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Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Parallele Gerade, Abstand (Übungsvideo)

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Martin Wabnik
Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Parallele Gerade, Abstand (Übungsvideo)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Parallele Gerade, Abstand (Übungsvideo)

Hallo und Herzlich Willkommen zum Video „ Koordinatengeometrie - Geradengleichung aufstellen 4 “. Wir suchen eine Geradengleichung. Die Gerade soll parallel zur x- Achse verlaufen und zu dieser Achse den Abstand 3 besitzen. Es gibt zwei verschiedene Lagemöglichkeiten. Wir müssten somit zwei Geradengleichungen der Form ax + bx = c als Lösung erhalten. Wie kann man nun die Geradengleichungen bestimmen? Wir erklären es dir Schritt für Schritt! Wenn dir die Erklärungen zu schell gehen, dann nutze die Möglichkeit und halte das Video zwischendurch an. Viel Spaß beim Schauen des Lehrfilms.

Transkript Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Parallele Gerade, Abstand (Übungsvideo)

Hallo. Wir suchen eine Geradengleichung, und zwar mit folgender Vorgabe: Die Gerade soll parallel zur x-Achse sein und sie soll zu dieser Achse den Abstand 3 haben. Da überlegen wir uns erst mal, was bedeutet das, den Abstand drei. Also, parallel zur x-Achse ist klar. Sie verläuft so. Abstand 3 könnte zum Beispiel bedeuten, sie geht hier durch den y-Achsenabschnitt 3 und verläuft hier so parallel zur x-Achse. Aber sie kann auch durch -3 gehen, hier, -3 ist hier. Also, sie kann auch so verlaufen. Das heißt, wir kriegen zwei Lösungen. Zwei Geraden verlaufen parallel zur x-Achse und haben den Abstand 3 zu dieser x-Achse. Wir wollen eine Geradengleichung haben, die die Form hat (a Ø x) + (b Ø y) = c. Und, wenn b ungleich 0 ist, was wir hier jetzt einfach mal voraussetzten, dann können wir auch durch b teilen. Übrigens, wenn b = 0 ist, dann wird die Sache hier gar nicht funktionieren. Deshalb kann man das hier, wie man so sagt, ohne Einschränkung der Allgemeinheit oder ohne Beschränkung der Allgemeinheit voraussetzten, dass b ungleich 0 ist. Und dann können wir hier also diese Gleichung durch b teilen und nach y auflösen und erhalten y = (-a/b Ø x) + c/b. Dann suchen wir ja nun Zahlen, die wir für a, b und c einsetzen können. Wir wissen aus der Normalform, das ist ja hier jetzt quasi die Normalform, das, was hier steht, ist die Steigung, -a/b ist die Steigung. Die Steigung soll hier gleich 0 sein, denn sonst würde die Gerade nicht parallel zur x-Achse verlaufen. Also wissen wir schon mal  -a/b = 0, und wir kennen auch den y-Achsenabschnitt dieser Geraden hier, das ist nämlich das hier hinten in der Normalform, also c/b muss gleich 3 sein. Jetzt fehlt uns aber noch eine Variable. Wir haben ja hier drei Variablen und zwei Gleichungen und dann legen wir einfach mal fest, dass b gleich 1 sein soll. Wir könnten auch b gleich 17,3 setzen, auch das würde funktionieren, würde die Sache aber unnötig kompliziert machen. Und wenn man also sich die Sache einfach machen kann, dann macht man das auch in der Mathematik und deshalb sage ich mal einfach b = 1. Das ist ja übrigens auch ein ganz übliches Vorgehen. Wenn du jetzt zwei Gleichungen mit drei Variablen hast, dass du dir dann eine der Variablen aussuchst, je nachdem, ob das in diesem Zusammenhang sinnvoll ist. Hier geht es. Daraus folgt dann, dass -a gleich 0 sein muss, also muss a gleich 0 sein. Das habe ich hier schon mal direkt hingeschrieben. Wir wissen auch, wenn b gleich 1 ist, steht hier c/1 = 3, also muss c gleich 3 sein, sehr elementar. Und wenn wir jetzt schon wissen, dass a gleich 0 ist und c gleich 3 und b gleich 1, dann können wir das quasi hier in diese Gleichung einsetzen. Nicht nur quasi, wir können das auch. Dann steht hier nämlich, a ist 0; 0×x plus, b, haben wir gesagt ist 1, 1×y=3. Und das ist also hier die Geradengleichung, die wir gesucht haben beziehungsweise, es ist eine Geradengleichung, denn hier habe ich ja, und das ist doch hier eine Beschränkung der Allgemeinheit, gesagt, dass c/b gleich 3 sein soll. Dann komme ich auf diese Gerade. Wenn ich aber sage c/b soll gleich -3 sein, dann komme ich auf diese Gerade. Um die Gleichung also vollständig zu lösen, müsste man hier noch die Sache durchrechnen mit c/b = -3. Das funktioniert genau so. Das ist kein Problem, das mache ich jetzt nicht noch mal vor. Was du dir hier aber auch überlegen kannst, an dieser Gleichung selber; warum kommt da eine Gerade raus, die parallel zur x-Achse in der Höhe oder im Abstand 3 verläuft? Also, wir können uns erst mal überlegen, wenn wir 0 Ø x rechnen, dann spielt dieses 0 Ø x hier keine Rolle, denn das ist 0. Also, zumindest für das Ergebnis hier spielt es keine Rolle. Dann können wir uns überlegen, wie groß muss denn y sein, damit 0 + 1 Ø y = 3 ist. Richtig, y muss 3 sein sonst geht das nicht. Das heißt, wir haben für alle Zahlenpaare, die hier irgendwie infrage kommen und Lösungen der Gleichung sein können, muss immer gelten y muss 3 sein. Anders funktioniert das nicht. Und das ist letzten Endes hier, dass jede y-Koordinate eines Punktes dieser Geraden gleich 3 ist. Ja, so kann man das hier sehen. Und wir wissen auch, da wir ja x mit 0 multiplizieren, dass es völlig egal ist, was wir für x einsetzen. Ja, 0 mal irgendwas ist sowieso immer 0 und deshalb können wir hier, wenn wir die y-Koordinate festgesetzt haben, hier, dann können wir alle möglichen x einsetzen. Das ist ganz egal. Alles ist richtig und dann erhalten wir so eine Gerade. Ja, ich sage das deshalb so ausführlich, weil das in der Vektorrechnung dann noch mal kommt. Dann geht es in dreidimensionalen Raum. Dann kann man das hier schon mal erkennen, warum eine solche Gleichung, eine solche Gerade produziert, wie man so sagen kann. Gut, das war es. Bis dahin! Tschüss!

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. @Lanou 70:
    Du hast recht. Ich werde das entsprechend ändern. Vielen Dank für deinen Kommentar!

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 6 Jahren
  2. Wenn ich sie nach x auflöse bekomme ich -6/0,5-0y=-12

    Von Lanou 70, vor mehr als 6 Jahren
  3. @Lanou 70:
    Es gibt zwei Geraden, die parallel zur y-Achse mit dem Abstand 3 liegen: x=3 und x=(-3). Jetzt schau dir die richtige Lösung einmal an und löse die Gleichung nach x auf. Was erhältst du dann?
    Ich hoffe, dass ich dir mit dem Kommentar helfen kann.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 6 Jahren
  4. Ich verstehe die Lösung der Übungsaufgabe nicht (0,5x+0y=-6)

    Müsste sie nicht 1*x+0y=3 lauten

    Von Lanou 70, vor mehr als 6 Jahren

Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Parallele Gerade, Abstand (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradengleichung bestimmen – Gegeben: Parallele Gerade, Abstand (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung, wie die Koordinatenform einer Geraden, die im Abstand von $3$ Einheiten parallel zur x-Achse verläuft, hergeleitet wird.

    Tipps

    Die Steigung einer Geraden lässt sich mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen:

    $\large{m=\frac{\Delta y}{\Delta x}}$.

    Bei einer zur x-Achse parallelen Geraden sind alle y-Werte gleich.

    Beim Umformen der Koordinatengleichung musst du durch $0$ dividieren. Dies kannst du auch tun, da man voraussetzen darf, dass $b\neq 0$ ist.

    Lösung

    Gesucht ist eine Geradengleichung. Die Gerade soll parallel zur x-Achse verlaufen und zu dieser den Abstand $3$ haben.

    Diese Gerade hat entweder den y-Achsenabschnitt $3$ oder $-3$. Das bedeutet, dass es zu dieser Aufgabenstellung zwei Lösungen geben wird.

    Gesucht ist die Geradengleichung in Koordinatenform: $ax+by=c$. Diese formt man zunächst in eine Funktionsgleichung um:

    $\begin{align} ax+by&= c&|&-ax\\ by&= -ax+c&|&:b\\ y&= -\frac ab x+\frac cb. \end{align}$

    Dabei darf man von $b\neq 0$ ausgehen, da die zugehörige Gerade ansonsten parallel zur y-Achse verlaufen würde.

    Die Parallelität zur x-Achse bedeutet, dass die Steigung $0$ ist und somit $-\frac ab=0$ gilt.

    Mit dem y-Achsenabschnitt $3$ erhält man eine weitere Bedingung für die Koeffizienten, nämlich

    $\frac cb=3$.

    Wenn man den anderen y-Achsenabschnitt $-3$ verwenden würde, würde alles Folgende vollkommen analog verlaufen.

  • Gib eine Koordinatengleichung der Geraden an.

    Tipps

    Du hast zwei Bedingungen an die Koeffizienten:

    • $\large{-\frac ab=0}$ sowie
    • $\large{\frac cb=3}$.

    Ein Bruch wird $0$, wenn der Zähler $0$ wird.

    Die gesuchte Gerade verläuft parallel zur x-Achse durch $y=3$.

    Lösung

    Gesucht ist die Koordinatenform $ax+by=c$ einer Geraden, die

    • parallel zur x-Achse verläuft und
    • zu dieser den Abstand $3$ hat.
    Diese Gerade hat entweder den y-Achsenabschnitt $3$ oder $-3$.

    Durch Umformung gelangt man zu der Funktionsgleichung

    $\begin{align} ax+by&= c&|&-ax\\ by&= -ax+c&|&:b\\ y&= -\frac ab x+\frac cb. \end{align}$

    Dabei darf man von $b\neq 0$ ausgehen, da die zugehörige Gerade ansonsten parallel zur y-Achse verlaufen würde.

    Da die Gerade parallel zur x-Achse verläuft, hat sie die Steigung $0$, also ist $-\frac ab=0$. Daraus folgt, dass $a=0$ sein muss.

    Mit dem y-Achsenabschnitt $3$ erhält man eine weitere Bedingung für die Koeffizienten, nämlich $\frac cb=3$. Mit der obigen Annahme $b=1$ folgt dann $c=3$.

    Die Koordinatengleichung lautet dann $0 x+1y=3$ oder vereinfacht $y=3$.

    Was wäre denn passiert, wenn man $b=3$ gewählt hätte? Dann wäre $c=9$. Damit lautet die Koordinatengleichung $0x+3y=9$. Auch diese kann vereinfacht werden: $3y=9$. Diese Gleichung sieht zwar anders aus, besitzt aber dieselbe Lösungsmenge $y=3$.

    Wenn man den anderen y-Achsenabschnitt verwenden würde, würden die entsprechenden Rechnungen analog verlaufen und die Geradengleichung würde letztlich $y=-3$ lauten.

  • Ermittle zu jeder der gegebenen Koordinatenformen eine Funktionsgleichung.

    Tipps

    Eine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet

    $y=mx+b$,

    wobei $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt ist.

    Du kannst ganz allgemein die Gleichung $ax+by=c$, mit $b\neq0$, so umformen, dass sie die Form einer Funktionsgleichung besitzt.

    Die Steigung ist gegeben durch den Faktor vor dem $x$ mit umgekehrtem Vorzeichen dividiert durch den Faktor vor dem $y$.

    Der y-Achsenabschnitt ist gegeben als Quotient aus der rechten Seite der Koordinatengleichung und dem Faktor vor dem $x$.

    Lösung

    Man kann von einer Funktionsgleichung zu einer Koordinatengleichung gelangen und umgekehrt, sofern die Gerade nicht parallel zur y-Achse ist, von einer Koordinatengleichung zu einer Funktionsgleichung.

    Eine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet

    $y=mx+b$,

    wobei $m$ die Steigung und $b$ der y-Achsenabschnitt ist.

    Schauen wir uns der Reihenfolge nach die Koordinatenformen an. Beginnen wir mit $3x-2y=12$:

    $\begin{align} 3x-2y&= 12&|&-3x\\ -2y&= -3x+12&|&:(-2)\\ y&= +\frac32x-6. \end{align}$

    Man kann natürlich auch die Koordinatengleichung allgemein umformen:

    $\begin{align} ax+by&= c&|&-ax\\ by&= -ax+c&|&:b\\ y&= -\frac abx+\frac cb. \end{align}$

    Dann ist die Steigung gegeben durch $-\frac ab$ und der y-Achsenabschnitt $\frac cb$. Dann muss man nicht jedes Mal wieder umrechnen:

    Somit ist bei $2x+3y=6$ der Koeffizient $a=2$, $b=3$ und $c=6$. Damit ist $y=-\frac23x+2$.

    Ebenso können wir mit $-x-y=4$ verfahren, wo $a=-1$, $b=-1$ und $c=4$ ist. Damit erhalten wir $y=-x-4$.

    Letztlich formen wir $-4x-2y=-8$ um und erhalten mit $a=-4$, $b=-2$ und $c=-8$ die Funktionsgleichung $y=-2x+4$.

  • Entscheide, welche der Geraden parallel zur y-Achse im Abstand $3$ verläuft.

    Tipps

    Wenn eine Gerade parallel zur y-Achse mit Abstand $3$ verläuft, liegen auf ihr alle Punkte der Form $(3|y)$ oder $(-3|y)$.

    Eine zur y-Achse parallele Gerade hat einen festen x-Wert.

    Eine zur x-Achse parallele Gerade hat einen festen y-Wert. Ihre Gleichung lautet $y=c$, wobei $|c|$ der Abstand zur x-Achse ist.

    Lösung

    Eine Gerade, welche parallel zur x-Achse verläuft, hat die Gleichung

    $y=c$.

    Dabei ist $|c|$ der Abstand der Geraden zur x-Achse.

    Wie lautet die Gleichung einer zur y-Achse parallelen Geraden? Diese kann nicht mit Hilfe der Funktionsgleichung sowie der Steigung und dem y-Achsenabschnitt hergeleitet werden. Warum? Eine zur y-Achse parallele Gerade kann nicht der Graph einer Funktion sein, da zu einem $x$ unendlich viele $y$ gehören. Dies widerspricht der Definition einer Funktion: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.

    Schauen wir uns nochmal das obige Beispiel an: Eine zur x-Achse parallele Geraden hat für alle x-Werte den gleichen $y$-Wert. Dies führt zu $y=c$.

    Ebenso kann man für eine Gerade parallel zur y-Achse argumentieren: Der $x$-Wert ist immer gleich für jedes $y$. Somit lautet die Gleichung $x=c$, wobei $|c|$ der Abstand zur y-Achse ist.

    Somit ist die Gleichung gegeben durch $1x+0y=3$ oder $1x+0y=-3$.

    Jedes beliebige Vielfache von einer der beiden Gleichungen erfüllt diese Bedingungen auch. Damit sind auch

    • $2x+0y=6$ sowie
    • $-x+0y=3$
    entsprechende Koordinatengleichungen.

  • Stelle von der Koordinatenform $ax+by=c$ ausgehend eine lineare Funktionsgleichung $y=mx+b$ auf.

    Tipps

    Forme die Koordinatengleichung so um, dass sie die Form einer Funktionsgleichung hat.

    Du musst durch den Koeffizienten von $y$, also $b$, dividieren. Du darfst davon ausgehen, dass dieser ungleich $0$ ist. Ansonsten wäre die Gerade kein Graph einer Funktion.

    In der Funktionsgleichung ist der Faktor vor dem $x$ die Steigung und der Term, welcher alleine steht, der y-Achsenabschnitt.

    Lösung

    Dies ist eine Koordinatengleichung einer Geraden. Diese soll in eine Funktionsgleichung der Form

    $y=mx+b$,

    mit der Steigung $m$ und dem y-Achsenabschnitt $b$ umgeformt werden.

    Wenn in der Koordinatenform $b=0$ ist, verläuft die Gerade parallel zur y-Achse und kann somit nicht der Graph einer Funktion sein. Also nehmen wir $b\neq 0$ an.

    Nun kann die Koordinatengleichung wie folgt umgeformt werden:

    $\begin{align} ax+by&= c&|&-ax\\ by&= -ax+c&|&:b\\ y&= -\frac ab x+\frac cb. \end{align}$

    Der Faktor vor dem $x$ ist die Steigung, also $-\frac ab$, und der Term, welcher alleine steht der y-Achsenabschnitt, also $\frac cb$.

  • Leite für die Gerade, welche durch die Punkte $P_1(5|-13)$ und $P_2(2|5)$ verläuft, eine Gleichung in Koordinatenform her.

    Tipps

    Jeder Punkt $\large{P(p_x|p_y)}$ im x-y-Koordinatensystem hat als erste (linke) Koordinate die x-Koordinate $\large{p_x}$ und als zweite (rechte) die y-Koordinate $\large{p_y}$.

    Wenn man einen Punkt in die Koordinatengleichung einsetzt, sieht dies am Beispiel von $P(4|1)$ aus, wie in der Abbildung zu sehen.

    Wenn du eine Gleichung mit zwei Unbekannten hast, kannst du eine Unbekannte frei wählen.

    Lösung

    Es soll eine Koordinatengleichung $ax+by=c$ zu der Geraden aufgestellt werden, welche durch diese beiden Punkte verläuft.

    Zunächst setzt man die Koordinaten der beiden Punkte in dieser Gleichung ein und erhält ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten ($a$, $b$ und $c$):

    $\begin{align} 5a-13b&=c\\ 2a+5b&=c \end{align}$

    Wenn man von der unteren Gleichung die obere subtrahiert, erhält man

    $-3a+18b=0$.

    Nun kann man eine der beiden Unbekannten frei wählen, zum Beispiel $a=6$. Dann ist

    $-3\cdot 6+18b=0$, also $18b=18$. Es gilt also $b=1$.

    Zuletzt werden $a=6$ und $b=1$ in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt, um $c$ zu erhalten, zum Beispiel in die untere der beiden Gleichungen $2a+5b=c$:

    $2\cdot 6+5\cdot 1=17=c$.

    Somit erhält man die Koordinatengleichung

    $6x+y=17$.

    Wenn man statt $a=6$ irgendeine andere Zahl genommen hätte, wäre man auf ein Vielfaches dieser Koordinatengleichung gekommen.

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