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Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Punkt (Erklärvideo) 06:03 min

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Transkript Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Punkt (Erklärvideo)

Hallo, wenn du zwei Punkte gegeben hast, kannst du daraus eine lineare Funktion erstellen. Und wie das geht, schauen wir uns jetzt einmal an zwei Beispielen an. Aber zunächst überlegen wir uns, worum es genau geht. Also du hast zwei Punkte mit unterschiedlichen x-Koordinaten im Koordinatensystem gegeben. Durch diese Punkte geht genau eine Gerade. Diese Gerade ist Graph einer linearen Funktion. Und eine lineare Funktion hat eine Gleichung der Form y=m×x+b. Und so eine Gleichung suchen wir jetzt. Um dem Video folgen zu können, wäre es gut, wenn du weißt, dass lineare Funktionen Funktionsgleichungen der Form y=m×x+b haben, dass m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist und dass du Steigungen von Geraden durch Steigungsdreiecke bestimmen kannst. Wir können uns jetzt zwei Beispiele dazu ansehen, und zwar, welche, bei denen man den y-Achsenabschnitt direkt ablesen kann. Das ist normalerweise nicht der Fall. Normalerweise muss man den berechnen, machen wir aber jetzt nicht in diesem Video. Also es sind die Punkte P1 und P2 gegeben. P1 hat die Koordinaten (0|1) und P2 die Koordinaten (4|4). Die Punkte können wir einzeichnen. P1 ist hier. Und P2 ist hier. Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade. Und diese Gerade ist der Graph einer linearen Funktion, deren Gleichung wir suchen. Diese Gleichung hat die Form y=m×x+b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Der y-Achsenabschnitt ist der Funktionswert bei x=0, den haben wir gegeben, der ist nämlich 1, also ist b=1. So jetzt kommen wir zum interessantesten Punkt dieses Videos, und zwar zur Bestimmung der Steigung. Wir wollen die Steigung mit einem Steigungsdreieck bestimmen. Und wir erinnern uns, dass man zur Bestimmung der Steigung einer Geraden mit Hilfe eines Steigungsdreiecks zwei Punkte des Graphen braucht. Ja, wir haben zwei Punkte gegeben, also nehmen wir doch einfach die. Wir nehmen den links liegenden Punkt und zeichnen eine Parallele zur x-Achse. Ich zeichne die gestrichelt. Das musst du aber nicht unbedingt so machen. Wir nehmen den rechts liegenden Punkt und zeichnen eine Parallele zur y-Achse. Dann erhalten wir hier unser Steigungsdreieck. Anschaulich gesehen teilen wir nun diese Streckenlänge durch diese hier. Und wie du weißt, berechnen wir formal die Steigung mit (y2-y1)/(x2-x1) und das ist m. y2 ist die y-Koordinate von P2, also 4. y1 ist die y-Koordinate von P1, also 1. Und entsprechend haben wir hier die x-Koordinaten, und diese sind 4 und 0. Also ist die Steigung m=3/4. Dann können wir die Funktionsgleichung hinschreiben, nämlich y=3/4×x+1. So damit haben wir dieses Beispiel erledigt. Schauen wir uns das zweite Beispiel an. Das ist jetzt ein bisschen anders. Die Steigung ist jetzt negativ, aber ansonsten können wir rechnen wie vorher auch. Wir haben die Punkte P1 und P2 gegeben. Die haben die Koordinaten (0|3) und (5|1). Diese Punkte können wir in ein Koordinatensystem eintragen und durch diese eine Gerade zeichnen. Wir suchen wieder die Funktionsgleichung der Funktion, deren Graph diese Gerade ist. Diese Funktionsgleichung hat die Form y=m×x+b. b ist der y-Achsenabschnitt. Das ist der Funktionswert an der Stelle x=0. Den haben wir freundlicherweise gegeben, der ist nämlich 3, also ist b=3. Die Steigung können wir wieder mit einem Steigungsdreieck berechnen. Und wir nehmen das Steigungsdreieck, das durch die gegebenen Punkte bestimmt wird. Also wir zeichnen eine Parallele zur x-Achse durch den links liegenden Punkt. Dann zeichnen wir eine Parallele zur y-Achse durch den rechts liegenden Punkt. Und damit haben wir hier unser Steigungsdreieck. Anschaulich gesehen, teilen wir nun diese Strecke durch diese und schreiben vor dem Bruch noch ein Minuszeichen, weil die Steigung negativ ist. Rechnerisch passiert das Gleiche wie im vorigen Beispiel. Wir rechnen (y2-y1)/(x2-x1). Konkret heißt das y2 ist 1, y1 ist 3. Und das wird geteilt durch 5-x1 also 0. Das sind dann -2/5 und das ist die gesuchte Steigung m. Also können wir jetzt die Funktionsgleichung hinschreiben, nämlich y=-2/5×x+3. So damit sind wir eigentlich fertig. Überlegen wir nochmal, wie wir vorgegangen sind. Wir hatten zwei Punkte gegeben und haben die Funktionsgleichung der Funktion gesucht, deren Graph durch diese beiden Punkte verläuft. Wir haben Glück mit den Punkten gehabt, denn wir konnten den y-Achsenabschnitt direkt ablesen. Wir haben dann noch die Steigung berechnet, und zwar mit einem Steigungsdreieck. Und dafür haben wir die Punkte verwendet, die gegeben waren. So damit sind wir jetzt aber wirklich fertig. Viel Spaß damit. Tschüss.

8 Kommentare
  1. Geiles video

    Von Ricky1012, vor 7 Monaten
  2. Megaaaaaa
    Video

    Von Juergen Wiemann, vor 10 Monaten
  3. Super erklärt ! Jetzt habe ich es endlich verstanden :)

    Von Krinna1508, vor 12 Monaten
  4. Nicht so hilfreich leider

    Von Itslearning Nutzer 2535 12735, vor mehr als einem Jahr
  5. Super Video. Hat mir sehr geholfen. Danke :)

    Von Celina Witzke, vor etwa 2 Jahren
  1. g

    Von Dietrich K., vor etwa 2 Jahren
  2. was muss man machen wenn garnichts ausser z.B y1=x und y2=2x-2 angegeben ist

    Von Rubavany, vor etwa 2 Jahren
  3. Danke,sehr hilfreich

    Von Seppel575, vor fast 3 Jahren
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Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Punkt (Erklärvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Punkt (Erklärvideo) kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Formel an, mit der du die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ berechnen kannst.

    Tipps

    Der Term, mit welchem du die Steigung berechnest, wird auch als Differenzenquotient bezeichnet.

    Achte auf die Reihenfolge. Diese muss im Zähler und im Nenner übereinstimmen.

    Hier siehst du ein Steigungsdreieck.

    Die Steigung ist das Verhältnis der vertikalen (senkrechten) zur horizontalen (waagerechten) Strecke.

    Steigungsdreiecke können auch oberhalb der Funktionsgeraden liegen.

    Lösung

    Die Funktionsgleichung einer linearen Funktions sieht so aus:

    $y=m\cdot x+b$

    $m$ und $b$ sind Parameter.

    Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Dabei ist

    • $m$ die Steigung der Geraden und
    • $b$ die Stelle, an welcher die Gerade die y-Achse schneidet. Deshalb wird $b$ auch als y-Achsenabschnitt bezeichnet.
    Wenn du eine Funktionsgleichung aus zwei Punkten $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ aufstellen sollst, musst du die Steigung $m$ der zugehörigen Geraden mit der folgenden Formel berechnen:

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  • Beschreibe, wie eine lineare Funktionsgleichung aus zwei Punkten aufgestellt wird.

    Tipps

    Der y-Achsenabschnitt ist die y-Koordinate des Punktes, in welchem die Gerade die y-Achse schneidet.

    Achte darauf, welche Differenz im Zähler und welche im Nenner steht.

    Dabei muss auf die Reihenfolge in den jeweiligen Differenzen geachtet werden. Ziehst du im Zähler die y-Koordinate des ersten Punktes von der y-Koordinate des zweiten Punktes ab, so musst du dies für die x-Koordinaten in derselben Reihenfolge auch im Nenner machen. Machst du es im Zähler andersherum, so muss dies auch im Nenner in dieser Reihenfolge geschehen.

    Die allgemeine Funktionsgleichung lautet $y=m\cdot x+b$.

    Dabei steht $m$ für die Steigung der zugehörigen Geraden und $b$ für den y-Achsenabschnitt.

    Lösung

    So sieht eine lineare Funktionsgleichung aus:

    $y=m\cdot x+b$

    Dabei sind $m$ (Steigung) und $b$ (y-Achsenabschnitt) sogenannte Parameter.

    Da ein Punkt $P_1(0|1)$ auf der y-Achse liegt, kann der y-Achsenabschnitt abgelesen werden: Dieser ist die y-Koordinate des Punktes: $b=1$.

    Fehlt nur noch die Steigung: Hierfür verwendest du diese Formel:

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Du kannst dann die Koordinaten der beiden Punkte P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ einsetzen.

    Somit ist $m=\frac{4-1}{4-0}=\frac34$.

    Nun kannst du die Funktionsgleichung aufschreiben:

    $y=\frac34x+1$

  • Stelle die lineare Funktionsgleichung auf.

    Tipps

    $b$ ist der y-Achsenabschnitt. Das ist die Stelle, an welcher die Gerade die y-Achse schneidet.

    $m$ ist die Steigung. Verwende diese Formel:

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Lösung

    Da $P(0|3)$ auf der y-Achse liegt, ist der y-Achsenabschnitt gerade die y-Koordinate des Punktes: $b=3$.

    Nun musst du noch die Steigung mit dieser Formel berechnen:

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Du setzt also die Koordinaten der beiden Punkte in diese Formel ein:

    $m=\frac{1-3}{5-0}=-\frac25$

    Damit lautet die Funktionsgleichung $y=-\frac25x+3$.

  • Entscheide, wo Camilla und Gina wohnen.

    Tipps

    Stelle zunächst die lineare Funktionsgleichung auf.

    Hier siehst du die Straße (Gerade!).

    Die Funktionsgleichung lautet $y=-\frac12x+4$.

    Von beiden Punkten $C$ und $G$ ist jeweils eine Koordinate bekannt.

    Setze die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichung ein und forme nach der unbekannten Koordinate um.

    Lösung

    Zunächst musst du die lineare Funktionsgleichung $y=m\cdot x+b$ aufstellen. Beginne mit der Steigung:

    $m=\frac{3-5}{2-(-2)}=\frac{-2}{4}=-\frac12$

    Damit ist $y=-\frac12x+b$.

    Setze nun einen der beiden Punkte (egal welchen) in diese Gleichung ein:

    $3=-\frac12\cdot 2+b$

    Forme die Gleichung dann nach $b$ um. So erhältst du durch Addition von $1$ den y-Achsenabschnitt $b=4$.

    Nun ist die Funktionsgleichung fertig: $y=-\frac12x+4$

    Camilla wohnt in $C(c|6)$. Setze die Koordinaten in die Funktionsgleichung ein:

    $6=-\frac12\cdot c+4$

    Subtrahiere $4$ zu $2=-\frac12\cdot c$ und multipliziere mit $-2$. So erhältst du $c=-4$.

    Camillas Zuhause befindet sich in dem Punkt $C(-4|6)$ in der gleichen Straße wie das Zuhause von Paul und Luke.

    Gina wohnt in $G(4|g)$. Setze auch hier die Koordinaten in die Funktionsgleichung ein:

    $g=-\frac12\cdot 4+4$

    Nun kannst du $g$ ausrechnen: $g=2$

    Ginas Zuhause befindet sich in dem Punkt $G(4|2)$ ebenfalls in der gleichen Straße wie das Zuhause von Paul und Luke.

  • Arbeite die lineare Funktionsgleichung der Straße heraus, in welcher Paul und Luke wohnen.

    Tipps

    Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:

    $y=m\cdot x+b$

    Da du in diesem Beispiel den y-Achsenabschnitt nicht ablesen kannst, musst du zunächst die Steigung mit der Steigungsformel bestimmen:

    $y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Wenn du die Steigung kennst, kannst du die Koordinaten eines der beiden Punkte in die Funktionsgleichung einsetzen. Unbekannt ist dann nur noch $b$.

    Forme die Gleichung nach $b$ um.

    Betrachten wir ein Beispiel.

    Die Steigung $m=4$ und der Punkt $P(2|4)$ einer Geraden ist bekannt.

    Bei unbekanntem $b$ können wir die Funktionsgleichung so weit aufschreiben: $y=4x+b$. Setze nun die Koordinaten von $P$ in diese Gleichung ein:

    $4=4\cdot 2+b$

    Wir subtrahieren $8$ und erhalten $b=-4$. Die Funktionsgleichung lautet dann $y=4x-4$.

    Lösung

    In diesem Bild kannst du zwar den y-Achsenabschnitt $b=-1$ ablesen, jedoch hat dieses Verfahren den Nachteil, dass dies nicht immer exakt möglich ist. Es sind allerdings zwei Punkte bekannt.

    Gesucht ist die Funktionsgleichung $y=m\cdot x+b$.

    Nun kannst du zunächst die Steigung mit Hilfe der Koordinaten der beiden Punkte ausrechnen. Dividiere die Differenz der y-Koordinaten durch die der x-Koordinaten. Achte dabei auf die Reihenfolge. Diese muss in Zähler und Nenner identisch sein.

    $m=\frac{5-1}{3-1}=\frac42=2$

    Wir können die Funktionsgleichung dann so weit aufschreiben: $y=2x+b$.

    Setze nun die Koordinaten eines der beiden Punkte in diese Gleichung ein. Es ist tatsächlich egal, welchen der beiden Punkte du wählst, du kommst immer zur gleichen Gleichung:

    $5=2\cdot 3+b$

    Du subtrahierst nun $6$ und erhältst $b=-1$. Die Funktionsgleichung lautet also $y=2x-1$.

  • Bestimme zu jeder Geraden die zugehörige lineare Funktionsgleichung.

    Tipps

    Hier kannst du die vier Geraden sehen.

    Geraden, die parallel zueinander verlaufen, haben die gleiche Steigung.

    Wenn eine Gerade parallel zur x-Achse verläuft, stimmen die y-Koordinaten bei allen Punkten der Geraden überein.

    Verwende die Formel für die Steigung

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Lösung

    Die Funktionsgleichung zu einer Geraden lautet allgemein $y=m\cdot x+b$.

    Dabei ist

    • $m$ die Steigung der Geraden und
    • $b$ der y-Achsenabschnitt.
    Wir beginnen mit der Geraden Nummer 1:

    • Der y-Achsenabschnitt ist die y-Koordinate des Punktes $P_1$, also $b=4$.
    • Die Steigung ist $m=\frac{2-4}{2-0}=\frac{-2}{2}=-1$.
    Damit lautet die Funktionsgleichung $y_1=-x+4$.

    Gerade Nummer 2 hat den Punkt $P_1(0|4)$ mit Gerade Nummer 1 gemeinsam, also ist auch hier $b=4$. Sie verläuft parallel zur x-Achse. Das bedeutet, dass die Steigung $0$ ist, da die y-Koordinaten aller Punkte der Geraden übereinstimmen.

    Somit lautet die Funktionsgleichung $y_2=4$.

    Gerade Nummer 3 verläuft parallel zu Nummer 1 durch $P_3(1|2)$. Die Steigungen der beiden Geraden stimmen überein. Damit ist auch hier $m=-1$. Somit ist $y=-x+b$.

    Fehlt nur noch der y-Achsenabschnitt: Setze die Koordinaten von $P_3$ in die obige Gleichung ein: $2=-1+b$. Addition von $1$ führt zu $b=3$.

    Also ist $y_3=-x+3$ die zugehörige Funktionsgleichung.

    Da Gerade Nummer 4 mit Gerade Nummer 3 im y-Achsenabschnitt übereinstimmt und die Steigung $m=1$ gegeben ist, kannst du die Gleichung sofort aufschreiben: $y_4=x+3$.

    Alle vier Geraden kannst du hier sehen:

    • Gerade Nummer 1 ist rot,
    • Gerade Nummer 2 ist blau,
    • Gerade Nummer 3 ist grün und
    • Gerade Nummer 4 ist orange.