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Winkelpaare an Geradenkreuzungen

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Team Digital
Winkelpaare an Geradenkreuzungen
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Grundlagen zum Thema Winkelpaare an Geradenkreuzungen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Winkelpaare an Geradenkreuzungen zu erkennen.

Zunächst wiederholst du, was Neben- Scheitel- Stufen und Wechselwinkel sind. Anschließend siehst du ein paar Übungsaufgaben, bei denen Winkelgrößen an Geradenkreuzungen bestimmt werden müssen.

Winkelpaare

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Geradenkreuzung, parallel, Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, welche typen von WInkelpaaren es gibt.

Transkript Winkelpaare an Geradenkreuzungen

Senior Angelo ist professioneller Winkel-Detektiv. Täglich kommen verzweifelte Schülerinnen und Schüler zu ihm, die auf der Suche nach einem unbekannten Winkel sind. Denn Angelo kennt sie alle! Vor ihm kann kein Winkel sein wahres Ich verbergen. Wie er den Winkeln auf die Schliche kommt? Nun, Angelo hat ein breitgefächertes Wissen über „Winkelpaare an Geradenkreuzungen“. Wenn zwei Geraden sich schneiden, entstehen dabei vier Winkel. Um diese Winkel zu identifizieren, nutzt Angelo Winkelpaare. Da wären zum einen die Nebenwinkel. Also zwei Winkel, die an dem Schnittpunkt von zwei Geraden direkt nebeneinander liegen. zusammengenommen sind Nebenwinkel immer einhundertachtzig Grad groß. Also gleich einem gestreckten Winkel. Dann gibt es noch die Scheitelwinkel. Die liegen sich bei einer Geradenkreuzung gegenüber und sind genau gleich groß. Genau gleich groß sind auch die Stufenwinkel. Für dieses Winkelpaar zeichnen wir eine weitere Gerade, die parallel zur oberen Geraden verläuft. Dann erkennen wir: Der Winkel Delta und der Winkel Alpha, die die gleiche Ausrichtung haben, sind gleich groß. Da dieser Winkel – wir nennen ihn Epsilon – als Scheitelwinkel von Delta die gleiche Größe wie Delta hat und Delta Stufenwinkel von Alpha ist, sind auch Epsilon und Alpha gleich groß. Ein solches Winkelpaar nennen wir Wechselwinkel. Und das sind sie dann auch schon! Die vier verschiedenen Typen von Winkelpaaren die wir uns gut merken sollten! Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel, und Wechselwinkel. Achtung! Stufen- und Wechselwinkel sind nur dann gleich groß, wenn die Geraden g und h auch tatsächlich parallel sind! Also gut, ein erster Fall, den es zu lösen gilt. Gegeben ist diese Figur mit den parallelen Geraden g und h und die Größe von Winkel Alpha. Dieser beträgt fünfundzwanzig Grad. Bestimmt werden sollen die Größen der Winkel Beta, Gamma und Delta. Schauen wir uns zuerst Beta an. Wir erkennen, dass Beta ein Stufenwinkel von Alpha ist. Beta muss also auch fünfundzwanzig Grad groß sein. Gamma wiederum ist der Nebenwinkel von Beta. Da Beta fünfundzwanzig Grad groß ist und Gamma und Beta zusammen einhundertachtzig Grad ergeben, muss Gamma einhundertfünfundfünfzig Grad groß sein. Um den Winkel Delta zu bestimmen, haben wir jetzt mehrere Möglichkeiten. Denn Delta ist zum einen Nebenwinkel von Gamma, aber auch Scheitelwinkel von Beta und außerdem Wechselwinkel von Alpha. Alle Spuren deuten auf ein und dasselbe hin: Delta muss fünfundzwanzig Grad groß sein. Und wieder ist ein Fall gelöst! Kein Problem für einen professionellen Winkel-Detektiv. Aber hier kommt schon der nächste Fall! Jetzt bist du an der Reihe! Bekannt ist lediglich, dass die Geraden f und g, sowie die Geraden h und i parallel sind und der Winkel Alpha siebenundvierzig Grad groß ist. Wanted: Die Winkelgrößen der sich auf der Flucht befindlichen Winkel Beta, Gamma, Delta und Epsilon. Pausiere das Video doch kurz und versuche die fehlenden Winkel dingfest zu machen. Dann erhältst du die Lösung. Hier siehst du sie! Beta ist – genauso wie Alpha, siebenundvierzig Grad groß – weil es sich um einen Scheitelwinkel handelt. Die gleiche Winkelgröße wie für Alpha können wir auch für Gamma notieren, da Gamma ein Stufenwinkel von Alpha ist. Delta wiederum ist Wechselwinkel von Alpha beziehungsweise Stufenwinkel von Beta und somit auch siebenundvierzig Grad groß. Übrig bleibt nur noch Epsilon, seines Zeichens Nebenwinkel von Delta und somit exakt einhundertdreiunddreißig Grad groß. Sehr gut! Auch dieser Fall kann zu den Akten. Wir fassen derweil das Gelernte noch einmal kurz und knapp zusammen. Um Winkelgrößen an Geradenkreuzungen zu bestimmen, sollten wir uns vier verschiedene Typen von Winkelpaaren merken! An einer Geradenkreuzung gibt es zunächst Nebenwinkel, die, wie der Name schon sagt, direkt nebeneinander liegen und zusammen einhundertachtzig Grad groß sind. Außerdem liegen Scheitelwinkel gegenüber voneinander und sind genau gleich groß. Kommt noch eine weitere Geradenkreuzung durch eine parallele Gerade hinzu, können wir außerdem Stufen,- und Wechselwinkel ausfindig machen. Diese sind – genauso wie die Scheitelwinkel – jeweils gleich groß. Mit Hilfe dieses Wissens kannst auch du zum Winkel-Detektiv werden und den Winkeln endgültig das Handwerk legen.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Haha lustig das du erster bist.
    Coooooles Video!
    ⭐⭐⭐⭐⭐

    Von Luca-Joel, vor 3 Monaten
  2. Erste!

    Von Feline , vor 4 Monaten

Winkelpaare an Geradenkreuzungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Winkelpaare an Geradenkreuzungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, um welche Winkelpaare es sich handelt.

    Tipps

    Hier sind $\alpha$ und $\beta$ Stufenwinkel.

    Nebenwinkel und Scheitelwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden kreuzen.

    Lösung

    An Geradenkreuzungen entstehen Winkel. Wir unterscheiden dabei folgende Winkelpaare:

    • Nebenwinkel sind zwei Winkel, die am Geradenschnittpunkt direkt nebeneinanderliegen. Die Summe der beiden Nebenwinkel ergibt immer $180^\circ$.
    • Scheitelwinkel liegen an der Geradenkreuzung gegenüber. Scheitelwinkel sind gleich groß.

    Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden so entstehen dabei folgende weitere Winkelpaare:

    • Stufenwinkel liegen auf der gleichen Seite der Schnittgerade und auf der gleichen Seite der Parallelen. Stufenwinkel sind gleich groß.
    • Wechselwinkel liegen einander in der Form des Buchstaben Z gegenüber, sie befinden sich also an unterschiedlichen Seiten der Schnittgerade und der Parallelen. Wechselwinkel sind gleich groß.
  • Bestimme die Winkel.

    Tipps

    $\alpha$ und $\beta$ sind Scheitelwinkel.

    In der Abbildung kannst du erkennen: $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$ sind spitze Winkel, $\epsilon$ hingegen ist ein stumpfer Winkel.

    Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden so entstehen dabei Wechselwinkel. Sie liegen einander in der Form des Buchstaben Z gegenüber, sie befinden sich also an unterschiedlichen Seiten der Schnittgerade und der Parallelen. Wechselwinkel sind gleich groß.

    Lösung

    Wir können die fehlenden Winkel an den Geradenkreuzungen mit Hilfe von Nebenwinkeln, Scheitelwinkeln, Stufenwinkeln und Wechselwinkeln bestimmen:

    • $\beta$ ist Scheitelwinkel von $\alpha$. Daher gilt: $\beta = \alpha = 47^\circ$
    • $\gamma$ ist Wechselwinkel von $\beta$. Daher gilt: $\gamma = \beta = 47^\circ$
    • $\delta$ ist Wechselwinkel von $\gamma$ und Stufenwinkel von $\beta$. Daher gilt: $\delta = \gamma = \beta = 47^\circ$
    • $\epsilon$ ist Nebenwinkel von $\delta$. Daher gilt: $\epsilon = 180^\circ - \delta = 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$
  • Bestimme die fehlenden Winkel.

    Tipps

    $\beta$ und $\delta$ sind Scheitelwinkel.

    Lösung

    In der Skizze schneidet die Gerade $m$ die beiden parallelen Geraden $k$ und $l$. Dadurch entstehen Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel:

    • $\alpha$ ist Stufenwinkel vom $60^\circ$-Winkel. Daher gilt: $\alpha=60^\circ$
    • $\beta$ ist Nebenwinkel vom $60^\circ$-Winkel. Daher gilt: $\beta=180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$
    • $\gamma$ ist Scheitelwinkel von $\alpha$. Daher gilt: $\gamma = \alpha=60^\circ$
    • $\delta$ ist Scheitelwinkel von $\beta$. Daher gilt: $\delta = \beta =120^\circ$
  • Ermittle die Winkel.

    Tipps
    • Scheitelwinkel sind gleich groß.
    • Nebenwinkel bilden zusammen $180^\circ$.
    • Stufenwinkel sind gleich groß.
    • Wechselwinkel sind gleich groß.

    $\alpha_5$ ist Stufenwinkel vom $75^\circ$-Winkel.

    Lösung

    Wir ermitteln die fehlenden Winkel mit Hilfe der Winkelpaare. Dabei gilt:

    • Scheitelwinkel sind gleich groß.
    • Nebenwinkel bilden zusammen $180^\circ$.
    • Stufenwinkel sind gleich groß.
    • Wechselwinkel sind gleich groß.
    Somit ergibt sich:

    $\alpha_2$ ist Stufenwinkel vom $63^\circ$-Winkel, daher gilt: $\alpha_2 = 63^\circ$
    $\alpha_5$ ist Stufenwinkel vom $75^\circ$-Winkel, daher gilt: $\alpha_5 = 75^\circ$
    $\alpha_4$ ist Nebenwinkel vom $\alpha_5$, daher gilt: $\alpha_4 = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$
    $\alpha_3$ ist Nebenwinkel vom $\alpha_2$, daher gilt: $\alpha_3 = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$
    $\alpha_1$ ist Scheitelwinkel des Winkels zwischen $63^\circ$ und $75^\circ$. Daher gilt: $\alpha_1 = 180^\circ - 75^\circ - 63^\circ = 42^\circ$

  • Beschreibe die Zusammenhänge der Winkelpaare.

    Tipps

    Einen $180^\circ$-Winkel nennen wir auch gestreckten Winkel.

    Lösung

    Schneiden sich zwei Geraden, entstehen folgende Winkel:

    Nebenwinkel sind zwei Winkel, die am Geradenschnittpunkt direkt nebeneinanderliegen. Die Summe der beiden Nebenwinkel ergibt immer $180^\circ$.

    Nebenwinkel liegen nebeneinander und bilden zusammen einen gestreckten Winkel. $\mapsto$ Diese Aussage ist also richtig.

    Scheitelwinkel liegen an der Geradenkreuzung gegenüber. Scheitelwinkel sind gleich groß.

    Scheitelwinkel findet man an zwei parallelen Geraden. $\mapsto$ Diese Aussage ist also falsch. Man findet Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden.


    Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden, so entstehen folgende Winkelpaare:

    Stufenwinkel liegen auf der gleichen Seite der Schnittgerade und auf der gleichen Seite der Parallelen.

    Stufenwinkel sind gleich groß. $\mapsto$ Diese Aussage ist richtig.

    Wechselwinkel liegen einander in der Form des Buchstaben Z gegenüber, sie befinden sich also an unterschiedlichen Seiten der Schnittgerade und der Parallelen. Wechselwinkel sind gleich groß.

    Wechselwinkel ergeben zusammen $360^\circ$. $\mapsto$ Diese Aussage ist also falsch, da Wechselwinkel gleich groß sind und nicht gestreckt sein können.

  • Überprüfe die Aussagen.

    Tipps
    • Spitze Winkel sind kleiner als $90^\circ$.
    • Stumpfe Winkel sind kleiner als $180^\circ$ und größer als $90^\circ$.
    • Überstumpfe Winkel sind kleiner als $360^\circ$ und größer als $180^\circ$.

    Liegen zwei Geraden senkrecht aufeinander, so sind alle 4 entstehenden Winkel gleich groß.

    Lösung

    Wir unterscheiden folgende Winkelarten:

    • spitze Winkel sind kleiner als $90^\circ$.
    • rechte Winkel sind genau $90^\circ$.
    • stumpfe Winkel sind kleiner als $180^\circ$ und größer als $90^\circ$.
    • gestreckte Winkel sind genau $180^\circ$.
    • überstumpfe Winkel sind kleiner als $360^\circ$ und größer als $180^\circ$.
    Wir überprüfen damit die Aussagen:

    Es gibt überstumpfe Stufenwinkel.
    Stufenwinkel entstehen, wenn zwei parallele Geraden durch eine weitere Gerade geschnitten werden. Daher sind sie immer kleiner als $180^\circ$. Die Aussage ist also falsch.

    Es gibt stumpfe Nebenwinkel.
    Nebenwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden schneiden. Sie liegen immer nebeneinander. Sie können also stumpf, rechtwinklig oder spitz sein. Die Aussage ist richtig.

    Es gibt keine gestreckten Scheitelwinkel.
    Scheitelwinkel entstehen, wenn sich zwei Geraden schneiden. Dadurch wird der gestreckte Winkel geteilt. Scheitelwinkel sind daher immer kleiner als $180^\circ$. Die Aussage ist richtig.

    Es gibt keine stumpfen Wechselwinkel.
    Stufenwinkel entstehen, wenn zwei parallele Geraden durch eine weitere Gerade geschnitten werden. Daher sind sie immer kleiner als $180^\circ$. Sie können also spitz, rechtwinklig oder stumpf sein. Die Aussage ist also falsch.

    Es gibt keine rechten Scheitelwinkel.
    Schneiden sich zwei Geraden im rechten Winkel, so sind alle vier entstehenden Winkel gleich $90^\circ$. Dies gilt auch für die Scheitelwinkel. Die Aussage ist also falsch.

    Es gibt nur spitze Wechselwinkel.
    Wechselwinkel entstehen, wenn zwei parallele Geraden durch eine weitere Gerade geschnitten werden. Daher sind sie immer kleiner als $180^\circ$. Sie können also spitz, rechtwinklig oder stumpf sein. Die Aussage ist also falsch.

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