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Geradengleichung bestimmen – Komplettüberblick mit Beispielen

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Martin Wabnik
Geradengleichung bestimmen – Komplettüberblick mit Beispielen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Geradengleichung bestimmen – Komplettüberblick mit Beispielen

Es gibt zwei kleine Formeln, mit denen du aus zwei beliebigen Punkten (mit unterschiedlichen x-Koordinaten) die Funktion bestimmen kannst, deren Graph durch diese Punkte verläuft. Im Video wenden wir diese Formeln an und überlegen uns dann, warum sie wirklich für alle Punkte gültig sind. Z.B.: Sind die Formeln auch gültig, wenn die Funktion keine Steigung, sondern ein Gefälle hat? Oder: Gelten die Formeln auch, wenn die Punkte keine positiven Koordinaten haben?

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. ich fande es etwas langweillig

    Von Stefan Damm Wgf, vor mehr als 2 Jahren
  2. Toll und logisch aufgeklärt. Ihre Stieme nimmt einem Angst vom Lernen weg und vermittelt Gelassenheit und Wünsch sich gut zu konzentrieren.

    Von Isabella19092005, vor mehr als 2 Jahren
  3. t und nicht t

    Von Fcb Freak, vor mehr als 2 Jahren

Geradengleichung bestimmen – Komplettüberblick mit Beispielen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradengleichung bestimmen – Komplettüberblick mit Beispielen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Formeln an, mit denen du die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ bestimmen kannst.

    Tipps

    Es bleibt dir überlassen, welchen Punkt du $P_1$ und welchen du $P_2$ nennst.

    Wenn du die Formel für die Steigung verwendest, musst du auf die Einhaltung der gleichen Reihenfolge der Koordinaten im Zähler und Nenner achten.

    Berechnest du den $y$-Achsenabschnitt, so kannst du die Koordinaten eines Punktes und die Steigung in die Geradengleichung einsetzen und nach $b$ auflösen.

    Lösung

    Gesucht sind die Steigung $m$ und der $y$-Achsenabschnitt $b$ der Geradengleichung in Normalform. Diese lautet allgemein:

    • $y=mx+b$
    Steigung

    Die Steigung $m$ ist für eine steigende Gerade positiv und für eine fallende Gerade negativ. Sie wird mit folgender Formel bestimmt:

    • $m=\dfrac {y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$
    Du kannst die Reihenfolge der Koordinaten im Zähler und Nenner festlegen, wie du möchtest, allerdings musst du hierbei beachten, dass die Reihenfolge im Zähler dieselbe ist wie die im Nenner.

    $y$-Achsenabschnitt

    Der $y$-Achsenabschnitt ist diejenige Stelle, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet. Diese erhältst du, indem du die Koordinaten desselben Punktes und die Steigung in die Geradengleichung einsetzt und diese nach $b$ auflöst:

    • $b=y_1-mx_1=y_2-mx_2$
  • Berechne die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt der jeweiligen Geraden.

    Tipps

    Du berechnest die Steigung mit folgender Formel:

    • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Die Normalform einer Geradengleichung lautet:

    • $y=mx+b$

    Den $y$-Achsenabschnitt $b$ erhältst du, indem du einen Punkt (also seinen $x$- und $y$-Wert) in die Geradengleichung einsetzt und diese nach $b$ auflöst.

    Lösung

    Im Folgenden berechnen wir zunächst ausgehend von zwei Punkten $P_1(x_1\vert y_1)$ und $P_2(x_2\vert y_2)$ die Steigung mit folgender Formel:

    • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$
    Dann setzen wir die Steigung $m$ und die Koordinaten eines Punktes in die Normalform $y=mx+b$ ein und lösen diese Gleichung nach dem $y$-Achsenabschnitt $b$ auf.

    • $b=y_1-mx_1=y_2-mx_2$
    Mit der Steigung $m$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b$ geben wir dann die Geradengleichung an.

    Beispiel 1

    Mit $P_1(1\vert 1)$ und $P_2(3\vert 2)$ erhalten wir folgende Steigung:

    • $m=\dfrac {2-1}{3-1}=\dfrac 12$
    Mit der Steigung $m$ erhalten wir wie folgt den $y$-Achsenabschnitt:

    • $b=1-\dfrac 12\cdot 1=1-\dfrac 12=\dfrac 12$
    Die Geradengleichung lautet dann:

    • $y=\dfrac 12x+\dfrac 12$
    Beispiel 2

    Die Punkte $P_1(3\vert 2)$ und $P_2(8\vert 4)$ liefern folgende Steigung:

    • $m=\dfrac {4-2}{8-3}=\dfrac 25$
    Für den $y$-Achsenabschnitt erhalten wir:

    • $b=2-\dfrac 25\cdot 3=\dfrac{10}{5}-\dfrac 65=\dfrac 45$
    Die Geradengleichung lautet dann:

    • $y=\dfrac 25x+\dfrac 45$
  • Ermittle die jeweiligen Beziehungen zu den Graphen.

    Tipps

    Haben Nenner und Zähler der Steigung $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ unterschiedliche Vorzeichen, so kann die Steigung nur negativ sein.

    Liegt $x_2$ links neben $x_1$ auf der $x$-Achse, so gilt:

    • $x_2<x_1$
    Also gilt auch:

    • $x_2-x_1<0$
    Lösung

    Beispiel 1

    Wir sehen hier eine fallende Gerade, also gilt $m<0$. Da $x_2$ links neben $x_1$ auf der $x$-Achse liegt, gilt $x_2<x_1$ und damit auch:

    • $x_2-x_1<0$
    Bei den $y$-Koordinaten erhalten wir mit $y_2>y_1$ folgende Beziehung:
    • $y_2-y_1>0$
    Damit haben der Zähler und der Nenner der Steigung $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ unterschiedliche Vorzeichen, sodass die Steigung negativ ist.

    Beispiel 2

    Diesmal betrachten wir eine steigende Gerade, also gilt $m>0$. Da $x_2$ links neben $x_1$ auf der $x$-Achse liegt, gilt wieder $x_2<x_1$ und damit auch:

    • $x_2-x_1<0$
    Diesmal liegt $y_2$ unterhalb von $y_1$ auf der $y$-Achse, sodass $y_2<y_1$ gilt. Damit folgt:
    • $y_2-y_1<0$
    Damit haben der Zähler und der Nenner der Steigung $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ gleiche Vorzeichen, sodass die Steigung positiv ist.

    Beispiel 3

    Wieder betrachten wir eine fallende Gerade, also eine negative Steigung $m<0$. Diesmal liegt $x_2$ rechts neben $x_1$ auf der $x$-Achse, sodass $x_2>x_1$ gilt. Also folgt:

    • $x_2-x_1>0$
    Bei den $y$-Koordinaten erhalten wir mit $y_2<y_1$ hingegen folgende Beziehung:
    • $y_2-y_1<0$
    Damit haben der Zähler und der Nenner der Steigung $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ unterschiedliche Vorzeichen, sodass die Steigung negativ ist.

    Beispiel 4

    Die Gerade steigt und hat somit eine positive Steigung $m>0$. Es gilt $x_2>x_1$ und somit:

    • $x_2-x_1>0$
    Es ist auch $y_2>y_1$, also:
    • $y_2-y_1>0$
    Aufgrund gleicher Vorzeichen des Zählers und Nenners der Steigung $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ erhalten wir hier eine positive Steigung.

  • Erschließe die Geradengleichung in Normalform.

    Tipps

    Beachte die Vorzeichen. Kennst du die Steigung und einen Punkt der Geraden, musst du nur noch den $y$-Achsenabschnitt berechnen. Kennst du den $y$-Achsenabschnitt und einen Punkt der Geraden, musst du nur noch die Steigung berechnen.

    Kennst du zwei Punkte der Geraden, so berechnest du die Steigung wie folgt:

    • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$
    Lösung

    Beispiel 1

    Gegeben: $m=2$ und $P(2 \vert 7)$

    Gesucht: $b$

    Das Einsetzen der Angaben in die Normalform der Geradengleichung liefert:

    $ \begin{array}{llll} 7 & = & 2\cdot 2+b & \\ 7 & = & 4+b & \vert -4 \\ 3 & = & b & \end{array} $

    Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=2x+3$.

    Beispiel 2

    Gegeben: $b=4$ und $P(1 \vert -2)$

    Gesucht: $m$

    Das Einsetzen der Angaben in die Normalform der Geradengleichung liefert:

    $ \begin{array}{llll} -2 & = & m\cdot 1+4 & \\ -2 & = & m+4 & \vert -4 \\ -6 & = & m & \end{array} $

    Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=-6x+4$.

    Beispiel 3

    Gegeben: $P(-4 \vert 3)$ und $Q(4 \vert 5)$

    Gesucht: $m$ und $b$

    Für die Steigung resultiert folgende Berechnung:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-3}{4-(-4)}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0,25$

    Die berechnete Steigung und einer der Punkte werden nun in die Geradengleichung eingesetzt und der $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnet.

    $ \begin{array}{llll} 3 & = & 0,25\cdot (-4)+b & \\ 3 & = & -1+b & \vert +1 \\ 4 & = & b & \end{array} $

    Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=0,25x+4$.

    Beispiel 4

    Gegeben: $P(-5 \vert 7)$ und $Q(-1 \vert 3)$

    Gesucht: $m$ und $b$

    Wir gehen wie im 3. Beispiel vor:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3-7}{-1-(-5)}=\frac{-4}{4}=-1$

    Die berechnete Steigung und einer der Punkte werden wieder in die Geradengleichung eingesetzt und der $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnet.

    $ \begin{array}{llll} 3 & = & -1\cdot (-1)+b & \\ 3 & = & 1+b & \vert -1 \\ 2 & = & b & \end{array} $

    Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=-1x+2$.

  • Vervollständige die Bezeichnungen am Koordinatensystem sowie die jeweiligen Beziehungen.

    Tipps

    Der Punkt $P_1$ hat die Koordinaten $x_1$ und $y_1$.

    Für die Steigung gilt:

    • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$
    Haben Zähler und Nenner jeweils das gleiche Vorzeichen, so ist der Quotient positiv. Andernfalls erhältst du eine negative Steigung.

    Lösung

    Der Punkt $P_1$ hat die Koordinaten $x_1$ und $y_1$. Genauso hat der Punkt $P_2$ die Koordinaten $x_2$ und $y_2$. Damit kannst du den Graphen wie hier abgebildet beschriften.

    • Da $y_1>y_2$ ist, erhalten wir: $~y_2-y_1<0$
    • Mit $x_1<x_2$ folgt: $~x_2-x_1>0$
    Für die Steigung gilt:

    • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}<0$
    Da der Zähler negativ und der Nenner positiv ist, erhalten wir hier eine negative Steigung. Das erkennst du auch daran, dass die Gerade nach rechts abfällt.

  • Bestimme die Geradengleichungen in Normalform.

    Tipps

    Verläuft eine Gerade parallel zur $x$-Achse, so ist die Steigung Null.

    Die Normalform lautet: $~y=mx+b$

    Die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ kannst du mit Hilfe zweier Punkte auf der Geraden berechnen.

    Lösung

    Die Normalform einer Geradengleichung lautet: $~y=mx+b$

    Die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$ kannst du mit Hilfe zweier Punkte auf der Geraden berechnen.

    Beispiel 1

    In diesem Beispiel verläuft die Gerade durch den Ursprung $P(0 \vert 0)$. Somit ist der $y$-Achsenabschnitt $b=0$. Für die Steigung erhalten wir mit den Punkten $(0\vert 0)$ und $(2\vert 1)$ folgende Rechnung:

    • $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{1-0}{2-0}=\dfrac 12$.
    Somit erhalten wir: $~y=\dfrac 12x$

    Beispiel 2

    In diesem Beispiel verläuft die Gerade parallel zur $x$-Achse durch den Punkt $P(0 \vert 2)$. Somit ist der $y$-Achsenabschnitt $b=2$ und die Steigung $m=0$. Die Geradengleichung lautet dann: $~y=2$

    Beispiel 3

    In diesem Beispiel verläuft die Gerade durch die Punkte $(-2\vert 0)$ und $(0\vert 4)$. Somit ist der $y$-Achsenabschnitt $b=4$ und die Steigung $m$ erhalten wir wie folgt:

    • $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{4-0}{0-(-2)}=\dfrac 42=2$.
    Somit erhalten wir: $~y=2x+4$

    Beispiel 4

    Die Gerade verläuft durch die Punkte $(0\vert 2)$ und $(1\vert 0)$. Somit ist der $y$-Achsenabschnitt $b=2$ und die Steigung $m$ erhalten wir wie folgt:

    • $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{0-2}{1-0}=\dfrac {-2}{1}=-2$.
    Somit erhalten wir: $~y=-2x+2$

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