Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks

Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks Übung

• Beschreibe die Konstruktion des Schwerpunktes eines Dreiecks.

  Tipps

  Jede Seitenhalbierende teilt das Dreieck in zwei Dreiecke desselben Flächeninhalts. Längs der Seitenhalbierenden ist das Dreieck ausbalanciert.

  Um den Schwerpunkt eines Dreiecks zu finden, konstruierst du zuerst die Seitenmittelpunkte und anschließend die Seitenhalbierenden.

  Der Mittelpunkt einer Strecke ist der Schnittpunkt der Strecke mit ihrer Mittelsenkrechten.

  Lösung

  Du kannst Fabian helfen, den Schwerpunkt des dreieckigen Tabletts zu konstruieren:

  Den Mittelpunkt einer Strecke $\overline{AB}$ kannst du mit Zirkel und Lineal konstruieren. Der Mittelpunkt ist nämlich der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ mit der Strecke $\overline{AB}$ selbst.

  Um diese Mittelsenkrechte zu konstruieren, stichst du die Zirkelspitze nacheinander in beide Punkte $A$ und $B$ ein und ziehst jeweils einen Kreisbogen auf beiden Seiten der Strecke. Die Zirkelspanne darfst du dabei aber nicht verändern, sonst wird die Konstruktion falsch. Jetzt markierst du die Schnittpunkte der beiden Kreisbogen und verbindest sie. Die Verbindungsgerade der Schnittpunkte ist die Mittelsenkrechte auf die Strecke $\overline{AB}$.

  Um nun den Schwerpunkt eines Dreiecks zu bestimmen, konstruierst du die Mittelpunkte zweier Seiten. Dann verbindest du diese Mittelpunkte mit den jeweils gegenüberliegenden Eckpunkten. Diese Verbindungsstrecken heißen Seitenhalbierende. Ihr Schnittpunkt ist der gesuchte Schwerpunkt des Dreiecks.

• Benenne die Schritte bei der Konstruktion einer Mittelsenkrechten.

  Tipps

  Die Konstruktion beginnt mit der Einstellung des Zirkels.

  Markiere Schnittpunkte, bevor du sie verbindest.

  Der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ entsteht im letzten Konstruktionsschritt. Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke.

  Lösung

  Der Mittelpunkt einer Strecke $\overline{AB}$ ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke. Dieses Prinzip machen wir uns bei der Konstruktion zu Nutze. Bevor die Konstruktion losgehen kann, müssen wir den Zirkel auf eine nicht zu kleine Zirkelspanne einstellen. Die einzelnen Konstruktionsschritte in der korrekten Reihenfolge sind:

  1. Wähle zunächst eine Zirkelspanne, die größer ist als die Hälfte der Strecke $\overline{AB}$.
  2. Stich den Zirkel entweder in $A$ oder $B$ ein.
  3. Zeichne den ersten Kreisbogen so, dass dieser auf beiden Seiten der Strecke $\overline{AB}$ verläuft.
  4. Verändere die Zirkelspanne nicht.
  5. Stich die Zirkelspitze in den anderen der beiden Punkte $A$ und $B$ ein.
  6. Ziehe einen zweiten Kreisbogen, der den ersten in zwei Punkten schneidet.
  7. Markiere die beiden Schnittpunkte der Kreisbogen.
  8. Ziehe mit dem Lineal die Verbindungsstrecke der beiden Schnittpunkte der Kreisbogen. Dies ist die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}$.
  9. Markiere den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke $\overline{AB}$. Dies ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Je zwei Seitenhalbierende des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt lässt sich mit Zirkel und Lineal konstruieren und ist für alle Seitenhalbierenden derselbe.

  Mittelsenkrechte und Seitenhalbierende verlaufen beide durch den Mittelpunkt einer Seite. Die Seitenhalbierende verläuft zusätzlich durch die gegenüberliegende Ecke.

  Die Mittelsenkrechte verläuft im Allgemeinen nicht durch eine Ecke des Dreiecks. Überlege, wie die Teilfiguren des Dreiecks aussehen, die durch die Mittelsenkrechte und die Ecken des Dreiecks gebildet werden.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Der Schwerpunkt eines gleichseitigen Dreiecks ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.“ Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Bei einem gleichseitigen Dreieck sind Seiten- und Winkelhalbierende identisch.

  • „Die Winkelhalbierende einer Dreiecksseite teilt das Dreieck in zwei Teile mit demselben Flächeninhalt.“ Der Flächeninhalt ist die Hälfte des Produktes aus der Länge von Grundseite und Höhe. Die beiden Teildreiecke haben gleich lange Grundseiten, nämlich die beiden Hälften der ursprünglichen Dreiecksseite. Sie haben auch dieselbe Höhe, nämlich die Höhe des ursprünglichen Dreiecks.

  • „Zwei der drei Mittelsenkrechten eines rechtwinkligen Dreiecks verlaufen parallel zu den Seiten des Dreiecks.“ Die beiden an dem rechten Winkel anliegenden Seiten stehen senkrecht aufeinander. Die eine Seite ist daher parallel zur Mittelsenkrechten der anderen und umgekehrt.

  • „Die Mittelsenkrechte eines Dreiecks ist eine Seitenhalbierende, wenn sie durch die gegenüberliegende Ecke verläuft.“ Die Mittelsenkrechte und die Seitenhalbierende verlaufen beide durch den Mittelpunkt der Seite. Die Seitenhalbierende verläuft zusätzlich durch die gegenüberliegende Ecke. Falls die Mittelsenkrechte einer Seite durch die gegenüberliegende Ecke verläuft, so hat sie mit der Seitenhalbierenden zwei bekannte Punkte gemeinsam. Daher sind die beiden Geraden identisch.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite teilt das Dreieck in zwei Teildreiecke.“ Die Mittelsenkrechte verläuft im Allgemeinen nicht durch eine Ecke des Dreiecks. Sie teilt daher das Dreieck im Allgemeinen nicht in zwei Teildreiecke auf, sondern in ein Dreieck und ein Viereck.

  • „Die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite verläuft durch die gegenüberliegende Ecke.“ Die Mittelsenkrechte einer Seite verläuft genau dann durch die gegenüberliegende Ecke, wenn die beiden anderen Dreiecksseiten die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind.

  • Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist nicht eindeutig bestimmt.“ Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Der Schnittpunkt zweier Seitenhalbierenden lässt sich mit Zirkel und Lineal konstruieren und ist daher eindeutig bestimmt. Dieser Schnittpunkt ist für alle Seitenhalbierenden derselbe. Daher ist der Schwerpunkt eindeutig bestimmt.

• Erschließe die Konstruktionselemente.

  Tipps

  Die Seitenhalbierende verläuft durch den Mittelpunkt des Dreiecks.

  Die Winkelhalbierende teilt den Winkel in zwei gleich große Teile.

  Lösung

  Die Seitenhalbierenden verlaufen jeweils vom Mittelpunkt einer Seite zur gegenüberliegenden Ecke. In der Zeichnung sind zusätzlich zu den Seitenhalbierenden auch die Winkelhalbierenden und eine Mittelsenkrechte eingezeichnet. Dadurch entstehen vier Schnittpunkte. Der Schwerpunkt des Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.

• Definiere die geometrischen Größen.

  Tipps

  Die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite verläuft im Allgemeinen nicht durch eine Ecke des Dreiecks.

  Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises.

  Der Mittelpunkt des Inkreises ist im Allgemeinen nicht der Schwerpunkt des Kreises.

  Lösung

  Folgende Sätze sind korrekt:

  • „Die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite ... steht auf der Seite senkrecht.“ Sie verläuft außerdem durch den Mittelpunkt der Seite, daher der Name Mittelsenkrechte.

  • „Der Schwerpunkt eines Dreiecks ... ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.“ Längs jeder Seitenhalbierenden ist das Dreieck ausbalanciert, da die Seitenhalbierenden das Dreieck in zwei flächengleiche Dreiecke aufteilen. Daher ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden der Schwerpunkt des Dreiecks.

  • „Die Seitenhalbierende einer Dreiecksseite ... verbindet den Mittelpunkt der Seite mit der gegenüberliegenden Ecke.“ Die Seitenhalbierende halbiert die Seite, indem sie von der gegenüberliegenden Ecke durch den Mittelpunkt der Seite verläuft.

  • „Der Schnittpunkt zweier verschiedener Geraden ... ist der eindeutige Punkt, der auf beiden Geraden liegt.“ Zwei verschiedene Geraden in der Ebene haben genau einen Punkt gemeinsam. Man nennt ihn den Schnittpunkt und sagt, die Geraden schneiden sich in diesem Punkt.

  Die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite ist nicht zu verwechseln mit der Höhe. Die Höhe ist das Lot von der gegenüberliegenden Ecke auf die Dreiecksseite. Sie trifft im Allgemeinen nicht auf den Mittelpunkt der Dreiecksseite. Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden die Höhen auf den am stumpfen Winkel anliegenden Seiten diese Seiten sogar überhaupt nicht, sondern nur deren Verlängerung über die Ecken des Dreiecks hinaus.

  Die Seitenhalbierende ist nicht zu verwechseln mit der Winkelhalbierenden: Die Winkelhalbierende teilt den Winkel an einer Ecke des Dreiecks in zwei gleich große Teilwinkel und verläuft durch einen Punkt der gegenüberliegenden Seite. Dieser Punkt ist im Allgemeinen nicht der Mittelpunkt der Seite. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist im Allgemeinen nicht der Schwerpunkt des Dreiecks.

• Analysiere die Konstruktionsschritte.

  Tipps

  Die Höhe ist das Lot einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite. Die Konstruktion einer Höhe ist für die Konstruktion des Schwerpunktes nicht erforderlich.

  Lösung

  Die Bilder zeigen verschiedene Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Nicht alle kommen auch in der Konstruktion des Schwerpunktes vor. Die Konstruktionen im Bild sind folgende.

  1. Höhe
  2. Seitenhalbierende
  3. Mittelsenkrechte
  4. Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
  5. Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
  6. Mittelsenkrechte der Seitenhalbierenden

  In der Konstruktion des Schwerpunktes kommen nur die Konstruktion der Mittelsenkrechten und der Seitenhalbierenden sowie des Schnittpunktes der Seitenhalbierenden vor.