Inkreis und Umkreis von Dreiecken – Überblick

Inkreis und Umkreis von Dreiecken – Überblick Übung

• Beschreibe das Vorgehen bei der Konstruktion.

  Tipps

  Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der durch alle Eckpunkte eines Dreiecks verläuft. Somit ist er auch der kleinste Kreis, der das Dreieck enthält.

  Der hier dargestellte gelbe Strahl ist die Winkelhalbierende des Winkels $\alpha$.

  Lösung

  Die Lage für den Bienenstock erhalten wir über den Mittelpunkt des Umkreises des gegebenen Dreiecks. Denn dieser Mittelpunkt hat zu allen drei Eckpunkten des Dreiecks die gleiche Entfernung. Da an den Eckpunkten des Dreiecks die drei Blumenwiesen liegen, kennzeichnet der Mittelpunkt des Umkreises den perfekten Ort für den neuen Bienenstock.

  Um dessen Lage zu bestimmen, nutzt man die Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks. Diese konstruiert man, indem man mittels Zirkel einen Kreisbogen um einen der beiden anliegenden Eckpunkte zeichnet. Der Kreisradius muss dabei größer als die Hälfte der Seitenlänge sein. Diesen Vorgang wiederholt man mit dem anderen an der Seite anliegenden Eckpunkt.

  Durch die beiden Schnittpunkte der Kreisbogen verläuft die gesuchte Mittelsenkrechte der jeweiligen Seite. Genauso geht man dann bei den übrigen beiden Seiten vor.

  Der Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten ist dann der Mittelpunkt des Umkreises und somit der gesuchte Ort für den Bienenstock. Den Umkreis des Dreiecks zeichnet man, indem man mittels Zirkel einen Kreis um diesen Mittelpunkt zeichnet. Der Radius entspricht dem Abstand zwischen dem Mittelpunkt und (jeweils) einem der Eckpunkte des Dreiecks.

• Beschreibe, wie du bei der Konstruktion des Inkreises vorgehst.

  Tipps

  Es wird zunächst der Mittelpunkt des gesuchten Inkreises festgelegt.

  Um den Inkreis zu zeichnen, genügt der Mittelpunkt nicht. Du musst noch den Radius festlegen.

  Der Lotfußpunkt $L$ ist der Schnittpunkt des Lotes mit der Seite, auf welche das Lot gefällt wurde.

  Lösung

  Bei der Konstruktion des gesuchten Inkreises gehen wir wie folgt vor:

  Um den Mittelpunkt des Inkreises zu finden, konstruieren wir zunächst die Winkelhalbierende von zwei Winkeln des Dreiecks. Hierzu zeichnen wir mittels Zirkel einen Kreisbogen um den zugehörigen Eckpunkt. Dieser schneidet die beiden an diesem Eckpunkt anliegenden Seiten. Um diese Schnittpunkte zeichnen wir je einen Kreisbogen mit gleichem Radius, welche sich schneiden. Wir verbinden den Eckpunkt mit diesem Schnittpunkt und erhalten so die Winkelhalbierende. Genauso konstruieren wir auch die beiden übrigen Winkelhalbierenden.

  Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt $I$ des gesuchten Inkreises.

  Um den Radius des Inkreises festlegen zu können, müssen wir noch ein Lot durch den Mittelpunkt $I$ auf eine der drei Seiten fällen. Hierzu zeichnen wir mittels Zirkel einen Kreisbogen um den Mittelpunkt $I$, welcher die Seite, auf die wir das Lot fällen, zweimal schneidet. Anschließend zeichnen wir um diese beiden Schnittpunkte je einen Kreisbogen, welche sich schneiden. Durch diesen Schnittpunkt und den Mittelpunkt $I$ verläuft das Lot. Es entsteht ein weiterer Schnittpunkt dort, wo das Lot die Seite, auf die es gefällt wurde, kreuzt. Dieser Punkt $L$ wird auch Lotfußpunkt genannt.

  Der Radius des Inkreises entspricht dem Abstand zwischen dem Mittelpunkt $I$ und dem Lotfußpunkt $L$.

  Wir zeichnen um den Mittelpunkt $I$ einen Kreis mit dem Radius $\overline{IL}$ und erhalten so den gesuchten Inkreis des Dreiecks.

• Erläutere die Eigenschaften von Inkreisen.

  Tipps

  Wenn ein Kreis alle Eckpunkte eines Dreiecks berührt, so liegt das Dreieck in dem Kreis.

  Beachte:

  • Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks kann nur innerhalb des Dreiecks liegen.
  • Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks kann auch außerhalb des Dreiecks liegen.

  Lösung

  Jedes beliebige Dreieck besitzt sowohl einen Inkreis als auch einen Umkreis. Der Inkreis ist der größte Kreis, welcher komplett in das Dreieck passt. Der Umkreis ist der kleinste Kreis, welcher das Dreieck enthält.

  Diese speziellen Kreise haben noch weitere Eigenschaften:

  Inkreis

  • Der Inkreis berührt alle Seiten des Dreiecks genau einmal.
  • Der Mittelpunkt eines Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks.
  • Der Mittelpunkt eines Inkreises kann nur innerhalb des Dreiecks liegen.

  Umkreis

  • Der Umkreis verläuft durch die drei Eckpunkte des Dreiecks.
  • Der Mittelpunkt eines Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks.
  • Der Mittelpunkt eines Umkreises kann auch außerhalb des Dreiecks liegen.

• Ermittle, ob der Mittelpunkt eines Inkreises oder Umkreises beschrieben wird.

  Tipps

  Der Umkreis verläuft durch alle drei Eckpunkte eines Dreiecks.

  Der Inkreis berührt jede Seite eines Dreiecks genau einmal.

  Da alle drei Eckpunkte eines Dreiecks auf dem Umkreisrand liegen, haben diese die gleiche Entfernung zum Mittelpunkt des Umkreises.

  Lösung

  Bevor wir uns Gedanken über die jeweiligen Lagen machen, betrachten wir die Eigenschaften von Inkreisen und Umkreisen.

  Ein Umkreis verläuft durch alle drei Eckpunkte eines Dreiecks. Da also alle drei Eckpunkte eines Dreiecks auf dem Umkreisrand liegen, haben diese die gleiche Entfernung zum Mittelpunkt des Umkreises.

  Ein Inkreis berührt jede Seite eines Dreiecks genau einmal. Somit hat jede Seite des Dreiecks den gleichen Abstand zum Mittelpunkt des Inkreises.

  Nun können wir die Beispiele betrachten:

  Beispiel 1

  Der Bauingenieur plant ein neues Gebäude, das zu drei Bahnstationen die gleiche Entfernung haben soll.

  Die drei Bahnstationen entsprechen den drei Eckpunkten eines Dreiecks. Die Eckpunkte haben zum Mittelpunkt des jeweiligen Umkreises die gleiche Entfernung. Somit ist die gesuchte Lage für das Gebäude der Mittelpunkt des jeweiligen Umkreises.

  Beispiel 2

  Ein Einkaufszentrum liegt so, dass die Entfernung zu drei Straßen, die ein Dreieck bilden, je gleich ist.

  Die drei Straßen entsprechen den Seiten eines Dreiecks. Diese haben zum Mittelpunkt des jeweiligen Inkreises die gleiche Entfernung. Somit entspricht die Lage des Einkaufszentrums dem Mittelpunkt des jeweiligen Inkreises.

  Beispiel 3

  Drei Filialen eines Kaufhauses sollen sich ein Lagerhaus, das zu allen die gleiche Entfernung hat, teilen.

  Die drei Filialen entsprechen den drei Eckpunkten eines Dreiecks. Die Eckpunkte haben zum Mittelpunkt des jeweiligen Umkreises die gleiche Entfernung. Somit ist die gesuchte Lage für das Lagerhaus der Mittelpunkt des jeweiligen Umkreises.

  Beispiel 4

  Drei Freunde versuchen, einen Treffpunkt auszumachen. Jeder von ihnen soll die gleiche Entfernung zurücklegen müssen.

  Die aktuellen Orte der drei Freunde entsprechen den drei Eckpunkten eines Dreiecks. Die Eckpunkte haben zum Mittelpunkt des jeweiligen Umkreises die gleiche Entfernung. Somit ist die Lage des Treffpunkts der Mittelpunkt des jeweiligen Umkreises.

• Gib die Eigenschaften von Umkreisen an.

  Tipps

  Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines stumpfwinkligen Dreiecks liegt außerhalb des Dreiecks.

  Der Umkreis ist der kleinste Kreis, der das Dreieck enthält.

  Lösung

  Ein Umkreis besitzt folgende Eigenschaften:

  • Der Umkreis eines Dreiecks verläuft durch dessen drei Eckpunkte.
  • Der Mittelpunkt eines Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des zugehörigen Dreiecks.
  • Der Mittelpunkt eines Umkreises kann auch außerhalb des Dreiecks liegen. Dies ist bei stumpfwinkligen Dreiecken der Fall, da der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten außerhalb des Dreiecks liegt.

• Entscheide, welche der gegebenen Aussagen zutrifft.

  Tipps

  Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten sowie drei gleich große Winkel. Zeichne doch die Mittelsenkrechten sowie Winkelhalbierenden eines gleichseitigen Dreiecks: Was passiert?

  Die Mittelsenkrechten der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks schneiden sich im Mittelpunkt der Hypotenuse.

  Lösung

  Die Lage der Mittelpunkte von Umkreisen und Inkreisen ist für einige Spezialfälle wie folgt gegeben:

  • stumpfwinkliges Dreieck: Der Umkreismittelpunkt liegt außerhalb des Dreiecks.
  • rechtwinkliges Dreieck: Der Umkreismittelpunkt ist identisch mit dem Mittelpunkt der Hypotenuse.
  • spitzwinkliges Dreieck: Der Umkreismittelpunkt liegt innerhalb des Dreiecks.
  • gleichseitiges Dreieck: Der Umkreismittelpunkt und der Inkreismittelpunkt sind identisch.