Arten von Winkeln
- Was ist ein Winkel?
- Welche Winkelarten und Winkeltypen gibt es?
- Nullwinkel
- Vollwinkel
- Rechter Winkel
- Gestreckter Winkel
- Spitzer Winkel
- Stumpfer Winkel
- Überstumpfer Winkel
- Scheitelwinkel
- Nebenwinkel
- Stufenwinkel
- Wechselwinkel
- Winkel berechnen
- Winkel messen
- Winkelarten bestimmen
- Winkelarten und Winkeltypen Aufgaben – Teste dein Wissen!
- Winkeltypen und Winkelarten – Zusammenfassung
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkelarten
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Grundlagen zum Thema Arten von Winkeln
Was ist ein Winkel?
Gehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, so schließen sie einen Winkel ein. Die Halbgeraden sind die Schenkel des Winkels. Der Punkt, von dem die Schenkel ausgehen, heißt Scheitel des Winkels oder Winkelscheitel. Ein Winkel kann auch von zwei Geraden oder zwei Strecken eingeschlossen sein. Winkel werden in der Einheit Grad gemessen. Die Einheit wird mit dem Symbol $^\circ$ bezeichnet. Das Maß des Winkels heißt Winkelgröße.
Welche Winkelarten und Winkeltypen gibt es?
Es gibt verschiedene Winkelarten. Sie unterscheiden sich nach ihrer Winkelgröße. Also danach, wie viel Grad sie betragen. In dieser Tabelle siehst du eine Übersicht über die verschiedenen Winkelarten:
| Winkelart | Winkelgröße |
|---|---|
| Nullwinkel | $0^\circ$ |
| Vollwinkel | $360^\circ$ |
| Rechter Winkel | $90^\circ$ |
| Gestreckter Winkel | $180^\circ$ |
| Spitzer Winkel | Zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ |
| Stumpfer Winkel | Zwischen $90^\circ$ und $180^\circ$ |
| Überstumpfer Winkel | Zwischen $180^\circ$ und $360^\circ$ |
Außerdem gibt es verschiedene Winkeltypen. Bei Winkeltypen handelt es sich um die Beschreibung, wie sich zwei oder mehr Winkel zueinander verhalten. Im Folgenden gehen wir auf die Winkeltypen Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel ein.
Nullwinkel
Bei dieser Winkelart ist kein Winkel zu erkennen.
Liegen die zwei Schenkel des Winkels direkt übereinander, ist der Winkel $0^\circ$ groß und heißt Nullwinkel.
Vollwinkel
Diese Winkelart erhalten wir, indem wir einen der Schenkel einmal um den Winkelscheitel herumdrehen. Der Winkel sieht nach dem Zeichnen aus wie ein kompletter Kreis. Wir gehen vom Vollwinkel aus, um andere Winkelgrößen in Grad anzugeben. Diese sind dann nur ein Teil des Kreises. Der $360.$ Teil des Vollwinkels hat die Winkelgröße $1^\circ$. Jede Winkelgröße wird nach dem Anteil des Winkels am Vollwinkel bestimmt.
Ein Vollwinkel beträgt genau $360^\circ$.
Rechter Winkel
Der rechte Winkel ist ein Viertel des Vollwinkels, also ein Viertel von $360^\circ$. Rechte Winkel werden oft mit einem Punkt im Winkelbogen gezeichnet.
Ein Viertel des Vollwinkels sieht so aus:
Die Winkelgröße dieses Winkels ist $\frac{1}{4}$ von $360^\circ$, also $90^\circ$, denn:
$360:4=90$.
Ein rechter Winkel beträgt genau $90^\circ$.
Gestreckter Winkel
Ein Winkel, der die Hälfte des Vollwinkels umfasst, besitzt keine Ecke. Trotzdem handelt es sich dabei um einen Winkel.
Ein gestreckter Winkel beträgt genau $180^\circ$.
Der Nullwinkel, der rechte Winkel, der gestreckte Winkel und der Vollwinkel sind jeweils durch einen eindeutigen Wert der Winkelgröße festgelegt. Bei anderen Winkelarten ist die Winkelgröße nicht durch einen einzigen Wert, sondern durch eine Wertspanne charakterisiert.
Spitzer Winkel
Diese Winkel besitzen eine Winkelgröße, die zwischen $0^\circ$ und $90^\circ$ liegt.
Ein spitzer Winkel ist größer als $0^\circ$ und kleiner als $90^\circ$.
Für einen Winkel $\alpha$ schreiben wir dann: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
Stumpfer Winkel
Diese Winkel besitzen eine Winkelgröße, die zwischen $90^\circ$ und $180^\circ$ liegt.
Ein stumpfer Winkel ist größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$.
Für einen Winkel $\alpha$ schreiben wir dann: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.
Überstumpfer Winkel
Bei diesen Winkeln beträgt die Winkelgröße zwischen $180^\circ$ und $360^\circ$.
Ein überstumpfer Winkel ist größer als $180^\circ$ und kleiner als $360^\circ$.
Für einen Winkel $\alpha$ schreiben wir dann: $180^\circ < \alpha < 360^\circ$.
Wenn sich zwei Geraden schneiden, entstehen insgesamt vier Winkel. Im Folgenden geht es um die verschiedenen Winkeltypen, also um die Beschreibung des Verhaltens der Winkel zueinander.
Scheitelwinkel
Scheitelwinkel sind die Winkel, die sich bei einem Schnittpunkt zweier Geraden gegenüberliegen.
Es gilt also: $\alpha = \gamma$.
Mehr Informationen zum Scheitelwinkel findest du in einem anderen Lernvideo.
Nebenwinkel
Nebenwinkel sind die Winkel, die bei einem Schnittpunkt zweier Geraden direkt nebeneinander liegen.
Zwei Nebenwinkel ergeben zusammen $180^\circ$. Damit erhalten wir für das folgende Bild:
$\alpha + \beta = 180^\circ$
Mehr Informationen zum Nebenwinkel findest du in einem anderen Lernvideo.
Stufenwinkel
Wenn zwei Parallelen durch eine Gerade geschnitten werden, entstehen jeweils an beiden Schnittpunkten vier Winkel. Die jeweiligen Winkel eines Schnittpunkts entsprechen den Winkeln des anderen Schnittpunkts.
Stufenwinkel sind immer gleich groß, da sie die parallele Verschiebung eines anderen Winkels sind.
Hier gilt also: $\alpha = \delta$.
Mehr Informationen zum Stufenwinkel findest du in einem anderen Lernvideo.
Wechselwinkel
Sowie bei Stufenwinkel handelt es sich hier auch um Winkel, die beim Schnittpunkt von zwei Parallelen durch eine Gerade entstehen.
Wechselwinkel sind stets gleich groß. Ein entsprechender Wechselwinkel ist der Scheitelwinkel des dazugehörigen Stufenwinkels.
Zwei Wechselwinkel liegen sich also auf unterschiedlichen Seiten der Parallelen gegenüber. Damit gilt für das folgende Bild: $\alpha = \epsilon$.
Mehr Informationen zum Wechselwinkel findest du in einem anderen Lernvideo.
Winkel berechnen
Wir können Winkel in Dreiecken und Vierecken berechnen, indem wir dafür die jeweiligen Innenwinkelsummensätze benutzen.
Innenwinkelsummensatz für
- Dreiecke: Die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck beträgt $180^\circ$.
- Vierecke: Die Summe aller Innenwinkel in einem Viereck beträgt $360^\circ$.
In einem Dreieck gibt es drei Winkel. Wenn eines davon unbekannt ist, können wir das berechnen, indem wir alle gegebenen Winkel von $180^\circ$ abziehen. Genauso können wir einen unbekannten Winkel im Viereck berechnen, indem wir alle anderen gegebenen Winkel von $360^\circ$ abziehen.
Beispiele:
- In einem Dreieck sind die Winkel $\alpha = 35^\circ$ und $\beta = 45^\circ$ gegeben. Der dritte Winkel beträgt dann:
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 35^\circ - 45^\circ = 100^\circ$ - In einem Viereck sind die Winkel $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 70^\circ$ und $\gamma = 90^\circ$ gegeben. Der vierte Winkel beträgt dann:
$\gamma = 360^\circ - \alpha - \beta - \gamma = 360^\circ - 60^\circ - 70^\circ - 90^\circ = 140^\circ$
Mehr zum Berechnen der Innenwinkelsummen von Dreiecken und der Winkelsummen von Vierecken findest du in zwei anderen Lernvideos.
Winkel messen
Beim Messen von Winkel benutzen wir meistens ein Geodreieck. Diesen legen wir am Winkelscheitel oder am Schnittpunkt zweier Geraden so an, dass die lange Seite auf einem der Schenkel liegt. Dann verfolgen wir den zweiten Schenkel so weit auf dem Geodreieck bis wir auf die Winkelskala treffen und lesen den Winkel dort ab. Beim Messen von Winkeln benutzen wir meistens ein Geodreieck.
Winkelarten bestimmen
Um die Winkelart zu bestimmen, können wir gegebene Winkel mit rechten Winkeln, gestreckten Winkeln oder Vollwinkeln vergleichen. Im Bild hier sind Blätter mit verschiedenen Winkeln abgebildet:
Bei einem Blatt ist der Winkel $\alpha$ größer als der Nullwinkel, aber kleiner als ein rechter Winkel. Wir schreiben für die Winkelgröße $\alpha$ daher die Ungleichung:
$0^\circ < \alpha < 90^\circ$
Solche Winkel heißen spitze Winkel. Der Winkel $\beta$ des anderen Blattes ist größer als ein rechter Winkel, aber kleiner als der gestreckte Winkel. Die Winkelgröße $\beta$ erfüllt daher die Ungleichung:
$90^\circ < \beta < 180^\circ$
Solche Winkel heißen stumpfe Winkel. Das dritte Blatt hat einen Winkel $\gamma$, der größer als ein gestreckter Winkel ist, aber kleiner als der Vollwinkel. Die Winkelgröße erfüllt daher die folgende Ungleichung:
$180^\circ < \gamma < 360^\circ$
Solche Winkel werden überstumpfe Winkel genannt.
Winkelarten und Winkeltypen Aufgaben – Teste dein Wissen!
Winkeltypen und Winkelarten – Zusammenfassung
Zwei Halbgeraden schließen an einem Ausgangspunkt einen Winkel ein. Je nachdem, wie groß dieser Winkel ist, wird er anders bezeichnet.
Wir unterscheiden folgende Winkelarten:
- Nullwinkel: $0^\circ$
- Vollwinkel: $360^\circ$
- gestreckter Winkel: $180^\circ$
- rechter Winkel: $90^\circ$
- spitzer Winkel: $0^\circ$–$90^\circ$
- stumpfer Winkel: $90^\circ$–$180^\circ$
- überstumpfer Winkel: $180^\circ$–$360^\circ$
Winkeltypen beschreiben, wie zwei Winkel sich an einem Schnittpunkt zueinander verhalten.
Wir unterscheiden folgende Winkeltypen:
- Scheitelwinkel: zwei Winkel, die an einem Schnittpunkt gegenüberliegen
- Nebenwinkel: zwei Winkel, die an einem Schnittpunkt nebeneinander liegen
- Stufenwinkel: Winkel, die parallel durch eine Gerade verschoben worden sind
- Wechselwinkel: Winkel, die auf unterschiedlichen Seiten der Parallelen liegen
Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkelarten
Transkript Arten von Winkeln
Sommer, Sonne, Hitze! Ameisenkönigin Ameisabeth die Zweite leidet sehr unter der Sonneneinstrahlung. Sie beauftragt Ameistektin Antonia mit der Konstruktion eines Baldachins, der ihr Schatten spenden soll. Antonia möchte den Baldachin aus Blättern zusammensetzen. Da gibt es aber ganz schön viele Sorten! Um die auseinanderzuhalten, nutzt sie ihr Wissen über die Arten von Winkeln. Gehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, schließen diese einen Winkel ein. Die Halbgeraden heißen Schenkel, der Punkt Winkelscheitel. Auch zwei Geraden oder zwei Strecken können Winkel einschließen. Die Einheit von Winkeln heiß Grad und wird mit einem kleinen, hochgestellten Kreis angegeben. Liegen die zwei Schenkel des Winkels direkt übereinander, ist der Winkel 'Null Grad' groß. Ein solcher Winkel heißt auch Nullwinkel. Drehen wir einen der Schenkel einmal um den Winkelscheitel herum, erhalten wir den Vollwinkel. Dieser hat eine Größe von 360 Grad. Der 360ste Teil eines Vollwinkels ist ein Grad. Es ist also gerademal so groß. Wir gehen also vom Vollwinkel aus, um andere Winkelgrößen in Grad anzugeben. Ein Viertel des Vollwinkels sieht so aus. Deshalb ist dieser Winkel ein Viertel von 360 Grad groß. Das sind 90 Grad. Ein solcher Winkel heißt auch rechter Winkel. Er wird auch mit einem Punkt im Winkelbogen bezeichnet. Ein Winkel, der die Hälfte eines Vollwinkels umfasst, hat demnach eine Größe von 180 Grad. Dieser besitzt gar keine Ecke. Trotzdem handelt es sich um einen Winkel. Er heißt auch gestreckter Winkel. Schauen wir uns die Blätter von Antonia doch einmal näher an. Diese Blätter haben Winkel, die größer als Null Grad, aber kleiner als 90 Grad sind. Man nennt sie spitze Winkel. Bei diesen Blättern gibt es Winkel, die größer als 90 Grad, aber kleiner als 180 Grad sind. Sie heißen stumpfe Winkel. Und bei diesen Blättern findet sie Winkel, die größer als 180 Grad, aber kleiner als 360 Grad sind. Die bezeichnet man als überstumpfe Winkel. Mit dieser Vorsortierung ist es ein Leichtes, passende Blätter zusammenzusetzen. Und während Antonia den Baldachin für die Königin baut, fassen wir zusammen: Ein Winkel mit einer Größe von Null Grad heißt Nullwinkel. Winkel mit einer Größe zwischen Null Grad und 90 Grad bezeichnet man als spitze Winkel. Ist ein Winkel genau 90 Grad groß, handelt es sich um einen rechten Winkel. Winkel mit einer Größe zwischen 90 Grad und 180 Grad nennt man als stumpfe Winkel. Ein Winkel von genau 180 Grad heißt gestreckter Winkel. Eigentlich hat der keine Ecke. Trotzdem handelt es sich um einen Winkel. Winkel mit Größen zwischen 180 Grad und 360 Grad bezeichnet man als überstumpfe Winkel. Und schließlich gibt es den Vollwinkel. Der ist 360 Grad groß. Ist die Königin mit ihrem Baldachin zufrieden? Ach, der hält ja die wärmenden Sonnenstrahlen ab! Na also!
Arten von Winkeln Übung
-
Beschreibe die Eigenschaften von Winkeln.
TippsEin Winkel wird von zwei Schenkeln eingeschlossen.
Ein rechter Winkel beträgt genau $90$ Grad.
LösungGehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, schließen diese einen Winkel ein. Die Halbgeraden heißen Schenkel und der Punkt Winkelscheitel.
- Zwei Geraden oder zwei Strecken können Winkel ebenfalls einschließen.
- Liegen die zwei Schenkel des Winkels direkt übereinander, ist der Winkel null Grad, also $0^\circ$ groß. Ein solcher Winkel heißt auch Nullwinkel.
-
Definiere die jeweiligen Winkelarten.
TippsHier siehst du einen rechten Winkel. Dieser wird mit einem Kreisbogen und einem Punkt darin gekennzeichnet.
Dieses Dreieck hat einen stumpfen Winkel im Punkt $C$ und jeweils einen spitzen Winkel in den Punkten $A$ und $B$.
LösungGehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, schließen diese einen Winkel ein. Die Halbgeraden heißen Schenkel und der Punkt Winkelscheitel.
- Liegen die zwei Schenkel des Winkels direkt übereinander, ist der Winkel $0^\circ$ groß. Einen solchen Winkel bezeichnet man als Nullwinkel.
- Wird einer der Schenkel einmal um den Winkelscheitel herumgedreht, so entsteht ein Vollwinkel, also ein Winkel mit $360^\circ$.
- Ein Viertel des Vollwinkels entspricht $90^\circ$ und wird als rechter Winkel bezeichnet. Er wird mit einem Punkt im Winkelbogen gekennzeichnet.
- Ein Winkel, der die Hälfte eines Vollwinkels umfasst, hat eine Größe von $180^\circ$ und heißt gestreckter Winkel.
- Der spitze Winkel ist größer $0^\circ$ und kleiner $90^\circ$.
- Der stumpfe Winkel ist größer $90^\circ$ und kleiner $180^\circ$.
- Der überstumpfe Winkel ist größer $180^\circ$ und kleiner $360^\circ$.
-
Ermittle die Größe der verschiedenen Winkelarten.
TippsEin Vollwinkel ist mit $360^\circ$ der größte Winkel. Dieser kommt also ganz nach oben.
Ein gestreckter Winkel entspricht der Hälfte eines Vollwinkels und ein rechter Winkel einem Viertel.
LösungWir sortieren die Winkelarten absteigend nach ihrer Größe:
- Vollwinkel mit $360^\circ$
- überstumpfer Winkel, der größer als $180^\circ$ und kleiner als $360^\circ$ ist
- gestreckter Winkel mit $180^\circ$
- stumpfer Winkel, der größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$ ist
- rechter Winkel mit $90^\circ$
- spitzer Winkel, der größer als $0^\circ$ und kleiner als $90^\circ$ ist
- Nullwinkel mit $0^\circ$
-
Ordne die jeweiligen Winkel den zutreffenden Winkelarten zu.
TippsEin spitzer Winkel ist größer als ein Nullwinkel und kleiner als ein rechter Winkel.
Ein überstumpfer Winkel ist größer als ein gestreckter Winkel und kleiner als ein Vollwinkel.
LösungIst der Winkel $\alpha$ ein:
- spitzer Winkel, so gilt: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$
- stumpfer Winkel, so gilt: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$
- überstumpfer Winkel, so gilt: $180^\circ < \alpha < 360^\circ$
Demnach können wir die gegebenen Winkel den Winkelarten wie folgt zuordnen:
spitzer Winkel
- $88^\circ$
- $13^\circ$
- $21^\circ$
- $2^\circ$
- $77^\circ$
- $98^\circ$
- $113^\circ$
- $160^\circ$
- $179^\circ$
- $100^\circ$
- $165^\circ$
- $275^\circ$
- $188^\circ$
- $355^\circ$
- $300^\circ$
- $199^\circ$
-
Benenne die abgebildeten Winkelarten.
TippsEin stumpfer Winkel ist größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$.
Ein Vollwinkel beträgt $360^\circ$.
LösungZwei Schenkel schließen im Winkelscheitel einen Winkel ein, der unterschiedlich groß sein kann. Ausgehend von seiner Größe bekommt er einen Namen. Hier abgebildet sind folgende Winkelarten:
1. Bild
Der hier abgebildete Winkel entspricht einem Viertel des Vollwinkels, also $90^\circ$. Einen $90^\circ$-Winkel bezeichnen wir als rechten Winkel. Er wird mit einem Punkt im Winkelbogen gekennzeichnet.
2. Bild
Hier wird der eine Schenkel einmal um den Winkelscheitel herumgedreht, sodass ein Vollwinkel, also ein Winkel mit $360^\circ$, entsteht.
3. Bild
Der spitze Winkel ist größer $0^\circ$ und kleiner $90^\circ$. Damit ist hier ein spitzer Winkel dargestellt.
4. Bild
Hier abgebildet ist ein überstumpfer Winkel, denn dieser ist größer als $180^\circ$ und kleiner als $360^\circ$.
-
Erschließe die jeweils entstehende Winkelart.
TippsHalbieren bedeutet durch $2$ zu teilen. Verdreifachen bedeutet mit dem Faktor $3$ multiplizieren.
Ein rechter Winkel beträgt $90^\circ$. Ein gestreckter Winkel ist $180^\circ$ groß.
Lösung1. Beispiel
Verkleinern wir einen $112^\circ$-Winkel um $23^\circ$, rechnen wir wie folgt:
- $112^\circ - 23^\circ = 89^\circ$
2. Beispiel
Vergrößern wir einen $99^\circ$-Winkel um $81^\circ$, erhalten wir folgende Rechnung:
- $99^\circ + 81^\circ = 180^\circ$
3. Beispiel
Verdreifachen wir einen rechten Winkel, multiplizieren wir $90^\circ$ mit dem Faktor $3$ und erhalten:
- $3\cdot 90^\circ=270^\circ$
4. Beispiel
Halbieren wir einen gestreckten Winkel, müssen wir $180^\circ$ durch $2$ teilen. Es folgt also:
- $180^\circ : 2=90^\circ$
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