenüberliegende Ecke verläuft, so hat sie mit der Seitenhalbierenden zwei bekannte Punkte gemeinsam. Daher sind die beiden Geraden identisch.
- „Die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite teilt das Dreieck in zwei Teildreiecke.“ Die Mittelsenkrechte verläuft im Allgemeinen nicht durch eine Ecke des Dreiecks. Sie teilt daher das Dreieck im Allgemeinen nicht in zwei Teildreiecke auf, sondern in ein Dreieck und ein Viereck.
- „Die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite verläuft durch die gegenüberliegende Ecke.“ Die Mittelsenkrechte einer Seite verläuft genau dann durch die gegenüberliegende Ecke, wenn die beiden anderen Dreiecksseiten die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind.
- Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist nicht eindeutig bestimmt.“ Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Der Schnittpunkt zweier Seitenhalbierenden lässt sich mit Zirkel und Lineal konstruieren und ist daher eindeutig bestimmt. Dieser Schnittpunkt ist für alle Seitenhalbierenden derselbe. Daher ist der Schwerpunkt eindeutig bestimmt.
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Erschließe die Konstruktionselemente.
TippsDie Seitenhalbierende verläuft durch den Mittelpunkt des Dreiecks.
Die Winkelhalbierende teilt den Winkel in zwei gleich große Teile.
LösungDie Seitenhalbierenden verlaufen jeweils vom Mittelpunkt einer Seite zur gegenüberliegenden Ecke. In der Zeichnung sind zusätzlich zu den Seitenhalbierenden auch die Winkelhalbierenden und eine Mittelsenkrechte eingezeichnet. Dadurch entstehen vier Schnittpunkte. Der Schwerpunkt des Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
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Definiere die geometrischen Größen.
TippsDie Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite verläuft im Allgemeinen nicht durch eine Ecke des Dreiecks.
Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises.
Der Mittelpunkt des Inkreises ist im Allgemeinen nicht der Schwerpunkt des Kreises.
LösungFolgende Sätze sind korrekt:
- „Die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite ... steht auf der Seite senkrecht.“ Sie verläuft außerdem durch den Mittelpunkt der Seite, daher der Name Mittelsenkrechte.
- „Der Schwerpunkt eines Dreiecks ... ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.“ Längs jeder Seitenhalbierenden ist das Dreieck ausbalanciert, da die Seitenhalbierenden das Dreieck in zwei flächengleiche Dreiecke aufteilen. Daher ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden der Schwerpunkt des Dreiecks.
- „Die Seitenhalbierende einer Dreiecksseite ... verbindet den Mittelpunkt der Seite mit der gegenüberliegenden Ecke.“ Die Seitenhalbierende halbiert die Seite, indem sie von der gegenüberliegenden Ecke durch den Mittelpunkt der Seite verläuft.
- „Der Schnittpunkt zweier verschiedener Geraden ... ist der eindeutige Punkt, der auf beiden Geraden liegt.“ Zwei verschiedene Geraden in der Ebene haben genau einen Punkt gemeinsam. Man nennt ihn den Schnittpunkt und sagt, die Geraden schneiden sich in diesem Punkt.
Die Seitenhalbierende ist nicht zu verwechseln mit der Winkelhalbierenden: Die Winkelhalbierende teilt den Winkel an einer Ecke des Dreiecks in zwei gleich große Teilwinkel und verläuft durch einen Punkt der gegenüberliegenden Seite. Dieser Punkt ist im Allgemeinen nicht der Mittelpunkt der Seite. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist im Allgemeinen nicht der Schwerpunkt des Dreiecks.
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Analysiere die Konstruktionsschritte.
TippsDie Höhe ist das Lot einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite. Die Konstruktion einer Höhe ist für die Konstruktion des Schwerpunktes nicht erforderlich.
LösungDie Bilder zeigen verschiedene Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Nicht alle kommen auch in der Konstruktion des Schwerpunktes vor. Die Konstruktionen im Bild sind folgende.
- Höhe
- Seitenhalbierende
- Mittelsenkrechte
- Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
- Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
- Mittelsenkrechte der Seitenhalbierenden
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