Inkreis und Umkreis von Dreiecken – Überblick
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Grundlagen zum Thema Inkreis und Umkreis von Dreiecken – Überblick
Inkreis und Umkreis von Dreiecken – Mathe
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis und einen Inkreis. Wie man diese konstruiert und welche besonderen Eigenschaften sie haben, schauen wir uns im Folgenden genauer an.
Wie konstruiere ich den Umkreis eines Dreiecks?
Betrachten wir die drei Eckpunkte eines Dreiecks. Ein Kreis, der durch alle drei Eckpunkte verläuft, wird Umkreis des Dreiecks genannt. Er ist der kleinste Kreis, der das Dreieck komplett einschließt. Der Mittelpunkt dieses Umkreises liegt von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt. Um diesen Mittelpunkt zu bestimmen, werden die Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks genutzt. Um eine Mittelsenkrechte zu konstruieren, gehen wir folgendermaßen vor:
- Seite auswählen
- Den Radius des Zirkels so einstellen, dass er größer als die Hälfte der Seite ist
- Einstechen in einen Endpunkt der Seite und Kreisbogen zeichnen
- Mit unverändertem Radius das Gleiche im anderen Endpunkt wiederholen
- Beide Kreisbogen schneiden sich zweimal.
- Die Mittelsenkrechte der Seite durch diese beiden Schnittpunkte einzeichnen
Das Gleiche können wir mit den anderen beiden Seiten wiederholen. Der Schnittpunkt dieser drei Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Umkreises. Wir bezeichnen ihn mit $U$.
Mit dem Zirkel stechen wir in $U$ ein, um den Umkreis zu zeichnen. Der Radius wird auf einen beliebigen Eckpunkt des Dreiecks eingestellt. Dann kann der Umkreis gezeichnet werden. Er geht durch alle drei Eckpunkte.
Hinweis: Alle Punkte auf einer Mittelsenkrechten liegen gleich weit von den beiden Eckpunkten der Seite entfernt. Der Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten hat daher den gleichen Abstand von allen drei Eckpunkten. Somit reicht es auch aus, nur zwei Mittelsenkrechte zu konstruieren, um den Umkreismittelpunkt $U$ zu ermitteln.
Wie findet man den Inkreis eines Dreiecks?
Der Inkreis eines Dreiecks ist der größte Kreis, der in ein Dreieck passt. Der Inkreis berührt alle drei Seiten des Dreiecks. Der Mittelpunkt des Inkreises liegt von allen drei Seiten gleich weit entfernt. Die Winkelhalbierenden werden genutzt, um den Mittelpunkt dieses Kreises zu finden. Schauen wir uns nun gemeinsam an, wie man Winkelhalbierende konstruiert.
- Eckpunkt auswählen, von dem aus die Winkelhalbierende konstruiert werden soll
- Mit dem Zirkel in diesen Punkt einstechen und einen Kreisbogen zeichnen, der die beiden anliegenden Seiten schneidet
- In diese Schnittpunkte einstechen und jeweils einen Kreisbogen zeichnen. Beide Kreisbogen müssen den gleichen Radius haben. Der Radius muss so eingestellt sein, dass sich die Kreisbogen schneiden.
- Die Winkelhalbierende durch diesen Schnittpunkt und den Eckpunkt einzeichnen
Die Winkelhalbierenden der anderen beiden Ecken können genauso konstruiert werden. Der Schnittpunkt dieser drei Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises. Wir nennen ihn $I$.
Um den richtigen Radius für den Inkreis einstellen zu können, müssen wir nun noch ein Lot auf eine der Seiten durch den Punkt $I$ fällen. So finden wir den Punkt der Seite, der am nächsten am Mittelpunkt des Inkreises ist. Um ein Lot zu konstruieren, gehen wir folgendermaßen vor:
- Mit dem Zirkel in $I$ einstechen
- Kreisbogen zeichnen, der die ausgewählte Seite zweimal schneidet
- Einstechen in diese Schnittpunkte und jeweils einen Kreisbogen zeichnen. Beide Kreisbogen müssen den gleichen Radius haben und sollen sich in einem Punkt schneiden.
- Das Lot verläuft durch den neuen Schnittpunkt und den Punkt $I$. Es schneidet die Seite im rechten Winkel.
Mit dem Zirkel stechen wir in $I$ ein, um den Inkreis zu zeichnen. Den Radius stellen wir auf den Schnittpunkt der Seite mit dem Lot ein. Dann kann der Inkreis gezeichnet werden. Er berührt alle drei Seiten des Dreiecks.
Hinweis: Alle Punkte auf einer Winkelhalbierenden liegen gleich weit von den beiden angrenzenden Seiten entfernt. Der Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden hat daher den gleichen Abstand von allen drei Seiten des Dreiecks. Somit reicht es auch aus, nur zwei Winkelhalbierende zu konstruieren, um $I$ zu ermitteln.
Umkreis und Inkreis – Zusammenfassung
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis und einen Inkreis. Dabei gilt:
Umkreis
- Er verläuft durch alle Eckpunkte des Dreiecks.
- Er ist der kleinste Kreis, der das Dreieck enthält.
- Sein Mittelpunkt ist von allen Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt.
- Er wird mithilfe der Mittelsenkrechten konstruiert.
- Achtung: Der Mittelpunkt kann auch außerhalb des Dreiecks liegen.
Inkreis
- Er berührt alle drei Seiten des Dreiecks.
- Er ist der größte Kreis, der komplett im Dreieck liegt.
- Sein Mittelpunkt ist von allen Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt.
- Er wird mithilfe der Winkelhalbierenden und eines Lots konstruiert.
- Achtung: Der Mittelpunkt liegt immer innerhalb des Dreiecks.
Zusätzlich zum Video und dem Text findest du hier auf der Seite noch Übungen und Arbeitsblätter mit Aufgaben zum Thema Inkreis und Umkreis von Dreiecken.
Transkript Inkreis und Umkreis von Dreiecken – Überblick
"Die Bienen suchen einen neuen Ort für ihren Bienenstock." Der soll zu drei entfernten Blumenwiesen den gleichen Abstand haben. Damit sie den richtigen Ort für ihren neuen Stock finden, helfen wir den Bienen mit unserem Wissen über Inkreise und Umkreise von Dreiecken. Welcher Punkt hat von allen drei Ecken eines Dreiecks den gleichen Abstand? Stell dir vor, die drei Eckpunkte liegen auf einem Kreis. Und welcher Punkt ist von jedem Punkt auf dem Kreis gleich weit entfernt? Das ist der Mittelpunkt des Kreises! Diesen Kreis nennt man Umkreis des Dreiecks, weil er durch jeden Eckpunkt des Dreiecks verläuft. Um den Mittelpunkt des Umkreises zu bestimmen, benutzen wir die Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks. Aber wie konstruieren wir eine Mittelsenkrechte überhaupt? Die Mittelsenkrechte DIESER Seite konstruieren wir, indem wir zuerst den Zirkel in eine der beiden anliegenden Ecken einstechen. Wir stellen den Zirkel auf einen beliebigen Radius ein, der jedoch größer ist als die Hälfte der Seite, und zeichnen einen Kreisbogen. Dann stechen wir den Zirkel in der anderen Ecke ein und zeichnen einen weiteren Kreisbogen, ohne den Radius zu verändern. Diese Kreisbögen schneiden sich zweimal und durch die beiden Schnittpunkte verläuft die Mittelsenkrechte der Seite. Genauso konstruieren wir die Mittelsenkrechten auch zu den beiden weiteren Seiten.
Der Schnittpunkt U ist dann der Mittelpunkt des Umkreises Da alle Punkte einer Mittelsenkrechten zu den anliegenden Eckpunkten den gleichen Abstand haben, ist der Schnittpunkt U der Mittelsenkrechten automatisch von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt. Deshalb reicht es übrigens aus, nur zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren. Den Umkreis zeichnen wir, indem wir mit dem Zirkel in den Mittelpunkt U einstechen und den Radius auf einen beliebigen Eckpunkt des Dreiecks einstellen Mit unserer Hilfe haben die Bienen den idealen Ort für ihren Stock gefunden. Dort steht ein Baum. In dem Baum finden die Bienen eine Astgabel, die perfekt für ihren neuen Bienenstock geeignet ist. Der Bienenstock soll kreisrund und möglichst groß werden. Was ist der größte Kreis, der komplett in das Dreieck passt? Das ist der Inkreis. Er berührt alle drei Seiten des Dreiecks. Um seinen Mittelpunkt zu finden, benutzen wir die Winkelhalbierenden. Um die Winkelhalbierende dieser Ecke zu konstruieren, stechen wir mit dem Zirkel in den Eckpunkt ein. Dann zeichnen wir einen Kreisbogen, der die beiden an der Ecke anliegenden Seiten schneidet. An diesen neuen Schnittpunkten setzen wir den Zirkel wieder an und zeichnen zwei gleich große Kreisbögen. Dabei soll der Radius des Zirkels so eingestellt sein, dass die Bögen sich schneiden.
"Durch den Schnittpunkt dieser Kreisbögen und den Eckpunkt verläuft die Winkelhalbierende. "Genauso konstruieren wir auch die beiden übrigen Winkelhalbierenden. "Wir nennen den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden I."
Da jeder Punkt auf einer Winkelhalbierenden von den beiden anliegenden Seiten den gleichen Abstand besitzt,
ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von allen drei Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt.
Es genügt deshalb auch, nur zwei Winkelhalbierenden zu konstruieren.
I ist dann der Mittelpunkt des Inkreises.
Bevor wir den Inkreis zeichnen können, müssen wir nur noch auf eine beliebige Seite das Lot fällen.
Das ist wichtig, damit wir den Zirkel auf den richtigen Radius einstellen.
Um auf eine Seite das Lot zu fällen, stechen wir mit dem Zirkel in den Schnittpunkt I ein und zeichnen einen Kreisbogen.
Der Kreisbogen soll die Seite, auf die wir das Lot fällen, zweimal schneiden.
Nun stechen wir den Zirkel an den neuen Schnittpunkten ein und zeichnen jeweils einen Kreisbogen.
Die beiden Bögen sollen den gleichen Radius haben und sich dabei schneiden.
Durch diesen Schnittpunkt und I verläuft das Lot.
Fällt dir etwas auf?
Die letzten beiden Schritte beim Fällen des Lots sind genau gleich wie diejenigen beim Konstruieren der Mittelsenkrechten.
Jetzt müssen nur noch den Inkreis einzeichnen.
Dazu stechen wir den Zirkel in den Punkt I ein.
Wir stellen den Radius auf den Schnittpunkt des Lots mit der Seite ein und zeichnen den Kreis.
Jetzt haben die Bienen alle Informationen, die sie brauchen, um ihren Stock zu bauen und wir fassen nochmal zusammen
Jedes Dreieck hat einen Inkreis und einen Umkreis.
Der Umkreis ist der Kreis, der durch alle Eckpunkte verläuft — deshalb ist es auch der kleinste Kreis, der das Dreieck enthält.
Sein Mittelpunkt ist von allen Eckpunkten gleich weit entfernt.
Den Umkreis konstruieren wir mithilfe der Mittelsenkrechten.
Achtung! Der Mittelpunkt kann auch außerhalb des Dreiecks liegen.
Der Inkreis berührt alle drei Seiten des Dreiecks.
Er ist der größte Kreis, der komplett im Dreieck liegt.
Sein Mittelpunkt ist von allen Seiten gleich weit entfernt.
Wir konstruieren ihn mithilfe der Winkelhalbierenden und dem Lot.
Im Gegensatz zum Umkreis liegt der Mittelpunkt des Inkreises immer innerhalb des Dreiecks.
Als die Bienen mit dem Bau ihres Stocks beginnen wollen, finden sie aber ein Vogelnest!
Hätten sie mal nicht so lange konstruiert!
Inkreis und Umkreis von Dreiecken – Überblick Übung
-
Beschreibe das Vorgehen bei der Konstruktion.
TippsDer Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der durch alle Eckpunkte eines Dreiecks verläuft. Somit ist er auch der kleinste Kreis, der das Dreieck enthält.
Der hier dargestellte gelbe Strahl ist die Winkelhalbierende des Winkels $\alpha$.
LösungDie Lage für den Bienenstock erhalten wir über den Mittelpunkt des Umkreises des gegebenen Dreiecks. Denn dieser Mittelpunkt hat zu allen drei Eckpunkten des Dreiecks die gleiche Entfernung. Da an den Eckpunkten des Dreiecks die drei Blumenwiesen liegen, kennzeichnet der Mittelpunkt des Umkreises den perfekten Ort für den neuen Bienenstock.
Um dessen Lage zu bestimmen, nutzt man die Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks. Diese konstruiert man, indem man mittels Zirkel einen Kreisbogen um einen der beiden anliegenden Eckpunkte zeichnet. Der Kreisradius muss dabei größer als die Hälfte der Seitenlänge sein. Diesen Vorgang wiederholt man mit dem anderen an der Seite anliegenden Eckpunkt.
Durch die beiden Schnittpunkte der Kreisbogen verläuft die gesuchte Mittelsenkrechte der jeweiligen Seite. Genauso geht man dann bei den übrigen beiden Seiten vor.
Der Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten ist dann der Mittelpunkt des Umkreises und somit der gesuchte Ort für den Bienenstock. Den Umkreis des Dreiecks zeichnet man, indem man mittels Zirkel einen Kreis um diesen Mittelpunkt zeichnet. Der Radius entspricht dem Abstand zwischen dem Mittelpunkt und (jeweils) einem der Eckpunkte des Dreiecks.
-
Beschreibe, wie du bei der Konstruktion des Inkreises vorgehst.
TippsEs wird zunächst der Mittelpunkt des gesuchten Inkreises festgelegt.
Um den Inkreis zu zeichnen, genügt der Mittelpunkt nicht. Du musst noch den Radius festlegen.
Der Lotfußpunkt $L$ ist der Schnittpunkt des Lotes mit der Seite, auf welche das Lot gefällt wurde.
LösungBei der Konstruktion des gesuchten Inkreises gehen wir wie folgt vor:
Um den Mittelpunkt des Inkreises zu finden, konstruieren wir zunächst die Winkelhalbierende von zwei Winkeln des Dreiecks. Hierzu zeichnen wir mittels Zirkel einen Kreisbogen um den zugehörigen Eckpunkt. Dieser schneidet die beiden an diesem Eckpunkt anliegenden Seiten. Um diese Schnittpunkte zeichnen wir je einen Kreisbogen mit gleichem Radius, welche sich schneiden. Wir verbinden den Eckpunkt mit diesem Schnittpunkt und erhalten so die Winkelhalbierende. Genauso konstruieren wir auch die beiden übrigen Winkelhalbierenden.
Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt $I$ des gesuchten Inkreises.
Um den Radius des Inkreises festlegen zu können, müssen wir noch ein Lot durch den Mittelpunkt $I$ auf eine der drei Seiten fällen. Hierzu zeichnen wir mittels Zirkel einen Kreisbogen um den Mittelpunkt $I$, welcher die Seite, auf die wir das Lot fällen, zweimal schneidet. Anschließend zeichnen wir um diese beiden Schnittpunkte je einen Kreisbogen, welche sich schneiden. Durch diesen Schnittpunkt und den Mittelpunkt $I$ verläuft das Lot. Es entsteht ein weiterer Schnittpunkt dort, wo das Lot die Seite, auf die es gefällt wurde, kreuzt. Dieser Punkt $L$ wird auch Lotfußpunkt genannt.
Der Radius des Inkreises entspricht dem Abstand zwischen dem Mittelpunkt $I$ und dem Lotfußpunkt $L$.
Wir zeichnen um den Mittelpunkt $I$ einen Kreis mit dem Radius $\overline{IL}$ und erhalten so den gesuchten Inkreis des Dreiecks.
-
Erläutere die Eigenschaften von Inkreisen.
TippsWenn ein Kreis alle Eckpunkte eines Dreiecks berührt, so liegt das Dreieck in dem Kreis.
Beachte:
- Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks kann nur innerhalb des Dreiecks liegen.
- Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks kann auch außerhalb des Dreiecks liegen.
LösungJedes beliebige Dreieck besitzt sowohl einen Inkreis als auch einen Umkreis. Der Inkreis ist der größte Kreis, welcher komplett in das Dreieck passt. Der Umkreis ist der kleinste Kreis, welcher das Dreieck enthält.
Diese speziellen Kreise haben noch weitere Eigenschaften:
Inkreis
- Der Inkreis berührt alle Seiten des Dreiecks genau einmal.
- Der Mittelpunkt eines Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks.
- Der Mittelpunkt eines Inkreises kann nur innerhalb des Dreiecks liegen.
- Der Umkreis verläuft durch die drei Eckpunkte des Dreiecks.
- Der Mittelpunkt eines Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks.
- Der Mittelpunkt eines Umkreises kann auch außerhalb des Dreiecks liegen.
-
Ermittle, ob der Mittelpunkt eines Inkreises oder Umkreises beschrieben wird.
TippsDer Umkreis verläuft durch alle drei Eckpunkte eines Dreiecks.
Der Inkreis berührt jede Seite eines Dreiecks genau einmal.
Da alle drei Eckpunkte eines Dreiecks auf dem Umkreisrand liegen, haben diese die gleiche Entfernung zum Mittelpunkt des Umkreises.
LösungBevor wir uns Gedanken über die jeweiligen Lagen machen, betrachten wir die Eigenschaften von Inkreisen und Umkreisen.
Ein Umkreis verläuft durch alle drei Eckpunkte eines Dreiecks. Da also alle drei Eckpunkte eines Dreiecks auf dem Umkreisrand liegen, haben diese die gleiche Entfernung zum Mittelpunkt des Umkreises.
Ein Inkreis berührt jede Seite eines Dreiecks genau einmal. Somit hat jede Seite des Dreiecks den gleichen Abstand zum Mittelpunkt des Inkreises.
Nun können wir die Beispiele betrachten:
Beispiel 1
Der Bauingenieur plant ein neues Gebäude, das zu drei Bahnstationen die gleiche Entfernung haben soll.
Die drei Bahnstationen entsprechen den drei Eckpunkten eines Dreiecks. Die Eckpunkte haben zum Mittelpunkt des jeweiligen Umkreises die gleiche Entfernung. Somit ist die gesuchte Lage für das Gebäude der Mittelpunkt des jeweiligen Umkreises.
Beispiel 2
Ein Einkaufszentrum liegt so, dass die Entfernung zu drei Straßen, die ein Dreieck bilden, je gleich ist.
Die drei Straßen entsprechen den Seiten eines Dreiecks. Diese haben zum Mittelpunkt des jeweiligen Inkreises die gleiche Entfernung. Somit entspricht die Lage des Einkaufszentrums dem Mittelpunkt des jeweiligen Inkreises.
Beispiel 3
Drei Filialen eines Kaufhauses sollen sich ein Lagerhaus, das zu allen die gleiche Entfernung hat, teilen.
Die drei Filialen entsprechen den drei Eckpunkten eines Dreiecks. Die Eckpunkte haben zum Mittelpunkt des jeweiligen Umkreises die gleiche Entfernung. Somit ist die gesuchte Lage für das Lagerhaus der Mittelpunkt des jeweiligen Umkreises.
Beispiel 4
Drei Freunde versuchen, einen Treffpunkt auszumachen. Jeder von ihnen soll die gleiche Entfernung zurücklegen müssen.
Die aktuellen Orte der drei Freunde entsprechen den drei Eckpunkten eines Dreiecks. Die Eckpunkte haben zum Mittelpunkt des jeweiligen Umkreises die gleiche Entfernung. Somit ist die Lage des Treffpunkts der Mittelpunkt des jeweiligen Umkreises.
-
Gib die Eigenschaften von Umkreisen an.
TippsDer Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines stumpfwinkligen Dreiecks liegt außerhalb des Dreiecks.
Der Umkreis ist der kleinste Kreis, der das Dreieck enthält.
LösungEin Umkreis besitzt folgende Eigenschaften:
- Der Umkreis eines Dreiecks verläuft durch dessen drei Eckpunkte.
- Der Mittelpunkt eines Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des zugehörigen Dreiecks.
- Der Mittelpunkt eines Umkreises kann auch außerhalb des Dreiecks liegen. Dies ist bei stumpfwinkligen Dreiecken der Fall, da der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten außerhalb des Dreiecks liegt.
-
Entscheide, welche der gegebenen Aussagen zutrifft.
TippsEin gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten sowie drei gleich große Winkel. Zeichne doch die Mittelsenkrechten sowie Winkelhalbierenden eines gleichseitigen Dreiecks: Was passiert?
Die Mittelsenkrechten der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks schneiden sich im Mittelpunkt der Hypotenuse.
LösungDie Lage der Mittelpunkte von Umkreisen und Inkreisen ist für einige Spezialfälle wie folgt gegeben:
- stumpfwinkliges Dreieck: Der Umkreismittelpunkt liegt außerhalb des Dreiecks.
- rechtwinkliges Dreieck: Der Umkreismittelpunkt ist identisch mit dem Mittelpunkt der Hypotenuse.
- spitzwinkliges Dreieck: Der Umkreismittelpunkt liegt innerhalb des Dreiecks.
- gleichseitiges Dreieck: Der Umkreismittelpunkt und der Inkreismittelpunkt sind identisch.
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Es wurde sehr gut erklärt :)
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Das Video ist super erklärt !
Ich schreibe morgen eine Klasur, und ich bin super vorbereitet !
Ein großes Dankeschön an die Filmacher / Redaktion :)