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Supplementär- und Komplementärwinkel 06:07 min

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Transkript Supplementär- und Komplementärwinkel

Pete liebt seine Pizza! Die dünne Kruste, frischer Mozzarella und sein Geheimrezept für die Tomatensauce machen die Kunden ganz verrückt, aber Pete braucht eine neue Strategie die Pizza in Stücke zu schneiden und die Preise zu ermitteln. Also ruft er Caroline, die Beraterin, an. Sie wird schon wissen, wie sie Pete helfen kann. Dazu muss sie Pete aber erst erklären, was Supplementär- und Komplementärwinkel sind. Pete erklärt Caroline, wie sein System zurzeit funktioniert. Normalerweise wählen Gäste zwei Stücke und dann misst Pete den Winkel jedes Pizzastücks. Hier ist zum Beispiel ein Winkel von 60° und hier ein Winkel von 70°. Zusammen ergeben sie also einen Winkel von 130°. Pro Grad verlangt er 5 Cent. Caroline unterbricht ihn und schlägt ihm einen kürzeren Weg vor. Er kann beide Stücke zusammenpacken und hat so einen Winkel. Nun haben die Winkel einen gemeinsamen Scheitelpunkt und gemeinsame Schenkel. Sie liegen genau aneinander an. Dann muss er nur noch einen Winkel messen und erhält auch so 130°. 130 mal 5 Cent bedeuten, dass diese beiden Stücke zusammen 6,50 Euro kosten werden. Das wird doch Petes Arbeit schon viel einfacher machen. Schauen wir uns diese Winkel doch noch einmal genauer an. Sie teilen sich einen Schenkel, aber sie liegen nicht übereinander. Alpha und Beta sind also benachbarte Winkel. Die Summe der einzelnen Winkel ist also genauso groß wie dieser gesamte Winkel. Pete ist sehr glücklich über Carolines Tipp, aber Caroline hat noch eine Idee die Rechnungen noch einfacher zu machen. Dann kann er sich noch besser auf das Wesentliche konzentrieren: Pizza! Sie glaubt, es ist besser, wenn Pete seine Pizza so teilt, dass zwei Stücke zusammen immer 180° oder 90° ergeben. Aber warum hat sie sich für diese beiden Größen entschieden? Schauen wir einmal was passiert, wenn wir die Pizza halbieren. Dies ist ein gestreckter Winkel und er ist genau 180° groß. Jetzt können wir die halbe Pizza so teilen, wie wir wollen die beiden Winkel werden immer 180° ergeben. Ergeben zwei Winkel zusammen 180°, so nennen wir sie Supplementärwinkel. Alpha und Beta sind also Supplementärwinkel. Und wie viel kosten zwei Stücke, bei denen die Winkel Supplementärwinkel sind? 180 mal 5 cent sind 900 Cent, also 9 Euro. Was passiert denn, wenn wir die halbe Pizza wieder halbieren? Dann bekommen wir zwei Viertel, und jedes Viertel hat einen Winkel von 90°. Diese Viertel können wir nun teilen wie wir wollen...die Winkel werden zusammen immer 90° ergeben. Zwei Winkel, die zusammen 90° ergeben heißen Komplementärwinkel. Winkel Gamma und Delta sind also Komplementärwinkel. Und wie viel kosten dann diese beiden Stücke? 90 mal 5 Cent ergibt 450 Cent, also 4,50. Wenn Pete seine Stücke in Supplementär- und Komplementärwinkel aufteilt, muss er nie wieder messen, um die Preise herauszufinden. Pete zerteilt also seine Pizzen. Aber pass auf Pete! Vermisch die Stücke nicht. Oh man! Okay, lass uns einmal die passenden Stücke zusammenlegen. Dieses Stück hat einen Winkel von 117° und dieses Stück einen Winkel von 63°. Sind sie Supplementär- oder Komplementärwinkel? 117° + 63° ist gleich 180°. Sie sind also Supplementärwinkel. Um dies zu überprüfen, legen wir die beiden Winkel nebeneinander und sehen, dass sie einen gestreckten Winkel von 180° bilden. Wie sieht es mit diesen beiden aus? Dieser Winkel ist 100° groß und dieser 54°. Zusammen sind dies also 154°, also weder Supplementär-, noch Komplementärwinkel. Legen wir sie nebeneinander...können wir das noch besser erkennen. Wie siehts mit diesen beiden Stücken aus? Dieses hier hat einen Winkel von 20° und dieses einen Winkel von 70°. Zusammen also 90°. Das heißt, dass sie Komplementärwinkel sind. Legen wir sie nebeneinander können wir noch besser erkennen, dass sie einen rechten Winkel bilden. Diese beiden Stücke würden also 4,50 kosten. Pete achtet nun darauf, dass er die Stücke nicht mehr durcheinanderbringt und wartet auf den nächsten Kunden. Fassen wir das noch einmal zusammen. Supplementärwinkel ergeben zusammen 180°. Legt man sie nebeneinander, so erkennt man einen gestreckten Winkel. Komplementärwinkel ergeben zusammen 90°. Nebeneinandergelegt formen sie einen rechten Winkel. Lasst uns auf diesen neuen Plan anstoßen. Ah, Caroline und Pete ergänzen sich gut miteinander. Aber Caroline sieht nicht ganz so glücklich aus. Man, Pete. Man sollte doch nie durch die Salami schneiden!

3 Kommentare
  1. super ...hat geholfen!!!!!

    aber kommisches bezahlungs system ...und viel zu teuer..... naja...

    Von sea shepherd p., vor 6 Monaten
  2. Hallo Hjhamburg76,
    danke für den Hinweis. Wir bestücken die Videos nach und nach mit interaktiven Übungen. Über Rückmeldungen, welche Übungen gewünscht sind, freuen wir uns sehr. Natürlich streben wir eine möglichst hohe Abdeckung an.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor 7 Monaten
  3. super lern Video gutes Beispiel aber bitte mehr aufgaben ;)

    Von Hjhamburg76, vor 7 Monaten

Supplementär- und Komplementärwinkel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Supplementär- und Komplementärwinkel kannst du es wiederholen und üben.

  • Zeige auf, was für Supplementär- bzw. Komplementärwinkel gilt.

    Tipps

    Man spricht von benachbarten Winkeln, wenn diese direkt einander anliegen, sich aber nicht überlappen. Sie ergeben zusammen einen Winkel, der ihren addierten Einzelgrößen entspricht.

    Bei Komplementärwinkeln ergeben zwei benachbarte Winkel eine Größe von $90^\circ$.

    Bei Supplementärwinkeln ergeben zwei benachbarte Winkel eine Größe von $180^\circ$.

    Lösung

    Für Komplementärwinkel werden zwei benachbarte Winkel addiert und müssen zusammen $90^\circ$ ergeben. Komplementärwinkel bilden also immer einen rechten Winkel. Damit können wir die folgenden Elemente dem Begriff „Komplementärwinkel“ zuordnen:

    • $20^\circ$ und $70^\circ$
    • $=90^\circ$
    • rechter Winkel
    Für Supplementärwinkel werden zwei benachbarte Winkel addiert und müssen zusammen $180^\circ$ ergeben. Supplementärwinkel bilden also immer einen gestreckten Winkel, der zusammengesetzt wurde. Damit können wir dem Begriff „Supplementärwinkel“ folgende Elemente zuordnen:

    • $117^\circ$ und $63^\circ$
    • $=180^\circ$
    • gestreckter Winkel
    Übrig bleiben:
    • Vollwinkel
    • spitzer Winkel
    • $80^\circ+20^\circ$
    • $=100^\circ$
  • Gib die Winkel an, zu denen sich die Pizzastücke zusammensetzen lassen.

    Tipps

    Die Größe eines Vollwinkels entspricht einem ganzen Kreis.

    Die Gesamtgröße von Komplementärwinkeln entspricht einem rechten Winkel.

    Die Gesamtgröße von Supplementärwinkeln entspricht einem gestreckten Winkel.

    Lösung

    Für Komplementärwinkel werden zwei benachbarte Winkel addiert und müssen zusammen $90^\circ$ ergeben. Komplementärwinkel bilden also immer einen rechten Winkel.

    • Damit ist $20^\circ+70^\circ=90^\circ$ ein Komplementärwinkel.
    Für Supplementärwinkel werden zwei benachbarte Winkel addiert und müssen zusammen $180^\circ$ ergeben. Supplementärwinkel bilden also immer einen gestreckten Winkel, der zusammengesetzt wurde.

    • Damit ist $117^\circ+63^\circ=180^\circ$ ein Supplementärwinkel.
    Die Größe eines Vollwinkels entspricht einem ganzen Kreis, also $360^\circ$.

    • Damit ist $180^\circ+180^\circ=360^\circ$ ein Vollwinkel.
  • Bestimme die Komplementärwinkel.

    Tipps

    Zwei Winkel nennen wir Komplementärwinkel, wenn sie gemeinsam einen rechten Winkel ergeben.

    $25^\circ$ und $65^\circ$ sind Komplementärwinkel, da $90^\circ-25^\circ=65^\circ$ bzw. $25^\circ+65^\circ=90^\circ$.

    Lösung

    Zwei Winkel sind Komplementärwinkel, wenn sie gemeinsam einen rechten Winkel, also $90^\circ$, ergeben. Wir müssen also immer zwei Winkel addieren, um $90^\circ$ zu erhalten. Alternativ kannst du auch den Winkel von $90^\circ$ abziehen, um den passenden Winkel zu finden.

    Somit verbinden wir:

    • $45^\circ+45^\circ=90^\circ$
    • $55^\circ+35^\circ=90^\circ$
    • $15^\circ+75^\circ=90^\circ$
    • $30^\circ+60^\circ=90^\circ$
    • $40^\circ+50^\circ=90^\circ$

  • Ermittle die Winkelbezeichnungen.

    Tipps

    Ein stumpfer Winkel ist größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$.

    Lösung

    Zwei Winkel nennen wir Supplementärwinkel, wenn sie gemeinsam einen gestreckten Winkel, also $180^\circ$ bilden. Damit sind folgende Winkel Supplementärwinkel:

    • $90^\circ+ 90^\circ=180^\circ$
    • $30^\circ+ 150^\circ=180^\circ$
    • $170^\circ+ 10^\circ=180^\circ$
    Zwei Winkel nennen wir Komplementärwinkel, wenn sie gemeinsam einen rechten Winkel, also $90^\circ$ bilden. Damit sind folgende Winkel Komplementärwinkel:

    • $1^\circ+ 89^\circ=90^\circ$
    Ein stumpfer Winkel ist größer als $90^\circ$ und kleiner als $180^\circ$. Damit sind die folgenden Winkel stumpf:

    • $11^\circ+ 89^\circ=100^\circ$
    • $65^\circ+ 60^\circ=125^\circ$
    • $85^\circ+ 65^\circ=150^\circ$
    • $90^\circ+ 89^\circ=179^\circ$
    Übrig bleiben:
    • $11^\circ+ 39^\circ=50^\circ$ spitzer Winkel
    • $165^\circ+ 60^\circ=225^\circ$ überstumpfer Winkel
  • Vervollständige die Aussage zu Komplementär- und Supplementärwinkel.

    Tipps

    $\alpha$ und $\beta$ sind benachbarte Winkel.

    Sowohl $\alpha$ und $\beta$ als auch $\gamma$ und $\delta$ sind jeweils Supplementärwinkel.

    Lösung

    Man spricht von benachbarten Winkeln, wenn diese direkt einander anliegen, sich aber nicht überlappen. Sie ergeben zusammen einen Winkel, der ihren addierten Einzelgrößen entspricht.

    • Legst du also zwei Winkel der Größe $50^\circ$ zusammen, erhälst du einen Winkel der Größe $100^\circ$.
    Werden zwei benachbarte Winkel addiert und ergeben zusammen $90^\circ$, dann handelt es sich um Komplementärwinkel. Komplementärwinkel entsprechen gemeinsam also immer einem rechten Winkel, der zusammengesetzt wurde.

    • Zum Beispiel sind zwei benachbarte Winkel der Größen $20^\circ$ und $70^\circ$ Komplementärwinkel, da $20^\circ+70^\circ=90^\circ$.
    Werden zwei benachbarte Winkel addiert und ergeben zusammen $180^\circ$, dann handelt es sich um Supplementärwinkel. Supplementärwinkel entsprechen gemeinsam also immer einem gestreckten Winkel, der zusammengesetzt wurde.

    • Zum Beispiel sind zwei benachbarte Winkel der Größen $120^\circ$ und $60^\circ$ Supplementärwinkel, da $120^\circ+60^\circ=180^\circ$.
  • Prüfe, ob in den geometrischen Figuren Komplementär- oder Supplementärwinkel existieren.

    Tipps

    Ein gestreckter Winkel mit $180^\circ$ entspricht einer Geraden. Daher sind jeweils zwei Winkel, die einer gemeinsamen Geraden anliegen, Supplementärwinkel.

    Lösung

    Erstes Bild

    In einem Parallelogramm sind die sich gegenüberliegenden Winkel (hier $\alpha$ und $\gamma$ bzw. $\beta$ und $\delta$) gleich groß und die sich gegenüberliegenden Seiten parallel, daher entsprechen die Winkel, die derselben Seite anliegen, einem gestreckten Winkel, sind also Supplementärwinkel.

    Wir erkennen hier einige Supplementärwinkel, zum Beispiel:

    • $\alpha$ und $\beta$ oder $\alpha$ und $\delta$
    • $\gamma$ und $\beta$ oder $\gamma$ und $\delta$
    • $\beta$ und $\gamma$ oder $\beta$ und $\alpha$
    Zweites Bild

    Ein gestreckter Winkel mit $180^\circ$ entspricht einer Geraden. Daher sind jeweils zwei Winkel, die einer gemeinsamen Geraden anliegen und somit einen gestreckten Winkel ergeben, Supplementärwinkel.

    Wir erkennen hier einige Supplementärwinkel, zum Beispiel:

    • $\alpha_1$ und $\alpha_2$
    • $\beta_3$ und $\beta_2$
    • $\gamma_2$ und $\gamma_1$