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Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Punkt, senkrechte Gerade (Übungsvideo)

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Martin Wabnik
Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Punkt, senkrechte Gerade (Übungsvideo)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Punkt, senkrechte Gerade (Übungsvideo)

Ein Punkt der Geraden und eine Gerade, zu der die gesuchte Gerade senkrecht ist, sind gegeben. Daraus kannst du die Geradengleichung bestimmen. Wir zeigen dir, wie es funktioniert! Wir suchen zuerst eine Funktionsgleichung der Form y = mx + b. Wir wissen, dass der Graph der Funktionsgleichung durch den Punkt P( -5|-1 ) geht und senkrecht zum Graphen der Funktion y=-3/4 x + 3 verläuft. Du müsstest bereits wissen, wie man die Funktionsgleichung aus den gegeben Größen bestimmt. Das Neue ist, dass wir nun die Normalform y = mx + b in die Geradengleichung der Form ax + bx = c umwandeln möchten. Im Video zeigen wir dir Schritt für Schritt den Lösungsweg. Wenn dir die Erklärungen zu schnell gehen, dann halte das Video zwischendurch an. Viel Spaß!

Transkript Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Punkt, senkrechte Gerade (Übungsvideo)

Hallo! Wir haben folgende Aufgabe hier aus der Koordinatengeometrie. Es ist ein Punkt gegeben, und zwar der Punkt mit den Koordinaten -5 und -1. Wir suchen eine Gerade, die senkrecht zu der Geraden mit der Funktion y=-¾x+3 ist. So eine Aufgabe kennst du schon aus der Mittelstufe, als du noch lineare Funktionen gemacht hast. Hier ist der kleine Unterschied, dass wir jetzt die Gerade, die da herauskommen soll, nicht als Funktion interpretieren wollen, sondern als Lösungsmenge einer solchen Gleichung: ax+by=c. Eine solche Gleichung wollen wir auch haben - das hattest du in der Mittelstufe nicht - und das ist dann aber auch schon quasi der einzige Unterschied im Verständnis. Ich möchte hier zeigen, wie das ganz elementar funktioniert, ohne Punktsteigerungsformen und so etwas. Das ist folgendermaßen: Wir wissen, und du weißt es auch noch aus der Mittelstufe, wenn wir eine Funktion suchen... Ich fange mit der Funktion an und nicht mit dieser Gleichung. Wir suchen eine Funktion, die senkrecht zu dieser hier ist. Dann gilt für die Steigerung, die wir suchen, dass m×(-¾ )=-1 sein soll. Die Steigung dieser Funktion hier, dieses Graphen, ist ja -¾ und das muss gelten, damit hier m die Steigung einer Funktion ist, die senkrecht zu dieser Funktion verläuft. Da kriegen wir Folgendes raus: Ich teile durch -¾, also rechne mal -4/3, Minus mal Minus ist Plus und dann haben wir hier einfach stehen, dass m=4/3 ist. Und 4/3 setze ich jetzt schon einmal in die Geradengleichung in Normalform ein. Geradengleichung in Normalform bedeutet y=m×x+n. Für y kann ich hier zum Beispiel diese y-Koordinate des Punktes einsetzen, die ist -1. Für x kann ich -5 einsetzen. Plus n, das kenne ich noch nicht. Aber wenn ich das jetzt ausrechne, dieses n, dann bin ich quasi eigentlich schon fertig mit der Aufgabe. Dann muss man es nur noch eben in diese Form bringen. Was kommt heraus? Wir haben hier 20/3, -20/3 besser gesagt, wenn man das hier ausrechnet. Dann bringe ich das auf die andere Seite, indem ich +20/3 rechne. Wir wissen, dass -1=-3/3 ist, dann haben wir hier letzten Endes 20/3-3/3=17/3=n. Damit heißt jetzt die Funktionsgleichung der Geraden in Normalform, die wir suchen, y= (Steigung einsetzen) y=4/3x+17/3 - und wenn man das jetzt noch in diese Form bringen möchte, in die Form a×x+b×y=c, dann muss man die 4/3x auf die andere Seite bringen, indem man rechnet -4/3x und dann die ganze Gleichung mit 3 multiplizieren. Das ist nicht unbedingt erforderlich, aber meistens, wenn du solche Aufgaben bekommst, sollst du diese Gleichung hier mit ganzzahligen a, b und c angeben. Das erhält man, indem man die Gleichung noch mit 3 multipliziert. Dann steht da: -4x+3y=17. Das ist die Funktionsgleichung. Wollt ihr noch irgendwas dazu sagen? Nein, ich glaube nicht. Wie sieht das Ding aus? Wir können es vielleicht hier an der Normalform uns eben angucken. Wir haben den Y-Achsenabschnitt bei 17/3. 15/3 das ist 5, 2/3 dazu sind dann 17/3. Das heißt, das wird hier oben irgendwo sein. Der Funktionsgraph, den wir gesucht haben, müsste dann hier ungefähr verlaufen. Passt nicht ganz drauf, ist nicht schlimm, hier ist auf jeden Fall die Gleichung dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.                                     

Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Punkt, senkrechte Gerade (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Punkt, senkrechte Gerade (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe den Zusammenhang zwischen den Steigungen zweier Geraden, die senkrecht aufeinander stehen.

    Tipps

    Wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, dann haben deren Steigungen verschiedene Vorzeichen.

    Wenn eine Gerade sehr stark ansteigt, dann

    • fällt zum einen die dazu senkrechte Gerade und
    • zum anderen ist das Fallen dieser Geraden im Verhältnis weniger stark.

    Die Steigung einer Geraden sei $m=\frac32$. Eine zu dieser Geraden senkrechte Gerade muss somit die Steigung $m=-\frac23$ haben. Es werden also Zähler und Nenner sowie das Vorzeichen vertauscht.

    Lösung

    Die Gleichung einer Geraden in Koordinatenform lautet $ax+by=c$. Um diese herzuleiten, stellt man die Gleichung einer Geraden in der Form $y=mx+b$ mit der Steigung $m$ und dem y-Achsenabschnitt $b$ auf. Dabei geht man wie folgt vor:

    1. Man bestimmt die Steigung.
    2. In der Gleichung mit der gegebenen Steigung setzt man einen gegebenen Punkt ein und löst diese Gleichung nach dem y-Achsenabschnitt $b$ auf.
    Wie kann man die Steigung bestimmen? Wenn die Steigung einer senkrechten Geraden gegeben ist, kann man ausnutzen, dass das Produkt der Steigungen von zueinander senkrechten Geraden $-1$ ergibt. Also ist

    $m\cdot \left(-\frac34\right)=-1$.

    Nun kann man diese Gleichung nach $m$ auflösen. Man kann auch wie folgt vorgehen: Man bildet den Kehrwert der bekannten Steigung und vertauscht das Vorzeichen. In beiden Fällen erhält man:

    $m=\frac43$.

  • Stelle die Koordinatengleichung der Geraden auf.

    Tipps

    Stelle zunächst die Funktionsgleichung $y=mx+b$ auf.

    Für die Steigungen zweier senkrechter Geraden gilt, dass deren Produkt $-1$ ist.

    Bei gegebener Steigung erhältst du den y-Achsenabschnitt, indem du einen bekannten Punkt in der Funktionsgleichung einsetzt.

    Aus der Funktionsgleichung $y=mx+b$ erhältst du die Koordinatenform, indem du $mx$ subtrahierst:

    $-mx+y=b$.

    Gegebenenfalls kannst du die gesamte Gleichung noch so multiplizieren, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

    Lösung

    Um die Funktionsgleichung $y=mx+b$ zu erstellen, bestimmt man zunächst die Steigung. Aufgrund der Tatsache, dass die beiden Geraden senkrecht aufeinander stehen, weiß man, dass das Produkt der beiden Steigungen $-1$ sein muss. Um dies zu erreichen, bildet man den Kehrwert der bekannten Steigung und vertauscht das Vorzeichen. Somit ist $m=\frac43$ und man kann die Gleichung bereits mit dieser bekannten Steigung aufschreiben

    $y=\frac43x+b$.

    Um den y-Achsenabschnitt zu bestimmen, setzt man den bekannten Punkt $P$ in die Gleichung ein:

    $\begin{align} -1&= \frac43\cdot (-5)+b &|&+\frac{20}3\\ \frac{17}3&=b. \end{align}$

    Die gesuchte Funktionsgleichung lautet somit: $y=\frac43x+\frac{17}3$.

    Dies ist jedoch keine Koordinatengleichung. Diese erhält man durch Subtraktion von $\frac43x$:

    $-\frac43x+y=\frac{17}3$.

    Um ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten, wird diese Gleichung mit $3$ multipliziert und man erhält $-4x+3y=17$. Dies ist eine Koordinatengleichung.

  • Bestimme zu jeder Funktionsgleichung $y=mx+b$ die Koordinatengleichung $ax +by=c$.

    Tipps

    Dies ist bereits eine Koordinatenform. Eine Koordinatenform ist nicht eindeutig. Sie wird jedoch häufig so aufgeschrieben, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

    Mulitpliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller in der Gleichung vorkommenden Nenner.

    Diese Koordinatenform kann auch vereinfacht werden zu $x+y=1$.

    Lösung

    Um von der Funktionsgleichung einer linearen Funktion zu einer Koordinatenform zu gelangen, geht man wie folgt vor:

    1. $y=mx+b$: Man subtrahiert $mx$ zu $-mx+y=b$.
    2. Wenn alle Koeffizienten bereits ganzzahlig sind, ist man fertig.
    3. Andernfalls multipliziert man die gesamte Gleichung so, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.
    Schauen wir uns der Reihe nach die Funktionsgleichungen an.

    Zu $y=\frac12x-4$ finden wir folgendermaßen die Koordinatenform:

    $\begin{align} y&=\frac12x-4&|&-\frac12x\\ -\frac12x+y&=-4&|&\cdot 2\\ -x+2y&=-8. \end{align}$

    Natürlich könnte man diese Gleichung mit jeder beliebigen Zahl ungleich $0$ multiplizieren. Die zugehörige Gerade bliebe die gleiche. Allgemein multipliziert man mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Nenner. Dies kann man in dem folgenden Beispiel zu $y=-\frac23x+\frac54$ sehen:

    $\begin{align} y&=-\frac23x+\frac54&|&+\frac23x\\ \frac23x+y&=\frac54&|&\cdot 12\\ 8x+12y&=15. \end{align}$

    Manchmal – wie bei $y=2x-3$ – muss man auch gar nicht multiplizieren:

    $\begin{align} y&=2x-3&|&-2x\\ -2x+y&=-3. \end{align}$

    Schauen wir uns zuletzt $y=-\frac53x+2$ an:

    $\begin{align} y&=-\frac53x+2&|&+\frac53x\\ \frac53x+y&=2&|&\cdot 3\\ 5x+3y&=6. \end{align}$

  • Leite die Geradengleichung in Koordinatenform her.

    Tipps

    Stelle zunächst die lineare Funktionsgleichung auf:

    $y=mx+b$.

    Die Steigungen paralleler Geraden sind identisch.

    Forme die Funktionsgleichung in eine Koordinatenform um:

    1. Subtrahiere $mx$ und
    2. multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Nenner sofern notwendig.

    Lösung

    Gesucht ist zunächst eine Funktionsgleichung $y=mx+b$. Da die gesuchte Gerade parallel zum Graph der Funktion $y=\frac12 x + 2$ verläuft, stimmen die Steigungen überein. Es ist also $m=\frac12$ und damit

    $y=\frac12x+b$.

    Nun kann man den bekannten Punkt $P(6|-1)$ in dieser Gleichung einsetzen, um den y-Achsenabschnitt zu berechnen:

    $-1=\frac12\cdot 6+b$.

    Durch Subtraktion von $3$ erhält man $b=-4$. Die Funktionsgleichung ist dann gegeben durch

    $y=\frac12x-4$.

    Diese kann nun noch so umgeformt werden, dass eine Koordinatenform vorliegt:

    $\begin{align} y&=\frac12x-4 &|&-\frac12x\\ -\frac12x+y&=-4 &|&\cdot 2\\ -x+2y&=-8. \end{align}$

    Dies ist die gesuchte Koordinatenform.

  • Gib an, wie die Gleichung einer Geraden in Koordinatenform aussieht.

    Tipps

    Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion oder die Lösungsmenge einer Koordinatengleichung.

    Eine Koordinatengleichung ist eine Gleichung.

    Die Gleichung einer linearen Funktion lautet:

    $y=mx+b$,

    wobei $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt ist.

    Lösung

    Hier ist die Koordinatengleichung einer Geraden zu sehen.

    Worin besteht der Unterschied zu

    $y=mx+b$?

    Dies ist eine Funktionsgleichung. Man kann verschiedene Werte für $x$ einsetzen und erhält dann $(x|y)$-Paare, welche man in ein x-y-Koordinatensystem eintragen kann. Die Verbindung dieser Punkte ist eine Gerade.

    Die Koordinatengleichung ist eine Gleichung. Die Lösungsmenge dieser Gleichung besteht aus Paaren $(x|y)$ und ist eine Gerade.

    Man kann aus der Funktionsgleichung eine Koordinatengleichung herleiten:

    $-mx+y=b$.

    Der Vorteil der Koordinatengleichung ist, dass man die Achsenabschnittpunkte gut ablesen kann.

    Sei zum Beispiel $2x+3y=2$. Die Nullstelle ist $x=\frac22=1$ und der y-Achsenabschnitt $y=\frac23$.

  • Ermittle die Koordinatengleichung zu einer Geraden durch die Punkte $P_1(5|-13)$ und $P_2(2|5)$.

    Tipps

    Leite zunächst die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion her:

    $y=mx+b$,

    wobei $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt ist.

    Verwende diese Formel zur Berechnung der Steigung einer Geraden durch die Punkte $P_1(x_1|y_1)$ sowie $P_2(x_2|y_2)$.

    Die Steigung ist ganzzahlig, der y-Achsenabschnitt auch.

    Du musst bei der Herleitung der Koordinatengleichung nicht multiplizieren.

    Die Summe der Koeffizienten ist $24$.

    Lösung

    Ganz allgemein lautet die Geradengleichung

    $y=mx+b$,

    wobei $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt ist.

    Hier ist

    $m=\frac{5-(-13)}{2-5}=\frac{18}{-3}=-6$.

    Nun kann bereits die Gleichung mit der bekannten Steigung aufgeschrieben werden: $y=-6x+b$.

    Zur Bestimmung des y-Achsenabschnittes wird einer der beiden Punkte in dieser Gleichung eingesetzt, zum Beispiel $P_2(2|5)$, und man erhält:

    $5=-6\cdot 2+b$.

    Durch Addition von $12$ gelangt man zu $b=17$ und es kann schließlich die Funktionsgleichung aufgeschrieben werden:

    $y=-6x+17$.

    Aus dieser Funktionsgleichung kann die Koordinatengleichung wie folgt hergeleitet werden:

    $\begin{align} y&= -6x+17 &|&+6x\\ 6x+y&= 17. \end{align}$

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