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Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel

Tauche ein in die Welt der Winkelarten! Lerne, wie Geradenschnitte vier verschiedene Winkel erzeugen und welche Rolle dabei Scheitel-, Neben-, Stufen- und Wechselwinkel spielen. Du findest Beispiele und praktische Anwendungen, die dir helfen, das Thema besser zu verstehen. Du möchtest mehr darüber erfahren? Dann lies weiter und werde zum Winkel-Experten!

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Team Digital
Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die verschiedenen Arten von Winkeln an Schnittpunkten von Geraden.

    Tipps

    Zwei Parallelstraßen haben keine gemeinsame Kreuzung.

    Ein Winkel kann Teil mehrerer verschiedener Winkelpaare sein.

    Lösung

    Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

    • Wir betrachten die Schnittpunkte dreier Geraden, von denen zwei parallel sind. Das bedeutet, diese zwei Geraden schneiden sich nie.
    Zwei Geraden schneiden sich in aller Regel in genau einem Punkt. Parallele Geraden sind hierbei die einzige Ausnahme, denn sie laufen genau „nebeneinander her“ und schneiden sich niemals.
    • An solch einer Doppelkreuzung können wir verschiedene Paare von Winkeln identifizieren, deren Größen auf verschiedene Arten zusammenhängen. Hier siehst du beispielsweise ein Paar von Scheitelwinkeln. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie gleich groß sind. An jeder Einzelkreuzung gibt es zwei Paare dieser Winkel.
    Als Scheitelwinkel bezeichnet man diejenigen Winkel, die einander gegenüberliegen. Du kannst dir folgendermaßen überlegen, dass sie gleich groß sein müssen: Wenn du die komplette Kreuzung einmal um $180^\circ$ drehst, dann sieht sie wieder so aus wie vorher, obwohl jetzt jeder Winkel durch den ihm gegenüberliegenden ersetzt wurde.
    • Als ein Paar von Nebenwinkeln bezeichnet man zwei Winkel, die direkt nebeneinanderliegen. Diese ergeben zusammen immer $180^\circ$. Es gibt vier solcher Paare an jeder Einzelkreuzung.
    Die Winkel ergeben zusammen immer einen Halbkreis, da sie unten beide an derselben Geraden abschließen, und ein Halbkreis entspricht $180^\circ$. Hiervon gibt es vier Paare, da jeder Winkel zwei Nebenwinkel hat. Deshalb bilden z. B. die rechten zwei Winkel ein Paar, die oberen zwei und so weiter.
    • Paare von Stufenwinkeln treten nur an den genannten speziellen Doppelkreuzungen auf. Genauso wie bei Scheitelwinkeln sind auch hier die zwei Winkel immer gleich groß.
    Mit speziellen Doppelkreuzungen ist hier gemeint, dass eine Gerade zwei zueinander parallele Geraden schneidet. In einem solchen Fall sind die sogenannten Stufenwinkel gleich groß, da du die obere Kreuzung sozusagen ausschneiden und genau auf die untere legen kannst. Oder in anderen Worten: Wenn dir nur eine der beiden Kreuzungen gezeigt wird, kannst du nicht unterscheiden, ob es die obere oder die untere ist, da die beiden Kreuzungen wegen der parallelen Geraden genau gleich aussehen.
    • Zuletzt betrachten wir noch Paare von Wechselwinkeln. Sie treten ebenfalls nur an solchen Doppelkreuzungen auf und auch hier sind die zwei Winkel immer gleich groß. Das kannst du dir außerdem dadurch erklären, dass einer der Winkel der Scheitelwinkel zum Stufenwinkel des anderen ist.
    Hier kannst du die beiden Methoden kombinieren: Du drehst erst die obere Kreuzung um $180^\circ$ und kannst sie dann genau auf die untere legen, um zu sehen, dass die beiden Wechselwinkel gleich groß sind.
  • Benenne die Winkelpaare, die die Winkel miteinander bilden.

    Tipps

    Es gibt innere und äußere Wechselwinkel.

    Auch wenn ein Winkel ausreicht, um alle anderen zu berechnen, heißt das nicht, dass sich alle anderen Winkel auch in die gegebenen Kategorien einordnen lassen.

    Lösung
    • Die Winkel $2$ und $4$ sind Nebenwinkel des Winkels $1$, da sie direkt neben ihm liegen.
    • Der Winkel $3$ ist der Scheitelwinkel zu $1$, da er ihm an derselben Kreuzung gegenüber liegt.
    • Der Winkel $5$ ist der Stufenwinkel zu $1$, weil er an der unteren Kreuzung an der gleichen Position liegt wie $1$ an der oberen.
    • Der Winkel $7$ ist der äußere Wechselwinkel zu $1$, da er an der unteren Kreuzung an der gleichen Position liegt wie der Scheitelwinkel zu $1$ an der oberen Kreuzung.
  • Berechne die gesuchten Winkel.

    Tipps

    Ein vollständiger Kreis entspricht einem Winkel von $360^\circ$.

    Auch wenn sich ein Winkel nicht direkt in eine der vier dir bekannten Kategorien einordnen lässt, kannst du ihn über Umwege berechnen.

    Lösung

    Obwohl hier nur ein einziger Winkel der Doppelkreuzung gegeben ist, können wir alle anderen berechnen, da zwei der Geraden wieder parallel sind.

    Winkel $8$ ist hier vorgegeben, seine Größe beträgt $38^\circ$. Wir sehen, dass Winkel $1$ ein Stufenwinkel und Winkel $6$ ein Scheitelwinkel zu Winkel $8$ sind, und diese sind beide gleich groß, also ebenfalls $38^\circ$. Winkel $3$ ist außerdem ein Wechselwinkel zu Winkel $5$. Demnach ist auch er $38^\circ$ groß.

    Die Winkel $5$ und $7$ sind nun Nebenwinkel zu Winkel $8$ bzw. Winkel $6$ und analog dazu sind die Winkel $2$ und $4$ Nebenwinkel zu Winkel $1$ bzw. Winkel $3$. Paare von Nebenwinkeln ergeben zusammen immer $180^\circ$. Folglich sind die Winkel $2$, $4$, $5$ und $7$ jeweils $180^\circ-38^\circ=142^\circ$ groß.

  • Bestimme, welche Winkel gleich sind.

    Tipps

    Ein Paar von Nebenwinkeln ergibt $180^\circ$, also gemeinsam.

    Wechselwinkel und Stufenwinkel treten an Doppelkreuzungen mit zwei parallelen Geraden auf.

    Lösung

    1. Bild

    Hier siehst du ein Paar von Nebenwinkeln. Diese sind im Allgemeinen nicht gleich groß, sondern ergeben zusammen $180^\circ$. (Sie sind also nur genau dann gleich groß, wenn sie beide rechte Winkel sind. Dies ist hier aber nicht der Fall).

    2. Bild

    Dargestellt ist ein Paar von Stufenwinkeln an einer Doppelkreuzung mit parallelen Geraden. Diese sind also gleich groß.

    3. Bild

    Diese zwei Winkel sind äußere Wechselwinkel und somit ebenfalls gleich groß.

    4. Bild

    Vielleicht sehen diese Winkel auf den ersten Blick wie innere Wechselwinkel aus, allerdings sind die Geraden der Doppelkreuzung nicht parallel. In einem solchen Fall sind die eingezeichneten Winkel nicht gleich groß und werden auch nicht mehr als Wechselwinkel bezeichnet.

    5. Bild

    Hier sind ebenfalls keine der eingezeichneten Geraden parallel, jedoch betrachten wir diesmal nur eine Kreuzung. Die eingezeichneten Scheitelwinkel sind also trotzdem gleich groß.

  • Bestimme, welche Winkel zusammengehören.

    Tipps

    Ein Halbkreis entspricht einem Winkel von $180^\circ$.

    Stufenwinkel, Wechselwinkel und Scheitelwinkel sind gleich groß.

    Lösung

    Hier siehst du die richtige Zuordnung:

    • Nebenwinkel sind diejenigen Winkel, die direkt neben dem angegebenen Winkel liegen, sich also sozusagen eine Gerade mit ihm teilen.
    • Der Scheitelwinkel ist derjenige Winkel, der dem angegebenen Winkel an derselben Kreuzung gegenüberliegt.
    • Der Wechselwinkel liegt an derselben Position wie der Scheitelwinkel des gegebenen Winkels, nur an der jeweils anderen Kreuzung.
    • Der Stufenwinkel des gegebenen Winkels liegt ebenfalls an der jeweils anderen Kreuzung, aber an der gleichen Position wie der gegebene Winkel.
  • Berechne den Winkel $\alpha$.

    Tipps

    In einem Dreieck beträgt die Winkelsumme immer $180^\circ$.

    Ein Parallelogramm ist dadurch definiert, dass die jeweils gegenüberliegenden Seiten zueinander parallel sind.

    Lösung

    Hier müssen wir unser Wissen über die verschiedenen Winkelarten mit ein wenig weiterer Geometrie kombinieren, um zu der Lösung zu gelangen:

    Zunächst benötigen wir eine Eigenschaft von Dreiecken: Ihre Winkelsumme beträgt immer $180^\circ$.

    Das linke obere Dreieck ist außerdem gleichschenklig. Das heißt, dass seine beiden orangefarbenen Basiswinkel gleich groß sind. Bezeichnen wir sie mit $\beta$, ergibt sich $2\beta + 30^\circ = 180^\circ$ und damit $\beta=75^\circ$. Weil der oberste der gelben Winkel der Scheitelwinkel zum linken orangefarbenen Winkel ist, ist er ebenfalls $75^\circ$ groß.

    Da sowohl die beiden von links nach rechts verlaufenden Geraden als auch die beiden von links unten nach rechts oben verlaufenden (Halb-)Geraden jeweils zueinander parallel sind, können wir nun eine ganze Menge Rückschlüsse auf die restlichen Winkel ziehen:

    So sind die beiden verbleibenden gelben Winkel Stufen- bzw. Wechselwinkel zum ersten und damit gleichfalls $75^\circ$ groß, die hellblauen Winkel als Nebenwinkel zu diesen dann $180^\circ-75^\circ=105^\circ$. Damit sind die dunkelblauen Winkel als Stufen- bzw. Wechselwinkel der hellblauen Winkel ebenfalls $105^\circ$ groß und die grünen Winkel, als deren Nebenwinkel, wiederum $75^\circ$.

    Hier hätten wir uns auch die folgende Regel zunutze machen können, die wir aber – ganz nebenbei – hergeleitet haben:

    Gegenüberliegende Winkel in einem Parallelogramm sind gleich groß.

    Jetzt kennen wir den oberen grünen Winkel und damit zwei Winkel des rechten Dreiecks. (Wir hätten diesen Winkel auch direkt als Stufenwinkel des linken orangefarbenen Winkels betrachten können.) Hier nutzen wir wieder den Satz über die Winkelsumme und erhalten so für den violetten Winkel, den wir $\gamma$ nennen:

    $\gamma = 180^\circ-38^\circ-75^\circ = 67^\circ$

    Nun können wir $\alpha$ als dessen Nebenwinkel berechnen und erhalten:

    $\alpha = 180^\circ - 67 ^\circ = 113^\circ$