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Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Punkt (Übungsvideo)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Punkt (Übungsvideo)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Punkt (Übungsvideo)

Gesucht ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion, deren Graph durch zwei beliebig vorgegebene Punkte (mit unterschiedlichen x-Koordinaten) verläuft. Die Steigung m der gesuchten Funktion kannst du stumpf mit einer Formel ausrechnen, die im Video gezeigt wird. Den y-Achsenabschnitt b erhältst du, wenn du m und die Koordinaten eines gegebenen Punktes in die Gleichung y=mx+b einsetzt.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Gut erklärt

    Von Itslearning Nutzer 2535 45249, vor 9 Monaten
  2. Wirklich hilfreich! Hatte das Verfahren in der Schule nicht so wirklich verstanden,aber jetzt kann ich die Hausaufgaben lösen!

    Von Rechenschieber, vor fast 5 Jahren

Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Punkt (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Punkt (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie du eine lineare Funktionsgleichung bestimmen kannst.

    Tipps

    Die Steigung kann mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmt werden.

    Es gilt, dass die Steigung das Verhältnis der Gegenkathete zu der Ankathete ist.

    In dem obigen Beispiel ist $m=\frac31=3$.

    Somit erhalten wir bereits die Funktionsgleichung $y=3x+b$. Der y-Achsenabschnitt ist noch unbekannt.

    Wenn man zum Beispiel $Q(4|5)$ in die Gleichung einsetzt, erhält man

    $5=3\cdot 4+b$.

    Die komplette Gleichung für das obige Beispiel lautet

    $y=3x-7$.

    Lösung

    Für eine lineare Funktionsgleichung $y=m\cdot x+b$ benötigt man die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $b$.

    Die Steigung $m$ erhält man, indem man die y-Differenz zweier Punkte durch die x-Differenz der beiden Punkte dividiert.

    Wenn $m$ bekannt ist, kann man die Koordinaten eines der beiden Punkte ($P_1$ oder $P_2$ - welcher, ist egal) in die Gleichung $y=m\cdot x+b$ einsetzen, um den y-Achsenabschnitt $b$ zu ermitteln.

  • Ermittle die lineare Funktionsgleichung der Geraden durch die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$.

    Tipps

    Bestimme zunächst die Steigung $m$ mithilfe der Steigungsformel.

    Setze die dann bekannte Steigung in die Gleichung $y=m\cdot x+b$ ein.

    Wenn du die Koordinaten eines der beiden Punkte ebenfalls in die Gleichung einsetzt, ist nur noch $b$ unbekannt.

    Forme die so erhaltene Gleichung nach $b$ um.

    Lösung

    Es soll die Funktionsgleichung der linearen Funktion ermittelt werden, die durch die beiden Punkte $P_1$ und $P_2$ gegeben ist.

    Zunächst wird die Steigung mit der Formel

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    bestimmt, also

    $m=\frac{-3-(-1)}{-2-\frac32}=\frac{-2}{-\frac72}=\frac47$.

    Diese Steigung sowie die Koordinaten eines der beiden Punkte (zum Beispiel $P_2$) werden nun in die lineare Funktionsgleichung $y=m\cdot x+b$ eingesetzt:

    $-3=\frac47\cdot (-2)+b$,

    also

    $-\frac{21}7=-\frac87+b$.

    Addition von $\frac87$ führt zu $b=-\frac{13}7$ und somit zu der Funktionsgleichung

    $y=\frac47\cdot x-\frac{13}7$.

    Hier soll noch gezeigt werden, dass die Wahl des Punktes für die Funktionsgleichung nicht von Bedeutung ist. Hierfür wird der gesamte letzte Teil der Aufgabe nochmal mit dem Punkt $P_1$ durchgeführt:

    $-1=\frac47\cdot \frac32+b$,

    also

    $-\frac{7}7=\frac67+b$.

    Subtraktion von $\frac67$ führt zu $b=-\frac{13}7$ und somit zu der Funktionsgleichung

    $y=\frac47\cdot x-\frac{13}7$.

    Dies ist (natürlich!) die gleiche Funktionsgleichung wie zuvor.

  • Bestimme jeweils die Steigung.

    Tipps

    Beachte, dass du sowohl im Zähler als auch im Nenner die gleiche Reihenfolge verwenden musst.

    Hier siehst du ein Beispiel zur Bestimmung der Steigung bei den beiden Punkten $P(3|3)$ sowie $Q(4|5)$.

    Achte auf die Koordinaten: Diese sind bei allen Punkten recht ähnlich, es kommen jedoch vier verschiedene Steigungen vor.

    Lösung

    Um die lineare Funktionsgleichung $y=m\cdot x+b$, die durch zwei Punkte $P_1(x_1|y_1)$ sowie $P_2(x_2|y_2)$ gegeben ist, zu bestimmen, muss zunächst die Steigung $m$ bestimmt werden.

    Hierfür wird die Differenz der y-Koordinaten der beiden Punkte durch die Differenz der x-Koordinaten dividiert. Dabei ist die Reihenfolge von Subtrahend und Minuend nicht wichtig. Wichtig ist nur, dass die Reihenfolgen sowohl im Zähler als auch im Nenner übereinstimmen. Also stehen entweder die Koordinaten von $P_1$ oder die Koordinaten von $P_2$ an jeweils erster Stelle im Zähler und im Nenner. In der Abbildung stehen mit $y_2$ und $x_2$ die Koordinaten von $P_2$ an erster Stelle.

    1. $(1|3)$, $(4|4)$ führt zu $m=\frac{4-3}{4-1}=\frac13$
    2. $(3|1)$, $(4|4)$ führt zu $m=\frac{4-1}{4-3}=\frac31=3$
    3. $(4|3)$, $(1|4)$ führt zu $m=\frac{4-3}{1-4}=-\frac13$
    4. $(4|1)$, $(3|4)$ führt zu $m=\frac{4-1}{3-4}=-\frac31=-3$
  • Leite die lineare Funktionsgleichung mit den Punkten $P_1(-2|4)$ und $P_2(5|-3)$ her.

    Tipps

    Für eine lineare Funktionsgleichung $y=m\cdot x+b$ benötigt man die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $b$.

    Zunächst wird die Steigung $m$ bestimmt:

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Wenn $m$ bekannt ist, kann man die Koordinaten eines der beiden Punkte ($P_1$ oder $P_2$ - welcher, ist egal) in die Gleichung $y=m\cdot x+b$ einsetzen, um den y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

    Die erste Koordinate eines Punktes ist die x- und die zweite die y-Koordinate.

    Lösung

    Zunächst wird die Steigung mit der Formel

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    bestimmt:

    $m=\frac{-3-4}{5-(-2)}=\frac{-7}{7}=-1$.

    Die lineare Funktionsgleichung lautet somit $y=-x+b$.

    Um den y-Achsenabschnitt $b$ zu ermitteln, werden die Koordinaten von einem der beiden Punkte (Es ist tatsächlich egal, welcher!) in diese Gleichung eingesetzt.

    Führen wir dies einmal mit $P_1$ durch:

    $4=-(-2)+b$.

    Subtraktion von $2$ führt zu $b=2$. Die Funktionsgleichung lautet damit: $y=-x+2$.

    Ob richtig gerechnet wurde, kann man mit Hilfe der beiden Punkte überprüfen:

    • $P_1$: -(-2)+2=2+2=4$ $~~~~~$√
    • $P_2$: $-5+2=-3$ $~~~~~$√

  • Gib die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion an.

    Tipps

    Eine quadratische Funktionsgleichung ist zum Beispiel $y=x^2$.

    Diese ist an dem höchsten Exponenten $2$ zu erkennen.

    Wenn du in die Funktionsgleichung $x=0$ einsetzt, erhältst du den y-Achsenabschnitt $b$.

    $x=0$ entspricht der y-Achse.

    Lösung

    Hier ist die allgemeine Form einer linearen Funktionsgleichung zu sehen.

    Der höchste Exponent von $x$ ist dabei $1$, diesen schreibt man im Allgemeinen nicht hin, weil ja $x^1=x$ ist. Wäre der höchste Exponent $2$, würde eine quadratische Funktionsgleichung vorliegen.

    Was ist die Bedeutung von $m$ und $b$?

    • $m$ ist die Steigung und
    • $b$ der y-Achsenabschnitt. Dies kann man zum Beispiel daran sehen, dass $b$ der Funktionswert zu $x=0$ ist: $y = m \cdot 0 + b$ ist identisch mit $y=b$.

  • Prüfe, welche vier Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

    Tipps

    Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade. Es gibt allerdings mehr als zwei Punkte, die auf einer Geraden liegen: Es gibt unendlich viele!

    Du könntest zu jeweils zwei Punkten die Steigung bestimmen. Bei den Punkten, die auf einer Geraden liegen, muss die Steigung übereinstimmen.

    Die lineare Funktionsgleichung lautet $y=3x-4$.

    Lösung

    Es sind insgesamt $6$ Punkte gegeben. Diese könnten alle auf einer Geraden liegen. Wenn dies so wäre, müsste die Steigung, welche sich durch jeweils $2$ Punkte ergibt, immer gleich sein.

    Dies wird an zwei Punktepaaren überprüft:

    • $(1|-1)$ sowie $(2|3)$ führt zu $m=\frac{3-(-1)}{2-1}=4$
    • $(1|-1)$ sowie $(3|5)$ führt zu $m=\frac{5-(-1)}{3-1}=3$
    Die Steigungen stimmen nicht überein. Es liegen also sicher nicht alle Punkte auf einer Geraden.

    Nun können die beiden Geradengleichungen zu den obigen Punktepaaren bestimmt werden:

    • $(1|-1)$ sowie $(2|3)$ mit $m=4$ führt zu der Gleichung $3=4\cdot 2+b$ und somit zu $b=-5$. Die Funktionsgleichung lautet dann $y=4x-5$.
    • $(1|-1)$ sowie $(3|5)$ mit $m=3$ führt zu der Gleichung $5=3\cdot 3+b$ und somit zu $b=-4$. Hier lautet die Funktionsgleichung $y=3x-4$.
    Die verbleibenden Punkte können nun daraufhin überprüft werden, ob sie auf einer der beiden Geraden liegen:

    Untersuchen wir die Geradengleichung $y=4x-5$:

    • $(-1|-7)$ $\rightarrow$ $-7=4\cdot (-1)-5$. Dies ist nicht richtig.
    • $(2|2)$ $\rightarrow$ $2=4\cdot 2-5$. Dies ist ebenfalls nicht richtig.
    • $(1|1)$ $\rightarrow$ $1=4\cdot 1-5$. Auch dies ist nicht richtig.
    Also liegen auf der zugehörigen Geraden nur zwei Punkte.

    Eignet sich die Funktionsgleichung $y=3x-4$ besser?

    • $(-1|-7)$ $\rightarrow$ $-7=3\cdot (-1)-4$ $~~~~~$✓
    • $(2|2)$ $\rightarrow$ $2=3\cdot 2-4$ $~~~~~$✓
    • $(1|1)$ $\rightarrow$ $1=3\cdot 1-4$. Dies ist nicht richtig.
    Also liegen die beiden oberen Punkte sowie die Ausgangspunkte, mit denen die Gleichung hergeleitet wurde, auf der zugehörigen Geraden.

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