Arten von Winkeln

Arten von Winkeln Übung

• Beschreibe die Eigenschaften von Winkeln.

  Tipps

  Ein Winkel wird von zwei Schenkeln eingeschlossen.

  Ein rechter Winkel beträgt genau $90$ Grad.

  Lösung

  Gehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, schließen diese einen Winkel ein. Die Halbgeraden heißen Schenkel und der Punkt Winkelscheitel.

  • Auch zwei Geraden oder zwei Strecken können Winkel einschließen.

  Die Einheit von Winkeln ist Grad und wird mit einem kleinen, hochgestellten Kreis angegeben.

  • Liegen die zwei Schenkel des Winkels direkt übereinander, ist der Winkel null Grad, also $0^\circ$ groß. Ein solcher Winkel heißt auch Nullwinkel.

• Definiere die jeweiligen Winkelarten.

  Tipps

  Hier siehst du einen rechten Winkel. Dieser wird mit einem Kreisbogen und einem Punkt darin gekennzeichnet.

  Dieses Dreieck hat einen stumpfen Winkel im Punkt $C$ und jeweils einen spitzen Winkel in den Punkten $A$ und $B$.

  Lösung

  Gehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, schließen diese einen Winkel ein. Die Halbgeraden heißen Schenkel und der Punkt Winkelscheitel.

  • Liegen die zwei Schenkel des Winkels direkt übereinander, ist der Winkel $0^\circ$ groß. Einen solchen Winkel bezeichnet man als Nullwinkel.
  • Wird einer der Schenkel einmal um den Winkelscheitel herumgedreht, so entsteht ein Vollwinkel, also ein Winkel mit $360^\circ$.
  • Ein Viertel des Vollwinkels entspricht $90^\circ$ und wird als rechter Winkel bezeichnet. Er wird mit einem Punkt im Winkelbogen gekennzeichnet.
  • Ein Winkel, der die Hälfte eines Vollwinkels umfasst, hat eine Größe von $180^\circ$ und heißt gestreckter Winkel.

  Abgesehen von diesen Winkelarten gibt es noch folgende drei Winkelarten, deren Größe jeweils in einem Winkelbereich liegt:

  • Der spitze Winkel ist größer $0^\circ$ und kleiner $90^\circ$.
  • Der stumpfe Winkel ist größer $90^\circ$ und kleiner $180^\circ$.
  • Der überstumpfe Winkel ist größer $180^\circ$ und kleiner $360^\circ$.

• Ermittle die Größe der verschiedenen Winkelarten.

  Tipps

  Ein Vollwinkel ist mit $360^\circ$ der größte Winkel. Dieser kommt also ganz nach oben.

  Ein gestreckter Winkel entspricht der Hälfte eines Vollwinkels und ein rechter Winkel einem Viertel.

  Lösung

  Wir sortieren die Winkelarten absteigend nach ihrer Größe:

  • Vollwinkel mit $360^\circ$
  • überstumpfer Winkel, der größer als $180^\circ$ und kleiner als $360^\circ$ ist
  • gestreckter Winkel mit $180^\circ$
  • stumpfer Winkel, der größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$ ist
  • rechter Winkel mit $90^\circ$
  • spitzer Winkel, der größer als $0^\circ$ und kleiner als $90^\circ$ ist
  • Nullwinkel mit $0^\circ$

• Ordne die jeweiligen Winkel den zutreffenden Winkelarten zu.

  Tipps

  Ein spitzer Winkel ist größer als ein Nullwinkel und kleiner als ein rechter Winkel.

  Ein überstumpfer Winkel ist größer als ein gestreckter Winkel und kleiner als ein Vollwinkel.

  Lösung

  Ist der Winkel $\alpha$ ein...

  • ... spitzer Winkel, so gilt $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
  • ... stumpfer Winkel, so gilt $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.
  • ... überstumpfer Winkel, so gilt $180^\circ < \alpha < 360^\circ$.

  Demnach können wir die gegebenen Winkel den Winkelarten wie folgt zuordnen:

  spitzer Winkel

  • $88^\circ$
  • $13^\circ$
  • $21^\circ$
  • $2^\circ$
  • $77^\circ$

  stumpfer Winkel

  • $98^\circ$
  • $113^\circ$
  • $160^\circ$
  • $179^\circ$
  • $100^\circ$
  • $165^\circ$

  überstumpfer Winkel

  • $275^\circ$
  • $188^\circ$
  • $355^\circ$
  • $300^\circ$
  • $199^\circ$

• Benenne die abgebildeten Winkelarten.

  Tipps

  Ein stumpfer Winkel ist größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$.

  Ein Vollwinkel beträgt $360^\circ$.

  Lösung

  Zwei Schenkel schließen im Winkelscheitel einen Winkel ein, der unterschiedlich groß sein kann. Ausgehend von seiner Größe bekommt er einen Namen. Hier abgebildet sind folgende Winkelarten:

  Bild 1

  Der hier abgebildete Winkel entspricht einem Viertel des Vollwinkels, also $90^\circ$. Einen $90^\circ$-Winkel bezeichnen wir als rechten Winkel. Er wird mit einem Punkt im Winkelbogen gekennzeichnet.

  Bild 2

  Hier wird der eine Schenkel einmal um den Winkelscheitel herumgedreht, sodass ein Vollwinkel, also ein Winkel mit $360^\circ$ entsteht.

  Bild 3

  Der spitze Winkel ist größer $0^\circ$ und kleiner $90^\circ$. Damit ist hier ein spitzer Winkel dargestellt.

  Bild 4

  Hier abgebildet ist ein überstumpfer Winkel, denn dieser ist größer als $180^\circ$ und kleiner als $360^\circ$.

• Erschließe die jeweils entstehende Winkelart.

  Tipps

  Halbieren bedeutet durch $2$ zu teilen. Verdreifachen bedeutet mit dem Faktor $3$ zu multiplizieren.

  Ein rechter Winkel beträgt $90^\circ$. Ein gestreckter Winkel ist $180^\circ$ groß.

  Lösung

  Beispiel 1

  Verkleinern wir einen $112^\circ$-Winkel um $23^\circ$, so rechnen wir wie folgt:

  • $112^\circ - 23^\circ = 89^\circ$

  Demnach resultiert hier ein spitzer Winkel, denn dieser ist größer als $0^\circ$ und kleiner als $90^\circ$.

  Beispiel 2

  Vergrößern wir einen $99^\circ$-Winkel um $81^\circ$, so erhalten wir folgende Rechnung:

  • $99^\circ + 81^\circ = 180^\circ$

  Demnach ergibt sich hier ein gestreckter Winkel.

  Beispiel 3

  Verdreifachen wir einen rechten Winkel, so multiplizieren wir $90^\circ$ mit dem Faktor $3$ und erhalten:

  • $3\cdot 90^\circ=270^\circ$

  Hier entsteht durch das Verdreifachen also ein überstumpfer Winkel.

  Beispiel 4

  Halbieren wir einen gestreckten Winkel, so müssen wir $180^\circ$ durch $2$ teilen. Es folgt also:

  • $180^\circ : 2=90^\circ$

  Demnach erhalten wir hier also einen rechten Winkel.