Geradengleichungen ermitteln

Geradengleichungen ermitteln Übung

• Gib die Gleichung der Geraden an.

  Tipps

  Sind zwei Punkte $P_1(x_1 \vert y_1)$ und $P_2(x_2 \vert y_2)$ gegeben, kannst du zunächst die Steigung $m$ der Geraden durch diese Punkte mit der Steigungsformel

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  bestimmen.

  Wenn du die Steigung bestimmt hast, kannst du die Steigung und einen beliebigen Punkt auf der Geraden in die allgemeine Geradengleichung einsetzten:

  $y=mx+b$

  Dann kannst du diese Gleichung nach der letzten Unbekannten $b$, also dem $y$-Achsenabschnitt, auflösen.

  Lösung

  Die Rechnung wird wie folgt durchgeführt:

  Zuerst verwendet er die Steigungsformel: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Sind zwei Punkte $P_1(x_1 \vert y_1)$ und $P_2(x_2 \vert y_2)$ gegeben, kannst du die Steigung $m$ der Geraden durch diese Punkte mit der Steigungsformel $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ bestimmen.

  Damit erhält er folgende Steigung: $m=\dfrac{8-3}{12-2}=\dfrac{1}{2}$

  Die Steigung und den Punkt $P$ setzt er in folgende allgemeine Geradengleichung ein: $y=mx+b$

  Somit erhält er folgende Gleichung: $3=\dfrac{1}{2} \cdot 2+b$

  Wenn du die Steigung bestimmt hast, kannst du die Steigung und einen beliebigen Punkt auf der Geraden in die allgemeine Geradengleichung einsetzten. Dann kannst du diese Gleichung nach der letzten Unbekannten $b$ auflösen. Damit hast du beide Konstanten $m$ und $b$ der Geradengleichung bestimmt und kannst diese angeben.

  Nach dem Umstellen der Gleichung erhält er folgenden $y$-Achsenabschnitt: $b=2$

  Die Geradengleichung lautet also: $y=\dfrac{1}{2}x+2$

• Bestimme eine parallele und senkrechte Gerade.

  Tipps

  Immer wenn in einer Gleichung nur noch eine unbekannte Variable steht, kannst du die Unbekannte durch Einsetzten der bekannten Variablen bestimmen.

  Die Normalform einer Geradengleichung lautet:

  $y=mx+b$

  Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Lösung

  Den Lückentext kannst du wie folgt vervollständigen:

  Parallele Geraden

  Parallele Geraden haben die gleiche Steigung $m$. Um eine Parallele zur Geraden $y=\frac{1}{2}x+2$ durch einen gegebenen Punkt zu ermitteln, muss Palmer also nur noch den $y$-Achsenabschnitt $b$ der parallelen Geraden bestimmen. Diesen kann er bestimmen, indem er den Punkt $P_2(2 \vert 4)$ und die Steigung $m=\frac{1}{2}$ in die allgemeine Geradengleichung einsetzt.

  • Immer wenn in einer Gleichung nur noch eine unbekannte Variable steht, kannst du die Unbekannte durch Einsetzten der bekannten Variablen bestimmen. Hier erhältst du durch Einsetzen und Umstellen $b=3$.

  Die Geradengleichung lautet also: $y=\frac{1}{2}x+3$

  Senkrechte Geraden

  Die Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier senkrechter Geraden erfüllen folgende Gleichung: $m_1 \cdot m_2=-1$

  • Wenn du eine Gerade gegeben hast, kannst du mit dieser Gleichung die Steigung einer dazu senkrechten Geraden wie folgt bestimmen:

  $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{\frac 12}=-2$

  Den $y$-Achsenabschnitt bestimmt er durch Einsetzen der Steigung $m_2$ und des Punktes $B(6 \vert 5)$.

  • Auch hier kannst du die letzte Unbekannte durch Einsetzen der bekannten Größen bestimmen. Damit erhältst du $b=17$.

  Die Geradengleichung lautet also: $y=-2x+17$

• Erschließe die Eigenschaften der Geraden.

  Tipps

  Die Gerade durch zwei Punkte kannst du bestimmen, indem du mithilfe der Steigungsformel die Steigung wie folgt berechnest:

  • $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Anschließend kannst du die Steigung und einen der beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung einsetzen und den $y$-Achsenabschnitt berechnen.

  Die Steigungen senkrechter Geraden gehorchen der Gleichung:

  • $m_1 \cdot m_2=-1$

  Lösung

  Gerade durch $A(3 \vert 3)$ und $B(4 \vert 5)$

  Die Gerade durch die Punkte $A(3 \vert 3)$ und $B(4 \vert 5)$ kannst du bestimmen, indem du mithilfe der Steigungsformel zunächst die Steigung berechnest und anschließend die Steigung sowie einen der beiden Punkte in die allgemeine Geradengleichung einsetzt. Dann erhältst du:
  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{5-3}{4-3}=\frac 21=2$
  Dann folgt:
  $3=2\cdot 3+b ~ \rightarrow ~ b=-3$
  Die Geradengleichung lautet also:
  $y=2x-3$

  Senkrecht aufeinander stehende Geraden

  Die Steigungen senkrechter Geraden gehorchen der Gleichung $m_1 \cdot m_2=-1$. Diese Eigenschaft trifft auf folgende Geraden zu:
  $y=3x+5$
  $y=-\frac{1}{3}x-3$

  Parallele Geraden

  Alle parallelen Geraden haben die gleiche Steigung. Diese Eigenschaft trifft auf folgende Geraden zu:
  $y=8x-\frac{1}{2}$
  $y=8x+6$
  $y=8x-6$

• Ermittle die Geradengleichung.

  Tipps

  Die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte kannst du mit der Steigungsformel bestimmen:

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Parallele Geraden haben die gleiche Steigung.

  Lösung

  Geradengleichung 1

  Die Gerade, die durch die Punkte $A(0\vert -1)$ und $B(1\vert 2)$ verläuft, kannst du bestimmen, indem du die Steigung mit der Steigungsformel wie folgt bestimmst:

  • $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-(-1)}{1-0}= 3$

  Anschließend kannst du die Steigung und einen der bekannten Punkte in die allgemeine Geradengleichung einsetzen:

  • $-1=3 \cdot 0 +b ~\Rightarrow b=-1$

  Die Geradengleichung durch die Punkte $A(0\vert -1)$ und $B(1\vert 2)$ lautet also:

  • $y=3x-1$

  Geradengleichung 2

  Die zu $y=4x-3$ senkrechte Gerade durch den Punkt $A(0\vert 1)$ bestimmst du, indem du zunächst die Steigung ermittelst:

  • $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{4}$

  Nun setzt du den Punkt $A$ und die Steigung $m_2$ in die allgemeine Geradengleichung ein:

  • $1=-\frac 14\cdot 0+b ~\Rightarrow b=1$

  Die Geradengleichung lautet also:

  • $y=-\frac 14x+1$

  Geradengleichung 3

  Wir suchen die Gerade, welche parallel zu $y=5x-1$ durch den Punkt $A(0\vert -3)$ verläuft. Parallele Geraden haben die gleiche Steigung. Somit können wir in die allgemeine Geradengleichung die Steigung $m=5$ und den Punkt $A$ einsetzen und den $y$-Achsenabschnitt berechnen:

  • $-3=5\cdot 0+b ~\Rightarrow b=-3$

  Die Geradengleichung lautet also:

  • $y=5x+3$

  Geradengleichung 4

  Wir suchen die Gerade, welche durch die Punkte $A(-1\vert -4)$ und $B(1\vert 10)$ verläuft. Hier gehen wir genauso vor, wie bei der ersten Geradengleichung. Wir berechnen mit der Steigungsformel zunächst die Steigung:

  • $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{10-(-4)}{1-(-1)}= \frac{14}{2}=7$

  Anschließend kannst du die Steigung und einen der bekannten Punkte in die allgemeine Geradengleichung einsetzen:

  • $-4=7 \cdot (-1) +b ~\Rightarrow b=3$

  Die Geradengleichung durch die Punkte $A(-1\vert -4)$ und $B(1\vert 10)$ lautet also:

  • $y=7x+3$

• Bestimme die korrekten Aussagen zur Bestimmung von Geradengleichungen.

  Tipps

  Parallele Geraden haben an jeder Stelle den gleichen Abstand zueinander.

  Die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte kannst du mithilfe einer Formel bestimmen. Danach kannst du einen der beiden Punkte sowie die ermittelte Steigung in die allgemeine Geradengleichung einsetzen, um den $y$-Achsenabschnitt zu bestimmen.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Die Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier senkrechter Geraden erfüllen die Gleichung: $m_1 \cdot m_2=1$“

  • Die Steigungen erfüllen die Gleichung $m_1 \cdot m_2=-1$

  „Die Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier paralleler Geraden erfüllen die Gleichung: $m_1 \cdot m_2=-1$“

  • Die Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier paralleler Geraden sind gleich: $m_1=m_2$

  Diese Aussagen sind korrekt:

  „Du kannst eine Gerade durch zwei gegebene Punkte $P$ und $U$ im Koordinatensystem aufstellen.“

  • Die Steigung $m$ einer Geraden durch zwei Punkte kannst du mithilfe der Steigungsformel bestimmen. Danach kannst du einen der beiden Punkte sowie die ermittelte Steigung in die allgemeine Geradengleichung $y=mx+b$ einsetzen, um den $y$-Achsenabschnitt $b$ zu bestimmen.

  „Ist die Steigung $m$ und ein Punkt $P(x \vert y)$ einer Geraden gegeben, kannst du durch Einsetzen in die allgemeine Geradengleichung $y=mx+b$ den $y$-Achsenabschnitt bestimmen.“

  „Ist eine Gerade in Normalform angegeben, steht sie in der Form: $y=mx+b$“

• Erarbeite die Lagebeziehungen von Geraden.

  Tipps

  So sehen die drei Geraden in einem Koordinatensystem aus.

  Lösung

  So kannst du den Text vervollständigen:

  Um eine Gerade $g_1$ durch die Punkte $A(0 \vert 3)$ und $B(1 \vert 0)$ zu bestimmen, wenden wir die Steigungsformel an. Dann erhalten wir:

  $m=-3$.

  Den $y$-Achsenabschnitt erhalten wir durch Einsetzen des Punktes $B$ in die allgemeine Geradengleichung $y=m x+c$: (...)

  Damit erhalten wir: $c=3$.

  Die Geradengleichung lautet also:

  $y=-3x+3$

  • Wie gewohnt bestimmen wir eine Geradengleichung aus zwei Punkten $A$ und $B$.

  Danach bestimmen wir eine Gerade $g_2$, die senkrecht zur Geraden $g_1$ ist und durch den Punkt $C(0 \vert 5)$ verläuft. Dazu verwenden wird die Gleichung für die Steigungen senkrechter Geraden:

  $m_1 \cdot m_2=-1$

  Mit $m_1=-3$ erhalten wir:

  $m_2=${$\frac{1}{3}$}.

  Den $y$-Achsenabschnitt erhalten wir wieder durch einsetzen:

  Das ergibt: $c=5$.

  Also lautete die Geradengleichung für $g_2$:

  $y=\frac{1}{3}x+5$

  Zuletzt bestimmen wir eine weitere Gerade $g_3$ durch den Punkt $C(0 \vert 5)$, die senkrecht zur Geraden $g_2$ verläuft. Dazu gehen wir wie gewohnt vor:

  Hier lautet die Gleichung für die Steigung senkrechter Geraden:

  $m_2 \cdot m_3=-1$

  Damit ergibt sich:

  $m_3=3$.

  Der $y$-Achsenabschnitt ergibt:

  $c=5$.

  Somit erhalten wir die Geradengleichung $g_3$:

  $y=3x+5$

  • Auch das Vorgehen zum Bestimmen senkrechter Geraden ist bekannt.

  Betrachten wir die Steigungen der Geraden $g_3$ und $g_1$ fällt uns auf: Die Geraden sind parallel.

  Das liegt daran, dass die Gerade $g_2$ senkrecht zu $g_1$ und $g_3$ ist. Dann müssen die beiden Geraden parallel sein.