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Messen und Zeichnen von Winkeln 05:18 min

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Transkript Messen und Zeichnen von Winkeln

Im Gebüsch jenseits des Baches wurde etwas höchst Interessantes gefunden! Die Ameisenkönigin Ameisabeth die Zweite ist deshalb in heller Aufregung. Sie verlangt unverzüglich dorthin geführt zu werden. Aber der Weg über die Baumwipfel ist weit und beschwerlich. Völlig unstandesgemäß! Für eine Königin unzumutbar! Königin Ameisabeth beschließt daher: Eine Brücke muss her! Ameistektin Antonia muss für die Planung Winkel messen und zeichnen. Dazu verwendet sie ein Geodreieck. An dem findest du hier eine Linealkante mit Zentimeterangaben. Du kannst mit dem Geodreieck also auch Strecken ausmessen. Für die Winkelmessung ist aber dieser Bogen interessanter. Die Skala darauf gibt die Winkelgröße in Grad an. Schauen wir uns diesen Winkel einmal an. Um ihn zu messen, legst du das Geodreieck so an, dass sich der Winkelscheitel genau bei der Null auf dem Lineal befindet. Der eine Schenkel des Winkels liegt dabei an der Linealkante. Am anderen Schenkel kannst du nun ablesen, wie groß der Winkel ist. Hier sind es 50 Grad. Aber warum befinden sich zwei Zahlenbögen auf dem Geodreieck? Du kannst das Geodreieck auch anders anlegen. Nämlich so. Der Winkel beträgt jetzt aber nicht 130 Grad, sondern immer noch 50 Grad. Die findest Du auf dem anderen Kreisbogen. Es handelt sich ja immer noch um denselben spitzen Winkel. Bei der Winkelmessung verwendest du immer denjenigen Bogen, bei dem der Wert 'Null Grad' an einem der Schenkel anliegt. Dann können wir uns mal anschauen, wie Antonias Bauplanung vorankommt. Vom ersten Tragseil der Brücke hat sie den Verlauf des einen Endes schon eingetragen. Wie muss das andere Ende verlaufen? Zwischen den Seilenden soll ein Winkel von 65 Grad liegen. Antonia legt das Geodreieck am Winkelscheitel an, misst 65 Grad ab und markiert die entsprechende Stelle auf dem Plan mit einem Punkt. Jetzt kann sie vom Winkelscheitel ausgehend durch diesen Punkt den zweiten Schenkel des Winkels einzeichnen. Der eingetragene Winkel hat nun eine Größe von 65 Grad. Vom zweiten Tragseil hat sie ebenfalls ein Ende eingezeichnet. Zwischen den Seil-Enden soll diesmal ein Winkel von 102 Grad liegen. Antonia legt das Geodreieck am Winkelscheitel an. Dann misst sie 102 Grad ab, markiert die Stelle und zeichnet den zweiten Schenkel ein. Das letzte Tragseil soll genau von den Endpunkten der Brücke ausgehen. Wie groß ist hier der Winkel? Antonia legt das Geodreieck an und misst den Winkel ab. Es sind 123 Grad. Hast du einen überstumpfen Winkel gegeben, reicht die Skala des Geodreiecks nicht aus. Ein überstumpfer Winkel ist nämlich größer als 180 Grad. Um den Winkel zu messen, verlängerst du einen der Schenkel so. Hier hast du nun einen gestreckten Winkel von 180 Grad. Dann musst du nur noch diesen Teil messen. Wir erhalten 30 Grad. Zusammen mit den 180 Grad erhältst du 210 Grad. Die Brücke ist fertig! Was Königin Ameisabeth die Zweite wohl auf der anderen Seite vorfinden wird? Bevor wir das erfahren, fassen wir noch schnell zusammen: Zur Winkelmessung verwendest du ein Geodreieck. Hier kannst du die Winkelgröße in Grad ablesen. Willst du einen Winkel messen, dann positionierst du das Geodreieck so, dass ein Schenkel an der Linealkante anliegt. Achte darauf, dass sich der Winkelscheitel bei der Null der Linealkante befindet. Den Winkel liest du an der Skala ab. Beim Zeichnen von Winkeln gehst du ganz ähnlich vor: Zeichne den ersten Schenkel und lege das Geodreieck so an. Den Winkel liest du an der Skala ab. Du markierst ihn mit einem Punkt. Dann kannst du, ausgehend vom Winkelscheitel, durch diesen Punkt den zweiten Schenkel des Winkels einzeichnen. Überstumpfe Winkel sind immer aus einem gestreckten und einem spitzen oder stumpfen Winkel zusammengesetzt. Das hilft dir beim Messen und Zeichnen. Was gibt es denn nun aber auf der anderen Seite des Flusses? Es ist etwas, das offenbar doch nicht so interessant ist.

22 Kommentare
  1. Danke

    Von Julia E., vor 22 Tagen
  2. Das Video war gut. Es war lustig. Liebe Grüße an Ameisebeth.

    Von Daccour, vor 5 Monaten
  3. War sehr gut

    Von Husseinrhi010, vor 5 Monaten
  4. Sehr gut.

    Von Kirahorster, vor 5 Monaten
  5. das viedeo war sehr hilfreich!
    danke :-)

    Von Babett Behrens, vor 5 Monaten
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Messen und Zeichnen von Winkeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Messen und Zeichnen von Winkeln kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, wie du einen Winkel messen kannst.

    Tipps

    Hier messen wir einen Winkel von $40^\circ$.

    Der wichtigste Vorteil bei einem Geodreieck sind die beiden Halbkreise mit den Skalen, die uns bei der Winkelgröße helfen.

    Der Punkt $S$ markiert hier den Scheitel des Winkels $\alpha$.

    Lösung

    Diese Schritte solltest du beim Messen von Winkeln immer beachten:

    1. Zuerst suchst du dir dein Geodreieck. Dieses hat eine Linealkante, mit der du Längen messen kannst. Viel wichtiger ist aber der meist farblich markierte Bogen. Die Skala auf diesem Bogen gibt die Winkelgröße in Grad an.
    2. Zum Messen legst du das Geodreieck so mit der Linealkante an einen der Schenkel an, dass sich der Winkelscheitel genau bei der Null auf dem Lineal befindet. Der zweite Schenkel muss dabei unter dem Geodreieck liegen. Je nachdem an welchen Schenkel du das Geodreieck anlegst, musst du die innere oder äußere Skala des Bogens betrachten. Merke dir, dass du immer die Skala nimmst, die dort mit der $0$ beginnt, wo dein Schenkel anliegt.
    3. Am anderen Scheitel kannst du nun erkennen, wie groß der Winkel ist. Hier sehen wir, dass die Größe des Winkels $50^\circ$ beträgt. Dies kannst du dann einfach ablesen.
  • Erkläre, wie du Winkel zeichnen kannst.

    Tipps

    Ein Winkel wird immer von $2$ Schenkeln eingeschlossen.

    Der Bogen auf deinem Geodreieck ist in $180$ Abschnitte mit jeweils $1^\circ$ eingeteilt.

    Lösung

    Die Ameisenarchitektin Antonia soll eine Brücke mit mehreren Tragseilen konstruieren, die jeweils an der Spitze der Pflanze befestigt werden. Die Spitze wird also unser Scheitel aller Winkel. Damit die Brücke stabil ist, müssen die Winkel zwischen den Tragseilen genau richtig gezeichnet sein. Zwischen dem hier gelb eingezeichneten Tragseilende und dem dazugehörigen auf der anderen Seite soll ein Winkel der Größe $65^\circ$ liegen.

    Dazu legt Antonia ein Geodreieck mit der Linealkante an den Schenkel an. Dabei muss sie beachten, dass der Scheitel genau bei der $0$ liegt, sonst bekommt man ein falsches Ergebnis.

    Dann misst sie mithilfe der Skala auf dem Kreisbogen genau $65^\circ$ ab und markiert die Stelle mit einem Punkt. Hierbei ist es wichtig, zu beachten, dass es zwei unterschiedliche Skalen gibt. Man nimmt immer die, bei der der Scheitel bei $0^\circ$ anliegt.

    Danach zeichnet sie eine Linie durch den Scheitel und diese Markierung, um das andere Tragseilende zu erhalten. Dies ist dann der zweite Schenkel des Winkels.

  • Bestimme die Größen der folgenden Winkel.

    Tipps

    Für einen überstumpfen Winkel reicht dein Geodreieck nicht aus, da du nur Winkel bis zu einer Größe von $180^\circ$ messen kannst. Hier zeichnest du zunächst einen gestreckten Winkel ($180^\circ$) ein, misst dann den restlichen Winkel und addierst beide Werte.

    Lösung

    Wir messen zunächst die beiden einfacheren spitzen Winkel, da wir diese direkt am Geodreieck ablesen können. Das Geodreieck liegt am unteren Schenkel an, also brauchen wir die Skala, die dort bei $0$ anfängt. Das ist die obere auf dem Kreisbogen, somit gelten folgende Größen:

    • Erstes Bild: $60^\circ$
    • Drittes Bild: $85^\circ$
    Für einen überstumpfen Winkel reicht dein Geodreieck nicht aus, da du nur Winkel bis zu einer Größe von $180^\circ$ messen kannst. Hier zeichnest du zunächst einen gestreckten Winkel ($180^\circ$) ein, misst dann den restlichen Winkel und addierst beide Werte.

    Somit gelten folgende Größen:

    • Zweites Bild: $180^\circ+30^\circ=210^\circ$
    • Viertes Bild: $180^\circ+45^\circ=225^\circ$
  • Entscheide, welche Winkel entsprechend der Angabe korrekt gezeichnet wurden.

    Tipps

    Dieser Winkel ist korrekt gezeichnet. Er setzt sich aus einem gestreckten Winkel ($180^\circ$) und einem stumpfen Winkel der Größe $135^\circ$ zusammen und hat somit eine Größe von $315^\circ$.

    Lösung

    Korrekt gezeichnet wurden die folgenden Winkel:

    • $\alpha=260^\circ$
    Wir zeichnen den überstumpfen Winkel $\alpha=260^\circ$:

    1. Zunächst zeichnet man einen waagerechten Schenkel und markiert den Scheitelpunkt.
    2. Der Schenkel wird über den Scheitelpunkt hinaus verlängert durch eine leicht gezeichnete, gestrichelte Linie.
    3. Der überstumpfe Winkel $\alpha=260^\circ$ setzt sich aus dem gestreckten Winkel ($=180^\circ$) und einem spitzen Winkel zusammen. Für diesen bildet man einfach die Differenz: $260^\circ-180^\circ=80^\circ$.
    4. Das Geodreieck wird unterhalb des Schenkels mit der Nullmarkierung im Scheitelpunkt angelegt und der spitze Winkel abgetragen. Dort wird eine Markierung angebracht.
    5. Die Verbindung des Scheitelpunktes mit dieser Markierung ist der zweite Schenkel.
    • $\alpha=280^\circ$
    Auch dieser überstumpfe Winkel wurde korrekt gezeichnet.

    Falsch gezeichnet wurden die folgenden Winkel:

    • $\alpha=190^\circ$
    Der gezeichnete Winkel setzt sich aus einem gestreckten Winkel ($180^\circ$) und einem rechten Winkel ($90^\circ$) zusammen und hätte somit eine Größe von $270^\circ$. Korrekt wäre ein gestreckter Winkel ($180^\circ$) und ein spitzer Winkel der Größe $10^\circ$.

    • $\alpha=360^\circ$
    Der gezeichnete Winkel setzt sich aus einem gestreckten Winkel ($180^\circ$) und einem stumpfen Winkel ($160^\circ$) zusammen und hätte somit eine Größe von $340^\circ$. Korrekt wäre ein Vollwinkel, da dieser eine Größe von $360^\circ$ hat.

    • $\alpha=110^\circ$
    Wir zeichnen den stumpfen Winkel $\alpha=110^\circ$:

    1. Zunächst zeichnet man einen waagerechten Schenkel und markiert den Scheitelpunkt.
    2. Das Geodreieck wird an den Schenkel mit der Nullmarkierung im Scheitelpunkt angelegt und der stumpfe Winkel mit $\alpha=110^\circ$ abgetragen. Dort wird eine Markierung angebracht.
    3. Die Verbindung des Scheitelpunktes mit dieser Markierung ist der zweite Schenkel.
  • Vergleiche die Winkel.

    Tipps

    Ein Vollwinkel hat eine Größe von $360^\circ$ und ist damit der größte. Er sieht aus wie ein vollständiger Kreis.

    Lösung

    Während wir die Winkel der Größe nach ordnen, gehen wir gleich noch einmal auf die Bezeichnungen ein, die dir helfen, Winkel zu unterscheiden.

    1. Der kleinste Winkel hat eine Größe von $45^\circ$. Damit handelt es sich um einen spitzen Winkel. So nennen wir alle Winkel, für die $0^\circ<\alpha<90^\circ$ gilt.
    2. Danach folgt der rechte Winkel. Dieser wird häufig mit einem Punkt im Winkelbogen markiert. Seine Größe beträgt immer $90^\circ$.
    3. Der nächstgrößere Winkel hat eine Größe von $160^\circ$. Damit handelt es sich hierbei um einen stumpfen Winkel. So nennen wir alle Winkel, für die $90^\circ<\alpha<180^\circ$ gilt.
    4. Danach folgt der gestreckte Winkel, dessen Schenkel immer eine Gerade bilden. Seine Größe beträgt immer $180^\circ$.
    5. Der nächstgrößere Winkel hat eine Größe von $210^\circ$. Damit handelt es sich hierbei um einen überstumpfen Winkel. So nennen wir alle Winkel, für die $180^\circ<\alpha<360^\circ$ gilt.
    6. Ein ganzer Kreis wird auch als Vollwinkel bezeichnet. Seine Größe beträgt immer $360^\circ$.
  • Ermittle die fehlenden Winkel.

    Tipps

    Zeichne den Winkel $\alpha$ in dem Scheitelpunkt $A$. Dabei muss der Winkel gegen den Uhrzeigersinn abgelesen werden.

    Wenn die beiden Winkel gezeichnet sind, kannst du den fehlenden Winkel messen.

    Wenn du die drei Winkel addierst, erhältst du $180^\circ$.

    Lösung

    Man zeichnet zunächst die Strecke zwischen den beiden Punkten $A$ und $B$ mit der Länge $4 \text{ cm}$.

    • Das Geodreieck wird in $A$ angelegt und gegen den Uhrzeigersinn wird der Winkel $\alpha$ abgetragen. So erhält man den zweiten Schenkel, der von $A$ ausgeht. Auf diesem liegt $C$ mit einem Abstand von $2\text{ cm}$ zu $A$.
    • Das Geodreieck wird in $B$ angelegt und im Uhrzeigersinn wird der Winkel $\beta$ abgetragen. So erhält man den zweiten Schenkel, der von $B$ ausgeht und auf dem $C$ liegt.
    • Dort, wo die beiden Schenkel sich schneiden, befindet sich der Punkt $C$.
    • Nun kann das Geodreieck in $C$ zum Beispiel an der Strecke von $\overline{AC}$ angelegt werden. Der Winkel wird gegen den Uhrzeigersinn abgelesen. Wenn man sehr genau gezeichnet hat, erhält man den Winkel $\gamma=90^\circ$, aber auch Ergebnisse $85^\circ < \gamma < 95^\circ$ sind in Ordnung, wenn auch nicht ganz präzise.
    Diesen Winkel kann man auch berechnen, da sich die drei Innenwinkel eines Dreiecks immer zu $180^\circ$ addieren:

    $60^\circ+30^\circ+\gamma=180^\circ$.

    Nun kann auf beiden Seiten $90^\circ$ subtrahiert werden und man erhält $\gamma=180^\circ-90^\circ=90^\circ$.

    Für das gleichseitige Dreieck kannst du ebenso vorgehen oder überlegst dir, dass alle drei Winkel gleich groß sein müssen und somit $60^\circ$ betragen.