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Die Winkelhalbierende 08:08 min

Textversion des Videos

Transkript Die Winkelhalbierende

Hallo, hier ist Mandy. Heute erkläre ich dir etwas über die Winkelhalbierende. Dazu werde ich dir folgende Fragen beantworten: 1. Was ist die Winkelhalbierende? Und 2. Wie konstruiert man die Winkelhalbierende? Die Konstruktion der Winkelhalbierenden erfolgt dabei nur mit Zirkel und Lineal. Beginnen wir mit Frage 1: Was ist die Winkelhalbierende? Die Winkelhalbierende ist ein Strahl, der durch den Scheitelpunkt S verläuft und den Winkel, der von 2 Schenkeln eingeschlossen wird, halbiert. Versuchen wir eine Skizze zu dieser Definition zu zeichnen. Wir zeichnen uns 2 Schenkel p und q, die den Winkel ? einschließen. Die Schenkel schneiden sich im Punkt S, den sogenannten Scheitelpunkt. Der Winkel ? wird durch einen Strahl halbiert. Hier wird auch der Name deutlich, das ist die Winkelhalbierende w. Sie halbiert den Winkel ?. Es handelt sich um einen Strahl, da die Winkelhalbierende einen Anfangspunkt besitzt, nämlich S, aber keinen Endpunkt. Diese Definition ist sehr anschaulich, da sie die wesentlichen Eigenschaften einer Winkelhalbierenden zusammenfasst. Es gibt allerdings noch eine weitere Definition für die Winkelhalbierende, die einem bereits Hinweise für die Konstruktion der Winkelhalbierenden liefert. Sie lautet: Die Winkelhalbierende ist die Menge aller Punkte, die von den 2 Schenkeln des Winkels immer den gleichen Abstand haben. Was heißt das? Hier steht, dass wir 2 Schenkel gegeben haben, das sind bei uns p und q. Sie schneiden sich im Scheitelpunkt S. Diese Schenkel haben den gleichen Abstand zu einer Menge aller Punkte. Welche Punkte sind damit eigentlich gemeint? Das sind die Punkte, die die Winkelhalbierende bilden. Die Winkelhalbierende besteht nämlich aus unendlich vielen Punkten, die so dicht beieinanderliegen, dass es aussieht, als hätte man eine Linie. Nehmen wir zum Beispiel den Punkt y, dieser Punkt hat zu den Schenkeln p und q den gleichen Abstand. Nennen wir die Schnittpunkte mit den Schenkeln t und u. Damit gilt: ty=uy. Der Abstand wird dabei im rechten Winkel gemessen, da sich die kürzeste Entfernung durch eine senkrechte Strecke ermitteln lässt. Wenn wir noch mal nachmessen, sehen wir, dass die Abstände tatsächlich gleich groß sind, nämlich 5,5 cm. Versuchen wir es noch mal mit einem anderen Punkt. Nehmen wir zum Beispiel x. Dann nennen wir die Schnittpunkte mit den Schenkeln r und q. Diese Abstände sind auch gleich, messen wir einfach nach und wir sehen, dass sie tatsächlich gleich sind, nämlich 4 cm. Diese Eigenschaft können wir für die Konstruktion nutzen. Beim Konstruieren der Winkelhalbierende finden wir zuerst die Punkte auf den Schenkeln und von dort dann die Punkte auf der Winkelhalbierenden. Beginnen wir noch mal von vorn und fertigen eine saubere Konstruktion mit Konstruktionsbeschreibung an. Wir kommen also zu Frage 2: Wie konstruiert man die Winkelhalbierende? Zuerst zeichnen wir einen Schenkel p, der im Scheitelpunkt S beginnt. Wir wählen uns dann einen Winkel ? von 50 Grad und tragen diesen an den Schenkel p an. Wir erhalten damit den Schenkel q. Das ist unsere Grundfigur, nun konstruieren wir die Winkelhalbierende. Dazu spannen wir den Zirkel mit einer beliebigen Länge, nennen wir sie r. Diese Länge sollte allerdings nicht zu groß sein, da wir sonst beim weiteren Zeichnen aus dem Zeichenbereich gelangen könnten. Wir stechen mit der Zirkelspitze in den Scheitelpunkt S ein und zeichnen einen Kreisbogen mit dem Radius R um den Punkt S. Dabei schneiden wir die Schenkel p und q. Nennen wir diese Schnittpunkte einfach t und u. Nun wenden wir die Eigenschaft an, die du eben kennengelernt hast. So haben die Punkte t und u zu einem Punkt auf der Winkelhalbierenden den gleichen Abstand. Diese Eigenschaft können wir wieder mit dem Zirkel umsetzen. Wir nehmen dazu wieder eine beliebige Zirkelspanne und zeichnen jeweils einen Kreisbogen um t und u, mit demselben Radius L, also der gleichen Zirkelspanne. Die Kreisbögen schneiden sich in einem Punkt, nennen wir ihn v. Diese beiden Kreisbögen dürfen nicht zu klein sein, da man sonst keinen Schnittpunkt erhält, aber auch nicht zu groß, da man sonst außerhalb des Zeichenblattes zeichnet. Beachte dabei besonders: Die Zirkelspannen müssen identisch sein. Nun müssen wir noch den Scheitelpunkt mit dem Punkt v verbinden und erhalten die Winkelhalbierende w. Wir messen mal nach, ob die Winkelhalbierende wirklich den Winkel ? halbiert. Da wir einen Winkel von 50 Grad gewählt haben, muss dieser halbe Winkel nun 25 Grad betragen. Und tatsächlich, er beträgt 25 Grad, wir haben also alles richtig gemacht.  Blicken wir noch ein mal zurück und formulieren die Konstruktionsbeschreibung. Zuerst haben wir die Grundfigur konstruiert. Sie setzt sich aus den Schenkeln p und q, dem Scheitelpunkt S und den Winkel ? zusammen. Danach zeichnen wir einen Kreisbogen um den Scheitelpunkt S mit einem beliebigen Radius R. Anschließend kennzeichnen wir die Schnittpunkte mit den Schenkeln, zum Beispiel mit t und u. Dann zeichnen wir jeweils einen Kreisbogen um t und u mit dem gleichen Radius, zum Beispiel L. Der Schnittpunkt der Kreisbögen ist zum Beispiel v. Diesen Punkt v verbinden wir mit dem Scheitelpunkt S, um die Winkelhalbierende zu erhalten.  Heute hast du viel über die Winkelhalbierende gelernt. Du kennst jetzt deren Eigenschaften, die du aus den Definitionen entnehmen kannst. So ist die Winkelhalbierende ein Strahl, der einen Winkel, der von 2 Schenkeln eingeschlossen wird, halbiert. Weiterhin ist sie die Menge aller Punkte, die von 2 Schenkeln eines Winkels den gleichen Abstand haben. Aus der letzten Definition haben wir uns hergeleitet, wie man die Winkelhalbierende konstruiert. Dazu haben wir uns eine Konstruktionsbeschreibung erarbeitet. Und nun sage ich bye bye und bis zum nächsten Mal.  

70 Kommentare
  1. ich habe alle aufgaben richtig...yeah

    Von Silke Hieronimus, vor 6 Monaten
  2. Super hat mir sehr geholfen! :-)

    Von Girma Azeb, vor 8 Monaten
  3. Hat mir sehr geholfen: )

    Von Sarah H., vor 9 Monaten
  4. Hallo Wadi Raid,
    zeichnet ihr in deinem Unterricht die Winkelhalbierende immer als Gerade? Üblicherweise ist die Winkelhalbierende tatsächlich ein Strahl, der im Scheitel beginnt.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 10 Monaten
  5. Aber sonst :D :D :D

    Von Wadi Raid, vor 10 Monaten
  1. Da ist ein Fehler beim Zeichnen passiert :
    der Strahl ist eine Gerade und endet nicht
    im Scheitel

    Von Wadi Raid, vor 10 Monaten
  2. Gg

    Von Ba Frings, vor 11 Monaten
  3. Hallo Martinadiefenbacher,
    schau noch einmal ganz genau hin. Es gibt einen kleinen, feinen Unterschied zwischen den Antworten. :)
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 11 Monaten
  4. bei Aufgabe fünf ist zweimal die selbe Amtwort

    Von Deleted User 654292, vor 11 Monaten
  5. bruh

    Von Jonas D., vor mehr als einem Jahr
  6. echt gut erklärt aber
    etwas profossioneler bitte mit animation z.b
    bild qualität
    wer das auch so findet ein daumen hoch

    Von Chehata, vor mehr als einem Jahr
  7. Alle Aufgaben ohne einen Fehler gemeistert

    ihr könnt echt gut erklären

    :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :) :)

    Von H҉̀͝a͜͟͡c̡͡k͏̧҉̛e̴̶̡͡͡d̕͟ ͢é̢r̷̨͏r̶̶̢͡ò̴̕͜r̸̵̨, vor mehr als einem Jahr
  8. Super:)

    Von Emir!, vor mehr als einem Jahr
  9. Danke hab es jetzt sofort verstanden:) XD

    Von Fratzi1009, vor mehr als einem Jahr
  10. Manchmal hast du einbisschen genuschelt, da habe ich nichts verstanden, ansonsten war es super!

    Von Xhaiqua, vor fast 2 Jahren
  11. Gut erklärt!
    Nur wir haben nicht Strahl gelernt sondern einen anderen Begriff... Danke :-)

    Von Miss.E. ., vor fast 2 Jahren
  12. Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen

    Von Markovetsbuttig, vor fast 2 Jahren
  13. *bringen

    Von Markovetsbuttig, vor etwa 2 Jahren
  14. Frag mich nicht wieso
    Auf jeden Fall beachten sie was ich gleich darunter geschrieben habe der tipp würde uns das nächste Mal zum Ausflippen nehmen!!!!!
    DANKE

    Von Markovetsbuttig, vor etwa 2 Jahren
  15. Meine Mutter und ich haben noch nie so viel gelacht da die Begriffe Schenkel und Strahl etwas falsh verstanden worden sind
    Das nächste Mal will meine überallesgeliebte Mutter ein Video mit Flanken

    Von Markovetsbuttig, vor etwa 2 Jahren
  16. l

    o

    l

    Von Melaku1970, vor etwa 2 Jahren
  17. l

    o

    l

    Von Melaku1970, vor etwa 2 Jahren
  18. Sehr hilfreich
    Dankeschön ;)

    Von Nicole 49, vor mehr als 2 Jahren
  19. echt gut

    Von Steven L., vor mehr als 2 Jahren
  20. Hallo,
    Echt gutes Video.
    Nur zu Verständigung "stechen" (Minute 5) gibt es Fachsprachlich nicht!

    Von Samerker, vor mehr als 2 Jahren
  21. gutes Video :D !

    Von Alex Ageland, vor mehr als 2 Jahren
  22. Ich habe es kapiert, echt suuuupi. :-) ;-)

    Von Jonas Nelly b., vor mehr als 2 Jahren
  23. Ein hilfreiches Video:)

    Von Jannani1, vor mehr als 2 Jahren
  24. Vielen Dank Video hat mir sehr geholfen:)

    Von Mattis S., vor mehr als 2 Jahren
  25. Indem du oben auf übung klickst @Von barsanarif

    Von Mattis S., vor mehr als 2 Jahren
  26. Echt toll . Dankeschön!

    Von 5lions, vor fast 3 Jahren
  27. Echt toll, ich habs verstanden :D

    Von Ullrichs, vor fast 3 Jahren
  28. Wie kann man noch mal die Übungen machen zum Video ?

    Von Barsanarif, vor fast 3 Jahren
  29. Danke! Man versteht es echt super!

    Von Marlon B., vor etwa 3 Jahren
  30. echt toll!!

    Von Ilker C., vor etwa 3 Jahren
  31. sie machen es wirklich gut , weil man alles versteht

    Von N Bury, vor mehr als 3 Jahren
  32. viele dank
    habe es verstanden !

    Von Hanneshillmann, vor mehr als 3 Jahren
  33. Hallo Mandy,
    es wäre schön, wenn du hier auch den Ausdruck Winkelsymmetrale erwähnen würdest. Wir haben ziemlich lange gesucht um dieses Video zu finden, weil wir bei uns in der Schule nur Winkelsymmetrale benutzen. Ich dachte schon ich finde gar nichts.
    LG Jojo

    Von Jtkierstein, vor mehr als 3 Jahren
  34. Ezz! War Mega hilfreich Ezz gedreckt

    Von Hk0, vor fast 4 Jahren
  35. :,D

    Von S Lukas, vor etwa 4 Jahren
  36. Das Video ist echt super! Jetzt habe ich es verstanden. Danke ;)

    Von Julina J., vor mehr als 4 Jahren
  37. Dankeschön,ich hab es jetzt einfach perfekt verstanden dankee :)

    Von Hama97, vor mehr als 4 Jahren
  38. danke schön ich habe es verstanden :)

    Von Richard Wagner7, vor fast 5 Jahren
  39. :D

    Von Oldionabdija, vor fast 5 Jahren
  40. :)

    Von Oldionabdija, vor fast 5 Jahren
  41. Ich hab`s wieder verstanden.
    Vielen Dank.

    Von Oldionabdija, vor fast 5 Jahren
  42. Cool danke

    Von Oldionabdija, vor fast 5 Jahren
  43. danke

    Von Dreschner, vor fast 5 Jahren
  44. Das Video ist richtig, richtig genial!!! Hab´s jetzt verstanden, dankeschön!!!

    Von Sonnenschein2001, vor mehr als 5 Jahren
  45. Hat mir sehr weiter geholfen

    Von valentin t., vor mehr als 5 Jahren
  46. sehr gut

    Von Malexoae, vor mehr als 5 Jahren
  47. Vielen Dank, super gut erklärt.

    Von Kevin Schatz, vor mehr als 5 Jahren
  48. Super erklärt das muss man verstehen.

    Von Andrew3000, vor mehr als 5 Jahren
  49. Super erklärt, danke!

    Von Astrid 3, vor mehr als 5 Jahren
  50. danke das Video hat mir sehr geholfen:)

    Von Ariane Klass, vor fast 6 Jahren
  51. Das Video hat mir sehr weitergeholfen.

    Von Greenhill21, vor fast 6 Jahren
  52. Aha,jetzt hab ich's verstanden!!!

    Von Herrderringe, vor fast 6 Jahren
  53. jetzt hab ich es kapiert...

    Von Lordik, vor mehr als 6 Jahren
  54. hat weitergeholfen

    Von Telefon, vor mehr als 6 Jahren
  55. hat weitergeholfen

    Von Telefon, vor mehr als 6 Jahren
  56. Echt Super!!!;)

    Von Evangelia C., vor mehr als 6 Jahren
  57. cooles vid hat mir echt geholfen

    Von Rothfuss N, vor mehr als 6 Jahren
  58. Ich hab mrgen Schularbeit,und das Video hat mir sehr geholfen,DANKE

    Von Donya M., vor mehr als 6 Jahren
  59. Sehr gut erklärt

    Von R G Birghan, vor mehr als 6 Jahren
  60. Sehr gut erklärt!!Hat mir sehr geholfen!Danke!!

    Von Deleted User 39595, vor mehr als 6 Jahren
  61. Gut und verständlich erklärt worden!
    Hat mir geholfen!

    Von Spatz007, vor mehr als 6 Jahren
  62. Echt cool hat mir auch geholfen

    Von Minchenmaus1983, vor mehr als 6 Jahren
  63. Danke hilft mir richtig !

    Von Mgb, vor mehr als 6 Jahren
  64. hab es jetzt verstanden

    Von Lancelot D., vor mehr als 6 Jahren
  65. Danke hilft mir richtig !

    Von Ellakatana, vor mehr als 6 Jahren
Mehr Kommentare

Die Winkelhalbierende Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die Winkelhalbierende kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere, was eine Winkelhalbierende ist.

    Tipps

    Achte auf den Namen. Die Winkelhalbierende des Winkels $\alpha$ ist hier blau eingezeichnet.

    Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden ist die Länge des Lotes von diesem Punkt auf die Gerade. Dies kannst du hier erkennen.

    Blau eingezeichnet siehst du die Winkelhalbierende des Winkels $\alpha$.

    Beachte:

    • Eine Strecke hat einen Anfangs- und einen Endpunkt.
    • Ein Strahl hat einen Anfangspunkt, aber keinen Endpunkt.
    • Eine Gerade hat weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt.
    Lösung

    Wie der Name bereits vermuten lässt, halbiert die Winkelhalbierende einen Winkel.

    Schaue dir dieses Bild an. Von dem Scheitelpunkt $S$ gehen zwei Schenkel $p$ und $q$ ab. Diese schließen den Winkel $\alpha$ ein. Die Winkelhalbierende ist der Strahl, der diesen Winkel halbiert.

    Eine andere Definition kann verwendet werden, um die Winkelhalbierende zu konstruieren:

    Die Winkelhalbierende ist die Menge aller Punkte, welche von den beiden Schenkeln, die den Winkel einschließen, den gleichen Abstand haben.

    Dies ist in diesem Bild am Beispiel der beiden Punkte $X$ und $Y$ auf der Winkelhalbierenden zu erkennen.

  • Bestimme die gleich großen Abstände.

    Tipps

    Berücksichtige diese Definition einer Mittelsenkrechten:

    Die Winkelhalbierende ist die Menge aller Punkte, welche von den beiden Schenkeln, die den Winkel einschließen, den gleichen Abstand haben.

    Übertrage das obige Bild in dein Heft und miss die Längen.

    Es sind nur zwei Gleichungen richtig.

    Lösung

    Die Winkelhalbierende kann auch so definiert werden:

    Die Winkelhalbierende ist die Menge aller Punkte, welche von den beiden Schenkeln, die den Winkel einschließen, den gleichen Abstand haben.

    Diese Definition wird verwendet, um eine Winkelhalbierende zu konstruieren.

    In diesem Bild kannst da am Beispiel der beiden Punkte $X$ und $Y$ erkennen, dass die Abstände zu den beiden Schenkeln gleich groß sind:

    • $\left|\overline{TY}\right|=\left|\overline{UY}\right|$ und
    • $\left|\overline{QX}\right|=\left|\overline{RX}\right|$.
  • Beschreibe, wie eine Winkelhalbierende konstruiert wird.

    Tipps

    Beachte die Definition einer Winkelhalbierenden:

    Die Winkelhalbierende ist die Menge aller Punkte, welche von den beiden Schenkeln, die den Winkel einschließen, den gleichen Abstand haben.

    Alle Punkte auf dem Kreis um den Punkt $M$ mit dem Radius $r$ haben den gleichen Abstand zu $M$.

    Lösung

    Hier kannst du die Konstruktion Schritt für Schritt sehen.

    1. Du zeichnest ausgehend von dem Scheitelpunkt $S$ einen Schenkel $p$.
    2. An diesem Schenkel trägst du den Winkel $\alpha$ ab. So erhältst du den zweiten Schenkel $q$.
    3. Zeichne einen Kreis mit $S$ als Mittelpunkt. Wähle den Radius nicht zu groß, da ansonsten deine Zeichnung vielleicht zu groß wird.
    4. Dieser Kreis schneidet die beiden Schenkel in den Punkten $U$ und $T$.
    5. Zeichne nun um jeden dieser beiden Schnittpunkte einen Kreis. Diese beiden Kreise müssen den gleichen Radius haben.
    6. Ein Schnittpunkt dieser beiden Kreise sei der Punkt $V$. Dieser Punkt hat zu beiden Punkten den gleichen Abstand.
    7. Zuletzt zeichnest du von $S$ aus einen Strahl über $V$ hinaus. Dies ist die gesuchte Winkelhalbierende.
    Fertig ist die Winkelhalbierende!

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß, nämlich $60^\circ$.

    Beachte die Bezeichnungen in einem gleichschenkligen Dreieck.

    Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist die Gerade, welche diese Strecke im rechten Winkel genau in der Mitte der Strecke schneidet.

    Die Höhe in einem Dreieck ist eine Strecke.

    Lösung

    Hier siehst du ein gleichseitiges Dreieck. In diesem sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß, nämlich $60^\circ$. Wird ein solcher Winkel halbiert, entstehen zwei kongruente Dreiecke, deren Winkel $30^\circ$, $60^\circ$ und $90^\circ$ betragen.

    Das bedeutet, dass die Winkelhalbierende im rechten Winkel die gegenüberliegende Seite halbiert. Sie ist also auch eine Mittelsenkrechte. Auf dieser liegt auch die Höhe.

    Bei einem gleichschenkligen Dreieck gilt dies nur für den Winkel, welcher von den beiden gleich großen Schenkeln eingeschlossen wird.

  • Prüfe, an welcher Stelle die Winkelhalbierende falsch konstruiert wurde.

    Tipps

    Beachte, dass jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden zu den beiden Schenkeln den gleichen Abstand hat.

    Wenn du einen Kreis um einen Mittelpunkt zeichnest, hat jeder Punkt auf dem Kreisrand zu diesem Mittelpunkt den gleichen Abstand.

    Beachte: Der Schnittpunkt der beiden Kreise muss zu beiden Punkten den gleichen Abstand haben.

    Lösung

    Ein kleiner Fehler mit einer sehr großen Wirkung, allerdings ist dieser Fehler sicherlich nicht so klein.

    Paul hat leider die Radien der beiden Kreise um die Punkte $U$ und $T$ auf den Schenkeln verschieden groß gewählt. Deshalb hat der Schnittpunkt $V$ auch nicht den gleichen Abstand zu $U$ wie zu $T$.

    Achte also unbedingt darauf, dass dieser Radius bei beiden Kreisen gleich groß ist.

  • Weise nach, dass die Konstruktion zur Halbierung des Winkels führt.

    Tipps

    Es wird der folgende Kongruenzsatz verwendet: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.

    Kongruent bedeutet deckungsgleich.

    Die beiden Punkte $U$ und $T$ liegen auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $S$.

    Wenn zwei Dreiecke kongruent sind, stimmen sie auch in den einander entsprechenden Winkeln überein.

    Umgekehrt gilt dies nicht, denn die Dreiecke können auch ähnlich (aber nicht kongruent) sein.

    Wenn die Summe zweier identischer Winkel gleich einem anderen Winkel $\beta$ ist, sind die beiden identischen Winkel gerade halb so groß wie der Winkel $\beta$.

    Lösung

    Werfen wir einmal gemeinsam einen Blick auf die Argumentation.

    • Da die beiden Punkte $U$ und $T$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $S$ liegen, gilt $\left|\overline{SU}\right|=\left|\overline{ST}\right|$.
    • Auf der Winkelhalbieren liegende Punkte haben zu beiden Schenkeln den gleichen Abstand. Somit ist $\left|\overline{TY}\right|=\left|\overline{UY}\right|$.
    • Die beiden Dreiecke $\Delta STY$ sowie $\Delta SUY$ haben die Seite $\overline{SY}$ gemeinsam.
    • Insgesamt gilt also, dass die beiden Dreiecke in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.
    • Nach dem Kongruenzsatz SSS sind die Dreiecke kongruent und stimmen also auch in ihren drei Winkeln überein.
    • Insbesondere ist $\angle(TSY)=\angle(USY)$.
    Nun sind wir fast fertig: Es gilt $\angle(TSY)+\angle(USY)=2\angle(TSY)=\alpha$.

    Division durch $2$ führt zu

    $\angle(TSY)=\angle(USY)=\frac{\alpha}2$.

    Der blaue Strahl halbiert also tatsächlich den Winkel $\alpha$.