Dreiecke konstruieren – Kongruenzsatz SsW

Dreiecke konstruieren – Kongruenzsatz SsW Übung

• Beschreibe die Konstruktion eines Dreiecks, bei dem zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt sind.

  Tipps

  Da in den meisten Fällen die Größe des Papiers für die Abbildung der tatsächlichen Längen nicht ausreicht, legt man sich zunächst einen Maßstab fest, wie zum Beispiel: $1:100$

  Das bedeutet, dass $1\text{cm}$ auf dem Papier $100\text{cm}=1\text{m}$ in Wirklichkeit entspricht.

  Du zeichnest die Seiten des Dreiecks in folgender Reihenfolge:

  • Boden
  • Leiter
  • Rutsche

  Die Länge für den Boden ist nicht bekannt, daher wird zunächst nur ein Strahl und keine Strecke gezeichnet. Der Endpunkt ergibt sich dann im letzten Konstruktionsschritt.

  Lösung

  Ein Dreieck setzt sich aus drei Seiten und drei von diesen eingeschlossenen Winkeln zusammen. Manchmal reichen schon drei von diesen Größen aus, um ein Dreieck zu konstruieren. Hier betrachten wir den Fall, dass zwei Seiten und ein, von diesen beiden nicht eingeschlossener Winkel, bekannt sind. Dabei unterscheiden wir Angaben, mit denen ein Dreieck eindeutig und nicht eindeutig konstruierbar ist. Für diese gilt:

  • Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel genügen nicht für die Konstruktion eines eindeutigen Dreiecks, wenn die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, die kürzere der beiden gegebenen Seiten ist.
  • Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener stumpfer oder rechter Winkel genügen für die Konstruktion eines eindeutigen Dreiecks, wenn die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, die längere der beiden gegebenen Seiten ist.

  Bei der Konstruktion eines solchen Dreiecks gehen wir wie folgt vor:

  1. Zunächst legen wir einen Maßstab für die Zeichnung fest.
  2. Dann zeichnen wir ausgehend von einem Eckpunkt des Dreiecks, zum Beispiel $A$, einen Strahl für den Boden.
  3. Im Punkt $A$ tragen wir nun mit Hilfe des Geodreiecks den gegebenen Winkel ab. Die beiden von $A$ ausgehenden Strahlen bilden die Schenkel, die den gegebenen Winkel einschließen.
  4. An diesem zweiten Strahl tragen wir nun die gegebene Leiterlänge ab, sodass sich eine Strecke ergibt. Der Endpunkt dieser Strecke liefert den nächsten Eckpunkt, zum Beispiel $B$, des Dreiecks.
  5. Jetzt stellen wir den Zirkel auf die Länge der Rutsche ein und zeichnen einen Kreis mit diesem Radius um den Punkt $B$. Schneidet dieser Kreis den ersten Strahl, liefert er den dritten Eckpunkt des Dreiecks.
  6. Existiert nur ein Schnittpunkt, so handelt es sich bei den gegebenen Seiten und Winkel um ein eindeutiges Dreieck. Liegen zwei Schnittpunkte vor, so ist das Dreieck mit den Angaben nicht eindeutig konstruierbar. Gibt es keinen Schnittpunkt, ist keine Konstruktion eines Dreiecks möglich.

• Bestimme, mit welchen der gegebenen Größen ein eindeutiges Dreieck konstruierbar ist.

  Tipps

  Die Angaben liefern genau dann ein eindeutiges Dreieck, wenn mit ihnen das Dreieck nur auf eine Art und Weise gezeichnet werden kann.

  Ein Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben sind, bei dem die dem Winkel gegenüberliegende Seite die kürzere der beiden ist. Dies gilt sowohl für spitze Winkel als auch für stumpfe und rechte Winkel.

  Lösung

  Merke dir:

  • Ein Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben sind, bei dem die dem Winkel gegenüberliegende Seite die kürzere der beiden ist. Dies gilt sowohl für spitze Winkel als auch für stumpfe und rechte Winkel.
  • Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben sind und die dem Winkel gegenüberliegende Seite die längere der beiden ist.

  Demnach können wir die Angaben wie folgt eindeutigen und nicht eindeutigen Dreiecken zuordnen:

  eindeutig konstruierbare Dreiecke

  • $a=10\ \text{m}; ~ c=5\ \text{m}; ~ \alpha = 120^\circ$: Der Winkel $\alpha$ liegt gegenüber der Seite $a$, welche die längere der beiden Seiten ist. Zudem ist $\alpha$ ein stumpfer Winkel.
  • $a=10\ \text{m}; ~ c=5\ \text{m}; ~ \alpha = 90^\circ$: Wieder ist $a$ die längere der beiden Seiten. $\alpha$ entspricht einem rechten Winkel.

  nicht eindeutig konstruierbare Dreiecke

  • $a=4\ \text{m}; ~ c=5\ \text{m}; ~ \alpha = 45^\circ$: Hier ist $a$ die kürzere der beiden Seiten und $\alpha$ ein spitzer Winkel.
  • $a=4\ \text{m}; ~ c=5\ \text{m}; ~ \alpha = 120^\circ$: Wieder ist $a$ die kürzere der beiden Seiten und $\alpha$ entspricht einem stumpfen Winkel. Hier entsteht kein Dreieck.
  • $a=4\ \text{m}; ~ c=5\ \text{m}; ~ \alpha = 90^\circ$: Auch hier ist $a$ die kürzere der beiden Seiten und $\alpha$ entspricht einem rechten Winkel. Hier entsteht gar kein Dreieck.

• Entscheide, mit welchen Angaben das betrachtete Dreieck eindeutig konstruierbar ist.

  Tipps

  Ein Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben sind und die dem Winkel gegenüberliegende Seite die kürzere ist.

  Lösung

  Ein Dreieck, von dem zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt sind, ist dann eindeutig konstruierbar, wenn die dem Winkel gegenüberliegende Seite länger ist. Das ist hier nur für folgende Kombination der Fall:

  • $a$, $b$ und $\beta$
  • $b$, $c$ und $\beta$

  Bei den übrigen drei Kombinationen ist die dem Winkel gegenüberliegende Seite immer die kürzere. Damit ist das Dreieck mit folgenden Kombinationen nicht eindeutig konstruierbar:

  • $a$, $c$ und $\alpha$
  • $b$, $c$ und $\gamma$

• Ermittle die Kombinationen, die die eindeutige Konstruktion des jeweiligen Dreiecks ermöglichen.

  Tipps

  Beachte, dass nur dann eine eindeutige Konstruktion möglich ist, wenn die dem Winkel gegenüberliegende Seite länger ist als die anliegende Seite. Dies gilt für spitze, stumpfe und rechte Winkel.

  Hier sind zwei Kombinationen, die für eine eindeutige Konstruktion nicht genügen:

  • $a$, $b$ und $\alpha$

  $\alpha$ ist hier ein spitzer Winkel und liegt der Kürzeren der beiden Seiten gegenüber.

  • $b$, $c$ und $\beta$

  $\beta$ ist hier ein spitzer Winkel und liegt der Kürzeren der beiden Seiten gegenüber.

  Der Winkel darf nicht von den beiden Seiten eingeschlossen sein.

  Lösung

  Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben sind und die dem Winkel gegenüberliegende Seite die längere ist. Ausgehend von dieser Erklärung erhalten wir die folgenden Kombinationen, die eine eindeutige Konstruktion des Dreiecks ermöglichen:

  • $a$, $b$ und $\beta$
  • $a$, $c$ und $\gamma$
  • $b$, $c$ und $\gamma$

  Die Reihenfolge der drei Größen einer Kombination spielt keine Rolle. Du kannst also statt $a$, $b$ und $\beta$ auch $b$, $\beta$ und $a$ angeben. Für die Konstruktion ist das egal.

• Gib die Voraussetzungen für eindeutig konstruierbare Dreiecke an.

  Tipps

  Das hier abgebildete Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn die Seiten $b$, $c$ und der rechte Winkel gegeben sind. Sind die Seiten $a$, $b$ und der Winkel $\alpha$ gegeben, so ist das Dreieck nicht eindeutig konstruierbar.

  Lösung

  Ein Dreieck besitzt drei Seiten und drei Winkel und oftmals genügt es nur drei dieser Größen zu kennen, um ein Dreieck eindeutig konstruieren zu können. Kennst du von einem Dreieck zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel, so ist dieses genau dann eindeutig konstruierbar, wenn es nur auf eine Art und Weise gezeichnet werden kann. Generell ist ein Dreieck mit der Angabe von zwei Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel genau dann eindeutig konstruierbar, wenn die dem Winkel gegenüberliegende Seite die längere der beiden Seiten ist. Demnach kannst du den Lückentext wie folgt vervollständigen:

  • Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener stumpfer oder rechter Winkel gegeben sind und die dem Winkel gegenüberliegende Seite die längere der beiden ist.
  • Ein Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar, wenn zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener spitzer Winkel gegeben sind und die dem Winkel gegenüberliegende Seite die kürzere der beiden ist.

• Bestimme die fehlende Seite des Dreiecks, indem du dieses konstruierst.

  Tipps

  Bekannt sind die Größen $b$, $c$ und $\gamma$ des Dreiecks.

  Hier ist eine eindeutige Konstruktion möglich. Lege zunächst einen Maßstab fest, z. B. könnte $1\ \text{cm}$ einem Kilometer entsprechen. Zeichne dann einen Strahl für die Seite $a$ ausgehend von dem Eckpunkt $C$.

  Im nächsten Schritt trägst du in $C$ den Winkel $\gamma=120^\circ$ ab und zeichnest die Seite $b$.

  Mit einem Zirkel zeichnest du um den Punkt $A$ einen Kreis mit dem Radius $c$. Dieser schneidet den Strahl einmal, nämlich im Punkt $B$. Nun kannst du die Strecke $\overline{BC}$ messen.

  Lösung

  Mit den Größen $b=5\ \text{km}$, $c=7\ \text{km}$ und $\gamma=120^\circ$ können wir das abgebildete stumpfwinklige Dreieck eindeutig konstruieren, da die dem Winkel $\gamma$ gegenüberliegende Seite $c$ länger ist als $b$. Bei der Konstruktion gehen wir wie folgt vor:

  • Wir legen zunächst einen Maßstab fest. Hier bietet es sich an für einen Kilometer einen Zentimeter anzunehmen.
  • Jetzt zeichnen wir einen Strahl für die Seite $a$ ausgehend von dem Eckpunkt $C$, denn in diesem Eckpunkt kennen wir den Winkel $\gamma$.
  • Nun tragen wir in $C$ den Winkel $\gamma=120^\circ$ ab und zeichnen die Seite $b=5\ \text{cm}$. So erhalten wir nun den zweiten Eckpunkt des Dreiecks, nämlich $A$.
  • Mit einem Zirkel zeichnen wir um den Punkt $A$ einen Kreis mit dem Radius $c=7\ \text{cm}$. Dieser schneidet den Strahl einmal, nämlich im Punkt $B$.
  • Wir messen die Strecke $\overline{BC}$, also die gesuchte Seite $a$. Diese hat eine Länge von $3\ \text{cm}$. Ausgehend von unserem Maßstab, erhalten wir also eine Entfernung von $3$ Kilometern.