Arten von Winkeln
Grundlagen zum Thema Arten von Winkeln
Inhalt
Winkel - Definition
In diesem Video erfährst du, was Winkel sind, und welche verschiedenen Arten von Winkeln es gibt. Gehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, so schließen sie einen Winkel ein. Die Halbgeraden sind die Schenkel des Winkels. Der Punkt, von dem die Schenkel ausgehen, heißt Scheitel des Winkels oder Winkelscheitel. Ein Winkel kann auch von zwei Geraden oder zwei Strecken eingeschlossen sein. Winkel werden in der Einheit Grad gemessen. Die Einheit wird mit dem Symbol $^\circ$ bezeichnet. Das Maß des Winkels heißt Winkelgröße.
Welche Winkelarten gibt es?
Es gibt ganz verschiedene Arten von Winkeln: Liegen die Schenkel eines Winkels direkt übereinander, so ist die Winkelgröße $0^\circ$. Man nennt diesen Winkel Nullwinkel. Dreht man einen der Schenkel einmal im Kreis um den Scheitelpunkt herum, bis er wieder genau über dem anderen Schenkel liegt, so ergibt sich der Vollwinkel mit der Winkelgröße $360^\circ$. Der $360.$ Teil des Vollwinkels hat die Winkelgröße $1^\circ$. Jede Winkelgröße wird nach dem Anteil des Winkels am Vollwinkel bestimmt. Ein Viertel des Vollwinkels sieht so aus:
Die Winkelgröße dieses Winkels ist $\frac{1}{4}$ von $360^\circ$, also $90^\circ$, denn $360:4=90$. Ein Winkel dieser Winkelgröße heißt rechter Winkel. Mit einem Punkt im Winkelbogen wird gekennzeichnet, dass es sich um einen rechten Winkel handelt. Ein Winkel, der die Hälfte des Vollwinkels umfasst, hat die Winkelgröße $180^\circ$. Dieser Winkel hat keine Ecke, und ist trotzdem ein Winkel; er heißt auch gestreckter Winkel.
Der Nullwinkel, der rechte Winkel, der gestreckte Winkel und der Vollwinkel sind jeweils durch einen eindeutigen Wert der Winkelgröße festgelegt. Bei anderen Winkelarten ist die Winkelgröße nicht durch einen einzigen Wert, sondern durch eine Wertspanne charakterisiert.
Winkelarten - Beispiele
Um die Winkelart zu bestimmen, kannst du gegebene Winkel mit rechten Winkeln, gestreckten Winkeln oder Vollwinkeln vergleichen. Im Bild hier siehst du Blätter mit verschiedenen Winkeln:
Bei einem Blatt ist der Winkel $\alpha$ größer als der Nullwinkel, aber kleiner als ein rechter Winkel. Man schreibt für die Winkelgröße $\alpha$ daher die Ungleichung:
$0^\circ < \alpha < 90^\circ$
Solche Winkel heißen spitze Winkel. Der Winkel $\beta$ des anderen Blattes ist größer als ein rechter Winkel, aber kleiner als der gestreckte Winkel. Die Winkelgröße $\beta$ erfüllt daher die Ungleichung:
$90^\circ < \beta < 180^\circ$
Solche Winkel heißen stumpfe Winkel. Das dritte Blatt hat einen Winkel $\gamma$, der größer als ein gestreckter Winkel ist, aber kleiner als der Vollwinkel. Die Winkelgröße erfüllt daher die folgende Ungleichung:
$180^\circ < \gamma < 360^\circ$
Solche Winkel nennt man überstumpfe Winkel.
In dieser Tabelle siehst du eine Übersicht über die verschiedenen Winkelarten:
| Winkelart | Winkelgröße |
|---|---|
| Nullwinkel | $0^\circ$ |
| rechter Winkel | $90^\circ$ |
| gestreckter Winkel | $180^\circ$ |
| Vollwinkel | $360^\circ$ |
| spitzer Winkel | $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ |
| stumpfer Winkel | $9^\circ < \beta < 180^\circ$ |
| überstumpfer Winkel | $180^\circ < \gamma < 360^\circ$ |
Transkript Arten von Winkeln
Sommer, Sonne, Hitze! Ameisenkönigin Ameisabeth die Zweite leidet sehr unter der Sonneneinstrahlung. Sie beauftragt Ameistektin Antonia mit der Konstruktion eines Baldachins, der ihr Schatten spenden soll. Antonia möchte den Baldachin aus Blättern zusammensetzen. Da gibt es aber ganz schön viele Sorten! Um die auseinanderzuhalten, nutzt sie ihr Wissen über die Arten von Winkeln. Gehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, schließen diese einen Winkel ein. Die Halbgeraden heißen Schenkel, der Punkt Winkelscheitel. Auch zwei Geraden oder zwei Strecken können Winkel einschließen. Die Einheit von Winkeln heiß Grad und wird mit einem kleinen, hochgestellten Kreis angegeben. Liegen die zwei Schenkel des Winkels direkt übereinander, ist der Winkel 'Null Grad' groß. Ein solcher Winkel heißt auch Nullwinkel. Drehen wir einen der Schenkel einmal um den Winkelscheitel herum, erhalten wir den Vollwinkel. Dieser hat eine Größe von 360 Grad. Der 360ste Teil eines Vollwinkels ist ein Grad. Es ist also gerademal so groß. Wir gehen also vom Vollwinkel aus, um andere Winkelgrößen in Grad anzugeben. Ein Viertel des Vollwinkels sieht so aus. Deshalb ist dieser Winkel ein Viertel von 360 Grad groß. Das sind 90 Grad. Ein solcher Winkel heißt auch rechter Winkel. Er wird auch mit einem Punkt im Winkelbogen bezeichnet. Ein Winkel, der die Hälfte eines Vollwinkels umfasst, hat demnach eine Größe von 180 Grad. Dieser besitzt gar keine Ecke. Trotzdem handelt es sich um einen Winkel. Er heißt auch gestreckter Winkel. Schauen wir uns die Blätter von Antonia doch einmal näher an. Diese Blätter haben Winkel, die größer als Null Grad, aber kleiner als 90 Grad sind. Man nennt sie spitze Winkel. Bei diesen Blättern gibt es Winkel, die größer als 90 Grad, aber kleiner als 180 Grad sind. Sie heißen stumpfe Winkel. Und bei diesen Blättern findet sie Winkel, die größer als 180 Grad, aber kleiner als 360 Grad sind. Die bezeichnet man als überstumpfe Winkel. Mit dieser Vorsortierung ist es ein Leichtes, passende Blätter zusammenzusetzen. Und während Antonia den Baldachin für die Königin baut, fassen wir zusammen: Ein Winkel mit einer Größe von Null Grad heißt Nullwinkel. Winkel mit einer Größe zwischen Null Grad und 90 Grad bezeichnet man als spitze Winkel. Ist ein Winkel genau 90 Grad groß, handelt es sich um einen rechten Winkel. Winkel mit einer Größe zwischen 90 Grad und 180 Grad nennt man als stumpfe Winkel. Ein Winkel von genau 180 Grad heißt gestreckter Winkel. Eigentlich hat der keine Ecke. Trotzdem handelt es sich um einen Winkel. Winkel mit Größen zwischen 180 Grad und 360 Grad bezeichnet man als überstumpfe Winkel. Und schließlich gibt es den Vollwinkel. Der ist 360 Grad groß. Ist die Königin mit ihrem Baldachin zufrieden? Ach, der hält ja die wärmenden Sonnenstrahlen ab! Na also!
Arten von Winkeln Übung
-
Beschreibe die Eigenschaften von Winkeln.
TippsEin Winkel wird von zwei Schenkeln eingeschlossen.
Ein rechter Winkel beträgt genau $90$ Grad.
LösungGehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, schließen diese einen Winkel ein. Die Halbgeraden heißen Schenkel und der Punkt Winkelscheitel.
- Auch zwei Geraden oder zwei Strecken können Winkel einschließen.
- Liegen die zwei Schenkel des Winkels direkt übereinander, ist der Winkel null Grad, also $0^\circ$ groß. Ein solcher Winkel heißt auch Nullwinkel.
-
Definiere die jeweiligen Winkelarten.
TippsHier siehst du einen rechten Winkel. Dieser wird mit einem Kreisbogen und einem Punkt darin gekennzeichnet.
Dieses Dreieck hat einen stumpfen Winkel im Punkt $C$ und jeweils einen spitzen Winkel in den Punkten $A$ und $B$.
LösungGehen von einem Punkt zwei Halbgeraden aus, schließen diese einen Winkel ein. Die Halbgeraden heißen Schenkel und der Punkt Winkelscheitel.
- Liegen die zwei Schenkel des Winkels direkt übereinander, ist der Winkel $0^\circ$ groß. Einen solchen Winkel bezeichnet man als Nullwinkel.
- Wird einer der Schenkel einmal um den Winkelscheitel herumgedreht, so entsteht ein Vollwinkel, also ein Winkel mit $360^\circ$.
- Ein Viertel des Vollwinkels entspricht $90^\circ$ und wird als rechter Winkel bezeichnet. Er wird mit einem Punkt im Winkelbogen gekennzeichnet.
- Ein Winkel, der die Hälfte eines Vollwinkels umfasst, hat eine Größe von $180^\circ$ und heißt gestreckter Winkel.
- Der spitze Winkel ist größer $0^\circ$ und kleiner $90^\circ$.
- Der stumpfe Winkel ist größer $90^\circ$ und kleiner $180^\circ$.
- Der überstumpfe Winkel ist größer $180^\circ$ und kleiner $360^\circ$.
-
Ermittle die Größe der verschiedenen Winkelarten.
TippsEin Vollwinkel ist mit $360^\circ$ der größte Winkel. Dieser kommt also ganz nach oben.
Ein gestreckter Winkel entspricht der Hälfte eines Vollwinkels und ein rechter Winkel einem Viertel.
LösungWir sortieren die Winkelarten absteigend nach ihrer Größe:
- Vollwinkel mit $360^\circ$
- überstumpfer Winkel, der größer als $180^\circ$ und kleiner als $360^\circ$ ist
- gestreckter Winkel mit $180^\circ$
- stumpfer Winkel, der größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$ ist
- rechter Winkel mit $90^\circ$
- spitzer Winkel, der größer als $0^\circ$ und kleiner als $90^\circ$ ist
- Nullwinkel mit $0^\circ$
-
Ordne die jeweiligen Winkel den zutreffenden Winkelarten zu.
TippsEin spitzer Winkel ist größer als ein Nullwinkel und kleiner als ein rechter Winkel.
Ein überstumpfer Winkel ist größer als ein gestreckter Winkel und kleiner als ein Vollwinkel.
LösungIst der Winkel $\alpha$ ein...
- ... spitzer Winkel, so gilt $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
- ... stumpfer Winkel, so gilt $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.
- ... überstumpfer Winkel, so gilt $180^\circ < \alpha < 360^\circ$.
spitzer Winkel
- $88^\circ$
- $13^\circ$
- $21^\circ$
- $2^\circ$
- $77^\circ$
- $98^\circ$
- $113^\circ$
- $160^\circ$
- $179^\circ$
- $100^\circ$
- $165^\circ$
- $275^\circ$
- $188^\circ$
- $355^\circ$
- $300^\circ$
- $199^\circ$
-
Benenne die abgebildeten Winkelarten.
TippsEin stumpfer Winkel ist größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$.
Ein Vollwinkel beträgt $360^\circ$.
LösungZwei Schenkel schließen im Winkelscheitel einen Winkel ein, der unterschiedlich groß sein kann. Ausgehend von seiner Größe bekommt er einen Namen. Hier abgebildet sind folgende Winkelarten:
Bild 1
Der hier abgebildete Winkel entspricht einem Viertel des Vollwinkels, also $90^\circ$. Einen $90^\circ$-Winkel bezeichnen wir als rechten Winkel. Er wird mit einem Punkt im Winkelbogen gekennzeichnet.
Bild 2
Hier wird der eine Schenkel einmal um den Winkelscheitel herumgedreht, sodass ein Vollwinkel, also ein Winkel mit $360^\circ$ entsteht.
Bild 3
Der spitze Winkel ist größer $0^\circ$ und kleiner $90^\circ$. Damit ist hier ein spitzer Winkel dargestellt.
Bild 4
Hier abgebildet ist ein überstumpfer Winkel, denn dieser ist größer als $180^\circ$ und kleiner als $360^\circ$.
-
Erschließe die jeweils entstehende Winkelart.
TippsHalbieren bedeutet durch $2$ zu teilen. Verdreifachen bedeutet mit dem Faktor $3$ zu multiplizieren.
Ein rechter Winkel beträgt $90^\circ$. Ein gestreckter Winkel ist $180^\circ$ groß.
LösungBeispiel 1
Verkleinern wir einen $112^\circ$-Winkel um $23^\circ$, so rechnen wir wie folgt:
- $112^\circ - 23^\circ = 89^\circ$
Beispiel 2
Vergrößern wir einen $99^\circ$-Winkel um $81^\circ$, so erhalten wir folgende Rechnung:
- $99^\circ + 81^\circ = 180^\circ$
Beispiel 3
Verdreifachen wir einen rechten Winkel, so multiplizieren wir $90^\circ$ mit dem Faktor $3$ und erhalten:
- $3\cdot 90^\circ=270^\circ$
Beispiel 4
Halbieren wir einen gestreckten Winkel, so müssen wir $180^\circ$ durch $2$ teilen. Es folgt also:
- $180^\circ : 2=90^\circ$
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30 Kommentare
danke für das Video ich habe die beste Mathearbeit geschrieben dank dem Video:
Sehr gut erklärt
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Sehr gut erklärt
gut erklärt hat mir sehr geholfen :)