Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Nullstelle

Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Nullstelle Übung

• Zeichne den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem.

  Tipps

  Die Funktion f verläuft durch die Nullstelle $N(2,5|0)$, weil eine Nullstelle immer den Wert $y = 0$ hat, und durch den Punkt $P(-2|-1)$.

  Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie mit einer Geraden.

  Lösung

  Wir sollen den Graphen einer Funktion in ein Koordinatensystem einzeichnen und auswählen, in welchem Diagramm der passende Graph eingezeichnet wurde.

  Um eine lineare Funktion eindeutig zu bestimmen, benötigen wir zwei Punkte, wie in unserer Aufgabenstellung gegeben:

  Die Funktion f verläuft durch die Nullstelle $N(2,5|0)$, weil eine Nullstelle immer den Wert $y = 0$ hat, und durch den Punkt $P(-2|-1)$.

  Um den Graphen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen, müssen wir nur noch die beiden Punkte einzeichnen und sie miteinander verbinden. Es entsteht eine Gerade, die durch die beiden Punkte verläuft. Das ist der Graph, welcher die Funktion eindeutig bestimmt.

• Bestimme die Funktionsgleichung einer Geraden durch zwei Punkte.

  Tipps

  Die Formel zur Berechnung der Steigung ist der Quotient aus der Differenz von $y_2$ und $y_1$ sowie der Differenz von $x_2$ und $x_1$.

  Lösung

  Wir können die Funktionsgleichung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte bestimmen.

  Hierzu benötigen wir die allgemeine Geradengleichung. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden lautet: $y=mx+b$.

  Um die Funktionsgleichung der Geraden mit den Punkten $N$ und $P$ zu bestimmen, rechnen wir zunächst die Steigung m aus. Die Formel zur Berechnung der Steigung lautet:

  $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Wir setzen die Koordinaten unserer Punkte für die x- und y-Werte ein. Dabei ist es egal, welcher unserer Punkte die Koordinaten $x_1$ und $y_1$ hat. Wichtig ist nur, dass wenn wir uns festgelegt haben, welcher der beiden Punkte die Koordinaten $x_1$ und $y_1$ haben soll, wir die Rangordnung beibehalten. Wir dürfen nicht $x_1$ aus dem einen Punkt und $y_1$ aus dem anderen Punkt wählen.

  Falls wir uns für den Punkt $N$ entscheiden, erhalten wir folgende Steigungsgleichung: $m =\frac{-1 - 0}{-2 - 2,5} =\frac{-1}{-4,5} =\frac{2}{9}$

  Unsere Gerade hat also die Steigung $m=\frac{2}{9}$.

  Als Nächstes bestimmen wir den Schnittpunkt mit der y-Achse. Wir setzen die Werte eines Punktes und den Wert der Steigung in unsere allgemeine Gleichung ein. Wir können einfacher rechnen, wenn wir einen Punkt wählen, in dem eine Koordinate gleich $0$ ist: $0=\frac{2}{9} \cdot 2,5 + b$

  Wir formen die Gleichung nach $b$ um und erhalten $-\frac{5}{9}=b $. Die Gerade schneidet also die y-Achse bei $b=-\frac{5}{9}$.

  Die Funktionsgleichung der Gerade, die durch die Punkte $N$ und $ P$ läuft, lautet $y=\frac{2}{9} \cdot x -\frac{5}{9}$.

• Gib jeweils einen Punkt und die Nullstelle des Graphen an.

  Tipps

  Die Nullstelle kann man sehr schnell ablesen. Sie ist dort, wo der Graph die $x$-Achse schneidet.

  Orientiere dich am Raster, um geeignete Punkte abzulesen.

  Lösung

  Durch einen Punkt und die Nullstelle können wir eine Gerade eindeutig bestimmen.

  Wir haben vier Graphen von Geraden gegeben und sollen jeweils einen Punkt und die Nullstelle bestimmen, durch den die Gerade verläuft.

  Die Nullstelle kann man sehr schnell ablesen. Sie ist dort, wo der Graphen die $x$-Achse schneidet oder - anders ausgedrückt - dort wo $y=0$ ist.

  Es gibt unendlich viele Punkte auf einer Geraden. Aber Mathematiker sind faul und lieben daher ganze Zahlen zum Rechnen. Wir suchen also einen Punkt auf der Geraden, der ganze Zahlen als Koordinaten hat. Das Raster kann dir bei der Suche helfen.

• Berechne die Steigungen der Geraden.

  Tipps

  Um die Steigung zu bestimmen, setzt du die Koordinaten zweier Punkte in die Formel ein.

  Die $y$-Koordinate der Nullstelle ist stets gleich $0$.

  Lösung

  Wir können eine Gerade durch einen Punkt und ihre Nullstelle eindeutig bestimmen.

  Für die Erstellung der Funktionsgleichung müssen wir die Steigung $m$ bestimmen. Um die Steigung zu bestimmen, setzt du die Koordinaten zweier Punkte in die Punktsteigungsformel ein.

  $m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

  Durch den Punkt haben wir bereits eine $x$- und eine $y$-Koordinate.

  Die Nullstelle liefert uns die zweite $x$-Koordinate. Die $y$-Koordinate der Nullstelle ist stets gleich $0$. Somit haben wir auch die zweite $y$-Koordinate und wir können die Werte in die Steigungsformel einsetzen.

  Für $P(1 | -4)$, Nullstelle bei $-1$ ergibt sich Folgendes:

  $\begin{align} &\Rightarrow& m&=\frac{0 - (-4)}{-1 - 1} \\ &\Leftrightarrow& m&=\frac{4}{-2} \\ &\Leftrightarrow& m&=-2 \end{align}$

• Gib an, wie man die Funktionsgleichung der Geraden $g$ bestimmt.

  Tipps

  Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, müssen wir zunächst die Steigung bestimmen.

  Dies geht auch mithilfe eines Steigungsdreiecks.

  Lösung

  1. Zunächst fertigen wir eine Skizze an. In dieser wird eine Gerade durch die beiden bekannten Punkte gezogen.
  2. Dann berechnen wir $m$.
  3. Dazu verwenden wir die Formel $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
  4. Dann berechnen wir $b$.
  5. Wir setzen dazu $ m$ und die Koordinaten eines bekannten Punktes oder der Nullstelle in die Gleichung $y = m \cdot x + b$ ein und berechnen $b$.
  6. Dann können wir die Funktionsgleichung des Graphen angeben.

• Gib die Funktionsgleichung des Graphen an.

  Tipps

  Aus dem Graphen können wir die Nullstelle und einen weiteren Punkt $P$ ablesen.

  Die Gerade schneidet die y-Achse in $b=\frac{3}{2}$.

  Lösung

  Wir haben eine Gerade in einem Koordinatensystem gegeben.

  Aus dem Graphen können wir die Nullstelle und einen weiteren Punkt $P$ ablesen.

  Die Nullstelle liegt bei $x=1$ und der Punkt $P$ hat die Koordinaten $P(-1 | 3)$.

  Bei dem Graphen handelt es sich um eine Gerade mit der allgemeinen Geradengleichung $y=mx+b$.

  Zunächst rechnen wir die Steigung m aus:

  $\begin{align} && m&=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\ &\Leftrightarrow& m&=\frac{0 - 3}{1 - (-1)} \\ &\Leftrightarrow& m&=\frac{-3}{2}. \end{align}$

  Die Steigung $m$ hat also den Wert $m=-\frac{3}{2}$.

  Als Nächstes rechnen wir den Schnittpunkt mit der y-Achse aus. Dazu setzen wir die Nullstelle und die berechnete Steigung in die allgemeine Geradengleichung ein:

  $\begin{align} &\Rightarrow& 0&=-\frac{3}{2} \cdot 1 + b \\ &\Leftrightarrow& \frac{3}{2}&=b. \\ \end{align}$

  Die Gerade schneidet die y-Achse also in $b=\frac{3}{2}$.

  Die gesuchte Funktionsgleichung lautet:

  $y=-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$.