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Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Punkt, Steigung (Übungsvideo)

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Martin Wabnik
Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Punkt, Steigung (Übungsvideo)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Punkt, Steigung (Übungsvideo)

Herzlich Willkommen zu einem weiteren Video der Koordinatengeometrie mit dem Thema „ Koordinatengeometrie - Geradengleichung aufstellen 2 “. Aus einer Steigung und einem Punkt der Geraden kannst du die Geradengleichung aufstellen - auch ohne Punkt-Steigungs-Form sondern einfach mit der Normalform. Wir haben die Steigung m = -0,6 und den Punkt P ( 2|-3 ). Du weißt bereits, wie du die dazugehörige lineare Funktionsgleichung der Form y = mx + b aufstellst. Die Funktionsgleichung der linearen Funktion ist y = -0,6 - 1,8. Im Video wird dir nun gezeigt, wie du die Funktionsgleichung y = -0,6 - 1,8 in die Geradengleichung mit der Form ax +bx = c umwandelst. Im Anschluss zeigen wir dir, wie du die Gerade in das Koordinatensystem einträgst.

Transkript Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Punkt, Steigung (Übungsvideo)

Hallo, wir haben folgendes gege,en: Eine Steigung, die soll nur - 0,6 sein und einen Punkt, den Punkt P(2|-3). Und daraus wollen wir nun eine Geradengleichung erstellen und zwar in der Form a×x+b×y=c. Und da fangen wir jetzt an, und zwar mit dem, was du aus der Mittelstufe kennst, nämlich die Normalform, die ist ja y=m×x+n oder manchmal auch plus b, aber das b habe ich hier jetzt ja schon verwendet. Wir fangen deshalb mit der Normalform an, weil wir ja die Steigung schon haben, die können wir jetzt also hier schon einsetzen. Das ist minus 0,6 und wir haben einen x-Wert, wir haben den x-Wert dieses Punktes hier, der ist 2. Und wir haben den y-Wert, der ist -3. Und wir suchen jetzt das n. Wenn wir das n haben, dann haben wir die Geradengleichung in Normalform und dann können wir die Normalform in die Form hier a×x+b×y=c umformen. Dass ist die Taktik dahinter. Und auch das ist hier schnell gemacht. Wir wissen ja: (-0,6)×2=1,2 und -3+1,2=-1,8. Gut, jetzt können wir das einsetzen, hier in diese Normalform, dann haben wir also: y=m(das ist -0,6 und hier sowieso schon gegeben)×x+n(n ist in unserem Fall -1,8). So, und jetzt haben wir also hier diese Normalform stehen, die wollen wir aber gar nicht haben, sondern hier diese allgemeine Form und die erlangt man jetzt, indem man einfach +0.6x auf beiden Seiten rechnet. Dann haben wir hier 0,6x+y=-1,8. Und jetzt ist natürlich die Frage: Mit welcher Zahl müssen wir multiplizieren, damit wir ein ganzzahliges a, ein ganzzahliges b und ein ganzzahliges c erhalten? Meistens, wenn du so solche Geradengleichungen aufstellen sollst, ist auch danach gefragt, dass die Koeffizienten, also die Zahlen, die hier vor den Variablen stehen beziehungsweise die Zahl, die hinter dem Gleichheitszeichen steht ganzzahlig sein sollen. Und dass darf man ruhig sehen, du kannst das natürlich mit deinem Taschenrechner ausprobieren, mit welcher Zahl du -0,6 und -1,8 multiplizieren musst, damit was Ganzzahliges rauskommt, aber da kannst du Pech haben und probierst dich dumm und dämlich. Also da ist es schon gut, wenn man ein bisschen das kleine Einmaleins beherrscht und hier gleich sieht, man muss also mit 5 multiplizieren. Ich sage dass deshalb noch mal so ausführlich, weil mir viele Schüler mir sagen: " Ach ich mache das alles mit dem Taschenrechner, ja, viel Spaß, wenn man das nicht sieht, dann verliert man wirklich viel Zeit und dann hat sich der Taschenrechner nicht gelohnt. Also 0,6×5, das darf man ruhig wissen, ist 3×x+(ja hier steht ein Mal y..×5)ist 5×y und -1,8×5 ist -9. Und dann haben wir hier also unsere schöne Gleichung stehen. Da ist sie. Und jetzt möchte ich noch zeigen, wie du diese Gleichung in einen Graphen übersetzen kannst, in eine Punktmenge hier im zweidimensionalem Koordinatensystem. Und dann brauchen wir hier jetzt mal so ein Koordinatensystem. Da ist es. Und wir können uns überlegen, was muss man hier für x einsetzen, wenn y=0 ist. Wir können ja auch für y 0 einsetzen, das ist kein Problem. Was muss man dann für x einsetzen, damit 3×x=-9 ist? Richtig, es ist -3. Dass heißt also: Die Nullstelle dieser Funktion ist bei -3. Es ist jetzt ja keine Funktion mehr, sondern die Lösungsmenge einer Gleichung. Alle Zahlenpaare, die die Gleichung lösen, interpretieren wir hier im Koordinatensystem als Koordinaten von Punkten. Also dann können wir sagen, welches Zahlenpaar gehört zur Lösungsmenge dieser Gleichung, bei der y also gleich 0 ist. Ebenso können wir uns Fragen welches Zahlenpaar gehört zur Lösungsmenge, bei der x=0 ist. X soll gleich null sein, dann ist dass hier irgendwo. Y muss dann gleich -1,8 sein, weil 5×(-1,8)=-9 ist. Und dann kommt dass hierhin. Und da wissen wir gleich, die Punktemenge, die die Gleichung löst, die liegt also hier und bildet eine solche Gerade. Und dann haben wir es auch schön vorgestellt und sind also hier mit dieser Aufgabe fertig. Viel Spaß damit. Tschüss

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. @Claudia Muir:
    Angenommen, dass du ein Koordinatensystem mit eingezeichneter Gerade gegeben hast und nun die dazugehörige Geradengleichung y=mx+n bestimmen willst.
    Den y-Achsenabschnitt n kannst du sofort bestimmen. Du schaust, wo der Graph die y-Achse schneidet und liest den Wert für n direkt ab.
    Willst du die Steigung m berechnen, liest du zwei Punkte P_1(x_1|y_1) und P_2(x_2|y_2) ab und berechnest den Anstieg der Gerade als m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1).
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor etwa 6 Jahren
  2. wie krigt man von gerade die gleichung

    Von Claudia Muir, vor etwa 6 Jahren
  3. Wie kann man eine Gleichung einer Geraden aufstellen, die durch zwei angegebene Punkte verläuft?

    Von Jenny Julia13, vor etwa 8 Jahren
  4. Toll erklärt!
    Kennst du die Herleitung der Punkt-Steigungs-Form? Wie kommt man auf die?

    Von Olivia Serwata, vor etwa 9 Jahren

Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Punkt, Steigung (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Punkt, Steigung (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die lineare Funktionsgleichung bei gegebener Steigung und einem bekannten Punkt auf.

    Tipps

    Die lineare Funktionsgleichung lautet $y=-0,6x+n$. Der y-Achsenabschnitt $n$ ist noch nicht bekannt.

    Der Punkt $P(2|-3)$ hat die x-Koordinate $x=2$ und die y-Koordinate $y=-3$.

    Setze diese in der obigen Gleichung ein.

    Forme die so erhaltene Gleichung nach $n$ um.

    Lösung

    Zu einer linearen Funktionsgleichung sind die Steigung $m=-0,6$ sowie ein Punkt $P(2|-3)$ gegeben.

    Die Gleichung lautet $y=-0,6x+n$, wobei der y-Achsenabschnitt $n$ unbekannt ist. Um diesen zu berechnen, setzt man den bekannten Punkt in der Gleichung ein:

    $-3=-0,6\cdot 2+n$.

    Durch Addition von $1,2$ erhält man $-1,8=n$. Somit erhält man die lineare Funktionsgleichung

    $y=-0,6x-1,8$.

  • Beschreibe, wie die Funktion $y=-0,6x-1,8$ umgeformt werden muss, um eine Gleichung der Form $ax+by=c$ mit ganzzahligen $a$, $b$ und $c$ zu erhalten.

    Tipps

    Bringe die Variable $x$ auf die linke Seite.

    Um die Ganzzahligkeit zu erreichen, musst du multiplizieren. Multipliziere dabei mit der kleinstmöglichen Zahl.

    Lösung

    Um die Funktion $y=-0,6x-1,8$ in eine Gleichung der Form

    $ax+by=c$

    mit ganzzahligen $a$, $b$ und $c$ zu gelangen, geht man wie folgt vor:

    • Es wird $0,6x$ addiert zu $0,6x+y=-1,8$.
    • Das sieht schon fast so aus wie die gewünschte Gleichung, jedoch ist der Faktor vor $x$ und auch die rechte Seite nicht ganzzahlig.
    • Die gesamte Gleichung wird mit $5$ multipliziert zu $3x+5y=-9$.
    • Nun ist $a=3$, $b=5$ und $c=-9$.

  • Ordne den Gleichungen die Achsenabschnittpunkte zu.

    Tipps

    Sei die Geradengleichung $ax+by=c$, dann ist

    • für $x=0$ $y=\frac cb$ und
    • für $y=0$ $x=\frac ca$.

    Du kannst für jeden der Punkte eine Probe durchführen.

    Zum Beispiel ist für $x+y=5$

    • mit $y=0$ $x=5$ und
    • mit $x=0$ $y=5$.

    Lösung

    Wenn man die Geradengleichung $ax+by=c$ kennt, kann man die Achsenabschnittpunkte wie folgt berechnen:

    • $x=0$: $by=c$ - durch Division durch $b$ erhält man $y=\frac cb$. Wenn $b=0$ wäre, läge keine Gerade vor.
    • $y=0$: $ax=c$ - durch Division durch $a$ erhält man $x=\frac ca$. Wäre $a=0$, dann würde die Gerade parallel zur x-Achse verlaufen, diese also nicht schneiden, es sei denn, es wäre auch $c=0$.
    • $-3x+y=6$ - hier ist für $x=0$ $y=6$, also $(0|6)$, und für $y=0$ $x=-2$, also $(-2|0)$.
    • $2x-4y=8$ - hier ist für $x=0$ $y=-2$, also $(0|-2)$, und für $y=0$ $x=4$, also $(4|0)$.
    • $-2x+3y=12$ - hier ist für $x=0$ $y=4$, also $(0|4)$, und für $y=0$ $x=-6$, also $(-6|0)$.

  • Entscheide, welche der Geraden zu der gegebenen Geradengleichung oder linearen Funktionsgleichung gehört.

    Tipps

    Zu jeder der Geraden ist eine lineare Funktionsgleichung der Form $y=m\cdot x+n$ sowie eine Geradengleichung der Form $ax+by=c$ angegeben.

    Du kannst bei jeder der beiden Geraden den y-Achsenabschnitt ablesen.

    Die Steigung kannst du berechnen als den Quotienten aus der Differenz der y-Koordinaten und der der x-Koordinaten.

    Die so erhaltene lineare Funktionsgleichung kannst du in eine Geradengleichung der Form $ax+by=c$ umformen, wobei $a$, $b$ und $c$ ganzzahlig sind.

    Lösung

    In dem obigen Bild sind zwei Geraden zu erkennen:

    Die grüne Gerade hat die Achsenschnittpunkte $(0|3)$ und $(2|0)$. Das heißt, dass der y-Achsenabschnitt $n=3$ ist. Die Steigung lässt sich als Quotient der y-Koordinaten-Differenz und der x-Koordinaten-Differenz berechnen:

    $m=\frac{0-3}{2-0}=-\frac32=-1,5$.

    Somit lautet die Gleichung $y=-1,5x+3$. Durch Addition von $1,5x$ gelangt man zu $1,5x+y=3$ und durch Multiplikation mit $2$ zu $3x+2y=6$.

    Die blaue Gerade hat die Achsenschnittpunkte $(0|-2)$ und $(1|0)$. Das heißt, dass der y-Achsenabschnitt $n=-2$ ist. Die Steigung lässt sich auch hier als Quotient der y-Koordinaten-Differenz und der x-Koordinaten-Differenz berechnen:

    $m=\frac{0-(-2)}{1-0}=\frac21=2$.

    Somit lautet die Gleichung $y=2x-2$. Durch Subtraktion von $2x$ gelangt man zu $-2x+y=-2$.

  • Gib die Achsenabschnittpunkte der Geraden an.

    Tipps

    Bei jedem der Achsenabschnittpunkte ist eine Koordinate $0$.

    Setze $x=0$ in der obigen Gleichung ein und forme diese nach $y$ um.

    Setze ebenso $y=0$ in der obigen Gleichung ein und forme diese nach $x$ um.

    Du kannst zur Probe jeden der Punkte in der Gleichung einsetzen.

    Lösung

    Gegeben ist die Gleichung $3x+5y=-9$. Wie kann man nun die zugehörige Gerade zeichnen?

    Man bestimmt die beiden Achsenschnittpunkte:

    • $x=0$ führt zu der Gleichung $5y=-9$. Division durch $5$ führt zu $y=-1,8$, also dem Punkt $(0|-1,8)$.
    • $y=0$ führt zu $3x=-9$. Division durch $3$ liefert den Punkt $(-3|0)$.
    Diese beiden Punkte zeichnet man in ein Koordinatensystem. Durch sie ist die Gerade eindeutig definiert.

  • Ermittle zu den gegebenen Punkten die Geradengleichung in der Form $ax+by=c$ mit ganzzahligen $a$, $b$ und $c$.

    Tipps

    Berechne zunächst die Steigung für die lineare Funktionsgleichung $y=m\cdot x+n$.

    Diese ist gegeben als Quotient der Differenz der y-Koordinaten und der der x-Koordinaten.

    Den y-Achsenabschnitt erhältst du, indem du einen der beiden gegebenen Punkte in der linearen Funktionsgleichung mit der bereits berechneten Steigung einsetzt.

    Forme die lineare Funktionsgleichung um in eine Geradenform.

    Wenn man die Geradengleichung $ax+by=c$ kennt, kann man die Achsenabschnittpunkte wie folgt berechnen:

    • $x=0$: $by=c$ - durch Division durch $b$ erhält man $y=\frac cb$. Wenn $b=0$ wäre, läge keine Gerade vor.
    • $y=0$: $ax=c$ - durch Division durch $a$ erhält man $x=\frac ca$. Wäre $a=0$, dann würde die Gerade parallel zur x-Achse verlaufen, diese also nicht schneiden, es sei denn, es wäre auch $c=0$.

    Lösung

    Zunächst wird die lineare Funktionsgleichung mit den beiden Punkten $P(1|4);~Q(-2|2)$ aufgestellt:

    $y=m\cdot x+n$.

    • Die Steigung lässt sich durch $m=\frac{2-4}{-2-1}=\frac{-2}{-3}=\frac23$ bestimmen.
    • Die Gleichung lautet somit $y=\frac23x+n$.
    • Zur Bestimmung des y-Achsenabschnitts setzt man die Koordinaten von einem der beiden Punkte in der Gleichung ein. Zum Beispiel die von $P$: $4=\frac23\cdot 1+n$. Durch Subtraktion von $\frac23$ erhält man $b=\frac{10}3$.
    • Die lineare Funktionsgleichung ist dann durch $y=\frac23x+\frac{10}3$ definiert.
    Diese wird so umgeformt, dass links vom Gleichheitszeichen die beiden Variablen $x$ und $y$ und rechts eine konstante Zahl stehen.

    $\begin{align*} y&=\frac23x+\frac{10}3&|&-\frac23x\\ -\frac23x+y&=\frac{10}3&|&\cdot 3\\ -2x+3y&=10. \end{align*}$

    Mit Hilfe dieser Darstellung können die Achsenabschnittpunkte bestimmt werden:

    • $x=0$: $3y=10$, was durch Division durch $3$ äquivalent ist zu $y=\frac{10}3$ sowie
    • $y=0$: $-2x=10$, was durch Division durch $2$ äquivalent ist zu $x=-5$.
    Die zugehörige Gerade ist in dem Bild zu sehen.

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